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分班考必考专题：立体图形解决问题（专项训练）-小学数学六年级下册北师大版
1．将一个棱长40厘米的正方体油桶装满柴油。如果每升柴油重0.86千克，那么这桶柴油重多少千克？
2．如图，一个密闭的长方体容器长15厘米，宽8厘米，高8厘米（容器厚度忽略不计）。向内部注入6厘米深的水，然后把容器立起来，这时水面高多少厘米？
3．一个长方体容器，底面是一个边长为8厘米的正方形（如图），其中水面的高度是6厘米。
（1）此时水与容器接触的面积是多少平方厘米？
（2）现在将一个长为6厘米，宽为5厘米的小长方体完全浸没在水中（水未溢出），这时水面上升了3厘米，这个小长方体的高是多少厘米？
4．把一个体积是480立方厘米的石块完全浸没在一个长方体容器中，水面由75厘米上升到87厘米，求这个长方体容器的底面积是多少？
5．一根长方体钢材，长0.8米，垂直于长将其截成两段后，表面积增加了32平方厘米。这根钢材原来的体积是多少？
6．秦始皇兵马俑被誉为“世界第八大奇迹”，其中最早发现的是一号俑坑，呈长方体，东西长230米，南北宽62米，深约5米，一号俑坑的容积是多少立方米？
7．一个无盖长方体玻璃鱼缸，长60厘米，宽50厘米，高40厘米。
（1）做这个鱼缸至少需要玻璃多少平方米？
（2）如果往这个鱼缸里放入鹅卵石、水草、鱼（全部浸没在水中），水面上升了3.5厘米。这些鹅卵石、水草和鱼的体积一共是多少立方厘米？
8．一个长方体形状的通风管，长1米，横截面是一个边长为4分米的正方形，做一对这样的通风管至少需要多少平方分米的铁皮？
9．将两个棱长都是5厘米的正方体小方块拼成一个长方体。这个长方体的表面积是多少平方厘米？体积呢？
10．李老师在商场买了一盒礼品，礼品盒是一个长4分米、宽3分米、高2.5分米的长方体。
（1）如果要用彩带把这个礼品盒捆扎起来（扎法如下图，打结处彩带长2分米），一共需要彩带多少分米？
（2）做这个礼品盒至少需要多少平方分米的硬纸板？
11．聪聪在爸爸茶杯的中部贴了一圈装饰带（如下图，茶杯是圆柱形），这条装饰带宽6厘米。
（1）这条装饰带的面积是多少平方厘米？
（2）这个茶杯的容积是多少立方厘米？（茶杯厚度忽略不计）
12．一辆汽车运来24立方米的沙子，卸车后堆成一个高5分米的圆锥形沙堆，这个沙堆的底面积是多少平方米？
13．一个圆柱形铁皮油桶底面直径为40厘米，高为50厘米，制作这个油桶至少需要铁皮多少平方分米？这个油桶可装油多少升？
14．下图ABCD是直角梯形，以AB为轴，并将梯形绕这个轴旋转一周，得到一个旋转体，它的体积是多少立方厘米？
15．一个圆柱形油桶从里面量底面直径是8分米，高12分米。现将其装满了汽油，如果每升汽油重0.85千克，这个油桶装了多少千克油？
16．如图，有一听装满饮料的圆柱形易拉罐和一个圆锥形酒杯。
①易拉罐的表面积约是多少平方厘米？
②每听饮料大约能倒满几杯？（四舍五入法取近似数）
17．国家统计局数据显示，2022年我国全年粮食产量13731亿斤，比上年增加74亿斤，增长0.5%。这是我国粮食产量连续八年稳定在1.3万亿斤以上，也是连续十九年获得丰收。某种粮专业户把小麦堆成了一个圆锥形，高是3米，底面周长是25.12米。如果每立方米小麦大约重0.8吨，这堆小麦大约重多少吨？
18．要做一个圆柱形的钢化玻璃鱼缸（无盖），底面半径是20厘米，高30厘米。
（1）这个鱼缸的占地面积是多少？
（2）至少需要多少平方分米的钢化玻璃？
（3）向做好的鱼缸里倒入15厘米高的水，童童将一块珊瑚石放入鱼缸并完全浸没后，发现水面升高了5厘米，珊瑚石的体积是多少？
