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第15章：分式（选择题）-2023-2024学年初中数学单元培优提升题型练习（人教版）
一、单选题
1．下列计算正确的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】根据分式的加法，乘除法则分别计算即可判断．
【详解】解：A、，故错误，不合题意；
B、，故错误，不合题意；
C、，故错误，不合题意；
D、，故正确，符合题意；
故选：D．
【点睛】本题考查了分式的运算，解题的关键是掌握分式的加法，乘除法以及乘方法则．
2．把分式中的和变为原来的，分式的值（ ）
A．扩大3倍 B．缩小3倍 C．是原来的 D．不变
【答案】A
【分析】根据分式的基本性质判断即可得到答案．
【详解】根据题意，得
．
故选：A．
【点睛】本题主要考查分式的基本性质（分式的分子与分母乘 （或除以）同一个不等于的整式，分式的值不变），牢记分式的基本性质是解题的关键．
3．下列式子从左到右变形正确的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】根据分式的基本性质逐项判断，注意乘除一个数或代数式的时候要保证不为0．
【详解】解：A． 当时，，故该选项不正确，不符合题意；
B． ，故该选项正确，符合题意；
C． ，当时成立，故该选项不正确，不符合题意；
D． ，当时成立，故该选项不正确，不符合题意；
故选：B．
【点睛】本题考查分式的基本性质，熟练掌握分式的分子分母同乘除一个不为0的数或代数式，分式的值不变是解题的关键．
4．在的值为零，则的取值是（ ）
A．6 B． C． D．0
【答案】C
【分析】直接利用分式的值为零，则分子为零且分母不为零即可解答．
【详解】 的值为零
且
故选C
【点睛】此题主要考察了分式的值为零，分子为零且分母不为零，正确把握相关定义是解答该题的关键．
5．已知，，则，的关系为（ ）
A． B． C． D．不能确定
【答案】C
【分析】利用分式的加减运算判断即可．
【详解】解：由,
,
比较可知：
故选：．
【点睛】此题考查了分式的运算，解题的关键是熟练掌握分式的运算及其应用．
6．若分式方程有增根，则a的值是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】分式方程去分母转化为整式方程，由分式方程有增根求出x的值，代入整式方程计算即可求出a的值．
【详解】解：去分母得：，
由分式方程有增根，得到或，
把代入整式方程得：，即；
把代入整式方程，无解，
则的值为，
故选：C．
【点睛】此题考查了分式方程的增根，增根确定后可按如下步骤进行：①化分式方程为整式方程；②把增根代入整式方程即可求得相关字母的值．
7．现有甲，乙，丙三种糖混合而成的什锦糖50千克，其中各种糖的千克数和单价如下表．
甲种糖 乙种糖 丙种糖
千克数 20 10 20
单价（元/千克） 15 20 25
商店以糖的平均价（平均价混合糖的总价格混合糖的总千克数）作为什锦糖的单价，要使什锦糖的单价每千克提高1元，则需再加入丙种糖 千克．
A．10 B． C．11 D．
【答案】D
【分析】设需再加入丙种糖千克，根据要使什锦糖的单价每千克提高1元列出分式方程，解之后检验，即可得出答案．
【详解】解：设需再加入丙种糖千克，
由题意得，
解得，
经检验，是分式方程的解，且符合题意，
故需要再加入丙种糖千克，
故选：D．
【点睛】本题考查了分式方程的应用，找准等量关系，正确列出分式方程是解题的关键．
8．若关于x的分式方程的解为非负数，则a的取值范围是（ ）．
A．且 B． C． D．且
【答案】A
【分析】利用解分式方程的一般步骤解出方程，根据题意列出不等式，解出不等式即可得到答案．
【详解】解：，
方程两边同时乘以得，
得，
，
由于解为非负数，
，
解得，
故答案为：且．
故选：A．
【点睛】本题考查的是分式方程的解，一元一次不等式的解法，掌握解分式方程的一般步骤，分式方程无解的判断方法是解题的关键．
9．若，则a，b，c，d的大小关系正确的是（ ）．
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】直接利用负整数指数幂的性质以及零指数幂的性质分别化简求解，然后比较即可解答．
【详解】解：∵，，，，
