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专题19 网格中的相似
1．如图，在正方形网格上，若使△∽△，则点应在（ ）
A．处 B．处 C．处 D．处
2．如图，在正方形网格上有5个三角形（三角形的顶点均在格点上）：①△ABC，②△ADE，③△AEF，④△AFH，⑤△AHG，在②至⑤中，与①相似的三角形是（ ）
A．②④ B．②⑤ C．③④ D．④⑤
3．如图，在边长为1个单位的方格纸中，它的顶点在小正方形顶点位置，其中点、、、也是小正方形的顶点，那么与相似的是（ ）
A．以点、、为顶点的三角形；
B．以点、、为顶点的三角形
C．以点、、为顶点的三角形
D．以点、、为顶点的三角形
4．如图所示，点A，B，C，D，E，F，G，H，K都是8×8方格纸中的格点，为使△DEM∽△ABC，则点M应是F、G、H、K四点中的（ ）
A．F B．G C．H D．K
5．如图，在正方形网格上，若使△∽△，则点应在（ ）
A．处 B．处 C．处 D．处
6．如图，若A、B、C、D、E，甲、乙、丙、丁都是方格纸中的格点，为使△ABC与△DEF相似，则点F应是甲、乙、丙、丁四点中的（ ）．
A．甲 B．乙 C．丙 D．丁
7．在正方形网格纸上，每个小格的顶点叫格点，以格点为顶点的三角形叫格点三角形．在4×4网格中（每个小正方形网格的边长为1）画格点三角形，它的三边比是1：：，这种三角形可以画若干个，其中面积的最大值等于 ．
8．如图，在8×8的方格中，ABC的三个顶点都在小方格的顶点上，按要求画一个三角形，使它的顶点在方格的顶点上．
(1)请在图1中画一个三角形，使它与ABC相似，且相似比为2：1
(2)请在图2中画一个三角形，使它与ABC相似，且面积比为2：1
9．如图，由边长为1的小正方形组成的网格中，顶点在网格上，点在边上，且．
(1)长等于__________．
(2)请你仅用无刻度的直尺在边上找点，使得与相似．（要求画出两种情形）
10．由边长为1的小正方形组成的6×6的网格中，线段AB的两个端点都在格点上．
（1）如图1，C，D也在格点上，连结CD交AB于点O，则＝____________．
（2）如图2，仅用无刻度直尺在△ABC的边AB上找一点M，使得＝．
11．如图，方格纸中的每个小正方形的边长都是1，是格点三角形（顶点在方格顶点处）．
(1)在图1中画出一个格点，使得与相似，周长之比为2：1；
(2)在图2中画出一个格点，使得与相似，面积之比为2：1．
12．图①、图②均是6×6的正方形网格，每个小正方形的顶点称为格点．线段AB的端点均在格点上．只用无刻度的直尺按下列要求在给定的网格中画图，不要求写画法，保留作图痕迹．
（1）在图①中画出线段AB的中点C；
（2）在图②中画出线段AB上的一点D，使AD：BD＝4：5．
13．如图，在的正方形方格中，每个小正方形的边长都是1，顶点都在网格线的交点处的三角形，是一个格点三角形．
（1）在图1中，请判断与是否相似，并说明理由；
（2）在图2，中，以O为位似中心，再画一个格点三角形，使他与的位似比为；
（3）在图3中，请画出所有满足条件的格点三角形，它与相似，且有一条公共边和一个公共角．
14．如图，是由个边长为1的小正方形网格组成，每个小正方形的顶点称为格点，的三个顶点A，B，C均在格点上，在AB，BC上各取一点D，E，请仅用无刻度的直尺，按下列要求画图.
（1）在图中画线段DE，使线段且；
（2）在图中画线段DE，使线段且.
15．在3×5的正方形网格中，△ABC的顶点都在边长为1的小正方形的顶点上.
