卷子答案网-一个不只有答案的网站任意角和弧度制--单元检测 转载请注明出处卷子答案网-一个不只有答案的网站 » 数学人教A版（新课标）高中必修第一册 5.1 任意角与弧度制--单元检测（含解析）
一、单项选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．下列各角中，与2021°终边相同的角为（ ）
A．43° B．131° C．221° D．－229°
2．终边在直线上的角的集合为( )
A. B.
C. D.
3．设角弧度，则角的终边所在的象限是( )
A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限
4．已知α=15°，β=，γ=1，θ=105°，,则α，β，γ，θ，的大小关系为（）
A.α<β<γ<θ= B.α<β<γ<θ< C.β<α<γ<θ= D.α<β<<γ<θ
5．已知α为钝角，则下列各角中为第三象限角的是( )
A. B. C. D.
6．时针转过的角度是－80°，则相应的分针转过的角度是( )
A.880° B.－880° C.960° D.－960°
7．如图1，在扇形AOB中，∠AOB=90°，圆弧AB的长为l，则此扇形的内切圆的面积为（）
A. B. C. D.
8．已知α，β都是锐角，且的终边与角的终边相同，的终边与角的终边相同，则角α，β的大小为（）
A.α=15°，β=65° B.α=65°，β=15° C.α=－65°，β=－15° D.α=－15°，β=－65°
二、多项选择题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．
9．设集合为锐角}，为小于90°的正角}，为小于90°的角}，则下列关系中正确的是( )
A. B. C. D.
10．终边落在图2中阴影区域（包括边界）内的角的集合可以表示为（ ）
A.Z} B.
C.Z} D.Z}
11．角的终边在第三象限，则的终边可能在( )
A.第一象限 B.第二象限 C.y轴非负半轴 D.第三或四象限
12．如图3，一长为dm，宽为1dm的长方形木块在桌面上做无滑动翻滚，翻滚到第四次时被一小块木板挡住，使木块底面与桌面成30°角，则以下结论正确的有（ ）
A.点A第一次翻滚走过的路程为dm
B.点A走过的路程是dm
C.点A走过的弧对应的扇形的总面积为dm2
D.点A走过的弧对应的扇形的总面积为dm2
三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．
13．“密位制”是一种度量角的方法，中国通常采用6000密位制，即将一个周角等分为6000份，每一份是1密位，那么120密位化成弧度是____________．
14．自行车大链轮有36齿，小链轮有24齿，当大链轮逆时针转过一周时，小链轮转过的角度是__________度．
15．一条铁路在转弯处成圆弧形,圆弧的半径为2km，一列火车以30km/h的速度通过，则火车经过10s后转过的弧度数为 .
16．设角α的终边为OP，射线OP1与OP关于y轴对称，射线OP2与OP1关于直线y=－x对称，则以OP2为终边的角的集合是 ．
四、解答题：共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
17．（10分）已知角α=1200°．
（1）将α改写成β+2kπ（k∈Z，0≤β≤2π）的形式，并指出α是第几象限的角．
（2）在区间[－4π，π]上找出与α终边相同的角．
18．（12分）在一块顶角为，腰长为2的等腰三角形钢板废料中裁剪扇形，现有如图4所示的两种方案．
（1）求两种方案中扇形的周长之差的绝对值；
（2）比较两种方案中的扇形面积的大小．
19．（12分）在一般的时钟上，自十九点到分针与时针第一次重合，分针所转过的角的弧度数是多少
20．（12分）如图5所示，一只红蚂蚁与一只黑蚂蚁在一个单位圆（半径为1的圆）上爬动，若两只蚂蚁均从点A(1，0)同时逆时针匀速爬动，且红蚂蚁每秒爬过α角，黑蚂蚁每秒爬过β角（其中）．如果两只蚂蚁都在第14秒时回到点A，并且在第2秒时均位于第二象限，求α，β的值．
21．（12分）已知扇形的圆心角为α，半径为r.
(1)若扇形的周长是定值，求扇形的最大面积及此时α的值；
(2)若扇形的面积是定值，求扇形的最小周长及此时α的值.
22．（12分）某单位拟建一个扇环面形状的花坛（如图6所示），该扇环面是由以点O为圆心的两个同心圆弧和延长后通过点O的两条直线段围成.按设计要求扇环面的周长为30米，其中大圆弧所在圆的半径为10米．设小圆弧所在圆的半径为x米，圆心角为θ（弧度）.
