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第四单元 三角函数与解三角形检测（能力卷）
一、单选题(本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)
1．（2022秋·贵州·高二统考学业考试）已知，则
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】根据诱导公式，直接计算，即可得出结果.
【详解】由得.
故选：B.
【点睛】本题主要考查诱导公式的应用，熟记公式即可，属于基础题.
2．（2023·贵州·高二统考学业考试）计算：（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】利用诱导公式以及特殊角的三角函数值即可求解.
【详解】.
故选：C
3．（2023·四川·校考模拟预测）如图，在山脚测得山顶的仰角为，沿倾斜角为的斜坡向上走米到，在处测得山顶的仰角为，则山高（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】在中，根据正弦定理求得，结合，即可求解.
【详解】在中，，
由正弦定理得，可得，
过点作，可得
所以.
故选：D.
4．（2022·河南·统考模拟预测）若，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】先变形为，再分子分母同除以，化为关于的方程，求出，进而求出结果.
【详解】，则，分子分母同除以，得：，解得：，所以.
故选：A
5．（2022·海南·海南华侨中学校考模拟预测）已知，则（ ）
A． B． C． D．或
【答案】A
【分析】由平方关系求得、，再由两角和的余弦展开式求得答案.
【详解】依题意，均为锐角，
由得，
由得，
所以，
而，所以.
故选：A.
6．（2023·浙江绍兴·统考模拟预测）若存在，对任意的，恒有，则函数不可能是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】对选项ABC分别让取一个值，使得不等式恒成立即可，从而排除ABC，得正确选项．
【详解】对于选项A，时有，不等式恒成立；
对于选项B，时，，，不等式恒成立，
对于选项C，时，，，不等式恒成立，
对于选项D，函数()的值域是R，因此不存在实数，使得不等式恒成立，
故选：D．
7．（2023·福建·二模）若，函数（）的值域为，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】利辅助角公式可得（其中），再利用换元法令，从而得到的取值范围.
【详解】因为（其中）．
令，因为，所以．
因为，且，所以，
故，即．
当时，单调递减，
因为，
所以．
故选D．
【点睛】本题考查辅助角公式、换元法求函数的值域，考查函数与方程思想、转化与化归思想，考查逻辑推理能力、运算求解能力.
8．（2021·全国·统考模拟预测）点，是双曲线的左、右焦点，过点作直线交双曲线于，两点，现将双曲线所在平面沿直线折成平面角为锐角的二面角，如图，翻折后，两点的对应点分别为，，，若，则双曲线的离心率为（ ）
A． B． C．2 D．3
【答案】D
【分析】设，根据余弦定理结合条件得到，再转化成的方程，即可得答案；
【详解】设，
，
，
，，
，
故选：D.
【点睛】本题考查双曲线的离心率，求解的关键是设出三个变量，再将变量间的关系转化为的方程.
二、多选题(本大题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分)
9．（2022·湖南长沙·雅礼中学校联考一模）设函数，已知在，有且仅有5个零点．下述四个结论：
A．在上有且仅有3个极大值点；
B．在上有且仅有2个极小值点；
C．在上单调递增；
D．的取值范围是，．
其中所有正确结论是（ ）
A．A B．B C．C D．D
【答案】ACD
【分析】由函数的零点个数和正弦函数的图象可判断,的正误，由，可判断的正误,再由正弦函数的单调性可判断的正误.
【详解】∵，，∴，，
又∵在，有且仅有5个零点，∴，解得，
则的取值范围是，，故正确；
由在，上的图像，可得在上有且有3个极大值点，
在上有2个或3个极小值点，故正确，错误；
当时，，
∵，∴，即
∴在上单调递增，故正确.
故选：．
10．（2023·江苏扬州·扬州中学校考模拟预测）已知函数的部分图象如图所示，则下列结论中正确的是（ ）
A．
B．
C．点是的一个对称中心
D．函数的图象向左平移个单位得到的图象关于轴对称
【答案】AC
【分析】根据函数图象可得、，即可求出，再根据函数过点求出，即可求出函数解析，再根据正弦函数的性质及三角函数的变换规则判断即可.
【详解】由图可知，，所以，即，解得，
所以，又，
所以，解得，又，所以，
所以，故A正确，B错误；
，所以点是的一个对称中心，故C正确；
将函数的图象向左平移个单位得到，
显然函数不是偶函数，故D错误；
故选：AC
11．（2021·辽宁沈阳·东北育才学校校考一模）设函数，则下列说法正确的有（ ）
A．当，时，为奇函数
B．当，时，的一个对称中心为
C．若关于的方程的正实根从小到大依次构成一个等差数列，则这个等差数列的公差为
D．当，时，在区间上恰有个零点
【答案】AD
【分析】利用正弦函数的奇偶性判定的奇偶性，进而判定A；逆用两角和差公式化为“一角一函”形式，根据正弦函数的对称中心的性质判定B;化简方程后求得方程的正实数根，根据等差数列的定义判定C；根据零点的定义，转化为方程，求解后判定D.
