卷子答案网-一个不只有答案的网站临沂市重点中学2024届高三上学期第一次调研考试
数 学2023年8月
一、单项选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1. 设集合A＝{x∈Z|－1≤x≤2}，B＝{x|x2＜1}，则A∩B＝( )
A. {－1，0，1} B. {0} C. {－1，0} D. {－1，0，1，2}
2. 若复数z满足2z＋|z|＝2i，则z在复平面上对应的点位于( )
A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限
3. 设a，b∈R，则“ln a＞ln b”是“ln ＞0”的( )条件
A. 充分不必要 B. 必要不充分 C. 充要 D. 既不充分也不必要
4. 在中, 已知向量, ,
则的值为( )
A． B． C． D．
5. 若a＝，b＝log3e，，则( )
A. a＞b＞c B. c＞a＞b C. a＞c＞b D. c＞b＞a
6. 如图，AB是单位圆O的直径，点C，D是半圆弧AB上的两个三等分点，则·＝( )
A. 1 B. C. D.
7. 已知函数，，若对于任意实数，与的值至少有一个为正数，则实数的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
8. 定义在R上的偶函数f(x)在[0，1]上单调递减，且满足f(x＋1)＝－f(x)，f(π)＝1，
f(2π)＝2，则不等式组的解集为( )
A. [1，] B. [2π－6，4－π] C. [π－2，] D. [π－2，8－2π]
二、多项选择题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对得5分，部分选对得3分，有选错的得0分．
9. 下列结论正确的是( )
A．若·＜0，则△ABC是钝角三角形 B. 若a∈R，则a＋≥2
C. x∈R，x2－2x＋1＞0 D. 若P，A，B三点满足＝＋，则P，A，B三点共线
10. 某同学在研究函数时，给出下面几个结论中正确的有（ ）
A．的图象关于点对称 B．若，则
C．函数有三个零点 D．的值域为
11. 已知数列{an}的前n项和为Sn，且a1＝p，2Sn－Sn－1＝2p(n≥2，p为非零常数)，则下列结论正确的是( )
A. {an}是等比数列 B. 当p＝1时，S4＝
C. 当p＝时，am·an＝am＋n D. |a3|＋|a8|＝|a5|＋|a6|
12. 记函数f(x)与g(x)的定义域的交集为I，若存在x0∈I，使得对任意x∈I，不等式
[f(x)－g(x)](x－x0)≥0恒成立，则称(f(x)，g(x))构成“相关函数对”．下列所给的两个函数构成“相关函数对”的有( )
A. f(x)＝ex，g(x)＝x＋1 B. f(x)＝ln x，g(x)＝
C. f(x)＝x，g(x)＝x2 D. f(x)＝，g(x)＝()x
三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．
13. 已知向量a＝(1，2)，b＝(4，－7)．若a∥c，a⊥(b＋c)，则|c|＝________．
14. 已知函数f(x)＝acosx，g(x)＝x2＋bx＋2.若曲线y＝f(x)与y＝g(x)在公共点(0，m)处有公切线，则a＋b＝________．
15. 如图是古希腊数学家希波克拉底研究的几何图形，此图由三个半圆构
成，直径分别为Rt△ABC的斜边AB、直角边BC，AC，点N为AC的中
点，点D在以AC为直径的半圆上．已知以直角边AC，BC为直径的两
个半圆的面积之比为3，sin∠DAB＝，则cos∠DNC＝________．
16. 任取一个正整数，若是奇数，就将该数乘3再加上1；若是偶数，就将该数除以2.反复进行上述两种运算，经过有限次步骤后，必进入循环圈1→4→2→1，这就是数学史上著名的“冰雹猜想”(又称“角谷猜想”)．如取正整数6，根据上述运算法则得出6→3→10→5→16→8→4→2→1，共需要共8个步骤变成1(简称为8步“雹程”)．现给出冰雹猜想的递推关系如下：
已知数列{an}满足：a1＝m(m为正整数)，an＋1＝
当m＝13时，试确定使得an＝1需要________步雹程；
若a7＝1，则m所有可能的取值所构成的集合M＝_____．(本题第一空2分，第二空3分)
四、解答题：本大题共6小题，共70分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
17. (本小题满分10分)
已知a，b，c是的内角A，B，C的对边，且．
（1）求角B的大小；
（2），，求的取值范围．
18.(本小题满分12分)
已知函数f(x)＝(sinωx＋cosωx)cosωx－a(ω＞0)的最小正周期为4π，最大值为1.
