内蒙古呼和浩特市2023届高三第一次质量数据监测数学（文）试题（解析版）

2023
2023届内蒙古呼和浩特市高三第一次质量数据监测
数学（文）试题
一、单选题
1．已知集合，，，则（ ）
A． B． C． D．
2．复数=（ ）
A． B． C． D．
3．如图所示是世界人口变化情况的三幅统计图：
下列结论中错误的是（ ）
A．从折线图能看出世界人口的总量随着年份的增加而增加
B．2050年亚洲人口比其他各洲人口的总和还要多
C．2050年南美洲及大洋洲人口之和与欧洲人口基本持平
D．1957年到2050年各洲中北美洲人口增长速度最慢
4．“二十四节气”是上古农耕文明的产物，它是上古先民顺应农时，通过观察天体运行，认知一岁中时令、气候、物候等变化规律所形成的知识体系.我国古代用日晷测量日影的长度，晷长即为所测量影子的长度，二十四个节气及晷长变化如图所示，相邻两个节气晷长的变化量相同，冬至日晷长最长，夏至日晷长最短，周而复始，已知冬至日晷长为13.5尺，芒种日晷长为2.5尺，则一年中立春到夏至的日晷长的和为（ ）
A．58.5尺 B．59.5尺 C．60尺 D．60.5尺
5．若曲线在点处的切线与直线垂直，则实数等于（ ）
A． B． C． D．
6．已知角的顶点与坐标原点重合，始边与轴的正半轴重合，终边在直线上，则（ ）
A． B． C． D．
7．已知函数的零点分别为a，b，c，则a，b，c的大小顺序为（ ）
A． B． C． D．
8．已知与为两个不共线的单位向量，若向量与向量垂直，则实数（ ）
A．1 B． C．2 D．
9．设函数，则，则（ ）
A．在单调递增，其图象关于直线对称
B．在单调递增，其图象关于直线对称
C．在单调递减，其图象关于直线对称
D．在单调递减，其图象关于直线对称
10．已知两个圆锥有公共底面，且两个圆锥的顶点和底面的圆周都在同一个球面上，若圆锥底面面积是这个球面面积的，则这两个圆锥中，体积较小者的高与体积较大者的高的比值为（ ）
A． B． C． D．
11．抛物线的焦点与双曲线的右焦点的连线交于第一象限的点为，若在点处的切线平行于的一条渐近线，则（ ）
A． B． C． D．
12．已知定义在上的奇函数满足，且，则（ ）
A． B． C． D．
二、填空题
13．设，满足约束条件，则的最大值为______________.
14．在中，，，，的面积为______________.
15．如图，在正方体中，O为底面的中心，P为所在棱的中点，M，N为正方体的顶点．则满足的是______________ （填写正确的序号）
三、双空题
16．已知平面内两定点，，点满足，则动点的轨迹方程为______________；若平面内两动点，（）满足，则的最大值为______________.
四、解答题
17．已知等比数列中，公比为.且.
(1)为数列前项的和，证明：；
(2)设，求数列的前项和.
18．某高校共有15000人，其中男生10500人，女生4500人，为调查该校学生每周平均体育运动时间的情况，采用分层抽样的方法，收集300位学生每周平均体育运动时间的样本数据（单位:小时）
（1）应收集多少位女生样本数据？
（2）根据这300个样本数据，得到学生每周平均体育运动时间的频率分布直方图（如图所示），其中样本数据分组区间为：.估计该校学生每周平均体育运动时间超过4个小时的概率.
（3）在样本数据中，有60位女生的每周平均体育运动时间超过4个小时.请完成每周平均体育运动时间与性别的列联表，并判断是否有的把握认为“该校学生的每周平均体育运动时间与性别有关”.
附：
0.10 0.05 0.010 0.005
2.706 3.841 6.635 7.879
19．已知函数.
(1)当时，求函数的单调区间；
(2)若时，，求的取值范围.
20．如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD为平行四边形，E、F、G分别是棱AB、AP、PD的中点．
(1)证明：平面EFG；
(2)若，，求点C到平面EFG的距离．
21．已知椭圆的一个焦点为，且离心率.