(1)填空：△ABC的面积为．
(2)请利用网格在线段AC上画一点P，使AP=AC；
(3)请利用网格再画一个和△ABC相似但相似比不为1的三角形，并将此三角形涂上阴影．
16．图是5×5的网格图，每个小正方形的边长为1，请按要求作格点图形(图形的每个顶点都在格点上)
(1)在图①中以线段PQ为一边作一个等腰直角三角形；
(2)在图②中，作△DEF相似于△ABC，且△ABC与△DEF的相似比是1：．
17．在由边长为1的正三角形组成的正六边形网格中画一个与已知△ABC相似但不全等的三角形．
18．如图，在的正方形方格中，的顶点都在边长为的小正方形的顶点．
(1)填空：__________，__________；
(2)请在图中的两个的正方形方格中各画一个和相似但不全等的格点三角形．
参考答案：
1．B
【分析】由图可知∠BPD一定是钝角，若要△ABC∽△PBD，则对应边的比值必须相等，可据此进行判断．
【详解】解：由图知：∠BAC是钝角，又△ABC∽△PBD，
则∠BPD一定是钝角，∠BPD=∠BAC，
又BA=2，AC==2，BC==，，
∴，即，
∴BP=4，PD=4，
只有符合这样的要求，故P点应该在．
故选：B．
【点睛】本题考查了相似三角形的性质，以及勾股定理的运用，相似三角形的对应角相等，对应边成比例，书写相似三角形时，对应顶点要对应．熟练掌握相似三角形的性质是解题的关键．
2．A
【分析】根据两边成比例夹角相等两三角形相似即可判断．
【详解】解：由题意：①②④中，∠ABC＝∠ADE＝∠AFH＝135°，
又∵，
∴，，
∴△ABC∽△ADE∽△HFA，
故选：A．
【点睛】本题考查相似三角形的判定，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题．
3．B
【分析】根据勾股定理求出三角形的边长，根据相似三角形的判定判断即可．
【详解】如图：
由勾股定理得：RQ＝，PQ＝
∠PRQ＝135°，
A、由勾股定理得：AP=＝PQ，
而△PRQ不是等腰三角形，即三对应边的比不相等，即两三角形不相似，故本选项错误；
B、由勾股定理得：BP＝，
PQ＝，BQ＝5，
即=，，，
即三边的比相等，即两三角形相似，故本选项正确；
C、两三角形的最大角∠CPQ＜∠PRQ，即两三角形不相似，故本选项错误；
D、△PQD是直角三角形，而△PRQ是钝角三角形，即两三角形不相似，故本选项错误；
故选B．
【点睛】本题考查了勾股定理和相似三角形的判定定理的应用，解题的关键是熟知相似三角形的判定定理.
4．C
【分析】由图形可知△ABC的边AB=4，AC=6，DE=2，当△DEM∽△ABC时，AB和DE是对应边，相似比是1：2，则AC的对应边是3，则点M的对应点是H．
【详解】解：根据题意，
△DEM∽△ABC，AB=4，AC=6，DE=2，
∴DE：AB=DM：AC，
∴DM=3，
∴M应是H，
故选C．
【点睛】本题考查相似三角形的判定．
5．B
【分析】由图可知∠BPD一定是钝角，若要△ABC∽△PBD，则对应边的比值必须相等，可据此进行判断．
【详解】解：由图知：∠BAC是钝角，又△ABC∽△PBD，
则∠BPD一定是钝角，∠BPD=∠BAC，
又BA=2，AC==2，BC==，，
∴，即，
∴BP=4，PD=4，
只有符合这样的要求，故P点应该在．
故选：B．
【点睛】本题考查了相似三角形的性质，以及勾股定理的运用，相似三角形的对应角相等，对应边成比例，书写相似三角形时，对应顶点要对应．熟练掌握相似三角形的性质是解题的关键．
6．A
【分析】令每个小正方形的边长为1，分别求出两个三角形的边长，从而根据相似三角形的对应边成比例即可找到点F对应的位置．
【详解】解：根据题意，△ABC的三边之比为
要使△ABC∽△DEF，则△DEF的三边之比也应为
经计算只有甲点合适，
故选：A．
【点睛】本题考查了相似三角形的判定定理：
（1）两角对应相等的两个三角形相似．
（2）两边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似．
（3）三边对应成比例的两个三角形相似．
7．2.5
【分析】画出图形，利用数形结合的思想，画出相似比为1：的三角形，求出面积即可．
【详解】解：如图△ABC是面积最小的格点三角形，△DEF是面积最大的格点三角形，
=2.5
故答案为：2.5．
【点睛】此题主要考查了相似三角形的性质，三角形的面积等知识，解题的关键是学会利用数形结合的思想解决问题，属于中考常考题型．
8．(1)见解析
(2)见解析
【分析】（1）已知△ABC的三边长分别为AB＝，AC＝，BC＝3，则△的三边长分别为＝，＝，＝6，在图中画出△即可；
（2）已知△ABC的三边长分别为AB＝，AC＝，BC＝3，则△的三边长分别为＝，＝，＝3，在图中画出△即可．
【详解】（1）解：如图1所示：△A1B1C1即为所求；
（2）如图2所示：△A2B2C2即为所求．
【点睛】此题主要考查了相似变换，正确得出相似三角形的边长是解题关键．