19．一个棱长是5分米的正方体容器装满水后，倒入一个底面积是25平方分米的圆锥形容器里，好装满，这个圆锥的高是多少？
20．一台压路机的前轮是圆柱形，轮宽2米，直径1.4米，前轮转动5周，压路的面积是多少平方米？
21．用铁皮制作一个有盖的圆柱形油桶，底面直径是6分米，高与底面直径的比是2∶1，制作这个油桶至少需要多少平方分米的铁皮？
参考答案：
1．55.04千克
【分析】根据正方体的体积（容积）公式：V＝a×a×a，代入数据求出正方体油桶的容积，再根据1升＝1000立方厘米，换算单位后，用正方体油桶装满柴油的体积乘每升柴油的重量，即可求出这桶柴油重多少千克。
【详解】40×40×40＝64000（立方厘米）
64000立方厘米＝64升
64×0.86＝55.04（千克）
答：这桶柴油重55.04千克。
【点睛】此题的解题关键是灵活运用正方体的体积（容积）公式求解。
2．11.25厘米
【分析】由于体积不变，根据长方体体积公式：体积＝长×宽×高，先求出长是15厘米，宽是8厘米，高是6厘米的长方体的体积，再除以竖起后的长方体的底面积，即可求出水面的高。
【详解】15×8×6÷（8×8）
＝120×6÷64
＝720÷64
＝11.25（厘米）
答：这时水面高11.25厘米。
【点睛】本题考查长方体体积公式的灵活应用，关键是熟记公式。
3．（1）256平方厘米
（2）6.4厘米
【分析】（1）求水与容器接触面的面积，就是求长是8厘米，宽是8厘米，高是6厘米的长方体的1个底面和4个侧面的面积和，根据长方体的表面积公式：长×宽＋（长×高＋宽×高）×2，代入数据，求出水与容器接触面的面积；
（3）水面上升部分的体积就是这个小长方体的体积，根据长方体的体积公式：体积＝长×宽×高，代入数据，求出小长方体的体积；再根据高＝体积÷（长×宽），代入数据，即可解答。
【详解】（1）8×8＋（8×6＋8×6）×2
＝64＋（48＋48）×2
＝64＋96×2
＝64＋192
＝256（平方厘米）
答：此时水与容器接触的面积是256平方厘米。
（2）8×8×3÷（6×5）
＝64×3÷30
＝192÷30
＝6.4（厘米）
答：这个小长方体的高是6.4厘米。
【点睛】熟练掌握和灵活运用长方体表面积公式和体积公式是解答本题的关键。
4．40平方厘米
【分析】根据题意可知，水面上升部分体积等于石块的体积；根据长方体体积公式：体积＝底面积×高；用石块的体积除以水面上升的高度，即可求出这个长方体容积的底面积。
【详解】480÷（87－75）
＝480÷12
＝40（平方厘米）
答：这个长方体容器的底面积是40平方厘米。
【点睛】本题考查长方体的体积公式的灵活运用，关键是明确石块的体积与水面上升部分的体积相等。
5．1280立方厘米
【分析】根据题意，垂直于长将其截成两段，增加的表面积是两个底面的面积，用增加的面积÷2，求出长方体钢材的底面积；再根据长方体体积公式：体积＝底面积×高，代入数据，即可解答。
【详解】0.8米＝80厘米
32÷2×80
＝16×80
＝1280（立方厘米）
答：这根钢材原来的体积是1280立方厘米。
【点睛】解答本题的关键是明确表面积增加的部分是两个底面的面积和，注意单位名数的统一。
6．71300立方米
【分析】根据题意，求一号俑坑的容积，就是求这个俑坑的体积，根据长方体的体积公式：体积＝长×宽×高，代入数据，即可解答。
【详解】230×62×5
＝14260×5
＝71300（立方米）
答：一号俑坑的容积是71300立方米。
【点睛】熟练掌握长方体体积公式是解答本题的关键。
