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第12章：全等三角形（选择题）-2023-2024学年初中数学单元培优提升题型练习（人教版）
一、单选题
1．如图，在中，，，，分别是的中线、角平分线和高线，交于点G，交于点H，下面说法中一定正确的是（ ）
的面积等于的面积； ②；
③； ④．
A．①②③④ B．①②③ C．②④ D．①③
2．如图，已知，那么添加下列一个条件后，仍无法判定的是（ ）
A． B．
C． D．
3．如图，平分，，于点E，，，则的长度为（ ）
A． B． C． D．
4．如图，，分别平分，过点且与垂直．若，，则的面积为（ ）
A．20 B．16 C．40 D．32
5．下列命题中是真命题的是（ ）
A．相等的角是对顶角 B．全等三角形对应边上的中线相等
C．两条直线被第三条直线所截，内错角相等 D．不相交的两条直线是平行线
6．在中，，BD是的角平分线，过点D作于点E，若，则等于（ ）
A． B． C． D．
7．如图，在等腰直角中，，点D是中点，点、分别在直角边、上，且，①图中全等三角形共有三对；②；③三角形的面积等于四边形面积的倍；④．其中正确的个数是（ ）
A．个 B．个 C．个 D．个
8．如图，点在同一条直线上，与相交于点，，下列结论不正确的是（ ）
A． B． C． D．
9．如图，点分别在上，与相交于点，，，，则等于（ ）
A． B． C． D．
10．下列命题中，属于假命题的是（ ）
A．底边相等的两个等腰直角三角形全等
B．两边及其中一边上的中线分别相等的两个三角形全等
C．周长相等的两个等边三角形全等
D．腰长相等的两个等腰三角形全等
11．如图，，的周长为10，且，则的周长为（ ）
A．10 B．12 C．14 D．16
12．如图，在中，，平分交于点，若，的面积为16，则的长为（ ）
A．2 B．4 C．6 D．8
13．如图，三条笔直公路两两相交，交点分别为，，，现计划修一个油库，要求到三条公路的距离都相等，内部被河水填满无法施工，则可供选择的地址有（ ）
A．1处 B．2处 C．3处 D．4处
14．下列命题是真命题的是（ ）
A．相等的角是对顶角 B．三角形的外心是三条边中线的交点
C．两边和一角对应相等的两个三角形全等 D．角平分线上的点到这个角的两边的距离相等
15．如图，，若，，，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
16．如图，在用尺规作的过程中，对于图2中弧、弧的作法，下列选项正确的是（ ）
A．以点为圆心，以任意长为半径画弧
B．以点为圆心，以任意长为半径画弧
C．以点为圆心，以大于长为半径画弧
D．以点为圆心，以长为半径画弧
17．如图，的三边、、的长分别是15、9、6，点是三条角平分线的交点，则的值为（ ）
A． B． C． D．
18．如图，是中的平分线，，交于点，，交于点．若，，，则的长是（ ）
A．4 B．3 C．6 D．5
19．如图，点在内，且到三边的距离相等，连接．若，则的度数是（ ）
A． B． C． D．
20．如图，O是内一点，且O到三边的距离相等（即），若，则（ ）
A．110° B．120° C．130° D．140°
21．如图，在中，和的平分线相交于点，过点作直线交于点，交于点，过点作于，有下列四个结论：①；②；③点到各边的距离相等；④设，，则，其中正确的结论有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
22．用尺规作图作一个已知角的平分线如图所示，则下列结论中错误的是（ ）
A．说明的依据是 B．点M，N到的距离不相等
C． D．上任意一点到两边的距离相等
23．下列命题正确的是（ ）
A．三角形三条角平分线的交点到三角形三个顶点的距离都相等
B．两个锐角分别相等的两个直角三角形全等
C．如果，
D．分式的值不能为零
24．如图，在和中，，，，，连接，，延长交于点F，连接．下列结论：①；②；③；④平分．其中正确的结论个数有（ ）个．
A．4 B．3 C．2 D．1
25．如图，点P为定角平分线上的一个定点，且与互补．若在绕点P旋转的过程中，其两边分别与、相交于M、N两点，则以下结论中，不正确的是（ ）
A．的值不变 B．
C．的长不变 D．四边形的面积不变
精品试卷·第 2 页 （共 2 页）
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第12章：全等三角形（选择题）-2023-2024学年初中数学单元培优提升题型练习（人教版）
一、单选题
1．如图，在中，，，，分别是的中线、角平分线和高线，交于点G，交于点H，下面说法中一定正确的是（ ）