9．(1)2
(2)见解析
【分析】（1）利用勾股定理求解即可；
（2）根据相似三角形的判定方法，作出图形即可．
【详解】（1）解：BD＝＝2．
故答案为：2．
（2）如左图，画DE∥CA，△BDE即为所求；如右图，画，△BDE即为所求．
【点睛】本题考查作图﹣相似变换，解题的关键是掌握相似三角形的判定方法，属于中考常考题型．
10．（1）；（2）见解析
【分析】（1）根据网格的特点，可知，进而根据△ACO∽△BOD，即可求得,
（2）在格点上找到点，使得，连接交于点,则点即为所求．
【详解】解（1）由题意：
∵AC∥BD，
∴△ACO∽△BOD，
∴AO∶BO＝AC∶BD，
，
即AO∶BO＝3∶4＝
（2）如图，在格点上找到点，使得，连接交于点,则点即为所求，连接,
，
，
，
设到的距离为，
．
【点睛】本题考查了网格作图，相似三角形的性质与判定，掌握相似三角形的性质与判定是解题的关键．
11．(1)见解析
(2)见解析
【分析】（1）根据相似三角形的性质，把的边长扩大2倍即可．
（2）根据相似三角形的性质，把的边长扩大倍即可．
【详解】（1）解：如图，即为所求作．
（2）如图，即为所求作．
【点睛】本题考查作图﹣相似变换，相似三角形的判定与性质，三角形的面积等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题．
12．（1）作图见解析；（2）作图见解析．
【分析】（1）由题意取格点M，N，连接MN交AB于点C，点C即为所求；
（2）根据题意取格点J，K，连接JK交AB于点D，点D即为所求．
【详解】解：（1）如图，点C即为所求作．
（2）如图，点D即为所求作．
【点睛】本题考查作图-应用与设计和线段的垂直平分线的性质，相似三角形的判定和性质等知识，解题的关键是理解题意并灵活运用所学知识解决问题．
13．（1）和相似，理由详见解析；（2）详见解析；（3）详见解析
【分析】（1）利用网格结合勾股定理得出三角形各边长，进而得出对应边的比相等，进而得出答案；
（2）利用位似图形的性质结合位似比得出答案；
（3）利用相似三角形的性质结合有一条公共边和一个公共角进而得出答案．
【详解】解：（1）如图①所示，和相似，
理由，，
，
∴△ABC∽△DEF；
（2）如图②所示，即为所求；
（3）如图③所示，即为所求；
．
【点睛】本题主要考查了相似三角形的画法以及相似三角形的判定与性质，掌握知识点是解题关键．
14．（1）见解析;（2）见解析.
【分析】（1）根据题意画线段DE，使线段且，利用尺规进行作图即可；
（2）根据题意画线段DE，利用尺规进行作图使线段且即可.
【详解】解：（1）如解图，线段DE为所求；
（2）如解图，线段DE为所求:
【点睛】本题结合三角形考查尺规作图，熟练掌握尺规作图的技巧以及利用平行线性质和比例线段作图是解题的关键.
错因分析：（1）①不能熟练掌握中位线的性质；②不能熟练利用矩形对角线互相平分这一性质；（2）①不能熟练掌握三角形相似的性质，将线段倍数关系转化到三角形相似比；②不能掌握相似三角形“8字”模型.
15．（1）；（2）答案见解析；（3）答案见解析.
【分析】（1）利用三角形面积公式计算；
（2）利用平行线分线段成比例确定AC的5等份点即可得到P点位置；
（3）分别取BA、BC的中点D、E，从而得到△BDE与△BAC相似．
【详解】解：（1）△ABC的面积＝×3×3＝；
故答案为:；
（2）如图，点P为所作；
（3）如图，△BDE为所作．
【点睛】本题考查了作图 相似变换：根据相似三角形的判定条件作为作图的依据．比较简单的是把原三角形的三边对应的缩小或放大一定的比例即可得到对应的相似图形
16．(1)见解析；(2)见解析.
【分析】（1）在PQ垂直平分线上找到一点连接三点即可 （2）由勾股定理算出AB、BC、AC的长度，然后利用相似比算出△DEF的三边，再画出图形即可
【详解】解：(1)如图所示，△PQM即为所求；
(2)∵AB＝2，BC，AC，△ABC与△DEF的相似比是1：．
∴，
∴DE＝2，EF＝2，DF＝，
∴△DEF即为所求．
【点睛】本题考查在方格纸上画图，第二问关键在于利用相似比算出△DEF三边的长度
17．见解析
【分析】根据相似图形即是由一个图形到另一个图形，在改变的过程中保持形状不变（大小可变）即可得出答案．
【详解】解：如图所示，
∴△A′BC即为所求．
【点睛】本题考查了相似变换作图的知识，注意图形的相似变换不改变图形中每一个角的大小；图形中的每条线段都扩大（或缩小）相同的倍数．
18．(1)，
(2)画图见解析
【分析】（1）利用网格结合勾股定理得出答案即可；
（2）利用相似三角形的性质得出符合题意的图形即可．
【详解】（1）解：，
，，
，
，
故答案为：，90；
（2）如图所示：和都是符合题意的图形．
【点睛】此题主要考查了相似变换，利用勾股定理以及相似三角形的性质得出是解题关键．
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