【详解】当，时，,,
所以是奇函数，故A正确；
当，时，，，
不是的一个对称中心，故B错误；
当，，时，为，
即，
则或，即或，,
正根从小到大排列为,
,,故不是等差数列，故C错误；
当，时，，
令，解得，
当时解在区间上，故在区间上恰有个零点，故D正确.
故答案为：AD.
12．（2021·全国·模拟预测）已知点是函数的图象的一个对称中心，且的图象关于直线对称，在单调递减，则（ ）
A．函数的最小正周期为
B．函数为奇函数
C．若的根为，则
D．若在上恒成立，则的最大值为
【答案】ACD
【分析】先根据函数图象的对称性和函数的单调性得到函数的最小正周期，然后求出，的值，最后利用三角函数的图象和性质进行求解即可．
【详解】对于A，设的最小正周期为，因为点是函数图象的一个对称中心，且的图象关于直线对称，在上单调递减，，所以，，故函数的最小正周期为，故A正确．
对于B，，因为，所以，因为，所以．又在上单调递减，所以，即，所以，，为偶函数，故B错误．
对于C，由得，，结合三角函数的周期性可知，方程有6个根，在内的两根关于直线对称，同理可得，所以C正确．
对于D，由得，因此，
所以，
故，即，所以的最大值为，故D正确．
故选：ACD
【点睛】利用三角函数性质求得函数解析式是解题关键
三、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分，把答案填在题中的横线上)
13．（2022·北京石景山·统考一模）函数的最小正周期是 ，最大值是 ．
【答案】
【详解】，则函数的最小正周期是，最大值是
14．（2023·安徽·高二马鞍山二中校考学业考试）在△中，，，，则
【答案】
【分析】已知条件为三角形的三条边,先根据余弦定理求得,再根据向量数量积即可求得解.
【详解】在△中,,,
由余弦定理可得
由向量数量积为
故答案为:
【点睛】本题考查了余弦定理及向量数量积的综合应用,先求得夹角是解决问题的关键,属于基础题.
15．（2022·全国·校联考二模）在中，角，，所对的边分别边，且
，设角的角平分线交于点，则的值最小时， .
【答案】
【分析】根据题意，利用余弦定理和基本不等式得出，再利用正弦定理，即可得出.
【详解】因为，则，
由余弦定理得：
，
当且仅当时取等号，
又因为，，
所以.
故答案为：.
【点睛】本题考查余弦定理和正弦定理的应用，以及基本不等式求最值，考查计算能力.
16. （2022·山东德州·统考二模）声音是由物体振动产生的声波，其中纯音的数学模型是函数，已知函数的图象向右平移个单位后，与纯音的数学模型函数图象重合，则 ，若函数在是减函数，则的最大值是 .
【答案】
【解析】将函数的图象向左平移个单位后可得到函数的图象，结合诱导公式可求得的值，求得函数的单调递减区间，由属于该区间求得的值，再由区间的包含关系可求得的最大值.
【详解】将函数的图象向左平移个单位后可得到函数的图象，
则，
又，，
令，解得，
所以，函数的单调递减区间为，
由，可得，
由于函数在区间上单调递减，则，
所以，，解得，则的最大值为.
故答案为：；.
【点睛】本题考查利用三角函数图象平移求参数，同时也考查了利用余弦型函数的单调性求参数，考查计算能力，属于中等题.
四、解答题(本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤)
17．（2022·广东·统考二模）在△ABC中，角A、B、C所对的边分别为a、b、c（其中），设向量，，且向量为单位向量．
（1）求∠B的大小；
（2）若，求△ABC的面积．
【答案】,△ABC的面积＝-
【详解】解：（1）
∴
又B为三角形的内角，由，故
（2）根据正弦定理，知，即，
∴，又，∴
故C＝，△ABC的面积＝
18．（2022·广东韶关·统考二模）在ABC中，内角A、B、C所对的边分别为a、b、c，且．
(1)求角A的大小；
(2)若a=1，b>a，，求ABC的面积．
【答案】(1)或
(2)
【分析】(1)由正弦定理及正弦两角和可求解;
(2)由正弦定理、余弦定理、面积公式可求解.
【详解】（1）依题意，由正弦定理，
可得：，
即：，
由于在中，，所以，
又，所以，或.