的面积等于的面积； ②；
③； ④．
A．①②③④ B．①②③ C．②④ D．①③
【答案】B
【分析】①根据三角形中线平分三角形的面积，即可判断的面积等于的面积；
②先根据同角的余角相等证得，再根据角平分线的定义得出，最后根据三角形外角的性质得出，，即可得证；
③先根据同角的余角相等证得再根据角平分线的定义得出，于是推出；
④无法证得AH=BH．
【详解】解：∵是的中线，
∴，
∴的面积等于的面积，
故①正确；
∵是的角平分线，
∴，
∵是的高线，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵是的一个外角，
∴，
∵是的一个外角，
∴，
∴，
故②正确；
∵CF是的高线，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵是的角平分线，
∴，
∴，
故③正确；
无法证得AH=BH，故④错误；
故正确的有①②③
故选∶B．
【点睛】本题考查了三角形的面积，三角形外角的性质，同角的余角相等，角平分线的定义，熟练掌握这些性质是解题的关键．
2．如图，已知，那么添加下列一个条件后，仍无法判定的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】由图形可知，结合全等三角形的判定方法逐项判断即可．
【详解】解：在和中
∵，，
∴当时，满足，可证明，故选项A不符合题意；
当时，满足，可证明，故选项B不符合题意；
当时，不能证明，故选项C符合题意；
当时，满足，可证明，故选项D不符合题意；
故选：C．
【点睛】本题主要考查全等三角形的判定，掌握全等三角形的判定方法是解题关键，即，，，和．
3．如图，平分，，于点E，，，则的长度为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】过C作交延长线与F，先根据角平分线的定义和全等三角形的判定与性质，证明和得到，，进而可求解．
【详解】解：过C作交延长线与F，
∵平分，，，
∴，，
在和中，，
∴，
∴；
∵，，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，
∵，，，
∴，则，
故选：D．
【点睛】本题主要考查了全等三角形的判定与性质、角平分线的定义，熟练掌握全等三角形的判定与性质是解答的关键．
4．如图，，分别平分，过点且与垂直．若，，则的面积为（ ）
A．20 B．16 C．40 D．32
【答案】A
【分析】过点作于点，由平行线的性质可得，由角平分线的性质可得，再计算出的长度，最后由三角形的面积公式进行计算即可．
【详解】解：过点作于点，如图所示，
，
，
分别平分，
，
，
，
，
故选：A．
【点睛】本题主要考查了平行线的性质、角平分线的性质，熟练掌握平行线的性质、角平分线的性质，是解题的关键．
5．下列命题中是真命题的是（ ）
A．相等的角是对顶角 B．全等三角形对应边上的中线相等
C．两条直线被第三条直线所截，内错角相等 D．不相交的两条直线是平行线
【答案】B
【分析】根据对顶角的性质对A进行判断；根据全等三角形的性质对B进行判断；根据平行线的性质对C进行判断；根据平行线的定义对D进行判断．
【详解】解：A．相等的角是不一定为对顶角，是假命题，所以A选项不符合题意；
B．全等三角形对应边上的中线相等，是真命题，所以B选项符合题意；
C．两条平行直线被第三条直线所截，同位角相等，是假命题，所以C选项不符合题意；
D．在同一平面内，不相交的两直线是平行线，是假命题，所以D选项不符合题意．
故选：B．
【点睛】本题考查了命题与定理的知识，解题的关键是了解对顶角的性质、全等三角形的性质、平行线的性质及定义．
6．在中，，BD是的角平分线，过点D作于点E，若，则等于（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】根据角平分线的性质得到，得出，代入求出即可．
【详解】解：，，
，
∵是的角平分线，
，
，
故选：C．
【点睛】本题考查了角平分线的性质，掌握角的平分线上的点到角的两边的距离相等是解题的关键．
7．如图，在等腰直角中，，点D是中点，点、分别在直角边、上，且，①图中全等三角形共有三对；②；③三角形的面积等于四边形面积的倍；④．其中正确的个数是（ ）
A．个 B．个 C．个 D．个
【答案】D
【分析】先根据等腰直角三角形的性质得到，，，则利用“”可判断，接着证明，则可判断，同理可得，于是可对①进行判断；由得到，则可判断为等腰直角三角形，于是可对②进行判断；由于得，所以四边形面积，从而可对③进行判断；由于，所以，则，然后利用等腰直角三角形的性质可对④进行判断．