∴a、b、c、d的大小关系是：．
故选：D．
【点睛】本题主要考查负整数指数幂的性质、零指数幂的性质等知识点，正确化简各数是解题关键．
10．计算的结果为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】本题主要考查了单项式除以单项式，熟记法则是解答本题的关键．
【详解】解：
．
【点睛】根据单项式除以单项式的法则计算即可．
11．化简的结果为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】直接将括号里面通分运算，再利用分式的混合运算法则计算得出答案．
【详解】解：原式
．
故选：D．
【点睛】此题主要考查了分式的混合运算，正确掌握相关运算法则是解题关键．
12．我国古代著作四元玉鉴记载“买椽多少”问题：“六贯二百一十钱，倩人去买几株椽每株脚钱三文足，无钱准与一株椽．”其大意为：现请人代买一批掾，这批椽的价钱为文．如果每株掾的运费是文，那么少拿一株掾后，剩下的掾的运费恰好等于一株掾的价钱．根据题意可列方程，其中表示（ ）
A．剩余掾的数量 B．这批掾的数量 C．剩余椽的运费 D．每株掾的价钱
【答案】B
【分析】分析方程，可得出表示少拿一株掾后的运费，表示一株掾的价钱，进而可得出表示这批掾的数量．
【详解】解：每株掾的运费是文，那么少拿一株掾后，剩下的掾的运费恰好等于一株掾的价钱，
表示少拿一株掾后的运费，表示一株掾的价钱，
表示这批掾的数量．
故选：B．
【点睛】本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，根据所列方程，找出未知数的意义是解题的关键．
13．在正数范围内定义一种运算 “”，共规则为，如，根据这个规则，则方程的解为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】根据新定义列出方程，再计算即可．
【详解】∵，
∴，
，
解得，
经检验是原方程的根，
故选：A．
【点睛】本题除了定义运算外，还规定了解分式方程，需要注意检验．
14．分式方程有解，则的取值范围是（ ）
A． B． C．或 D．且
【答案】D
【分析】先求出m与x的关系，再根据分式方程有解的条件判断即可．
【详解】解：
方程两边同时乘以得：，
∴，
∵分式方程有解，
∴，
∴．
∵，
∴
∵分式方程有解，
∴且
∴且
∴，
∴，
综上可知，且，
故选D
【点睛】本题考查了根据分式方程解的情况求参数，解题的关键是找出增根．
15．将分式中的，的值同时扩大为原来的倍，则分式的值（ ）
A．扩大为原来的倍 B．扩大为原来的倍 C．不变 D．扩大为原来的倍
【答案】B
【分析】将分式中的，的值同时扩大为原来的倍，进行计算后，再与原分式进行比较得出答案．
【详解】解：将分式中的，的值同时扩大为原来的倍，原分式可变为，
因此分式的值较原来扩大了倍，
故选：B．
【点睛】本题考查分式的基本性质，掌握分式的基本性质是正确判断的前提．
16．若关于的方程的解为，则等于（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】将代入方程，求出的值即可．
【详解】解：是方程的解，
，
解得：，
经检验，是方程的解，
故选：．
【点睛】本题考查了分式方程的解和解分式方程，掌握解分式方程的方法是解答本题的关键，注意解分式方程最后的验根．
17．若关于的方程有增根，则的值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】首先将原分式方程去分母化为整式方程得到，，并进一步整理，由方程有增根，可知是方程的增根，将代入得到的整式方程中，计算即可得出结论．
【详解】由得：，
∴，
∵方程有增根，
∴，即，
解得：，
故选：．
【点睛】此题考查了分式方程及增根的定义知识，熟练掌握分式方程的解法是关键．
18．如图，P为内一点，连接并延长分别交边于点D、E、F，则把分成六个小三角形，其中四个小三角形面积已在图上标明，则的面积为（ ）
A．62 B．64 C．60 D．58
【答案】C
【分析】根据等高不等底的三角形的面积的比等于底边的比列出方程组，求解，从而求得的面积．
【详解】解：设的面积为x，的面积为y，
由等高不等底的三角形的面积的比等于底边的比，
得：，即，
，即，
∴，
同理可得，，即，
，即，
∴
两式联立解得：，