7．（1）1.18平方厘米
（2）10500立方厘米
【分析】（1）由于是无盖，根据无盖长方体的表面积公式：长×宽＋（长×高＋宽×高）×2，把数代入公式即可求解；最后再根据1平方米＝10000平方厘米转换单位即可。
（2）根据不规则物体体积的计算方法：容器的底面积×水面上升的高度＝物体的体积，把数代入公式即可求解。
【详解】（1）60×50＋（60×40＋50×40）×2
＝3000＋（2400＋2000）×2
＝3000＋4400×2
＝3000＋8800
＝11800（平方厘米）
11800平方厘米＝1.18平方米
答：做这个鱼缸至少需要玻璃1.18平方米。
（2）60×50×3.5
＝3000×3.5
＝10500（立方厘米）
答：这些鹅卵石、水草和鱼的体积一共是10500立方厘米。
【点睛】本题主要考查长方体的表面积以及不规则物体体积的计算方法，熟练掌握它们的公式是解题的关键。
8．320平方分米
【分析】由于通风管没有底面，所以只求它的侧面积即可，长方体的侧面积＝底面周长×高，据此求出一个通风的制作面积，再乘2即可。
【详解】1米＝10分米
4×4×10×2
＝16×10×2
＝160×2
＝320（平方分米）
答：做一对这样的通风管至少需要320平方分米的铁皮。
【点睛】解答有关长方体计算的实际问题，一定要搞清所求的是什么（体积、表面积还是几个面的面积），再进一步选择合理的计算方法进行计算解答问题。
9．250平方厘米；250立方厘米
【分析】（1）两个棱长为5厘米的正方体拼成一个长方体，这个长方体的表面积减少了两个正方形的面，即原来两个正方体一共有6×2＝12个面，现在只剩下12－2＝10个，然后用一个正方形的面积乘10即是这个长方体的表面积，列式为：5×5×（6×2－2），然后解答即可得出答案；
（2）由于两个棱长为5厘米的正方体拼成一个长方体，体积没有发生变化即是两个正方体的体积和，根据公式“V＝a3”求出一个的体积再乘2即可。
【详解】（1）5×5×（6×2－2）
＝25×10
＝250（平方厘米）
（2）5×5×5×2
＝125×2
＝250（立方厘米）
答：这个长方体的表面积是250平方厘米，体积是250立方厘米。
【点睛】本题关键要明确当两个正方体拼接时，体积和不变，但表面积变化了，注意：两个完全相同的正方体拼成一个长方体，这个长方体的表面积减少了两个正方形的面而不是一个。
10．（1）26分米
（2）59平方分米
【分析】（1）根据长方体的特征，12条棱分为3组，每组4条棱的长度相等，由图形可知，所需彩带的长度等于两条长＋两条宽＋4条高再加上打结用的2分米，据此解答；
（2）首先搞清这道题是求长方体的表面积，其次这个长方体的表面由六个长方形组成，求得这六个面的面积和即可解决问题。
【详解】（1）4×2＋3×2＋2.5×4＋2
＝8＋6＋10＋2
＝26（分米）
答：一共需要彩带26分米。
（2）（4×3＋3×2.5＋2.5×4）×2
＝（12＋7.5＋10）×2
＝29.5×2
＝59（平方分米）
答：做这个礼品盒至少要59平方分米的硬纸板。
【点睛】（1）此题考查的目的是理解掌握长方体的特征，关键是弄清如何捆扎的，确定是求哪几条棱的长度和；
（2）是一道长方体表面积的实际应用，在计算时要分清需要计算几个长方形面的面积。
11．（1）188.4平方厘米
（2）942立方厘米
【分析】（1）由题意可得，装饰带是长方形的，装饰带的长为圆柱的底面周长，宽为6厘米，可用装饰带的长乘宽，列式解答即可得到答案；
（2）求茶杯的容积，根据圆柱体的体积计算公式：V＝Sh解答即可。
【详解】（1）3.14×10×6