（1）求ω，a的值，并求f(x)的单调递增区间；
（2）将f(x)图象上所有点的纵坐标不变，横坐标缩短为原来的倍，再将得到的图象上所有点向右平移个单位长度，得到g(x)的图象．若x∈(0，π)，求满足g(x)≥的x的取值范围．
19.(本小题满分12分)
已知函数f(x)＝－x3＋ax2＋bx＋ab.
（1）若f(x)是奇函数，且有3个零点，求b的取值范围；
（2）若f(x)在x＝1处有极大值－，求当x∈[－1，2]时f(x)的值域．
20.(本小题满分12分)
某化工厂引进一条先进生产线生产某种化工产品，其生产的总成本y(万元)与年产量x(吨)
之间的函数关系式可以近似地表示为y＝－48x＋8 000，已知此生产线年产量最大为210吨．
（1）求年产量为多少吨时，生产每吨产品的平均成本最低，并求最低成本；
（2）若每吨产品平均出厂价为40万元，那么当年产量为多少吨时，可以获得最大利润？最大利润是多少？
21. (本小题满分12分)
已知等比数列的前项和为成等差数列，且.
（1）求数列的通项公式；
（2）若，求数列的前项和.
22.(本小题满分12分)
已知函数f(x)＝ln x－mx＋1，g(x)＝x(ex－2)．
（1）若f(x)的最大值是0，求m的值；
（2）若对其定义域内任意x，f(x)≤g(x)恒成立，求m的取值范围.
临沂市重点中学2024届高三上学期第一次调研考试
数 学答案
1. B 2. B 3. A 4. C 5. B 6. C 7. D 8. D 9. AD 10. AC 11. ABC 12. BD
13. 2 14. 2 15. 16. 9 {1，8，10，64}
17. 解：（1）因为，
得，
即，
又角A、B为的内角
得，即， ∴.……………………………………4分
（2），，
∴
…………………………………………………………8分
∵，
∴， ，∴，
∴
∴为的取值范围.………………………………………………10分
18. 解：(1) 由题意f(x)＝sin 2ωx＋cos 2ωx＋－a＝sin(2ωx＋)＋－a，………2分
∴＝4π，1＋－a＝1，解得ω＝，a＝， ∴ f(x)＝sin(＋)．
令2kπ－≤＋≤2kπ＋，k∈Z，
∴ 4kπ－≤x≤4kπ＋，k∈Z，
∴函数f(x)的单调递增区间为[4kπ－，4kπ＋](k∈Z)．………………………6分
(2) 由题意得g(x)＝sin(x－)．∵ sin(x－)≥，
∴ 2kπ＋≤x－≤2kπ＋，k∈Z，
∴ 2kπ＋≤x≤2kπ＋，k∈Z.(10分)
∵ x∈(0，π)，∴≤x≤，故x的取值范围是[，]．……………………12分
19. 解：(1) ∵ f(x)是定义域为R的奇函数，∴ a＝0，且f(0)＝0.
∴ f(x)＝－x3＋bx，∴ f′(x)＝－x2＋b.
