卷子答案网-一个不只有答案的网站2023-2024学年山东省泰安市肥城市高三（上）段考数学试卷（9月份）
一、单选题（本大题共8小题，共40.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）
1. 设全集，集合，则( )
A. B. C. D.
2. 若，则( )
A. B. C. D.
3. 已知向量，是平面内的一组基底，若向量与共线，则的值为( )
A. B. C. D.
4. 函数的单调递增区间为( )
A. B. C. D.
5. 已知椭圆的离心率为，则( )
A. B. C. D.
6. 已知圆：与圆：相交于，两点，其中点是坐标原点，点，分别是圆与圆的圆心，则( )
A. B. C. D.
7. 设数列的前项和为，设甲：是等差数列；乙：对于所有的正整数，都有则( )
A. 甲是乙的充要条件
B. 甲是乙的充分条件但不是必要条件
C. 甲是乙的必要条件但不是充分条件
D. 甲既不是乙的充分条件也不是乙的必要条件
8. 设，，且，则( )
A. B. C. D.
二、多选题（本大题共4小题，共20.0分。在每小题有多项符合题目要求）
9. 一组样本数据由个互不相同的数组成，若去掉其中最小的和最大的两个数得到一组新样本数据，则( )
A. 两组样本数据的样本极差不同 B. 两组样本数据的样本方差相同
C. 两组样本数据的样本中位数相同 D. 两组样本数据的样本平均数可能相同
10. 在天文学中，星等是衡量天体光度的量，是表示天体相对亮度的数值天体亮度越强，星等的数值越小，星等的数值越大，天体的亮度就越暗两颗星的星等与亮度满足，其中星等为的星的亮度为已知太阳的星等是，天狼星的星等是，南极星的星等是，则( )
A. 天狼星的星等大约是南极星星等的倍
B. 太阳的亮度与天狼星的亮度的比值是
C. 天狼星的亮度与太阳的亮度的比值是
D. 天狼星的亮度与南极星的亮度的比值是
11. 已知函数是定义域为的偶函数，满足，当时，，则( )
A. 的最小值是，最大值是 B. 的周期为
C. D.
12. 下列几何体中，可完全放入一个半径为的球体内的是( )
A. 棱长为的正方体 B. 底面半径为，高为的圆锥
C. 棱长为的正四面体 D. 底面边长为，高为的正四棱锥
三、填空题（本大题共4小题，共20.0分）
13. 现有名志愿者报名参加某项暑期公益活动，此项公益活动为期两天，每天从这人中安排人参加，则恰有人在这两天都参加的不同安排方式有______ 种
14. 将半径是，圆心角是的扇形围成一个圆锥接缝处忽略不计，则该圆锥的体积为______ ．
15. 已知函数在区间上单调递增，直线和为函数的图象的两条相邻对称轴，则 ______ ．
16. 已知双曲线的左、右焦点分别是，点为左支上的一点，过作与轴垂直的直线，若到的距离满足，则的离心率的取值范围为______ ．
四、解答题（本大题共6小题，共70.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
17. 本小题分
的内角，，的对边分别为，，，已知，，．
求的值；
若是上一点，，求的面积．
18. 本小题分
如图，四棱柱中，平面，，，，．
求证：平面；
若与平面所成角为，求平面与平面夹角的余弦值．
19. 本小题分
已知函数，．
讨论函数的单调性；
当时，证明．
20. 本小题分
记为数列的前项和，已知，．
求的通项公式；
令，证明：．
21. 本小题分
甲、乙两个不透明的袋子中都有大小、形状、质地相同的个红球和个黑球从两个袋中各任取一个球交换，重复进行次操作后，记甲袋中黑球个数为，甲袋中恰有个黑球的概率为，恰有个黑球的概率为．
求的分布列；
求的通项公式；
求的数学期望
22. 本小题分
在直角坐标系中，动圆过定点，且与定直线相切，记动点的轨迹为．
求的方程；
已知正方形有三个顶点在上，求正方形面积的最小值．
答案和解析
1.【答案】
【解析】解：因为全集，集合，
所以，
则．
故选：．
由已知结合集合补集及交集运算即可求解．
本题主要考查了集合的补集及交集运算，属于基础题．
2.【答案】
【解析】解：，
则，
故．
故选：．
根据已知条件，结合复数的四则运算，以及共轭复数的定义，即可求解．
本题主要考查复数的四则运算，以及共轭复数的定义，属于基础题．
3.【答案】
【解析】解：由题意有，即存在，使得，
即，又与不共线，
则有，解得．
故选：．
根据向量共线定理，列方程求解即可．
本题考查平面向量共线定理，属基础题．
4.【答案】
【解析】解：对于函数，应有，求得或，
故函数的定义域为．
再根据二次函数的性质，可得函数的增区间为．
故选：．
由题意，根据二次函数、偶次根式的性质，得出结论．
本题主要考查二次函数、偶次根式的性质，属于基础题．
5.【答案】
【解析】【分析】