＝31.4×6
＝188.4（平方厘米）
答：这条装饰带的面积有188.4平方厘米。
（2）3.14×（10÷2）2×12
＝3.14×52×12
＝3.14×25×12
＝78.5×12
＝942（立方厘米）
答：这个茶杯的容积是942立方厘米。
【点睛】此题主要考查长方形的面积公式、圆柱体的体积计算公式的运用情况。
12．144平方米
【分析】根据圆锥的体积公式：V＝Sh，设它的底面积是x平方米，据此列方程解答。
【详解】解：设它的底面积是x平方米。
5分米＝0.5米
×x×0.5＝24
×x×0.5÷＝24÷
0.5x＝＝24÷
0.5x＝＝24×3
0.5x＝＝72
0.5x÷0.5＝72÷0.5
x＝144
答：它的底面积是144平方米。
【点睛】此题考查的目的是理解掌握圆锥的体积公式，以及列方程解决问题的方法及应用。
13．87.92平方分米；62.8升
【分析】求制作这个油桶至少需要铁皮的面积，就是求圆柱的表面积；根据圆柱的表面积公式S表＝S侧＋2S底，其中S侧＝πdh，S底＝πr2，代入数据计算求解，注意单位的换算：1分米＝10厘米。
求这个油桶可装油多少升，就是求圆柱的容积；根据圆柱的体积（容积）公式V＝πr2h，以及进率：1立方分米＝1升，代入数据计算求解。
【详解】40厘米＝4分米
50厘米＝5分米
3.14×4×5＋3.14×（4÷2）2×2
＝3.14×20＋3.14×4×2
＝62.8＋25.12
＝87.92（平方分米）
3.14×（4÷2）2×5
＝3.14×4×5
＝62.8（立方分米）
62.8立方分米＝62.8升
答：制作这个油桶至少需要铁皮87.92平方分米，这个油桶可装油62.8升。
【点睛】本题考查圆柱表面积、体积公式的运用，以及长度单位、体积、容积单位的换算。
14．301.44立方厘米
【分析】观察图形可知，旋转体的体积＝圆柱的体积＋圆锥的体积；其中圆柱的底面半径是4厘米，高是4厘米；圆锥的底面半径是4厘米，高是（10－4）厘米；
根据圆柱的体积公式V＝πr2h，圆锥的体积公式V＝πr2h，分别求出圆柱的体积、圆锥的体积，再相加即可。
【详解】圆柱的体积：
3.14×42×4
＝3.14×16×4
＝200.96（立方厘米）
圆锥的体积：
×3.14×42×（10－4）
＝×3.14×16×6
＝100.48（立方厘米）
旋转体的体积：
200.96＋100.48＝301.44（立方厘米）
答：它的体积是301.44立方厘米。
【点睛】本题考查圆柱和圆锥体积公式的运用，结合图形，分析出这个旋转体是是由哪些立体图形相加或相减得到，再根据图形的体积公式列式计算。
15．512.448千克
【分析】根据圆柱体积＝底面积×高，求出汽油体积，汽油体积×每升质量＝油桶装的汽油质量，据此列式解答。
【详解】1立方分米＝1升
3.14×（8÷2）2×12×0.85
＝3.14×42×12×0.85
＝3.14×16×12×0.85
＝602.88×0.85
＝512.448（千克）
答：这个油桶装了512.448千克油。
【点睛】关键是掌握并灵活运用圆柱体积公式。
16．①282.6平方厘米
②7杯
【分析】①根据圆柱的表面积公式：S＝2πr2＋πdh，据此代入数值进行计算即可；
②根据圆柱的容积公式：V＝πr2h，圆锥的容积公式：V＝πr2h，求出一听装满饮料和酒杯的容积，然后用一听装满饮料的容积除以酒杯的容积即可，结果运用四舍五入法保留整数。
【详解】①2×3.14×（6÷2）2＋3.14×6×12
＝2×3.14×9＋3.14×6×12
＝56.52＋226.08
＝282.6（平方厘米）
