卷子答案网-一个不只有答案的网站人教A版（2019）必修第二册 8.3 简单几何体的表面积与体积
一、单选题
1．已知一个圆锥的体积为，其侧面积是底面积的2倍，则其底面半径为（ ）
A． B．3 C． D．
2．已知圆锥的表面积为3π，它的侧面展开图是一个半圆，则此圆锥的体积为（ ）
A． B． C． D．
3．已知圆锥的轴截面是等腰直角三角形，且圆锥的母线长为2，则圆锥的侧面积是（ ）．
A． B．2 C． D．
4．已知正四棱锥的底面边长为6，侧棱长为5，则此棱锥的侧面积为（ ）
A．6 B．12 C．24 D．48
5．圆柱的底面直径与高都等于球的直径，则球的表面积与圆柱的侧面积的比值为（ ）
A．1∶1 B．1∶2 C．2∶1 D．2∶3
6．已知三棱锥的所有顶点都在球O的球面上，且平面，，，，则球O的表面积为（ ）
A． B． C． D．
7．某几何体的三视图（单位：）如图所示，则该几何体的体积（单位：）为（ ）
A． B．2 C．4 D．6
8．已知圆锥的顶点为点，高是底面半径的倍，点，是底面圆周上的两点，当是等边三角形时面积为，则圆锥的侧面积为（ ）
A． B． C． D．
9．六氟化硫，化学式为，在常压下是十种无色、无臭、无毒、不燃的稳定气体，有良好的绝缘性，在电器工业方面具有广泛用途．六氟化硫分子结构为正八面体结构（正八面体是每个面都是正三角形的八面体），如图所示，硫原子位于正八面体的中心，6个氟原子分别位于正八面体的6个顶点．若相邻两个氟原子间的距离为2a，则六氟化硫分子中6个氟原子构成的正八面体的体积是（不计氟原子的大小）（ ）
A． B． C． D．
10．如图，“十字歇山”是由两个直三棱柱重叠后的景象，重叠后的底面为正方形，直三棱柱的底面是顶角为，腰为3的等腰三角形，则该几何体的体积为（ ）
A．23 B．24 C．26 D．27
11．已知三棱锥的高为1，底面为等边三角形，，且P，A，B，C都在体积为的球O的表面上，则该三棱锥的底面的边长为（ ）
A． B． C．3 D．
12．下图是一个圆台的侧面展开图，若两个半圆的半径分别是1和2，则该圆台的体积是（ ）
A． B． C． D．
二、填空题
13．中国南北朝时期，祖冲之与他的儿子祖暅通过对几何体体积的研究，早于西方1100多年，得出一个原理：“幂势既同，则积不容异”，“幂”是面积，“势”是高.也就是说：夹在两个平行平面间的两个几何体，被平行于这两个平行平面的任何平面所截，如果截得两个截面的面积总相等，那么这两个几何体的体积相等.上述原理被称为祖暅原理.现有水平放置的三棱锥和圆锥各一个，用任何一个平行于底面的平面去截它们时，所截得的两个截面面积都相等，若圆锥的侧面展开图是半径为4的半圆，根据祖暅原理可知这个三棱锥的体积为______.
14．如图所示，一个圆锥形的空杯子上面放着一个半球形的冰淇淋，如果冰淇淋融化后正好盛满杯子，则杯子高_______．
15．已知一个圆锥的侧面积是底面面积的2倍，则该圆锥的母线与其底面所成的角的大小为______．
16．如图所示的圆台，在轴截面中，，且，则该圆台的体积为_________；侧面积为_________．
17．一个正四棱锥的顶点都在同一球面上，若该棱锥的高为，底面边长为，则该球的表面积为______.