（1）求θ关于x的函数关系式；
（2）已知在花坛的边缘（实线部分）进行装饰时，直线部分的装饰费用为4元/米，弧线部分的装饰费用为9元/米.设花坛的面积与装饰总费用的比为y，求y关于x的函数关系式，并求出x为何值时，y取得最大值？
题号 答案 核心素养 水平 解析与说明
1 C 数学运算 水平一 【解析】
2 B 数学抽象 水平一 【解析】由在[0，2π]内终边在直线上的角为和可知答案选B.
3 C 逻辑推理 水平一 【解析】根据－2∈(－π，－)可知其终边在第三象限．
4 A 数学运算 水平一 【解析】将所有的角都化为弧度或者角度，再进行比较.
5 C 数学运算 水平一 【解析】根据α的范围，依次得出90°－α，α+180°，360°－α和270°－α的范围，从而判定所属象限.
6 D 数学抽象 水平一 【解析】时针转过的角度是－80°，则时针走过2小时40分，∵40÷60=，，且时针、分针都是顺时针旋转，∴分针转过的角的度数为．
7 A 数学运算 水平一 【解析】根据圆弧AB的长可求出大圆半径为R=，再根据平面几何知识可知小圆半径满足，从而求出r=，进而求得内切圆面积．
8 A 数学运算 水平一 【解析】结合角α，β的范围和终边位置，可求得， ，进而求得两角大小.
9 AD 逻辑推理 水平一 【解析】由题意A， B，C， 所以A=B，A C．
10 BD 数学抽象 水平一 【解析】注意角的始边是在x轴的非负半轴．
11 ABC 数学运算 水平一 【解析】根据题意写出角的范围，进而求出的范围，判断出终边位置.
12 ABC 数学运算 水平二 【解析】圆弧AA1所在圆的半径是2，所对圆心角为，圆弧A1A2所在圆的半径是1，所对圆心角为，圆弧A2A3所在圆的半径是，所对圆心角为． 点A第一次翻滚走过的路程为圆弧AA1，其长度为2×=dm． 点A走过的路程是三段弧长之和，即+1×+×=dm． 点A走过的弧对应的扇形的总面积为三段弧所对应的扇形面积之和dm2．
13 数学运算 水平一 【解析】
14 540 数学运算 水平一 【解析】因为大链轮逆时针转过一周时，小链轮逆时针转36齿，而小链轮有24齿，故小链轮转周，一周为360°，故小链轮转过的角度为．
15 数学运算 水平一 【解析】∵圆弧半径R=2km=2000m，火车速度v=30km/h=m/s， ∴经过10s后火车转过的弧长l=×10=m， ∴火车经过10s后转过的弧度数|α|=.
16 {β|β=k 2π++α，k∈Z} 数学运算 水平一 【解析】依题意，射线OP1所对应的角γ=k1 2π+π－α，k1∈Z，从而射线OP2所对应的角β=m 2π－－(k1 2π+π－α)=(m－k1－1) 2π++α=k 2π++α，m，k1，k∈Z．
17 （1）α=1200°=1200×， ∴角α是第二象限的角．
（2）区间[－4π，π]上与角α终边相同的角是，，． 数学运算 水平一 【解析】（1）略
（2）∵与角α终边相同的角(含角α在内)为2kπ+，k∈Z， ∴由－4π≤2kπ+≤π，k∈Z，当时，不等式成立，代入即可得在区间[－4π，π]上与角α终边相同的角．
18 （1）； （2）面积相等． 数学运算 水平一 【解析】(1)∵是顶角为，腰长为2的等腰三角形， ∴，． 方案一中扇形的周长， 方案二中扇形的周长， ∴两种方案中扇形的周长之差的绝对值为． (2) 方案一中扇形的面积， 方案二中扇形的面积， ∴，即两种方案中扇形的面积相等．
19 数学抽象 数学运算 水平一 【解析】自十九点(此时时针指向7，分针指向12)，到分针与时针第一次重合，设时针转过弧度，则分针转过弧度，其中. ∴时针走一弧度相当于经过小时分,分针转一弧度相当于经过分，故，∴，∴自十九点到分针与时针第一次重合，分针转过的角的弧度为.
20 ，． 逻辑推理 数学运算 水平二 根据题意可知14α，14β均为的整数倍，故可设14α=m 360°，m∈Z， 14β=n 360°，n∈Z，从而可知α= 180°，β= 180°，m，n∈Z．
又由两只蚂蚁在第2秒时均位于第二象限，则2α，2β的终边均在第二象限． 又0°<α<β<180°，从而可得，
因此2α，2β均为钝角，即．
于是45°<α<90°，45°<β<90°．
∴45°< 180°<90°，45°< 180°<90°，
即，．
又∵α<β，∴m
22 （1）. （2），当x=1时，花坛的面积与装饰总费用的比最大. 数学建模 数学运算 水平一 【解析】（1）由题意得，30=θ(10+x)+2(10－x)， ∴. （2）花坛的面积为θ(102－x2)=(5+x)(10－x)=－x2+5x+50（0