(1)求椭圆的标准方程；
(2)设点、是轴上的两个动点，且，直线、分别交椭圆于点、（均异于），证明：直线的斜率为定值.
22．如图，在极坐标系中，曲线是以为圆心的半圆，曲线是以为圆心的圆，曲线、都过极点O．
(1)分别写出半圆和圆的极坐标方程；
(2)直线与曲线、分别交于M、N两点（异于极点O），P为上的动点，求面积的最大值．
23．已知．
(1)解不等式：；
(2)记的最小值为m，若，求的最小值．
2023届内蒙古呼和浩特市高三第一次质量数据监测
数学（文）试题
一、单选题
1．已知集合，，，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】根据集合补集和交集的定义进行求解即可.
【详解】因为，，
所以，，
所以，
故选：B
2．复数=（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【详解】
考查复数运算性质，除法运算主要掌握分子分母均乘以分母的共轭复数.
3．如图所示是世界人口变化情况的三幅统计图：
下列结论中错误的是（ ）
A．从折线图能看出世界人口的总量随着年份的增加而增加
B．2050年亚洲人口比其他各洲人口的总和还要多
C．2050年南美洲及大洋洲人口之和与欧洲人口基本持平
D．1957年到2050年各洲中北美洲人口增长速度最慢
【答案】D
【分析】利用折线图、条形图及扇形图的特点即可求解.
【详解】对于A，从折线图能看出世界人口的总量随着年份的增加而增加，故A正确；
对于B，从扇形图中能够明显地看出2050年亚洲人口比其他各洲人口的总和还要多，故B正确；
对于C，从条形图中能够明显地看出2050年南美洲及大洋洲人口之和与欧洲人口基本持平，故C正确；
对于D，由题中三幅统计图并不能得出从1957年到2050年中哪个洲人口增长速度最慢，故D错误.
故选：D.
4．“二十四节气”是上古农耕文明的产物，它是上古先民顺应农时，通过观察天体运行，认知一岁中时令、气候、物候等变化规律所形成的知识体系.我国古代用日晷测量日影的长度，晷长即为所测量影子的长度，二十四个节气及晷长变化如图所示，相邻两个节气晷长的变化量相同，冬至日晷长最长，夏至日晷长最短，周而复始，已知冬至日晷长为13.5尺，芒种日晷长为2.5尺，则一年中立春到夏至的日晷长的和为（ ）
A．58.5尺 B．59.5尺 C．60尺 D．60.5尺
【答案】C
【分析】根据等差数列的通项公式和前项和公式进行求解即可.
【详解】设冬至日晷长为，小寒日晷长为，以此类推芒种日晷长为，
因此，，设从冬至日到夏至日过程中，晷长的变化量为，
所以有，立春日晷长为，
夏至的日晷长为，
所以一年中立春到夏至的日晷长的和为，
故选：C
5．若曲线在点处的切线与直线垂直，则实数等于（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】由导数的几何意义求解即可.
【详解】∵，∴，
∴曲线在点处的切线的斜率，
∵切线与直线垂直，∴直线的斜率为，
∴.
故选：C.
6．已知角的顶点与坐标原点重合，始边与轴的正半轴重合，终边在直线上，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】在终边上取一点，由任意角的三角函数的定义求解即可.
【详解】直线过原点，经过第二象限与第四象限，
①若角的终边在第二象限，在终边上取一点，由任意角的三角函数定义，
，，
；
②若角的终边在第四象限，在终边上取一点，由任意角的三角函数定义，
，，
.
综上所述，.
故选：A.
7．已知函数的零点分别为a，b，c，则a，b，c的大小顺序为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】首先可求出，再由得，由得，将其转化为、与的交点，数形结合即可判断.
【详解】解：由得，，
由得，由得.
在同一平面直角坐标系中画出、、的图象，
由图象知，，.
故选：B
【点睛】本题考查函数的零点，函数方程思想，对数函数、指数函数的图象的应用，属于中档题.
8．已知与为两个不共线的单位向量，若向量与向量垂直，则实数（ ）
A．1 B． C．2 D．
【答案】B
【分析】由向量与向量垂直，可得，再根据数量积的运算律结合与为两个不共线的单位向量，即可得解.
