卷子答案网-一个不只有答案的网站2022-2023学年吉林省四平市铁西区八年级（下）期中数学试卷
一、选择题（本大题共6小题，共12.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）
1. 下列根式是最简二次根式的是( )
A. B. C. D.
2. 下列各式中，从左向右变形正确的是( )
A. B.
C. D.
3. 在中，、、分别是、、的对边，不能组成直角三角形的是( )
A. 三边之比：：：：
B. 三边长满足
C. 三角之比：：：：
D. 三边长满足
4. 已知直线，如图，下列哪条线段的长可以表示直线与之间的距离( )
A. 只有
B. 只有
C. 和均可
D. 和均可
5. 如图，在平行四边形中，平分，交边于，，，则的长为( )
A. B. C. D.
6. 工人师傅在做门窗或矩形零件时，不仅要测量两组对边的长度是否分别相等，常常还要测量它们的两条对角线是否相等，以确保图形是矩形这样做的道理是( )
A. 两组对边分别相等的四边形是矩形 B. 有一个角是直角的平行四边形是矩形
C. 对角线相等的四边形是矩形 D. 对角线相等的平行四边形是矩形
二、填空题（本大题共8小题，共24.0分）
7. 若在实数范围内有意义，则实数的取值范围是 ．
8. 若三角形的边长分别为、、，则它的最长边上的中线为______ ．
9. 若与最简二次根式可以合并，则 ______ ．
10. 如图，某数学兴趣小组为测量学校与河对岸工厂之间的距离，在学校附近选一点，利用测量仪器测得，，据此，可求得学校与工厂之间的距离等于______．
11. 如图，在四边形中，对角线、交于点，，请添加一个条件：______，使四边形为平行四边形不添加任何辅助线．
12. 如图，菱形的对角线、相交于点，，，为过点的一条直线，则图中阴影部分的面积为______ ．
13. 如图，在正方形内部作等边，连接则的度数为______．
14. 如图，正方形的面积为，菱形的面积为，则的长是______ ．
三、计算题（本大题共2小题，共10.0分）
15. 计算：
16. ．
四、解答题（本大题共10小题，共74.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
17. 本小题分
计算：．
18. 本小题分
已知，求的值．
19. 本小题分
如图，在的正方形网格中，每个小方格的顶点叫做格点，以格点为顶点按下列要求画图．
在图中，画一个面积为的平行四边形；
在图中，画一个面积为的正方形；
在图中，画一个三边长分别为，，的三角形．
20. 本小题分
下面是小华同学解答题目的过程，请认真阅读并完成相应任务．
计算：．
解：原式第一步
第二步
第三步
任务一：以上步骤中，从第______ 步开始出现错误，
这一步错误的原因是______ ．
任务二：请写出正确的计算过程．
21. 本小题分
如图，点是内部一点，连接，，并将边，，，的中点，，，顺次连接，构成四边形，求证：四边形是平行四边形．
22. 本小题分
小颖爸爸为了丰富活动，为小区里的小朋友们搭了一架简易秋千如图，秋千在静止位置时，下端距离地面，即，当秋千荡到的位置时，下端距离地面，即，与静止位置的水平距离，求秋千的长．
23. 本小题分
问题情景：请认真阅读下列这道例题的解法．
例：已知，求，的值．
解：由，得 ______ ， ______ ；
尝试应用：若，为实数，且，化简：．
拓展创新：已知，求的值．
24. 本小题分
如图，正方形，是对角线上一动点，点不与点、点重合，，且，连接，，．
求证：≌；
请直接写出与之间的数量关系；
若，请直接写出长度的最小值．
25. 本小题分
问题引入：如图，，，，是线段的中点连结并延长交于点，连结．
判断与之间的数量关系，并说明理由．
问题延伸：如图，在菱形和菱形中，点、、在同一条直线上，点在上，是线段的中点，连结、，且．
判断与之间的位置关系，并说明理由．
连结，若，，则的长为______ ．
26. 本小题分
如图，平行四边形的对角线，交于点，平分，交于点，连接，且，设．
求证：；
若，请判断的形状，并说明理由；
在的条件下，当时，请求出平行四边的面积；
设，请直接写出与满足的关系．
答案和解析
1.【答案】
【解析】解：、，故A不符合题意；
B、，故B不符合题意；
C、，故C不符合题意；
D、是最简二次根式，故D符合题意；
故选：．
根据最简二次根式的定义，即可判断．
本题考查了最简二次根式，熟练掌握最简二次根式的定义是解题的关键．
2.【答案】
【解析】解：．，此选项错误；
B.，此选项计算正确；
C.，此选项错误；
D.，此选项错误；
故选：．
