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专题02 三角形的中线与面积
1．如图，在△ABC中，点D是BC边上的一点，E，F分别是AD，BE的中点，连接CE，CF，若S△CEF＝5，则△ABC的面积为（ ）
A．15 B．20 C．25 D．30
2．如图，在△ABC中，已知D，E，F分别是BC，AD，CE的中点，若△ABC的面积为，则△BEF（阴影部分）的面积是（ ）
A．2 B．4 C．6 D．8
3．如图，在中，已知点D，E，F分别为边的中点，且阴影部分图形面积等于4平方厘米，则的面积为（ ）平方厘米
A．8 B．12 C．16 D．18
4．如图，△ABC 中，点 D，E，F 分别为线段 BC，AD，CE 的中点，且△AEC 的面积为 1，则△BEF 的面积为（ ）
A．2 B．1 C．0.25 D．0.5
5．如图，分别是线段、、的中点，若的面积是20，那么的面积是（ ）
A．4 B． C． D．5
6．如图，在中，是边上的点，是边上的点，且，，若的面积为1，则的面积为（ ）
A． B． C． D．
7．如图，已知△ABC，现将边BA延长至点D，使AD=AB，延长AC到点E，使CE=2AC，延长CB至点F，使BF=3BC，分别连接DE，DF，EF，得到△DEF，若△ABC的面积为2，则阴影部分的面积= ．
8．如图，在中，D、E、F分别为、、的中点，，则的面积为 cm2．
9．如图，三边的中线AD、BE、CF的公共点为G，，则图中阴影部分的面积是 ．
10．如图，已知的面积为12，平分，过点作于点，交于点，连结，则的面积为 ．
11．在四边形ABCD中，P是AD 边上任意一点，当AP= AD时，与 和 之间的关系式为： ；一般地，当AP= AD（n表示正整数）时， 与和 之间关系式为： ．
12．如图所示，把的三边BA、CB和AC分别向外延长一倍，将得到的点、、顺次连接成，若的面积是5，则的面积是 .
13．如图，△ABC中，点D、E、F分别在三边上，E是AC的中点，AD、BE、CF交于一点G，BD=2DC，S△GEC=3，S△GDC=4，则△ABC的面积是 ．
14．如图，△ABC面积为1，第一次操作：分别延长至点,使、，顺次连接,得到.第二次操作：分别延长, 1、至点使,顺次连接得到…按此规律，经过2015次操作后的面积为 ．
15．如图，在△ABC中，点D、E、F分别是线段BC、AD、CE的中点，且S△ABC＝8cm2，则S△BEF＝ cm2．
16．如图，对面积为1的△ABC逐次进行以下操作：第一次操作，分别延长AB、BC、CA至点A1、B1、C1，使得A1B＝AB，B1C＝BC，C1A＝CA，顺次连接A1、B1、C1，得到△A1B1C1，记其面积为S1；第二次操作，分别延长A1B1，B1C1，C1A1至A2，B2，C2，使得A2B1＝A1B1，B2C1＝B1C1，C2A1＝C1A1，顺次连接A2，B2，C2，得到△A2B2C2，记其面积为S2…，按此规律继续下去．第n次操作得到△AnBn n，则S1＝ ，△AnBn n的面积Sn＝ ．
17．如图，A、B、C分别是线段A1B、B1C、C1A的中点，若△ABC的面积是1，那么△A1B1C1的面积为 .
18．如图，ABC的面积为1，第一次操作：分别延长AB，BC，CA，至点A1，B1，C1，使A1B=AB，B1C=2BC，C1A=2CA，顺次连接A1，B1，C1，得到A1B1C1．第二次操作：分别延长A1B1，B1C1，C1A1至点A2，B2，C2，使A2B1=A1B1，B2C1=2B1C1，C2A1=2C1A1，顺次连接A2，B2，C2，得到A2B2C2，按此规律，要是得到的三角形的面积为38416，需要经过 次操作．
19．如图，在△ABC中，点D、E、F、分别为BC、 AD、CE的中点，且S△ABC＝16 ，则S△DEF ＝ ．
20．如图，在四边形ABCD中，∠B=∠C=，AB=BC=2，CD=1，F1是BC的中点，连接AF1，DF1，得到△AF1D;点F2是CF1的中点，连接AF2，DF2，得到△AF2D；点F3是CF2的中点，连接AF3，DF3，得到△AF3D；．...；按照此规律继续进行下去，则△AFnD的面积为 .（用含正整数n的式子表示）
21．如图 (1)所示，AB，CD是两条线段，M是AB的中点，连接AD，MD，BC，BD， MC，AC，S△DMC，S△DAC和S△DBC分别表示△DMC，△DAC，△DBC的面积，当AB∥CD时，有S△DMC＝.
