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浙教版2023-2024学年数学七年级上册第3章实数（含解析）
3.4实数的运算
【知识重点】
实数的运算
1．实数的运算法则：有理数的运算律和运算法则在实数范围内仍适用．
2．实数的运算顺序：先算乘方和开方，再算乘除，最后算加减，如果遇到括号，则先进行括号里面的运算.
3．近似计算时按题目要求将用计算器算得的结果取近似值．
【经典例题】
【例1】计算：
（1） （2）
【答案】（1）解：
（2）解：
33．用计算器计算（结果保留小数点后两位）：
（1）；
（2）.
【答案】（1）解：原式＝，≈2.236 1.732＋0.145，＝0.649，≈0.65.
（2）解：原式＝，≈1.817 3.142 1.414，＝ 2.739，≈ 2.74.
【基础训练】
1．计算 的结果为（ ）
A．1 B．-1 C．-5 D．-7
【答案】B
【解析】 原式=3-4=-1.
故答案为：B.
2．化简的结果是（ ）
A． B．1 C．2 D．-1
【答案】B
【解析】；
故答案为：B.
3．计算 的结果为（ ）
A．-1 B．1 C．4-3 D．7
【答案】B
【解析】
=+
=4-3
=1.
故答案为：B.
4．比实数3 的相反数小7的数是（ ）
A．3 +7 B．3 -7 C．-3 +7 D．-3 -7
【答案】D
【解析】∵实数3 的相反数是：-3 ，
∴比实数3 的相反数小7的数是： -3 -7.
故答案为：D.
5．计算|2- |+|3- |的结果是（ ）
A．1 B．-1 C．5 D．-5
【答案】A
【解析】 |2- |+|3- |
=-2+3-
=1.
故答案为：A.
6．有下列说法：①在1和2之间的无理数有且只有 这两个；②实数与数轴上的点一一对应；③两个无理数的积一定是无理数；④ 是分数.其中正确的为（ ）
A．①②③④ B．①②④ C．②④ D．②
【答案】D
【解析】①在1和2之间的无理数有无限个，此说法错误；
②实数与数轴上的点一一对应，此说法正确；
③两个无理数的积不一定是无理数，如 ，此说法错误；
④ 是无理数，不是分数，此说法错误；
综上，说法正确的为②，
故答案为：D.
7．下列运算正确的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】A. ，所以A不符合题意；
B. ，所以B不符合题意；
C. ， 所以C符合题意；
D. 不是同类二次根式，不能合并；所以D不符合题意.
故答案为：C.
8．利用计算器计算： （保留两个有效数字）．
【答案】1.0
【解析】 1.0，
故答案为：1.0.
9．计算：-0.67-2×≈ （结果精确到0.1）。
【答案】-3.5
【解析】原式≈-0.67-2×1.41=-3.49≈-3.5.
故答案为：-3.5.
10．计算： .
【答案】6
【解析】=1.2×5=6.
故答案为：6.
11．试举一例，说明“两个无理数的和仍是无理数”是错误的： ．
【答案】 （互为相反数的两个无理数之和）
【解析】如果两个无理数互为相反数，
则这两个无理数的和就不是无理数
如﹣ =0，答案不唯一．
∴两个无理数的和仍是无理数是错误的．
故答案为：∵﹣ =0，0是有理数，
12．用计算器计算： (结果精确到0.01)
【答案】解： 原式
【解析】本题要求熟练运用计算器，对计算器给出的结果，根据近似数的概念四舍五入求解即可。
13．计算
（1）
（2）
（3）
（4）
（5）
【答案】（1）解：原式
（2）解：原式
（3）解：原式
（4）解：原式
（5）解：原式
14．利用计算器比较
和
的大小.
【答案】解：∵≈ ， ≈ ，
而 > ，
所以， .
15．任意找一个正数，比如1234，利用计算器对它进行开平方，再对得到的算术平方根进行开平方……如此进行下去，你有什么发现？
【答案】解：由题意可得：
大于1的数，如：1234，，，，，
，，，，，，
大于0小于1的数，如：0.7，
，，，，，，
对于1本身而言， ，
由此可得：对于任意一个正数，经过若干次求算术平方根后，最终所得结果一定无限接近1或等于1.
16．如图，一只蚂蚁从点A沿数轴向右爬个单位长度后到达点B，点A表示的数是，设点B所表示的数为m．
（1）求m的值；
（2）求的值．
【答案】（1）解： 根据题意得：，
∴m的值为；
（2）解： 当时，
．
【培优训练】
17．计算： = （ ）
A．1 B． C． D．
【答案】D
【解析】原式=
= .
故答案为：D.
18．计算： （ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】
=
= 。
故答案为：B。
19． 的倒数的平方是（ ）
A．2 B． C．-2 D．-
【答案】B
【解析】 的倒数的平方为
故答案为：B.