三、解答题
18．已知过球面上三点，，的截面到球心的距离等于球半径的，且，，，求球的表面积与球的体积．
19．养路处建造圆锥形仓库用于贮藏食盐（供融化高速公路上的积雪之用），已建的仓库的底面直径为12 m，高为4 m．养路处拟建一个更大的圆锥形仓库，以存放更多食盐．现有两种方案：一是新建的仓库的底面直径比原来大4 m（高不变）；二是高度增加4 m（底面直径不变）．
(1)分别计算按这两种方案所建的仓库的体积；
(2)分别计算按这两种方案所建的仓库的表面积；
(3)哪个方案更经济些？
20．如图，是圆柱的一条母线，是圆柱的底面直径，在圆柱下底面圆周上，是线段的中点．已知．
（1）求圆柱的侧面积；
（2）求证：．
21．在四棱锥中，底面是边长为的正方形，且各侧棱长均为，求该四棱锥外接球的表面积．
试卷第1页，共3页
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参考答案：
1．C根据圆锥的侧面展开图和圆锥体积公式以及侧面积公式，即可求出结果.
设底面半径为，高为，母线为，如图所示：
则圆锥的体积，所以，即，
，则，
又，所以，故．
故选：C．
2．C求出圆锥的底面半径和圆锥的母线长与高，再计算圆锥的体积．
解：设圆锥的底面半径为r，圆锥的母线长为l，
由，得，
又，
所以，解得；
所以圆锥的高为，
所以圆锥的体积为．
故选：C．
3．D先求出底面圆周长，再计算圆锥侧面积即可.
如图，由题意知为等腰直角三角形，则，底面圆周长为，
故圆锥的侧面积为.
故选：D.
4．D首先由勾股定理求出斜高，即可求出侧面积；
解：正四棱锥的底面边长为6，侧棱长为5，则其斜高，所以正四棱锥的侧面积
故选：D
5．A按圆柱侧面积和球的表面积公式计算即可.
设球的半径的r，依题意圆柱的底面半径也是r，高是2r，
圆柱的侧面积= ，球的表面积为 ，
其比例为1:1，
故选：A.
6．A根据平面BCD，得到，，再由，，，得到，则三棱锥截取于一个长方体，然后由长方体的外接球即为三棱锥的外接球求解.
因为平面BCD，
所以，，
∴，
在中，，
∴，
∴.
如图所示：
三棱锥的外接球即为长方体AGFH-BCED的外接球，
设球O的半径为R，则，
解得，
所以球O的表面积为，
故选：A.
7．B首先根据题中所给的几何体的三视图还原几何体，然后结合三视图分析几何体的结构特征，利用体积公式求得结果.
根据三视图可知，该几何体为如图所示四棱锥，
该棱锥满足底面是直角梯形，且侧棱平面，
所以其体积为，
故选：B.
方法点睛：该题考查的是有关根据几何体三视图求几何体体积的问题，解题方法如下：
8．D根据是等边三角形时面积为求得母线，再由高是底面半径的倍，求得底面半径，然后由圆锥的侧面积公式求解.
解：设圆锥的高为h，母线为l，底面半径为r，
则由题意得h=r， ，
所以，
又，则，
所以圆锥的侧面积为，
故选；D
9．B由已知证得平面，再根据棱锥的体积公式计算可求得答案.
解：如图，连接，，，连接．因为，，所以，，所以平面．因为，所以．因为四边形是正方形，所以，则，故该正八面体的体积为．
故选：B.
10．D作出几何体直观图，由题意结合几何体体积公式即可得组合体的体积.
该几何体由直三棱柱及直三棱柱组成，作于M，如图，
因为，所以，
因为重叠后的底面为正方形，所以,
在直棱柱中，平面BHC，则,
由可得平面，
设重叠后的EG与交点为
则
则该几何体的体积为.
故选：D.
11．C利用球的体积公式求出球的半径，画出图形，设点为的外心，则平面．求解．通过求解三角形推出即可．
设球的半径为，由球的体积为可得，，解得．
因为三棱锥的高为1，所以球心在三棱锥外．
如图，设点为的外心，则平面．
在△中，由，且，得．
因为为等边三角形，所以，
所以．
故选：．
12．B先计算出上下底面的半径和面积，再求出圆台的高，按照圆台体积公式计算即可.
如图，设上底面的半径为，下底面的半径为，高为，母线长为，则，，解得，
，，
设上底面面积为，下底面面积为，
则体积为.
故选：B.
13．根据圆锥侧面积展开图是半径为4的半圆，求得圆锥底面半径，进一步求圆锥的高，计算出圆锥的体积，由此求出三棱锥的体积.
设圆锥的底面半径为，则，解得，
圆锥的高为，
所以圆锥的体积即为三棱锥的体积为.