当b≤0时，f′(x)＝－x2＋b≤0，此时f(x)在R上单调递减，…………………………2分
f(x)在R上只有1个零点，不合题意．
当b＞0时，令f′(x)＝－x2＋b＞0，解得－＜x＜，
∴ f(x)在(－∞，－)，(＋∞)上单调递减，在(－，)上单调递增．
∵ f(x)在R上有3个零点，
∴ f()＞0且f(－)＜0，即f()＝－()3＋b＞0，即b＞0.
而b＞0恒成立，∴ b＞0.
∴实数b的取值范围是(0，＋∞)．……………………………………………………6分
(2) f′(x)＝－x2＋2ax＋b，
由已知可得f′(1)＝－1＋2a＋b＝0，且f(1)＝－＋a＋b＋ab＝－，解得或
当a＝2，b＝－3时，f(x)＝－x3＋2x2－3x－6，f′(x)＝－x2＋4x－3.
令f′(x)≥0，即－x2＋4x－3≥0，解得1≤x≤3，
易知x＝1是f(x)的极小值点，与题意不符．
当a＝－2，b＝5时，f(x)＝－x3－2x2＋5x－10，f′(x)＝－x2－4x＋5.
令f′(x)≥0，即－x2－4x＋5≥0，解得－5≤x≤1，
易知x＝1是f(x)的极大值点，符合题意，故a＝－2，b＝5.
∵ x∈[－1，2]，∴ f(x)在[－1，1]上单调递增，在[1，2]上单调递减．
又f(－1)＝－，f(1)＝－，f(2)＝－.
∴ f(x)在[－1，2]上的值域为[－，－]．……………………………………12分
20、解：(1)每吨平均成本为(万元)．则＝＋－48≥2－48＝32，
当且仅当＝，即x＝200时取等号．
∴年产量为200吨时，每吨平均成本最低为32万元．…………………………6分
(2)设年获得总利润为R(x)万元，
则R(x)＝40x－y＝40x－＋48x－8 000＝－＋88x－8 000＝－(x－220)2＋1 680 (0≤x≤210)．∵R(x)在[0,210]上是增函数，
∴x＝210时，R(x)有最大值为－(210－220)2＋1 680＝1 660.
∴年产量为210吨时，可获得最大利润1 660万元．
即汽车的行驶速度应限制在20米/秒以下，即72千米/小时以下．………………12分
21. 解：（1）设等比数列的公比为，
由成等差数列知，，所以，即.
又，所以，所以，
所以等比数列的通项公式.………………………………………………6分
（2）由（1）知 ，所以
所以数列的前 项和：
所以数列的前项和……………………………………12分
22. 解：(1) ∵ f(x)的定义域为(0，＋∞)，f′(x)＝－m.(1分)
若m≤0，f′(x)>0，f(x)在定义域内单调递增，无最大值；
若m>0，x∈(0，)，f(x)单调递增；x∈(，＋∞)，f(x)单调递减．
∴ x＝时，f(x)取得最大值f()＝ln ＝0，∴ m＝1.…………………………4分
(2) 原式恒成立，即ln x－mx＋1≤x(ex－2)在(0，＋∞)上恒成立，
即m－2≥－ex在(0，＋∞)上恒成立．
设φ(x)＝－ex，则φ′(x)＝－.
设h(x)＝x2ex＋ln x，则h′(x)＝(x2＋2x)ex＋>0，
∴ h(x)在(0，＋∞)上单调递增，且h()＝，h(1)＝e>0.
∴ h(x)有唯一零点x0，且＋ln x0＝0，
即x0＝.
两边同时取对数，得x0＋ln x0＝ln(－ln x0)＋(－ln x0)，易知y＝x＋ln x是增函数，
∴ x0＝－ln x0，即＝.
由φ′(x)＝－，知φ′(x)在(0，x0)上单调递增，在(x0，＋∞)上单调递减，
∴ φ(x)≤φ(x0)＝－＝－＝－1，
∴ m－2≥－1，∴ m≥1，
故m的取值范围是[1，＋∞)．………………………………………………………12分
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