20．已知的整数部分是的小数部分是n，则 .
【答案】
【解析】∵，
∴的整数部分是，，
∵的整数部分是的小数部分是n，
∴，，
∴，
故答案为：.
21．计算： = ．
【答案】
【解析】
故答案为：
22．我们用符号[x]表示一个不大于实数x的最大整数，如：[3.69]=3，[﹣0.56]=﹣1，则按这个规律[﹣ ]= ．
【答案】-4
【解析】∵2＜ ＜3，
∴﹣4＜﹣ ﹣1＜﹣3，
∴[﹣ ]=﹣4．
故答案为：﹣4．
23．某高速公路规定汽车的行驶速度不得超过100千米/时，当发生交通事故时，交通警察通常根据刹车后车轮滑过的距离估计车辆的行驶速度，所用的经验公式是v＝16，其中v表示车速（单位：千米/时，d表示刹车后车轮滑过的距离（单位：米），f表示摩擦系数.在一次交通事故中，经测量d＝32米，f＝2，请你判断一下，肇事汽车当时是否超速了.
【答案】解：把d=32，f=2代入v=16，
v=16=128（km/h），
∵128＞100，
∴肇事汽车当时的速度超出了规定的速度.
24．数学老师在课堂上提出一个问题：“通过探究知道：＝1.414…，它是个无限不循环小数，也叫无理数，它的整数部分是1，那么有谁能说出它的小数部分是多少？”小明举手回答：“它的小数部分我们无法全部写出来，但可以用－1来表示它的小数部分.”张老师肯定了他的说法.现请你根据小明的说法解答：若的小数部分是a，的整数部分是b，求a＋b－的值.
【答案】解：∵4＜5＜9，36＜37＜49，
∴2＜＜3，6＜＜7，
∴a＝－2，b＝6，
∴a＋b－＝－2＋6－＝4.
25．解决下列题目：
（1）用计算器计算：
， ，
，
．
（2）观察题（1）中各式的计算结果，你能发现什么规律？
（3）试运用发现的规律猜想： ▲ ，并通过计算器验证你的猜想．
【答案】（1）3；33；333；3333
（2）解：根据（1）的计算结果可以得出：根号内被开方数是（）个数字1和个数字2的差，结果为个数字3．
（3）解：33333；略
26．先阅读下面材料，再解答问题：
材料：任意一个有理数与无理数的和为无理数，任意一个不为零的有理数与一个无理数的积为无理数，而零与无理数的积为零.由此可得：若，其中a，b为有理数，是无理数，则.
证明：∵，a为有理数
∴是有理数
∵b为有理数，是无理数
∴
∴
∴
（1）若，其中a、b为有理数，请猜想a= ，b= ，并根据以上材料证明你的猜想；
（2）已知的整数部分为a，小数部分为b，且x，y为有理数，x，y，a，b满足，求x，y的值.
【答案】（1）3；1；证明∵a+b=3+，其中a、b为有理数， ∴a-3+（b-1）=0， ∴， ∵a为有理数， ∴为有理数， ∴是有理数， 又∵为有理数，是无理数， ∴即， ∴， ∴即， ∴，；
（2）解：∵9＜11＜16，
∴3＜＜4，
∴a=3，，
代入得 ，
，
整理得 ，
∴，
解得.
27．观察下列一组算式的特征及运算结果，探索规律：
(1)，
(2)，
(3)，
(4).
（1）观察算式规律，计算 ； .
（2）用含正整的式子表示上述算式的规律： .
（3）计算：.
【答案】（1）7；21
（2）
（3）解：1×5+4 2×6+4+3×7+4 4×8+4+ +2021×2025+4
=3 4+5 6+…+2023
=( 1)×1010+2023
= 1010+2023
=1013.
【解析】（1），，
故答案为：7，21；
（2）用含正整的式子表示上述算式的规律：；
故答案为：；
28．借助计算器计算下列各题.
（1） ；
（2） .
（3） ；
（4） ；
（5）从上面的计算结果，你发现了什么规律？利用你发现的规律求
的值.
【答案】（1）1
（2）3
（3）6
（4）10
（5）解：规律为：式子右边的值等于左边被开方数中每个加数底数的和，结果为项数乘以（项数加1）的 ；
∴.
【解析】（1）
（2）
（3）
（4）
【直击中考】
29．若 取1.442，计算 的结果是（ ）
A．-100 B．-144.2 C．144.2 D．-0.01442
【答案】B
【解析】
故答案为：B．
30．计算： 的结果是（ ）
A．1 B． C．0 D．-1
【答案】C
【解析】原式= - =0.
31．计算： = .
【答案】
【解析】原式=3-=2.