答：易拉罐的表面积约是282.6平方厘米。
②3.14×（6÷2）2×12
＝3.14×9×12
＝28.26×12
＝339.12（立方厘米）
×3.14×（6÷2）2×5
＝×3.14×9×5
＝×9×3.14×5
＝3×3.14×5
＝9.42×5
＝47.1（立方厘米）
339.12÷47.1＝7.2≈7（杯）
答：每听饮料大约能倒满7杯。
【点睛】本题考查圆柱的表面积、体积和圆锥的体积，熟记公式是解题的关键。
17．40.192吨
【分析】根据圆的周长公式：周长＝π×半径×2，半径＝周长÷π÷2，代入数据，求出圆锥形小麦堆的底面半径，再根据圆锥的体积公式：体积＝底面积×高×，代入数据，求出这堆小麦的体积，再乘0.8，即可解答。
【详解】25.12÷3.14÷2
＝8÷2
＝4（米）
3.14×42×3××0.8
＝3.14×16×3××0.8
＝50.24×3××0.8
＝150.72××0.8
＝50.24×0.8
＝40.192（吨）
答：这堆小麦大约重40.192吨。
【点睛】熟练掌握和灵活运用圆的周长公式和圆锥的体积公式是解答本题的关键。
18．（1）1256平方厘米
（2）50.24平方分米
（3）6280立方厘米
【分析】（1）占地面积指的是底面积，根据圆的面积＝πr2，列式解答即可；
（2）钢化玻璃面积＝侧面积＋底面积，圆柱侧面积＝底面周长×高，据此列式解答；
（3）水面升高的体积就是珊瑚石的体积，用鱼缸底面积×水面升高的高度，即可求出珊瑚石的体积。
【详解】（1）3.14×202
＝3.14×400
＝1256（平方厘米）
答：这个鱼缸的占地面积是1256平方厘米。
（2）3.14×20×2×30＋1256
＝3768＋1256
＝5024（平方厘米）
5024平方厘米＝50.24平方分米
答：至少需要50.24平方分米的钢化玻璃。
（3）3.14×202×5
＝3.14×400×5
＝6280（立方厘米）
答：珊瑚石的体积是6280立方厘米。
【点睛】关键是掌握并灵活运用圆柱表面积和体积公式。
19．15分米
【分析】正方体体积＝棱长×棱长×棱长，据此求出水的体积，再根据圆锥的高＝体积×3÷底面积，列式解答即可。
【详解】5×5×5×3÷25
＝375÷25
＝15（分米）
答：这个圆锥的高是15分米。
【点睛】关键是掌握并灵活运用正方体和圆锥体积公式。
20．43.96平方米
【分析】先求出压路机的前轮转动一周压路的面积，即求出圆柱的侧面积，，再乘前轮转动的周数求出压路机压路的总面积，据此解答。
【详解】3.14×1.4×2×5
＝4.396×2×5
＝8.792×5
＝43.96（平方米）
答：压路的面积是43.96平方米。
【点睛】本题主要考查圆柱侧面积公式的应用，熟记公式是解答题目的关键。
21．282.6平方分米
【分析】求制作这个油桶至少需要多少平方分米的铁皮，就是求圆柱的表面积。高与底面直径的比是2∶1，则高是底面直径的2倍，用底面直径乘2先求出圆柱的高。圆柱的表面积＝侧面积＋2个底面面积＝底面周长×高＋2个底面面积，据此解答。
【详解】6×2＝12（分米）
3.14×6×12＋3.14×（6÷2）2×2
＝226.08＋3.14×18
＝226.08＋56.52
＝282.6（平方分米）
答：制作这个油桶至少需要282.6平方分米的铁皮。
【点睛】本题考查了圆柱的表面积和比的应用。根据高与底面直径的比，明确高是底面直径的2倍，据此求出高。熟练掌握圆柱的表面积公式是解题的关键。
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