(1)如图 (2)所示，当图6-9(1)中AB与CD不平行时，S△DMC=是否仍然成立 请说明理由；
(2)如图 (3)所示，当图6-9(1)中AB与CD相交于点O时，S△DMC与S△DAC，S△DBC有什么样的数量关系 试说明你的结论．
参考答案：
1．B
【分析】根据题意，利用中线分的三角形的两个图形面积相等，便可找到答案
【详解】解：根据等底同高的三角形面积相等，可得
∵F是BE的中点，
S△CFE＝S△CFB＝5，
∴S△CEB＝S△CEF+S△CBF＝10，
∵E是AD的中点，
∴S△AEB＝S△DBE，S△AEC＝S△DEC，
∵S△CEB＝S△BDE+S△CDE
∴S△BDE+S△CDE＝10
∴S△AEB+S△AEC＝10
∴S△ABC＝S△BDE+S△CDE+S△AEB+S△AEC＝20
故选：B．
【点睛】熟悉三角形中线的拓展性质：分其两个三角形的面积是相等的，这样便可在实际问题当中加以应用.
2．B
【分析】利用三角形的中线平分三角形的面积，可得，即可得出结论．
【详解】解：∵E是AD的中点，
∴BE，CE分别为△ABD和△ACD的中线，
∴,
∴，
同理可得，
∴．
故选：B．
【点睛】本题考查三角形中线有关的面积问题．理解三角形的中线平分三角形的面积是解题关键．
3．C
【分析】根据三角形的中线得出，，，然后结合图形求解即可．
【详解】解：∵F是的中点，
∴，
∴，
∵ E是的中点 ，
∴，，
∵，
∴，
∴，
故选：C．
【点睛】本题考查了三角形的中线与三角形的面积关系，熟练掌握三角形的中线将三角形分成面积相等的两个三角形是解答的关键．
4．B
【分析】本题考查的是中线平分面积的知识点，由△AEC的面积为1，点E事AD的中点可知△ABC的面积为4，再利用中线平分面积的知识可求△BEF的面积
【详解】∵△AEC的面积为1，E为AD的中点
∴△ADC的面积为2，
∴△ECD的面积为1
又∵D是BC的中点，所以△ABC的面积为4
∴△ABD的面积为2
∵E为AD中点，
∴△BDE的面积为1
∴△BEC的面积=△BDE的面积+△ECD的面积=2
∵F是EC的中点
∴△BEF的面积是1
【点睛】本题是中线平分面积模型，关键是面积的倒换
5．C
【分析】连接，，，根据等底等高的三角形的面积相等求出，△的面积，从而求出△的面积，同理可求△的面积，△的面积，于是得到结论．
【详解】解：如图，
连接，，，
、分别是线段，的中点，
∴，
，
同理：，，
△的面积．
，
故选：C．
【点睛】本题考查了三角形的面积，主要利用了等底等高的三角形的面积相等，作辅助线把三角形进行分割是解题的关键．
6．D
【分析】连结AF，由，得，推出
，的面积为1，求出，由，同理求出由面积和得．
【详解】连结AF，
∵，
∴，
∴，
设S△ACD=，S△AFD=，
∴，，
∴，
的面积为1，
，
由，
同理，
∴，
．
故选择：D．
【点睛】本题考查面积比问题，掌握同高情况下面积比等于底的比，推出两对同底的面积差的比等于低的比是解题关键．
7．34
【分析】分别连接、、，利用与等底同高，求出．然后利用与等底同高，求出．从而求得，，，，，即可得出答案．
【详解】分别连接、、．
与等底同高，．
与等底同高，，．
．，，，，，，阴影部分的面积．
故答案为34．
【点睛】本题考查了学生对三角形面积的理解和掌握，解答此题的关键是分别连接、、，求出各三角形的面积．
8．1
【分析】根据D、E、F分别为、、的中点分别得出，，，即可得出答案．
【详解】解：∵D分别为的中点，
∴，
∵E分别为的中点，
∴，
∵F分别为的中点，
∴．
故答案为：1．
【点睛】本题主要考查了与三角形中线有关的面积计算，熟练掌握三角形的中线将三角形分为面积相等的两部分，是解题的关键．
9．
【分析】利用三角形重心的性质证明图中个小三角形的面积相等即可得到答案．
【详解】解： 三边的中线AD、BE、CF的公共点为G，
图中阴影部分的面积是
故答案为：6．
【点睛】本题考查的是三角形中线的性质，三角形重心的性质，掌握以上知识解决三角形的面积问题是解题的关键．
10．6
【分析】根据三角形中线的性质可得，，据此计算即可．