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浙教版2023-2024学年数学七年级上册第3章实数
3.4实数的运算
【知识重点】
实数的运算
1．实数的运算法则：有理数的运算律和运算法则在实数范围内仍适用．
2．实数的运算顺序：先算乘方和开方，再算乘除，最后算加减，如果遇到括号，则先进行括号里面的运算.
3．近似计算时按题目要求将用计算器算得的结果取近似值．
【经典例题】
【例1】计算：
（1） （2）
【例2】用计算器计算（结果保留小数点后两位）：
（1）； （2）.
【基础训练】
1．计算 的结果为（ ）
A．1 B．-1 C．-5 D．-7
2．化简的结果是（ ）
A． B．1 C．2 D．-1
3．计算 的结果为（ ）
A．-1 B．1 C．4-3 D．7
4．比实数3 的相反数小7的数是（ ）
A．3 +7 B．3 -7 C．-3 +7 D．-3 -7
5．计算|2- |+|3- |的结果是（ ）
A．1 B．-1 C．5 D．-5
6．有下列说法：①在1和2之间的无理数有且只有 这两个；②实数与数轴上的点一一对应；③两个无理数的积一定是无理数；④ 是分数.其中正确的为（ ）
A．①②③④ B．①②④ C．②④ D．②
7．下列运算正确的是（ ）
A． B． C． D．
8．利用计算器计算： （保留两个有效数字）．
9．计算：-0.67-2×≈ （结果精确到0.1）。
10．计算： .
11．试举一例，说明“两个无理数的和仍是无理数”是错误的： ．
12．用计算器计算： (结果精确到0.01)
13．计算
（1） （2）
（3）
（4）
（5）
14．利用计算器比较
和
的大小.
15．任意找一个正数，比如1234，利用计算器对它进行开平方，再对得到的算术平方根进行开平方……如此进行下去，你有什么发现？
16．如图，一只蚂蚁从点A沿数轴向右爬个单位长度后到达点B，点A表示的数是，设点B所表示的数为m．
（1）求m的值；
（2）求的值．
【培优训练】
17．计算： = （ ）
A．1 B． C． D．
18．计算： （ ）
A． B． C． D．
19． 的倒数的平方是（ ）
A．2 B． C．-2 D．-
20．已知的整数部分是的小数部分是n，则 .
21．计算： = ．
22．我们用符号[x]表示一个不大于实数x的最大整数，如：[3.69]=3，[﹣0.56]=﹣1，则按这个规律[﹣ ]= ．
23．某高速公路规定汽车的行驶速度不得超过100千米/时，当发生交通事故时，交通警察通常根据刹车后车轮滑过的距离估计车辆的行驶速度，所用的经验公式是v＝16，其中v表示车速（单位：千米/时，d表示刹车后车轮滑过的距离（单位：米），f表示摩擦系数.在一次交通事故中，经测量d＝32米，f＝2，请你判断一下，肇事汽车当时是否超速了.
24．数学老师在课堂上提出一个问题：“通过探究知道：＝1.414…，它是个无限不循环小数，也叫无理数，它的整数部分是1，那么有谁能说出它的小数部分是多少？”小明举手回答：“它的小数部分我们无法全部写出来，但可以用－1来表示它的小数部分.”张老师肯定了他的说法.现请你根据小明的说法解答：若的小数部分是a，的整数部分是b，求a＋b－的值.
25．解决下列题目：
（1）用计算器计算：
， ，
，
．
（2）观察题（1）中各式的计算结果，你能发现什么规律？
（3）试运用发现的规律猜想： ▲ ，并通过计算器验证你的猜想．
26．先阅读下面材料，再解答问题：
材料：任意一个有理数与无理数的和为无理数，任意一个不为零的有理数与一个无理数的积为无理数，而零与无理数的积为零.由此可得：若，其中a，b为有理数，是无理数，则.
证明：∵，a为有理数
∴是有理数
∵b为有理数，是无理数
∴
∴
∴
（1）若，其中a、b为有理数，请猜想a= ，b= ，并根据以上材料证明你的猜想；
（2）已知的整数部分为a，小数部分为b，且x，y为有理数，x，y，a，b满足，求x，y的值.
27．观察下列一组算式的特征及运算结果，探索规律：
(1)，
(2)，
(3)，
(4).
（1）观察算式规律，计算 ； .
（2）用含正整的式子表示上述算式的规律： .
（3）计算：.
28．借助计算器计算下列各题.
（1） ；
（2） .
（3） ；
（4） ；
（5）从上面的计算结果，你发现了什么规律？利用你发现的规律求
的值.
【直击中考】
29．若 取1.442，计算 的结果是（ ）
A．-100 B．-144.2 C．144.2 D．-0.01442
30．计算： 的结果是（ ）
A．1 B． C．0 D．-1
31．计算： = .
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