（2）由，则，
又由正弦定理，得，
在中，由余弦定理，
得，所以，
所以，即的面积为.
19．（2022·天津·统考一模）设的内角、、所对边的长分别是、、，且，，．
（Ⅰ）求的值；
（Ⅱ）求的值．
【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）．
【解析】（Ⅰ）利用二倍角正弦公式、正弦定理边角互化思想可求得的值；
（Ⅱ）由同角三角函数的基本关系求得的值，再结合二倍角公式和两角差的正弦公式可求得的值.
【详解】（Ⅰ）因为，所以，，则，
且，，所以；
（Ⅱ），则，
因为，，
故.
【点睛】本题考查三角求值，考查了正弦定理、二倍角与差角正弦公式的应用，考查计算能力，属于中等题.
20．（2023·广东·统考一模）在中，角的对边分别为，已知.
(1)求角的大小；
(2)求的取值范围.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）根据三角恒等变换和正弦定理的得到，进而由余弦定理得到，求出；
（2）由三角函数和差公式求出，由求出取值范围.
【详解】（1）因为，
所以，
整理得，
由正弦定理得，
由余弦定理得，
因为，所以.
（2）
在中，因为，所以，
所以，所以，
所以，
所以的取值范围为.
21．（2022·北京海淀·北京市十一学校校考模拟预测）已知函数.
(1)求的最小正周期及单调递减区间;
(2)求证:当时,.
【答案】(1),;(2)证明见解析.
【分析】（1）首先利用三角恒等变换将函数化简为，再利用正弦函数的性质解答；
（2）求出函数在的值域即可得解.
【详解】解：(1)因为
.
所以函数的最小正周期为.
由得,
所以的单调递减区间.
(2)由(1)可知,.
当时,,,
.
当,即时,取了最大值.
所以当时,.
【点睛】本题考查两角和与差的正弦函数，考查正弦函数的单调性、周期性与闭区间上的最值，属于中档题．
22．（2022·上海闵行·上海市七宝中学校考模拟预测）如图，某污水处理厂要在一个矩形污水处理池的池底水平铺设污水净化管道（三条边，是直角顶点）来处理污水，管道越长，污水净化效果越好.要求管道的接口是的中点，分别落在线段上，已知米，米，记.
(1)试将污水净化管道的总长度（即的周长）表示为的函数，并求出定义域；
(2)问取何值时，污水净化效果最好？并求出此时管道的总长度.
【答案】（1），； （2）或时，L取得最大值为米．.
【分析】（1）解直角三角形求得得EH、FH、EF的解析式，再由 L=EH+FH+EF得到污水净化管道的长度L的函数解析式，并注明θ的范围．
（2）设sinθ+cosθ=t，根据函数 L= 在[，]上是单调减函数，可求得L的最大值．
所以当时，即 或 时，L取得最大值为米．
【详解】由题意可得，，，由于 ，，
所以，，
，
即，
设，则，由于，
由于在上是单调减函数，
当时，即或时，L取得最大值为米．
【点睛】三角函数值域得不同求法：
1.利用和的值域直接求
2.把所有的三角函数式变换成 的形式求值域
3.通过换元，转化成其他类型函数求值域
精品试卷·第 2 页 （共 2 页）
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第四单元 三角函数与解三角形检测（能力卷）
一、单选题(本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)
1．（2022秋·贵州·高二统考学业考试）已知，则
A． B． C． D．
2．（2023·贵州·高二统考学业考试）计算：（ ）
A． B． C． D．
3．（2023·四川·校考模拟预测）如图，在山脚测得山顶的仰角为，沿倾斜角为的斜坡向上走米到，在处测得山顶的仰角为，则山高（ ）
A． B．
C． D．
4．（2022·河南·统考模拟预测）若，则（ ）
A． B． C． D．
5．（2022·海南·海南华侨中学校考模拟预测）已知，则（ ）
A． B． C． D．或
6．（2023·浙江绍兴·统考模拟预测）若存在，对任意的，恒有，则函数不可能是（ ）
A． B．
C． D．
7．（2023·福建·二模）若，函数（）的值域为，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
8．（2021·全国·统考模拟预测）点，是双曲线的左、右焦点，过点作直线交双曲线于，两点，现将双曲线所在平面沿直线折成平面角为锐角的二面角，如图，翻折后，两点的对应点分别为，，，若，则双曲线的离心率为（ ）
A． B． C．2 D．3
二、多选题(本大题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分)
9．（2022·湖南长沙·雅礼中学校联考一模）设函数，已知在，有且仅有5个零点．下述四个结论：
A．在上有且仅有3个极大值点；
B．在上有且仅有2个极小值点；
C．在上单调递增；
D．的取值范围是，．
其中所有正确结论是（ ）
A．A B．B C．C D．D
10．（2023·江苏扬州·扬州中学校考模拟预测）已知函数的部分图象如图所示，则下列结论中正确的是（ ）
A．
B．
C．点是的一个对称中心
D．函数的图象向左平移个单位得到的图象关于轴对称
11．（2021·辽宁沈阳·东北育才学校校考一模）设函数，则下列说法正确的有（ ）
A．当，时，为奇函数
B．当，时，的一个对称中心为
C．若关于的方程的正实根从小到大依次构成一个等差数列，则这个等差数列的公差为
D．当，时，在区间上恰有个零点
12．（2021·全国·模拟预测）已知点是函数的图象的一个对称中心，且的图象关于直线对称，在单调递减，则（ ）
A．函数的最小正周期为
B．函数为奇函数
C．若的根为，则
D．若在上恒成立，则的最大值为
三、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分，把答案填在题中的横线上)