根据二次根式的性质和运算法则逐一判断即可得．
本题主要考查二次根式的混合运算，解题的关键是掌握二次根式的性质和运算法则．
3.【答案】
【解析】解：、因为：：：：，设，，，，故是直角三角形，此选项不符合题意；
B、因为，所以，故是直角三角形，此选项不符合题意；
C、：：：：，且，所以，故是直角三角形，此选项不符合题意；
D、三边长满足，无法判定是直角三角形，此选项符合题意；
故选：．
利用直角三角形的定义和勾股定理的逆定理逐项判断即可．
本题考查了勾股定理的逆定理：如果三角形的三边长，，满足，那么这个三角形就是直角三角形．也考查了三角形内角和定理．
4.【答案】
【解析】解：从一条平行线上的任意一点到另一条平行线作垂线，垂线段的长度叫两条平行线之间的距离，
线段和都可以示直线与之间的距离，
故选：．
由平行线之间的距离的定义判定即可得解．
本题考查了平行线之间的距离，熟记平行线之间的距离的概念是解题的关键．
5.【答案】
【解析】解：四边形是平行四边形，
，，
，
平分，
，
，
，
，
故选：．
先由平行四边形的性质得，，再证，即可求解．
本题考查了平行四边形的性质，等腰三角形的判定等知识，解题的关键是灵活应用这些知识解决问题．
6.【答案】
【解析】解：两组对边相等的四边形是平行四边形，对角线相等的平行四边形是矩形，
不仅要测量两组对边的长度是否分别相等，常常还要测量它们的两条对角线是否相等，以确保图形是矩形，
故选：．
先平行四边形的判定、矩形的判定进行解答即可．
本题考查了矩形的判定以及平行四边形的判定与性质；熟练掌握矩形的判定和平行四边形的判定是解题的关键．
7.【答案】
【解析】解：由题意得：，
解得：，
故答案为：．
根据二次根式的被开方数是非负数列出不等式，解不等式得到答案．
本题考查的是二次根式有意义的条件，掌握二次根式的被开方数是非负数是解题的关键．
8.【答案】
【解析】解：，
此三角形是直角三角形，
它的最长边上的中线为．
故答案为：．
首先根据三角形的三边长证明三角形是直角三角形，再根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半即可得到答案．
此题主要考查了勾股定理逆定理，以及直角三角形斜边上的中线的性质，关键是熟练掌握勾股定理的逆定理：如果三角形的三边长，，满足，那么这个三角形就是直角三角形．
9.【答案】
【解析】解：，
与最简二次根式可以合并，
，
解得：．
故答案为：．
根据二次根式的性质得出，根据同类二次根式的定义得出，再求出即可．
本题考查了最简二次根式和同类二次根式，能得出方程是解此题的关键，几个二次根式化成最简二次根式以后，如果被开方数相同，那么这几个二次根式叫同类二次根式．
10.【答案】
【解析】解：，，，
，
，
．
故学校与工厂之间的距离是．
故答案为：．
直接利用直角三角形的性质得出度数，进而利用直角三角形中所对直角边是斜边的一半，根据勾股定理即可得出答案．
此题主要考查了勾股定理的应用，直角三角形的性质，正确掌握边角关系是解题关键．
11.【答案】答案不唯一
【解析】解；当，时，四边形为平行四边形．
故答案为：答案不唯一．
直接利用平行四边形的判定方法直接得出答案．
此题主要考查了平行四边形的判定，正确掌握平行四边形的判定方法是解题关键．
12.【答案】
【解析】解：四边形为菱形，
，，，
，
≌，
，
，
，
故答案为：．
根据菱形的性质可证出≌，可将阴影部分面积转化为的面积，根据菱形的面积公式计算即可．
此题考查了菱形的性质，菱形的面积公式，全等三角形的判定，将阴影部分的面积转化为的面积为解题关键．
13.【答案】
【解析】解：是等边三角形，
，
四边形是正方形，
，
，
故答案为：．
根据等边三角形的性质可得，根据正方形的性质可得，从而得到，再根据等边对等角可得，然后求出，再求出的度数即可．
本题考查了正方形的性质，等边三角形的性质，等腰三角形的判定与性质，熟记各性质并准确识图是解题的关键．
14.【答案】
【解析】解：连接，
正方形的面积为，
，
解得，
菱形的面积为，
，
即，
解得，
故答案为：．
连接，由正方形的面积可求解的长，再根据菱形的面积即可求解的长．
本题考查了正方形的性质，菱形的性质，掌握菱形的面积公式是解题的关键．
15.【答案】解：原式．
【解析】先将各项化为最简二次根式，再合并同类二次根式即可．
本题主要考查二次根式的加减，正确将各式化为最简二次根式是解题的关键．
16.【答案】解：原式
．
【解析】利用平方差公式进行计算．
本题考查了二次根式的混合运算：先把各二次根式化为最简二次根式，在进行二次根式的乘除运算，然后合并同类二次根式．
17.【答案】解：
．
【解析】先化简，再算除法，最后算加法即可．