【详解】因为向量与向量垂直，
所以，
即，
由与为两个不共线的单位向量，
得，且，
所以，所以.
故选：B.
9．设函数，则，则（ ）
A．在单调递增，其图象关于直线对称
B．在单调递增，其图象关于直线对称
C．在单调递减，其图象关于直线对称
D．在单调递减，其图象关于直线对称
【答案】D
【分析】先根据辅助角公式将函数化简成，再根据解析式利用三角函数的性质即可知其在上的单调性，以及对称轴的位置．
【详解】因为,
由得，再令,所以.
所以在单调递减，其图象关于直线对称.
故选：D.
【点睛】本题主要考查辅助角公式的应用，以及函数的性质的应用，属于基础题．
10．已知两个圆锥有公共底面，且两个圆锥的顶点和底面的圆周都在同一个球面上，若圆锥底面面积是这个球面面积的，则这两个圆锥中，体积较小者的高与体积较大者的高的比值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】画出图形，根据面积比例关系确定底面半径和球的半径之间的关系，再求出底面与球心之间的距离，以此求出两个圆锥的高即可.
【详解】
如图，设圆锥与圆锥公共底面圆心为，两圆锥公共底面圆周上一点，底面半径，
设球心为，球的半径，
由已知，，∴，
∴在直角中，，
∵底面积相同的圆锥，高较大者体积较大，
∴体积较小圆锥的高，
体积较大圆锥的高，
∴体积较小者的高与体积较大者的高的比值为.
故选：A.
11．抛物线的焦点与双曲线的右焦点的连线交于第一象限的点为，若在点处的切线平行于的一条渐近线，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】求出抛物线焦点F与双曲线右焦点及点M坐标，由点M处斜率求出点M坐标，再由三点共线即可求解.
【详解】双曲线渐近线方程为，，，所以，
设抛物线的焦点为，双曲线右焦点，则，，
设，则，
由图知，切线与双曲线的渐近线平行，
由得，所以，即：，所以，
所以，
又因为F、M、三点共线，
所以，即：，解得：.
故选：D.
12．已知定义在上的奇函数满足，且，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】求出函数周期，再进行求解即可.
【详解】∵为定义在上的奇函数，
∴，即（①）
∴将①式中的替换为得，
∴（②）
∴由①、②得，，即，是周期为的周期函数，
又∵为定义在上的奇函数，且，
∴，
，
，
∴.
故选：B.
二、填空题
13．设，满足约束条件，则的最大值为______________.
【答案】5
【分析】根据约束条件作出可行域，平移目标函数，得出最大值点，代入可得答案.
【详解】作出可行域如图，
平移直线，可知经过点时，有最大值；
由，可得，
所以的最大值为5.
故答案为：5.
14．在中，，，，的面积为______________.
【答案】##
【分析】利用正弦定理及三角形的内角和定理，结合三角形的面积公式即可求解.
【详解】由正弦定理得，解得,
因为，
所以,
所以.
所以,
所以的面积为.
故答案为： .
15．如图，在正方体中，O为底面的中心，P为所在棱的中点，M，N为正方体的顶点．则满足的是______________ （填写正确的序号）
【答案】①③
【分析】建立空间直角坐标系，利用空间向量分析判断即可.
【详解】设正方体的棱长为2，
对于①，如图建立空间直角坐标系，则，
所以，所以，所以，即，所以①正确，
对于②，如图建立空间直角坐标系，则，
所以，所以，所以与不垂直，即与不垂直，所以②错误，
对于③，如图建立空间直角坐标系，则，
所以，所以，所以，即，所以③正确，
对于④，如图建立空间直角坐标系，则，
所以，所以，所以与不垂直，即与不垂直，所以④错误，
故答案为：①③
三、双空题
16．已知平面内两定点，，点满足，则动点的轨迹方程为______________；若平面内两动点，（）满足，则的最大值为______________.
【答案】
【分析】设，用两点间距离公式表示，化简可得动点的轨迹方程；使用向量垂直表示，由几何意义求解的最大值即可.
【详解】设动点，则，，
∵点满足，
∴，化简，整理得.
∴动点的轨迹方程为.