本题考查椭圆中长半轴与短半轴的关系，解题时要注意椭圆简单性质的合理运用，属于基础题．
根据离心率公式，可得，再结合公式，即可求解．
【解答】
解：由题意可得，即，
，
，即，
，
．
故选：．
6.【答案】
【解析】解：圆：的圆心为，半径为；圆：的圆心为，
半径为，
联立圆：与圆：，解得，或，，
所以，
所以，，
所以，
故选：．
利用余弦定理求解即可．
本题考查圆的方程，考查直线与圆的位置关系，属于中档题．
7.【答案】
【解析】解：若数列是等差数列，由等差数列的求和公式，可知成立；
反之，若，则，
当时，可得，两式相减得，
即，整理得，
以代换，得，两式相减得，
等式的两边约去，得，即，可知是等差数列．
综上所述：设甲：是等差数列；乙：对于所有的正整数，都有，则甲是乙的充要条件．
故选：．
根据题意，利用等差数列的性质，结合充要条件的概念进行正反推理，即可得到本题的答案．
本题主要考查了充分条件与必要条件的判断、等差数列的定义与通项公式等知识，属于中档题．
8.【答案】
【解析】解：由，得，
可得：．
，
，，
，
，即．
故选：．
化切为弦，再由两角和与差的公式化简即可．
本题考查两角和与差的公式化简和计算能力，是基础题．
9.【答案】
【解析】解：对于，设个互不相同的数分别为，，，，，，，，，，
且，
这个数据的极差为，
去掉，后，新样本数据的极差为，
，，故A正确；
这个数据的中位数为，
去掉，后，新的数据从小到大为，，，，，，，，
这个数据的中位数为，
两组样本数据的样本中位数相同，故C正确；
选项，设这个数为，，，，，，，，，，
平均数为，
方差为，
去掉，后，，，，，，，，的平均数为，
方差为，
两组样本数据的样本平均数相同，故D正确，两组样本的方差不同，故B错误．
故选：．
对于，设个互不相同的数分别为，，，，，，，，，，且，推导出前后两组的极差不同，同位数相同；选项，设这个数为，，，，，，，，，，计算出前后两组数据的平均数相同，方差不同．
本题考查极差、方差、中位数、平均数等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．
10.【答案】
【解析】解：对于：由天狼星的星等是，南极星的星等是，可得，
所以天狼星的星等大约是南极星星等的倍，故A正确；
对于：由，可得，
因此，根据题意得，，
所以，所以太阳与天狼星的亮度的比值为，故B错误；
对于：由可知天狼星的亮度与太阳的亮度的比值是，故C正确；
对于：由，可得，
因此，根据题意南极星的星等是，天狼星的星等是，
，所以天狼星的亮度与南极星的亮度的比值是，故D错误．
故选：．
利用已知条件结合每个选项的条件计算可判断其正误．
本题主要考查对数的运算，属基础题．
11.【答案】
【解析】解：由于，所以图象关于直线对称，
由于是定义在上的偶函数，所以图象关于轴对称，
所以是周期为的周期函数，选项正确；
当时，，
当时，，所以，
当时，的开口向上，对称轴为，
所以，，
根据的周期性、对称性可知的最小值是，最大值是，选项正确；
，选项错误；
，，，，
，
所以，选项正确．
故选：．
根据函数的奇偶性、周期性、对称性求得正确答案．
本题主要考查抽象函数及其应用，函数性质的应用，考查运算求解能力，属于中档题．
12.【答案】
【解析】解：对，棱长为的正方体，其外接球的直径等于体对角线长，
即，，所以棱长为的正方体可以完全放入半径为的球内，故A正确；
对，如图，可得，解得，，
所以底面半径为，高为的圆锥可以完全放入半径为的球内，故B正确；
对，将正四面体补形成正方体，即正四面体的外接球就是所在正方体的外接球，
设正方体的棱长为，则，即，
所以外接球的直径，即，
所以棱长为的正四面体不可以完全放入半径为的球内，故C错误；
对，如图，设正四棱锥外接球半径为，则有，
解得，所以底面边长为，高为的正四棱锥可以完全放入半径为的球内，故D正确．
故选：．
根据题意，分别求出，，，四个选项对应几何体的外接球半径，即可判断．
本题考查空间几何体的性质，考查推理论证能力，考查运算求解能力，属中档题．
13.【答案】
【解析】解：有名志愿者报名参加某项暑期公益活动，此项公益活动为期两天，每天从这人中安排人参加，
则恰有人在这两天都参加的不同安排方式有：种．
故答案为：．
先选出人在这两天都参加的分法，然后安排其它志愿者即可．
本题考查了排列组合的综合应用，计数原理的应用，属于中档题．
14.【答案】
【解析】解：扇形的弧长为，
设圆锥的底面半径为，高为，
则，
，
，
圆锥的体积为．
故答案为：．
根据弧长公式求出圆锥的底面半径，进而求出圆锥的高，再利用圆锥的体积公式求解即可．
本题主要考查了弧长公式的应用，考查了圆锥的体积公式，属于基础题．
15.【答案】
【解析】解：因为函数在区间上单调递增，且直线和为函数图象的两条相邻对称轴，
所以，解得，
由，得，，
又因为，所以，，
所以．
故答案为：．