【详解】解：∵为等腰直角三角形，为边的中点，
∴，，
在和中，
，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
在和中，
，
∴，
同理可得，
图中全等三角形共有三对，∴①正确；
∵，
∴，
而，
∴为等腰直角三角形，
∴，∴②正确；
∵，
∴，
∴四边形面积，
∵，
∴三角形的面积等于四边形面积的倍；∴③正确；
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，∴④正确，
综上可知：①②③④正确；
故选：．
【点睛】本题考查了全等三角形的判定：熟练掌握全等三角形的5种判定方法是解决问题的关键．选用哪一种方法，取决于题目中的已知条件．也考查了等腰直角三角形的性质．
8．如图，点在同一条直线上，与相交于点，，下列结论不正确的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】直接根据全等三角形的性质进行逐项分析即可得到答案．
【详解】解：A.，
，故A选项正确，不符合题意；
B.，
，
，故B选项正确，不符合题意；
C.由不能得出，故C选项错误，符合题意；
D.，
，
，
即，故D选项正确，不符合题意；
故选：C．
【点睛】本题主要考查了三角形全等的性质，全等三角形的对应角相等、对应边相等、对应边上的高对应相等、对应角的角平分线相等、对应边上的中线相等，全等三角形面积和周长相等，熟练掌握全等三角形的性质是解题的关键．
9．如图，点分别在上，与相交于点，，，，则等于（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】根据条件证明，利用全等三角形的性质求解即可．
【详解】解：，，，
∴，
∴，
∵，，
∴ ，
∴ ，
故选：D．
【点睛】本题考查了几何问题，涉及到全等三角形的判定与性质等，灵活运用所学知识是关键．
10．下列命题中，属于假命题的是（ ）
A．底边相等的两个等腰直角三角形全等
B．两边及其中一边上的中线分别相等的两个三角形全等
C．周长相等的两个等边三角形全等
D．腰长相等的两个等腰三角形全等
【答案】D
【分析】根据三角形全等的判定定理判断即可．
【详解】A. 底边相等的两个等腰直角三角形全等，根据判断两个三角形全等，
故正确，不符合题意；
B. 两边及其中一边上的中线分别相等的两个三角形全等，是真命题，
不符合题意；
C. 周长相等的两个等边三角形全等，根据判断两个三角形全等，
故正确，不符合题意；
D. 腰长相等的两个等腰三角形全等，但是夹角不一定相等，
故无法判断全等，假命题，符合题意；
故选D．
【点睛】本题考查了三角形全等的判定，熟练掌握判定定理是解题的关键．
11．如图，，的周长为10，且，则的周长为（ ）
A．10 B．12 C．14 D．16
【答案】C
【分析】由全等三角形的性质得出的周长为10，进而得出的周长的周长即可．
【详解】解：∵，的周长为10，
∴的周长为10，，
∴的周长
的周长
．
故选：C．
【点睛】此题考查全等三角形的性质，关键是由全等三角形的性质得出的周长为10．
12．如图，在中，，平分交于点，若，的面积为16，则的长为（ ）
A．2 B．4 C．6 D．8
【答案】B
【分析】作于，由三角形的面积公式进行计算可得，再由角平分线的性质可得．
【详解】解：作于，
则，即，
解得，，
平分，，，
，
故选：B．
【点睛】本题主要考查了角平分线的性质，熟练掌握角平分线上的点到角的两边的距离相等是解题的关键．
13．如图，三条笔直公路两两相交，交点分别为，，，现计划修一个油库，要求到三条公路的距离都相等，内部被河水填满无法施工，则可供选择的地址有（ ）
A．1处 B．2处 C．3处 D．4处
【答案】C
【分析】由三角形内角平分线的交点到三角形三边的距离相等，内部被河水填满无法施工，可得三角形内角平分线的交点不满足条件；然后利用角平分线的性质，可证得三角形两条外角平分线的交点到其三边的距离也相等，这样的点有3个，可得可供选择的地址有3个．
【详解】解：
∵内角平分线的交点到三角形三边的距离相等，内部被河水填满无法施工，
∴内角平分线的交点不满足条件；
如图：点P是两条外角平分线的交点，
过点P作，，，
∴，，
∴，
∴点P到的三边的距离相等，
∴两条外角平分线的交点到其三边的距离也相等，满足这条件的点有3个；
综上，到三条公路的距离相等的点有3个．
∴可供选择的地址有3个．
故选：C．
【点睛】本题考查了角平分线的性质．注意掌握角平分线上的点到角两边的距离相等，注意数形结合思想的应用，小心别漏解．
14．下列命题是真命题的是（ ）
A．相等的角是对顶角 B．三角形的外心是三条边中线的交点