【详解】解：∵平分，，
∴，
∵，
∴，
∴,
∴E是AD的中点，
在中，BE是AD边上的中线，
∴，
在中，CE是AD边上的中线，
∴，
∴，
故答案为：6．
【点睛】本题主要考查全等三角形的判定与性质，三角形中线的性质，熟知三角形的中线可以将三角形的面积分为相等的两部分是解题的关键．
11．
【分析】当AP=AD时，根据△ABP和△ABD的高相等，得到，根据△CDP和△CDA的高相等，得到，结合图形计算即可；同理，当AP=AD（n表示正整数）时，根据△ABP和△ABD的高相等，得到，根据△CDP和△CDA的高相等，得到，结合图形计算即可．
【详解】∵AP=AD，△ABP和△ABD的高相等，
∴，
∵PD=AD-AP=AD，△CDP和△CDA的高相等，
∴，
∴
；
当AP=AD（n表示正整数）时，
∵AP=AD，△ABP和△ABD的高相等，
∴，
∵PD=AD-AP=AD，△CDP和△CDA的高相等，
∴，
∴
；
故答案为：；．
【点睛】本题考查了三角形的面积的计算，掌握高相等的两个三角形的面积比等于底的比是解题的关键．
12．35
【分析】连接、、，由题意得：，，，由三角形的中线性质得出△的面积的面积的面积的面积的面积△的面积△的面积，即可得出△的面积．
【详解】解：连接、、，如图所示：
由题意得：，，，
△的面积的面积的面积的面积△的面积△的面积△的面积，
△的面积；
故答案为35．
【点睛】本题考查了三角形的中线性质、三角形的面积；熟记三角形的中线把三角形的面积分成相等的两部分是解题的关键．
13．30
【分析】由于BD=2DC，那么结合三角形面积公式可得S△ABD=2S△ACD，而S△ABC=S△ABD+S△ACD，可得出S△ABC=3S△ACD，而E是AC中点，故有S△AGE=S△CGE，于是可求S△ACD，从而易求S△ABC．
【详解】解：∵BD=2DC，∴S△ABD=2S△ACD，∴S△ABC=3S△ACD．
∵E是AC的中点，∴S△AGE=S△CGE．
又∵S△GEC=3，S△GDC=4，∴S△ACD=S△AGE+S△CGE+S△CGD=3+3+4=10，∴S△ABC=3S△ACD=3×10=30．
故答案为30．
【点睛】本题考查了三角形的面积公式、三角形之间的面积加减计算．注意同底等高的三角形面积相等，面积相等、同高的三角形底相等．
14．
【分析】如图1，连接，，，将分成、、、四个三角形的面积和，得到面积；同理，如图2，连接，，，将分成、、、四个三角形的面积和，得到面积；然后根据面积的关系推导出一般性规律，然后进行求解即可．
【详解】解：如图1，连接，，
∵，，
∴，；
，；
，；
∴；
如图2，连接，，
∵，，
∴，；
，；
，；
∴ ；
∴可推导一般性规律为：；
∴
故答案为：．
【点睛】本题考查了规律探究，三角形中线．解题的关键在于根据三角形的面积及等积变换推导出一般性规律．
15．2
【分析】根据三角形的中线把三角形分成两个面积相等的三角形解答．
【详解】解：∵点E是AD的中点，
∴，
∴，
∴，
∵点F是CE的中点，
∴．
故答案为：2．
【点睛】本题主要考查了三角形的面积，解题的关键是熟记三角形的中线把三角形分成两个面积相等的三角形，即等底等高的三角形的面积相等．
16． 7
【分析】利用三角形同高等底面积相等，进而求出，得出规律解答即可．
【详解】解：连接A1C，
∵B1C＝BC，A1B＝AB，
∴S△ABC＝，＝，
∴＝2S△ABC＝2，
同理可得出：＝2，
∴S1＝2+2+2+1＝7；
同理得第二次操作后的面积为S2=7×7=；
第三次操作后的面积为S3=×7=，
按此规律继续下去．第n次操作后△AnBn n的面积Sn＝．
故答案为：7；．
【点睛】本题考查三角形的面积，利用三角形等底同高面积相等得出是解题关键．
17．7
【分析】连接AB1，BC1，CA1，根据等底等高的三角形的面积相等求出△ABB1，△A1AB1的面积，从而求出△A1BB1的面积，同理可求△B1CC1的面积，△A1AC1的面积，然后相加即可得解．
【详解】如下图，连接A1C，B1A，C1B，，因B是线段B1C的中点，所以B1B=BC.