13．（2022·北京石景山·统考一模）函数的最小正周期是 ，最大值是 ．
14．（2023·安徽·高二马鞍山二中校考学业考试）在△中，，，，则
15．（2022·全国·校联考二模）在中，角，，所对的边分别边，且
，设角的角平分线交于点，则的值最小时， .
16. （2022·山东德州·统考二模）声音是由物体振动产生的声波，其中纯音的数学模型是函数，已知函数的图象向右平移个单位后，与纯音的数学模型函数图象重合，则 ，若函数在是减函数，则的最大值是 .
四、解答题(本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤)
17．（2022·广东·统考二模）在△ABC中，角A、B、C所对的边分别为a、b、c（其中），设向量，，且向量为单位向量．
（1）求∠B的大小；
（2）若，求△ABC的面积．
18．（2022·广东韶关·统考二模）在ABC中，内角A、B、C所对的边分别为a、b、c，且．
(1)求角A的大小；
(2)若a=1，b>a，，求ABC的面积．
19．（2022·天津·统考一模）设的内角、、所对边的长分别是、、，且，，．
（Ⅰ）求的值；
（Ⅱ）求的值．
20．（2023·广东·统考一模）在中，角的对边分别为，已知.
(1)求角的大小；
(2)求的取值范围.
21．（2022·北京海淀·北京市十一学校校考模拟预测）已知函数.
(1)求的最小正周期及单调递减区间;
(2)求证:当时,.
22．（2022·上海闵行·上海市七宝中学校考模拟预测）如图，某污水处理厂要在一个矩形污水处理池的池底水平铺设污水净化管道（三条边，是直角顶点）来处理污水，管道越长，污水净化效果越好.要求管道的接口是的中点，分别落在线段上，已知米，米，记.
(1)试将污水净化管道的总长度（即的周长）表示为的函数，并求出定义域；
(2)问取何值时，污水净化效果最好？并求出此时管道的总长度.
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()第三单元 一元函数的导数及其应用（能力卷）
答题卡
准考证号：
姓 名：_________________________________________
贴条形码区
此栏考生禁填 缺考
标记
1．答题前，考生先将自己的姓名，准考证号填写清楚，并认真检查监考员所粘贴的条形码。
2．选择题必须用2B铅笔填涂；非选择题必须用0.5mm黑色签字笔答题，不得用铅笔或圆珠笔答题；字体工整、笔迹清晰。
3．请按题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效。
4．保持卡面清洁，不要折叠、不要弄破。
5．正确填涂
注意事项
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。
1 [A] [B] [C] [D] 2 [A] [B] [C] [D] 3 [A] [B] [C] [D] 4 [A] [B] [C] [D]
5 [A] [B] [C] [D] 6 [A] [B] [C] [D] 7 [A] [B] [C] [D] 8 [A] [B] [C] [D]
二、多选选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分。多选、错选不给分，选对部分给2分。
9 [A] [B] [C] [D] 10 [A] [B] [C] [D] 11 [A] [B] [C] [D] 12 [A] [B] [C] [D]
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13．____________________ 14．____________________
15．____________________ 16．____________________
四、解答题（共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
17．（10分）
请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！
18．（12分）
请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！
请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！
19．（12分）
请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！
请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！
请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！
20．（12分）
请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！
请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！
21．（12分）
请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！
请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！
请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！
22．（12分）
请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！
数学 第4页（共6页） 数学 第5页（共6页） 数学 第6页（共6页）
数学 第1页（共6页） 数学 第2页（共6页） 数学 第3页（共6页）
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