C．两边和一角对应相等的两个三角形全等 D．角平分线上的点到这个角的两边的距离相等
【答案】D
【分析】根据对顶角的概念、三角形的外心的概念、全等三角形的判定、角平分线的性质判断即可．
【详解】解：A、相等的角不一定是对顶角，故本选项命题是假命题，不符合题意；
B、三角形的外心是三条边垂直平分线的交点，故本选项命题是假命题，不符合题意；
C、两边及其夹角对应相等的两个三角形全等，故本选项命题是假命题，不符合题意；
D、角平分线上的点到这个角的两边的距离相等，故本选项命题是真命题，符合题意；
故选：D．
【点睛】本题考查的是命题的真假判断，正确的命题叫真命题，错误的命题叫做假命题．判断命题的真假关键是要熟悉课本中的性质定理．
15．如图，，若，，，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】由全等三角形的性质可得到，在中可求得，则可求得．
【详解】解：∵，，
∴，
∵，
∴，
∴，
故选：．
【点睛】此题主要考查全等三角形的性质三角形内角和定理，掌握全等三角形的对应边相等、对应角相等是解题的关键．
16．如图，在用尺规作的过程中，对于图2中弧、弧的作法，下列选项正确的是（ ）
A．以点为圆心，以任意长为半径画弧
B．以点为圆心，以任意长为半径画弧
C．以点为圆心，以大于长为半径画弧
D．以点为圆心，以长为半径画弧
【答案】D
【分析】根据图形写出作法，再逐项进行判断即可得出答案．
【详解】解：由图可得：
以点为圆心，以长为半径画弧；以点为圆心，以长为半径画弧，
A.以点为圆心，以长为半径画弧，故A选项错误，不符合题意；
B.以点为圆心，以长为半径画弧，故B选项错误，不符合题意；
C.以点为圆心，以长为半径画弧，故C选项错误，不符合题意；
D.以点为圆心，以长为半径画弧，故D选项错误，符合题意；
故选：D．
【点睛】本题考查了尺规作图—作一个角等于已知角，熟练掌握作法是解题的关键．
17．如图，的三边、、的长分别是15、9、6，点是三条角平分线的交点，则的值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】过点O作于点D，于点E，于点F，根据角平分线的性质定理可知．再由三角形的面积公式计算，作比即可解答．
【详解】如图，过点O作于点D，于点E，于点F，
点是三条角平分线的交点，
．
，
，
，
．
故选B．
【点睛】本题主要考查角平分线的性质定理．正确作出辅助线\由角平分线的性质定理得出是解题关键．
18．如图，是中的平分线，，交于点，，交于点．若，，，则的长是（ ）
A．4 B．3 C．6 D．5
【答案】B
【分析】由角平分线的性质可得，由及三角形的面积公式进行计算即可得到答案．
【详解】解：是中的平分线，，交于点，，交于点，
，
，
，
解得：，
故选：B．
【点睛】本题主要考查了角平分线的性质，熟练掌握角平分线上的点到角的两边的距离相等是解题的关键．
19．如图，点在内，且到三边的距离相等，连接．若，则的度数是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】由点在内，且到三边的距离相等，可知是角平分线的交点，则，，由，可得，根据，计算求解即可．
【详解】解：∵点在内，且到三边的距离相等，
∴是角平分线的交点，
∴，，
∵，
∴，即，
∵，
∴，
故选：C．
【点睛】本题考查了角平分线的判定定理，三角形内角和定理．解题的关键在于明确角度之间的数量关系．
20．如图，O是内一点，且O到三边的距离相等（即），若，则（ ）
A．110° B．120° C．130° D．140°
【答案】C
【分析】根据题意可得，点O是三角形三条角平分线的交点，再由的度数可得的度数，再根据三角形的内角和等于即可求出的度数．
【详解】解：∵到三边、、的距离，
∴点O是三角形三条角平分线的交点，
∵，
∴，
∴，
在中，．
故选：C．
【点睛】本题主要考查了角平分线的性质，以及三角形的内角和定理，熟练掌握角平分线的性质和三角形的内角和定理是解答本题的关键．
21．如图，在中，和的平分线相交于点，过点作直线交于点，交于点，过点作于，有下列四个结论：①；②；③点到各边的距离相等；④设，，则，其中正确的结论有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】C
【分析】根据三角形的内角和与角平分线的性质可得，可判断①和②；过点作于点，过点作于点，连接，根据角平分线的性质可知，可判断③；将的面积转化成的面积与的面积之和，可判断④．
【详解】解：在中，，
∵，
∴，
∵和的平分线相交于点，
∴，，
∴，
∴，
∴结论①不正确，结论②正确；
过点作于点，过点作于点，连接，
∵平分，OC平分，
∴，
又∵，
∴，
∴，