若平面内两动点，（）满足，则，
∴，，
∴，∴，
∵，∴，
∴的几何意义为点到原点的距离，
∵动点的轨迹为圆心为，半径为的圆，
∴如图，当点位于处时，到原点距离最大值为，
即的最大值为.
故答案为：，.
【点睛】 关键点睛：本题第二空的解题关键，是将直角转化为向量关系（或斜率关系），化简后得出m的几何意义——点M到原点的距离，使用数形结合思想求解.
四、解答题
17．已知等比数列中，公比为.且.
(1)为数列前项的和，证明：；
(2)设，求数列的前项和.
【答案】(1)证明见解析
(2)
【分析】（1）计算得到，，得到证明.
（2）计算，，利用裂项相消法计算得到答案.
【详解】（1），，即.
（2），
.
18．某高校共有15000人，其中男生10500人，女生4500人，为调查该校学生每周平均体育运动时间的情况，采用分层抽样的方法，收集300位学生每周平均体育运动时间的样本数据（单位:小时）
（1）应收集多少位女生样本数据？
（2）根据这300个样本数据，得到学生每周平均体育运动时间的频率分布直方图（如图所示），其中样本数据分组区间为：.估计该校学生每周平均体育运动时间超过4个小时的概率.
（3）在样本数据中，有60位女生的每周平均体育运动时间超过4个小时.请完成每周平均体育运动时间与性别的列联表，并判断是否有的把握认为“该校学生的每周平均体育运动时间与性别有关”.
附：
0.10 0.05 0.010 0.005
2.706 3.841 6.635 7.879
【答案】（1）90；（2）0.75；（3）有的把握认为“该校学生的每周平均体育运动时间与性别有关”.
【详解】试题分析：（1）由分层抽样性质，得到；（2）由频率分布直方图得；（3）利用2×2列联表求.
试题解析：
（1）由，所以应收集90位女生的样本数据．
（2）由频率发布直方图得，该校学生每周平均体育运动时间超过4小时的概率为0.75.
（3）由（2）知，300位学生中有300×0.75=225人的每周平均体育运动时间超过4小时，75人平均体育运动时间不超过4小时，又因为样本数据中有210份是关于男生的，90份是关于女生的，所以平均体育运动时间与性别列联表如下：
每周平均体育运动时间与性别列联表
男生 女生 总计
每周平均体育运动时间不超过4小时 45 30 75
每周平均体育运动时间超过4小时 165 60 225
总计 210 90 300
结合列联表可算得
有95％的把握认为“该校学生的平均体育运动时间与性别有关”点睛：利用频率分布直方图求众数、中位数与平均数时，易出错，应注意区分这三者．在频率分布直方图中：
(1)最高的小长方形底边中点的横坐标即是众数；
(2)中位数左边和右边的小长方形的面积和是相等的；
(3)平均数是频率分布直方图的“重心”，等于频率分布直方图中每个小长方形的面积乘以小长方形底边中点的横坐标之和．
19．已知函数.
(1)当时，求函数的单调区间；
(2)若时，，求的取值范围.
【答案】(1)的单调递增区间是和，单调递减区间是
(2)
【分析】（1）利用导数法求函数的单调性的步骤即可求解；
（2）利用不等式的性质及导数法求函数的最值即可求解.
【详解】（1）当时，.
令，即，解得或，
令，即，解得，
所以函数的单调递增区间是和，
单调递减区间是.
（2）因为，
所以，
由，即，解得
当，时，
所以在是增函数，
于是当时，.
所以的取值范围是.
20．如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD为平行四边形，E、F、G分别是棱AB、AP、PD的中点．
(1)证明：平面EFG；
(2)若，，求点C到平面EFG的距离．
【答案】(1)证明见解析
(2)
【分析】（1）依题意可得，，即可得到平面，再由为平行四边形得到，从而得到平面，即可得到平面平面，即可得证；
（2）取的中点，连接，，依题意可得，利用勾股定理逆定理可得，同理可得、，从而得到平面，平面，求出，，设到平面的距离为，由，利用等体积法求出，由为中点，即、到平面的距离相等，从而得解；
【详解】（1）证明：因为E、F、G分别是棱AB、AP、PD的中点，
所以，，
又平面，平面，所以平面，
又因为底面为平行四边形，所以，则，
又平面，平面，所以平面，
因为，平面，所以平面平面，
又平面，所以平面，
（2）解：取的中点，连接，，
则且，
所以，
因为，，所以，即，
同理可得、，
又，平面，所以平面，
，平面，所以平面，
所以平面，平面，所以，
因为，，
所以，，，
设到平面的距离为，又，
所以，则，
又因为为中点，所以、到平面的距离相等，
所以到平面的距离为；
21．已知椭圆的一个焦点为，且离心率.