∴的面积．
故选：C．
【点睛】本题考查三角形面积的知识，难度不大，解二元一次方程组，关键是设出未知三角形的面积，然后根据等高不等底的三角形的面积的比等于底边的比列式求解．
19．当分别取值时，求出代数式的值，然后将所求得的这些结果相加，其和等于（ ）
A．1 B．2020 C． D．0
【答案】C
【分析】先把和代入代数式，并对代数式化简，得到它们的和为1，然后把代入代数式求出代数式的值，再把所得的结果相加求出所有结果的和．
【详解】因为将一对倒数代入代数求和得，即当x分别取值，为正整数时，计算所得的代数式的值之和为1；而当时，．
所以，当x分别取值、、，…，、1、2，…，2019、2020、2021时， 计算所得各代数式的值之和为2020个1的和再加上即是．
故选择：C
【点睛】本题考查的是代数式的求值，本题的x的取值较多，并且除外，其它的数都是成对的且互为倒数，把互为倒数的两个数代入代数式得到它们的和为1，观察数据特征，找出各数据代入代数式求值后的关系是解题的关键．
20．下列叙述中，正确的有（ ）
①若等腰三角形的两边分别为和，则周长为或；
②满足条件的不存在；
③任意一个三角形的三条高所在的直线相交于一点，且这点一定在三角形的内部；
④中，若，，则这个为钝角三角形．
A．个 B．个 C．个 D．个
【答案】B
【分析】①根据等腰三角形的边长需要满足三角形的三边关系进行判断；②根据幂的运算法则以及负整数指数幂的定义进行判断；③根据三角形的高线的概念进行判断；④根据三角形内角和定理以及钝角三角形的定义进行判断．
【详解】解：①若等腰三角形的两边分别为4和10，等腰三角形的三边长为4，10，10，则周长为24，故①错误；
②当时，成立，故而错误；
③锐角三角形的三条高所在的直线相交于一点，且这点一定在三角形的内部，而钝角三角形的三条高所在的直线相交于三角形外部一点，故③错误；
④根据，，
∴，
∴，即为钝角三角形，故④正确．
故选：B．
【点睛】本题主要考查了负整数指数幂的定义、三角形的高及钝角三角形的定义．解题时注意：等腰三角形的三边长需要满足三角形的三边关系．任意一个三角形的三条高所在的直线相交于一点，但这点不一定在三角形的内部．
21．若关于x的方程的解为正数，则m的取值范围是( )
A． B．且 C． D．且
【答案】B
【分析】先解关于x的方程得到用m的代数式表达的x的值，再根据原方程的解为正数，列出关于m的不等式组，解此不等式组即可求得m的取值范围．
【详解】解：由题意可知
解关于x的方程得：，
∵关于x的方程的解为正数，
∴ ，
解得：且．
故选：B．
【点睛】本题考查分式方程的根，解不等式组，解题的关键是理解m的取值需同时满足以下两个条件：（1）解关于x的方程所得的不能是增根，即；（2）．
22．若关于x的分式方程有增根，则a的值是（ ）
A．2 B．1 C． D．
【答案】D
【分析】去分母化分式方程为整式方程，根据原分式方程有增根得到分母，代入所化成的整式方程得到a的值．
【详解】去分母，
得，
∵关于x的分式方程有增根，
∴，
∴，
故选D．
【点睛】本题主要考查了由分式方程的增根确定字母系数的问题．熟练掌握分式方程的增根满足：原分式方程的分母为0，是所化成的整式方程的根．是解题的关键．
23．某农场开挖一条长480米的渠道，开工后每天比原计划多挖20米，结果提前4天完成任务，若设原计划每天挖x米，那么下列方程中正确的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】根据题意列出方程即可．
【详解】由题意得：
．
故答案为：C．
【点睛】本题考查了分式方程的实际应用，掌握解分式方程的方法是解题的关键．
24．若关于x的分式方程有增根，则m的值为（ ）
A．1 B．﹣2 C．1或 D．或2
【答案】C
【分析】分式方程去分母转化为整式方程，由分式方程有增根，得到最简公分母为0，求出x的值，代入整式方程求出m的值即可．
【详解】解：去分母得：，
由分式方程有增根，得到或，
把代入整式方程得：
解得：；
把代入整式方程得：，
解得：；
故选：C．
【点睛】此题考查了分式方程的增根，增根问题可按如下步骤进行：①让最简公分母为0确定增根；②化分式方程为整式方程；③把增根代入整式方程即可求得相关字母的值．
25．我国是一个水资源贫乏的国家，每一个公民都应自觉养成节约用水的意识和习惯，为提高水资源的利用率，某住宅小区安装了循环用水装置．经测算，原来a天用水b吨，现在这些水可多用4天，现在每天比原来少用水（ ）