故答案为：.
14．8根据题意半球的体积等于圆锥的体积，根据等体积法化简即可.
解：由题意得半球的半径和圆锥底面圆的半径，
如果冰淇淋融化后正好盛满杯子，则半球的体积等于圆锥的体积
所以
故答案为：8
15．设圆锥的母线长为，底面半径为，圆锥的母线与其底面所成的角为，根据面积关系可得，即可得到答案；
设圆锥的母线长为，底面半径为，圆锥的母线与其底面所成的角为，
则，
，
故答案为：
16． 将圆台看成是圆为底的大圆锥切去圆为底的小圆锥，则圆台体积为大圆锥体积减去小圆锥体积，圆台侧面积为大圆锥侧面积减去小圆锥侧面积.
将圆台看成是圆为底的大圆锥切去圆为底的小圆锥，大小圆锥的顶点为，如图所示，在经过的轴截面上，从点做垂线于，显然且.
∵，
∴，，
又∵
∴为的边的中位线，
∵，得
则，解得
∴
则圆台的体积为圆为底，高为的圆锥体积减去以圆为底，高为的圆锥体积，即
圆台的侧面积.
故答案为：；.
17．画出正四棱锥及对角截面，找到外接球的球心，设，利用PO=OB=r建立方程，求出，进而求出半径和球的表面积.
如图所示，正四棱锥P-ABCD，PE为正四棱锥的高，因为正四棱锥的顶点都在同一球面上，所以外接球球心一定在该棱锥的高上，设球心为O，半径为r，连接EB，OB，则EB为正方形ABCD对角线的一半，PO=OB=r.
因为棱锥的高为，底面边长为，所以PE=2，BE=，设，则，
由勾股定理得：，所以，解得：，所以，所以该球的表面积为
故答案为：.
18．球的表面积，球的体积．设球的半径为，根据与球体截面半径，球心、截面的距离间的几何关系求，进而求球体的表面积、体积.
如图，设球的半径为，球心为，截面圆心为，则．
在△中，由，即，
∴是的中点，即，又，
∴，可得．
∴球的表面积，
球的体积．
19．(1)方案一：（m3），方案二：（m3）；
(2)方案一：（m2），方案二：（m2）；
(3)方案二比方案一更加经济些.
（1）根据圆锥的体积计算公式，带值计算即可；
（2）根据圆锥的表面积计算公式，带值计算即可；
（3）根据（1）（2）所求，比较体积和表面积的大小，即可判断.
（1）按照方案一：仓库的底面直径为m，高为4 m，则仓库的体积为（m3）；按照方案二：仓库的底面直径为m，高为8 m，则仓库的体积为（m3）,
（2）根据题意，仓库的表面积即为圆锥的侧面积；按照方案一：仓库的底面直径为m，高为4 m，圆锥的母线长（m）则仓库的表面积（）；按照方案二：仓库的底面直径为m，高为8 m，圆锥的母线长（m）则仓库的表面积为（）.
（3）根据（1）（2）所求，，故方案二比方案一更加经济些.
20．（1）；（2）证明见解析．(1)求出圆柱下底面圆周的周长，结合圆柱的侧面积公式即可求解；（2）根据平面ABC，可得,结合可得平面,利用线面垂直的性质定理即可得证.
（1）由题意可得，又，所以,
所以圆柱的侧面积为.
(2)由题意可知，平面ABC，又平面ABC，所以,因为，,所以平面,又平面,所以.
本题主要考查圆柱的侧面积公式、线面垂直的判定定理与性质定理，属于基础题.
21．根据题意可知该四棱锥是正四棱锥，取正方形的中心，连接，则球心在上，根据已知条件求出的长，设外接球的半径为，在根据勾股定理列方程求出，再由球的表面积公式即可计算外接球的表面积
因为四棱锥中，底面是边长为的正方形，且各侧棱长均为，
所以该四棱锥是正四棱锥，取正方形的中心，连接，，则点为的中点，如图，则球心在上，
因为正方形边长为，所以，
所以，因为，所以，
设四棱锥外接球的半径为，则，
在中，，即，解得：，
所以该四棱锥外接球的表面积为.
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