本题主要考查二次根式的混合运算，解答的关键是对相应的运算法则的掌握．
18.【答案】解：
两边平方得
【解析】将变形为，通过平方凑出的值，整体代入即可．
本题考查整式运算，运用的整体代入的方法可以简化运算．
19.【答案】解：如图中，平行四边形即为所求；
如图中，正方形即为所求；
如图中，即为所求．
【解析】利用数形结合的思想画出图形即可；
作一个边长为的正方形即可；
利用数形结合的思想画出图形即可．
本题考查作图应用与设计作图，勾股定理，平行四边形的判定和性质，正方形的判定和性质等知识，解题的关键是学会利用数形结合的思想解决问题，属于中考常考题型．
20.【答案】一 利用二次根式的性质化简出现错误
【解析】解：原式
．
计算从第一步出现错误，出现错误的原因是被开方数表示，而不是．
故答案为：一，利用二次根式的性质化简出错．
正解：原式
．
利用二次根式的运算法则求解，通过计算过程得结论．
本题主要考查了二次根式的运算，掌握二次根式的运算法则是解决本题的关键．
21.【答案】证明：，分别是，的中点，
是的中位线，
，．
，分别是，的中点，
是的中位线，
，．
，，
四边形是平行四边形．
【解析】证明是的中位线，得出，同理是的中位线，得出，则，即可得出结论．
本题考查了平行四边形的判定以及三角形中位线定理等知识；熟练掌握平行四边形的判定是解题的关键．
22.【答案】解：作于，
由题意知，，，
设，则，
在中，由勾股定理得，
，
解得，
秋千的长为．
【解析】作于，设，则，在中，利用勾股定理列方程可得答案．
本题主要考查了勾股定理的实际应用，运用勾股定理列方程是解题的关键．
23.【答案】
【解析】解：解不等式组得，
．
故答案为：，；
由，
解得：，
．
；
由：，
解得：，
，
，
．
解不等式组即可求出和的值；
根据例题的解法，列出不等式组，即可求得，，进而化简代数式即可；
根据例题的解法，列出不等式组，即可求得，，进而求出即可．
本题考查了二次根式有意义的条件，二次根式中被开方数的取值范围：二次根式中的被开方数是非负数．
24.【答案】证明：四边形是正方形，
，，
，
，
，
在和中，
，
≌；
解：；理由如下：
由知，≌，
，，
，
，
即，
是等腰直角三角形，
；
解：过作于，如图：
由知，，
当最小时，最小，
当运动到时，最小，最小值即为的长度，
此时最小值为，
，，
，
最小值为，
即的最小值为．
【解析】根据正方形的性质证，然后根据证≌即可；
证是等腰直角三角形即可得出结论；
过作于，得出当运动到时，最小，最小值即为的长度，此时最小值为，求出此时的即可．
本题主要考查四边形综合题，熟练掌握全等三角形的判定和性质，正方形的性质，等腰直角三角形的性质等知识是解题的关键．
25.【答案】
【解析】解：，理由如下：
，
，
是的中点，
，
在和中，
，
≌，
，
，
为斜边上的中线，
，
；
问题延伸：，
理由如下：延长交于点，
四边形，为菱形，
，，
，
为的中点，
，
在和中，
≌，
，，
菱形和菱形，
，，
，
，
是等腰三角形底边中线，
；
由可知，，，
，
，
四边形是菱形，
，
，
，
过点作于点，
，
，
，
，
．
故答案为：．
证明≌，由全等三角形的性质得出，由直角三角形的性质得出，则可得出结论；
延长交于点，证明≌，由全等三角形的性质得出，，证出，由等腰三角形的性质得出结论；
求出，过点作于点，由直角三角形的性质可得出答案．
本题是四边形综合题，考查了菱形的性质，等腰三角形的性质，直角三角形的性质，全等三角形的判定及性质，证明三角形全等是解答本题的关键．
26.【答案】证明：四边形是平行四边形，
，，
平分，
，
是等边三角形
；
解：是直角三角形，理由如下：
，
，
，
，
，
是等边三角形，
，
，
，
是直角三角形；
解：在的条件下，
是直角三角形，，
当时，
，
，
四边形是平行四边形，
；
解：四边形是平行四边形，
，，
是等边三角形，
，
的边上的高等于的边上的高的一半，底等于的倍，
设边上的高为，的长为，
，
，
，
，
，
，
．
【解析】根据 中，，可得是等边三角形，进而可以证明结论；
根据，可得，证明，即可判断的形状；
在的条件下，再利用含度角的直角三角形的性质，根据，求得，根据进而得平行四边的面积；
根据四边形是平行四边形，可得，，由是等边三角形，可得，由的边上的高等于的边上的高的一半，底等于的倍，设边上的高为的长为，分别表示出四边形和三角形的面积，进而可得与满足的关系．
本题考查了平行四边形的性质等边三角形的判定和性质三角形的面积公式，含的直角三角形的面积等理解题意，找准数量关系是解决问题的关键．
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