∴结论③正确，
∵，，
∴，
设，，
∴，
∴结论④正确，
∴正确的结论有：②③④，
故选：C．
【点睛】本题考查角平分线的性质和三角形的内角和，熟练掌握角平分线的性质并且灵活运用是解题的关键．
22．用尺规作图作一个已知角的平分线如图所示，则下列结论中错误的是（ ）
A．说明的依据是 B．点M，N到的距离不相等
C． D．上任意一点到两边的距离相等
【答案】B
【分析】根据作图可得证明即可判断A；过点N作于点P，过点M作于点Q，证明，即可判断B；根据作图即可判断C；点E为上任意一点，过点E作于点G，于点H，证明即可判断D．
【详解】解：A、由作图可知：
∵，
∴，
∴，
故A正确，不符合题意；
B、过点N作于点P，过点M作于点Q，
∵，，
∴，
∵，，
∴，
∴，
故B错误，符合题意；
C、由作图可得：，故C正确，不符合题意；
D、点E为上任意一点，过点E作于点G，于点H，
∵，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴上任意一点到两边的距离相等，
故D正确，不符合题意；
故选：B．
【点睛】本题主要考查了角平分线的作图，角平分线性质的证明，三角形全等的判定和性质，解题的关键是掌握全等三角形的判定方法，以及全等三角形对应边相等，对应角相等．
23．下列命题正确的是（ ）
A．三角形三条角平分线的交点到三角形三个顶点的距离都相等
B．两个锐角分别相等的两个直角三角形全等
C．如果，
D．分式的值不能为零
【答案】D
【分析】根据角平分线的性质对A选项进行判断；根据直角三角形全等的判定方法对B进行判断；利用当时，对C进行判断；根据分式的值为0的条件对D进行判断．
【详解】解：A.三角形三条角平分线的交点到三角形三边的距离都相等，故A选项错误，不符合题意；
B.两个锐角分别相等的两个直角三角形不一定全等，故B选项错误，不符合题意；
C.如果，当时，，故C选项错误，不符合题意；
D.分式的值不能为零，故D选项正确，符合题意；
故选：D．
【点睛】本题考查了命题与定理：要说明一个命题的正确性，一般需要推理、论证，而判断一个命题是假命题，只需要举出一个反例即可，也考查了分式的值为零的条件、直角三角形全等的判定、角平分线的性质、不等式的性质．
24．如图，在和中，，，，，连接，，延长交于点F，连接．下列结论：①；②；③；④平分．其中正确的结论个数有（ ）个．
A．4 B．3 C．2 D．1
【答案】B
【分析】先证明，可得，则，故①符合题意；如图，记的交点为，结合，可得，故③符合题意；在上可以是个动点，仍然满足中，，可得不一定等于，故②不符合题意；如图，作于，作于．由全等三角形的对应高相等可得：，证明，可得，则平分，故④符合题意．
【详解】解：∵，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∴，故①符合题意；
∴，
如图，记的交点为，
∵，
∴，故③符合题意；
∵在上可以是个动点，仍然满足中，，
∴不一定等于，故②不符合题意；
如图，作于，作于．
∵，
∴由全等三角形的对应高相等可得：，
∵，，
∴，
∴，
∴平分，故④符合题意；
故选B
【点睛】本题考查的是三角形的内角和定理的应用，全等三角形的判定与性质，作出合适的辅助线是解本题的关键．
25．如图，点P为定角平分线上的一个定点，且与互补．若在绕点P旋转的过程中，其两边分别与、相交于M、N两点，则以下结论中，不正确的是（ ）
A．的值不变 B．
C．的长不变 D．四边形的面积不变
【答案】C
【分析】如图作于E，于F，于，可证，所以，由平分，得证，于是，所以，同时，所以，，推出，进一步得到，，所以，故B正确；因为，故A正确；由三角形全等可知，所以定值，故D正确；M，N的位置变化，所以的长度是变化的，故C错误．
【详解】解：如图作于E，于F．
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵平分，于E，于F，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，
在和中，
∴，
∴，，
∵，，
∴，
∴定值，故D正确，
∵，故A正确，
∵M，N的位置变化，
∴的长度是变化的，故C错误．
∵，
∴，
∵与互补，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∵平分，
∴
∴，故B正确，
故选：C
【点睛】本题主要考查角平线的性质定理、全等三角形的判定和性质；能够结合角平分线的性质定理作出角平分线上点到两边的垂线段，构建全等三角形是解题的关键．
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