A．吨 B．吨 C．吨 D．吨
【答案】C
【分析】分别求出原来平均每天用水吨数和现在平均每天用水吨数，用原来平均每天用水吨数减去现在平均每天用水吨数，即得．
【详解】原来a天用水b吨，原来平均每天用水吨，
现在这些水可多用4天，现在平均每天用水吨，
现在平均每天比原来少用水，（吨）．
故选：C．
【点睛】本题主要考查了列代数式，解决问题的关键是熟练列出用水量相同，用水时间不同的平均每天用水量的计算表达式．
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第15章：分式（选择题）-2023-2024学年初中数学单元培优提升题型练习（人教版）
一、单选题
1．下列计算正确的是（ ）
A． B． C． D．
2．把分式中的和变为原来的，分式的值（ ）
A．扩大3倍 B．缩小3倍 C．是原来的 D．不变
3．下列式子从左到右变形正确的是（ ）
A． B． C． D．
4．在的值为零，则的取值是（ ）
A．6 B． C． D．0
5．已知，，则，的关系为（ ）
A． B． C． D．不能确定
6．若分式方程有增根，则a的值是（ ）
A． B． C． D．
7．现有甲，乙，丙三种糖混合而成的什锦糖50千克，其中各种糖的千克数和单价如下表．
甲种糖 乙种糖 丙种糖
千克数 20 10 20
单价（元/千克） 15 20 25
商店以糖的平均价（平均价混合糖的总价格混合糖的总千克数）作为什锦糖的单价，要使什锦糖的单价每千克提高1元，则需再加入丙种糖 千克．
A．10 B． C．11 D．
8．若关于x的分式方程的解为非负数，则a的取值范围是（ ）．
A．且 B． C． D．且
9．若，则a，b，c，d的大小关系正确的是（ ）．
A． B．
C． D．
10．计算的结果为（ ）
A． B． C． D．
11．化简的结果为（ ）
A． B． C． D．
12．我国古代著作四元玉鉴记载“买椽多少”问题：“六贯二百一十钱，倩人去买几株椽每株脚钱三文足，无钱准与一株椽．”其大意为：现请人代买一批掾，这批椽的价钱为文．如果每株掾的运费是文，那么少拿一株掾后，剩下的掾的运费恰好等于一株掾的价钱．根据题意可列方程，其中表示（ ）
A．剩余掾的数量 B．这批掾的数量 C．剩余椽的运费 D．每株掾的价钱
13．在正数范围内定义一种运算 “”，共规则为，如，根据这个规则，则方程的解为（ ）
A． B． C． D．
14．分式方程有解，则的取值范围是（ ）
A． B． C．或 D．且
15．将分式中的，的值同时扩大为原来的倍，则分式的值（ ）
A．扩大为原来的倍 B．扩大为原来的倍 C．不变 D．扩大为原来的倍
16．若关于的方程的解为，则等于（ ）
A． B． C． D．
17．若关于的方程有增根，则的值为（ ）
A． B． C． D．
18．如图，P为内一点，连接并延长分别交边于点D、E、F，则把分成六个小三角形，其中四个小三角形面积已在图上标明，则的面积为（ ）
A．62 B．64 C．60 D．58
19．当分别取值时，求出代数式的值，然后将所求得的这些结果相加，其和等于（ ）
A．1 B．2020 C． D．0
20．下列叙述中，正确的有（ ）
①若等腰三角形的两边分别为和，则周长为或；
②满足条件的不存在；
③任意一个三角形的三条高所在的直线相交于一点，且这点一定在三角形的内部；
④中，若，，则这个为钝角三角形．
A．个 B．个 C．个 D．个
21．若关于x的方程的解为正数，则m的取值范围是( )
A． B．且 C． D．且
22．若关于x的分式方程有增根，则a的值是（ ）
A．2 B．1 C． D．
23．某农场开挖一条长480米的渠道，开工后每天比原计划多挖20米，结果提前4天完成任务，若设原计划每天挖x米，那么下列方程中正确的是（ ）
A． B． C． D．
24．若关于x的分式方程有增根，则m的值为（ ）
A．1 B．﹣2 C．1或 D．或2
25．我国是一个水资源贫乏的国家，每一个公民都应自觉养成节约用水的意识和习惯，为提高水资源的利用率，某住宅小区安装了循环用水装置．经测算，原来a天用水b吨，现在这些水可多用4天，现在每天比原来少用水（ ）
A．吨 B．吨 C．吨 D．吨
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