由题意求出和、，写出函数的解析式，计算即可．
本题考查了三角函数的图象与性质应用问题，是基础题．
16.【答案】
【解析】解：不妨设，，
因为点在椭圆上，
所以，
又，
过作与轴垂直的直线，若到的距离满足，
此时，，
即，
整理得，
又，
所以，
即，
所以在上有解，
此时，
不妨设，
此时，，
要使在上有解，
需满足，
即，
所以，
即，
解得，
则离心率的取值范围为．
故答案为：．
由题意，设，，将用含有的式子表示出来，得到关于的一元二次方程，此时问题转化成关于的一元二次方程在上有解问题，结合根的判别式和特殊点的函数值，得到，进而可得离心率的取值范围．
本题考查双曲线的性质，考查了逻辑推理和运算能力．
17.【答案】解：在中，由余弦定理得，，
所以，
由正弦定理得，，
所以．
因为，所以，
由知，，所以，
在中，，
所以，
因为，
所以．
【解析】在中，利用余弦定理，求得的值，再由正弦定理，求出，即可；
结合中所得，可求出和的值，再由三角形的面积公式，得解．
本题考查解三角形，熟练掌握正余弦定理，三角形的面积公式是解题的关键，考查逻辑推理能力和运算能力，属于中档题．
18.【答案】解：证明：在四棱锥中，，平面，
平面，平面，
，平面，平面，
平面，
又，平面平面，
平面，平面．
平面，，可得，，两两垂直，
以，，所在直线分别为轴，轴，轴，建立空间直角坐标系，
与平面所成角为，，
，又，，
，
设平面的法向量，
，
，，
，令，得，，可得，
设平面的法向量，
，
，令，得，，
可得，
，
平面与平面夹角余弦值为．
【解析】由，得平面，由，得平面，从而平面平面，由此能证明平面．
以，，所在直线分别为轴，轴，轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出平面与平面夹角余弦值．
本题考查线面平行、面面平行的判定与性质、二面角的定义及余弦值的求法等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．
19.【答案】解：函数的定义域是，
，
当时，，在递增，
当时，若，则，函数在递增，
若时，则，函数在递减；
由知，当时，，
要证，只需证明，
即只需证明，
构造函数，
则，
故在递减，在递增，
故，
故恒成立，
故．
【解析】求出函数的导数，通过讨论的范围，求出函数的单调区间即可；
求出函数的最小值，问题转化为证明，构造函数，根据函数的单调性证明即可．
本题考查了函数的单调性问题，考查导数的应用以及不等式的证明，是一道综合题．
20.【答案】解：由，得，
则，
，即．
又，，
数列是以为首项，为公差的等差数列，
，即，
可得，则，
即，
，
因此的通项公式为；
证明：由得：，
则．
，
．
【解析】由已知可得数列是以为首项，为公差的等差数列，求其通项公式，即可求的通项公式；
把中求得的的通项公式代入，然后借助于裂项相消法求和证明原不等式．
本题考查数列递推式，考查等差数列的通项公式，训练了裂项相消法求数列的前项和，是中档题．
21.【答案】解：甲、乙两个不透明的袋子中都有大小、形状、质地相同的个红球和个黑球．从两个袋中各任取一个球交换，重复进行次操作后，记甲袋中黑球个数为，
则的可能取值为，，，
，，，
的分布列为：
甲、乙两个不透明的袋子中都有大小、形状、质地相同的个红球和个黑球．从两个袋中各任取一个球交换，重复进行次操作后，
由全概率公式可知：
，
甲袋中恰有个黑球的概率为，
所以，即，
，
又，
所以数列是以为首项，以为公比的等比数列，
，即的通项公式；
由全概率公式得：
，
甲袋中恰有个黑球的概率为，
所以，
由知，
所以，
，
又，
所以，
，，
，
所以的数学期望．
【解析】由题意分析的可能取值为，，，分别求出概率，写出分布列；
由全概率公式得到，判断出数列为以为首项，以为公比的等比数列即可求解；
利用全概率公式求出，求出，进而求出
本题考查了全概率公式和离散型随机变量的期望计算，属于中档题．
22.【答案】解：设点坐标为，
由动圆过定点，且与定直线相切，可得，
化简整理得．
即动点的轨迹的方程为．
如图，不妨设三个顶点中有两个在轴右侧包括轴，且设、、
三点的坐标分别为、、，的斜率为，
则有，．
又、、三点在抛物线上，
所以，，，
代入上面两式得：，．
由于，
即，
所以，，
所以，，
所以，，且有．
所以正方形边长为
．
当且仅当时，即点为原点时等号成立．
所以正方形面积的最小值为．
【解析】由题意可，化简可得动点的轨迹的方程．
设点，，点的坐标，进而可得直线，的方程，利用点在抛物线上，以及，可得进而可求正方形面积的最小值．
本题考查轨迹方程的求法，考查正方形面积的最小值的求法，考查基本不等式的应用，考查运算求解能力，属中档题．
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