△A1B1A和△AB1B等底同高，根据等底同高的两个三角形面积相等可得S△B1AB=S△ABC=1；同理可得S△A1B1A=S△AB1B=1；所以=S△A1B1A+S△AB1B=1+1=2；同理可得S△C1CB1=2， S△C1AA1=2.
S△A1B1C1= S△A1BB1+ S△C1CB1+ S△C1AA1+S△ABC=2+2+2+1=7.
【点睛】本题考查了三角形的面积，主要利用了等底等高的三角形的面积相等，作辅助线把三角形进行分割是解题的关键．
18．4
【详解】试题解析：连接A1C，B1A，BC1，
∴，，，
，
所以=6+4+4=14；
同理得=14×14=361；
=196×14=6859，
从中可以得出一个规律，延长各边后得到的三角形是原三角形的14倍，所以延长第n次后，得到△AnBnCn，则其面积Sn=14n S1=14n=38416，
解得：n=4．
考点：三角形的面积．
19．2
【详解】解：三角形的中线把三角形分成面积相等的两部分．
∴S△ABD=8同理可得S△AEC＝4所以S△DEF＝2
故答案为：2．
20．
【分析】由题意可知，四边形ABCD为直角梯形，故可求梯形ABCD，与的面积，由中点面积关系可得与面积，以此类推进而可得与的面积，观察图形可知，△AFnD的面积可由梯形与三角形面积作差可得，运算进而可得结论．
【详解】∵在四边形ABCD中，∠B=∠C=，AB=BC=2，CD=1，
∴，
∵为BC中点，
∴，，
∵为的中点，
∴，，
∵为的中点，
∴，，
……
∴，，
∴
=
=
=
=
= ．
故答案为：．
【点睛】本题主要考查规律探索和三角形的面积问题，根据图形变化规律找出面积关系是解题的关键．
21．(1) S△DMC=仍成立，理由见解析； (2)S△DMC=，理由见解析.
【分析】（1）先看题中给出的条件为何成立，由于三角形ADC，DMC，DBC都是同底，而由于AB∥DC，因此高相等，就能得出题中给出的结论，那么本题也要用高来求解，过A，M，B分别作BC的垂线AE，MN，BF，AE∥MN∥BF，由于M是AB中点，因此MN是梯形AEFB的中位线，因此MN=（AE+BF），三个三角形同底因此结论①是成立的．
（2）本题可以利用AM=MB，让这两条边作底边来求解，三角形ADB中，小三角形的AB边上的高都相等，那么三角形ADM和DBM的面积就相等（等底同高），因此三角形OAD，OMD的和就等于三角形BMD的面积，同理三角形AOC和OMC的面积和等于三角形CMB的面积．根据这些等量关系即可得出题中三个三角形的面积关系．
【详解】(1)当AB与CD不平行时，S△DMC=仍成立．分别过点A，M，B作CD的垂线AE，MN，BF，垂足分别为E，N，F.∵M为AB的中点，∴MN＝(AE+BF)，∴S△DAC+S△DBC=DC·AE+DC·BF＝DC·(AE+BF)= DC·2MN=DC·MN=2S△DMC.∴S△DMC=；
(2)S△DMC=.理由：∵M是AB的中点，∴S△ADM＝S△BDM，S△ACM=S△BCM,而S△DBC=S△BDM+S△BCM+S△DMC,① S△DAC=S△ADM+S△ACM-S△DMC,②∴①-②得S△DBC-S△DAC=2S△DMC,故S△DMC=.
【点睛】本题考查了三角形中位线和梯形，解题的关键是掌握三角形中位线定理和梯形的概念.
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