(1)求椭圆的标准方程；
(2)设点、是轴上的两个动点，且，直线、分别交椭圆于点、（均异于），证明：直线的斜率为定值.
【答案】(1)
(2)证明见解析
【分析】（1）根据已知条件求得a、b的值即可.
（2）方法一：设出直线方程，与椭圆方程联立得，，代入化简即可求得结果.
方法二：设直线的方程，由将椭圆方程化为椭圆，齐次化方程后运用韦达定理得及即可求得结果.
方法三：设直线的方程，与椭圆方程联立可求得点P坐标，用替换可得点Q坐标，进而可求得.
【详解】（1）由已知，
又离心率得，，
所以椭圆方程为.
（2）方法一：由题可知直线斜率存在，设直线的方程为
设点，，
联立得，，满足时，
有，，
由可得，
即，即，
化简得，
代入韦达定理，可得，
又点不在直线上，因此，所以，即，
故直线的斜率为定值.
方法二：令，则，则椭圆方程
即椭圆，设直线的方程为，设点，，
则，，，
联立可得，
即
即，
，即，则.
方法三：已知，设点，因为，则，
设点，，设直线的方程为，则，所以，所以，
联立可得，
由韦达定理知，即，代入直线可得，即点，
用替换可得，则.
22．如图，在极坐标系中，曲线是以为圆心的半圆，曲线是以为圆心的圆，曲线、都过极点O．
(1)分别写出半圆和圆的极坐标方程；
(2)直线与曲线、分别交于M、N两点（异于极点O），P为上的动点，求面积的最大值．
【答案】(1)，
(2)
【分析】（1）先求出曲线、的直角坐标方程，再根据直角坐标转化为极坐标方程即可；
（2）通过联立极坐标方程，即可求得M、N两点的极坐标，进而求得的长度，若求面积最大值，只需求点到直线距离最大，即过圆心做垂直于的线反向延长交的点为，通过直角三角形中边与角的关系，求得圆心到直线距离，进而求得高的最大值，即三角形面积最大值.
【详解】（1）解：因为曲线是以为圆心的半圆，且过极点O，所以半径为2，
故曲线的直角坐标方程为：，，
即，将代入化简可得：，
由，即，即，
即，故，
所以的极坐标方程为；
因为曲线是以为圆心的圆，且过极点O，所以圆心为，半径为1，
故的直角坐标方程为：，
即，将代入可得：
圆的极坐标方程为；
（2）因为M、N是直线与曲线、的两个交点，
不妨设，
由（1）得：，：，
所以，所以，
若面积最大，只需P点到直线MN的距离最大，因为P在上，
所以当P点为过且与直线MN垂直的直线与圆的一个交点时，距离最大，如图所示：
设与直线MN垂直于点H，因为，
所以，在中，，
所以点P到直线MN的最大距离为，
所以面积的最大值为．
23．已知．
(1)解不等式：；
(2)记的最小值为m，若，求的最小值．
【答案】(1)
(2)27
【分析】（1）分，，三种情况讨论，去绝对值符号，解不等式即可；
（2）先根据绝对值三角不等式求出，再利用柯西不等式即可得解.
【详解】（1）①当时，原不等式化为，
即，解得，
∴时，不等式成立，
②当时，原不等式化为，即，恒成立，
∴时，不等式恒成立，
③当时，原不等式化为，即，解得，
∴时，不等式成立，
综上，不等式的解集为；
（2）∵（当且仅当时“＝”成立），
∴，即，
由柯西不等式，可得，
当且仅当，即，，时“”成立，
所以，
即的最小值是27．

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