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苏科版初中数学七年级上册第四单元《一元一次方程》单元测试卷
考试范围：第四章 考试时间 ：120分钟 总分 ：120分
第I卷（选择题）
一、选择题（本大题共12小题，共36.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）
1.在方程，，，中，是一元一次方程的个数为( )
A. 个 B. 个 C. 个 D. 个
2.观察下列方程，，，，，其中，一元一次方程有( )
A. 个 B. 个 C. 个 D. 个
3.下列方程是一元一次方程的是( )
A. B. C. D.
4.已知，则满足为整数的所有整数的和是
( )
A. B. C. D.
5.下列变形正确的是( )
A. 变形，得
B. 变形，得
C. 变形，得
D. 变形，得
6.已知关于的方程无解，则是( )
A. 正数 B. 非负数 C. 负数 D. 非正数
7.今年哥哥的年龄是妹妹年龄的倍，年前哥哥的年龄是妹妹年龄的倍，若设妹妹今年岁，则可列方程为
．( )
A. B.
C. D.
8.，两地相距千米，甲，乙两车分别从，两地同时出发，相向而行．已知甲车速度为千米时，乙车速度为千米时，经过小时两车相距千米，则的值是
( )
A. 或 B. 或 C. 或 D. 或
9.根据图中两人的对话，小南买平板电脑的预算是( )
A. 元 B. 元 C. 元 D. 元
10.近年来，网购的蓬勃发展方便了人们的生活某快递分派站现有包裹若干件需快递员派送，若每个快递员派送件，还剩件；若每个快递员派送件，还差件，设该分派站有名快递员，则可列方程为( )
A. B.
C. D.
11.解方程“去分母”后变形正确的是( )
A. B.
C. D.
12.下列根据等式的性质变形不正确的是( )
A. 由，得到 B. 由，得到
C. 由，得到 D. 由，得到
第II卷（非选择题）
二、填空题（本大题共4小题，共12.0分）
13.关于的方程是一元一次方程，则______．
14.若是关于的方程的解，则关于的方程的解为______．
15.幻方是古老的数学问题，我国古代的洛书中记载了最早的幻方九宫格将个数填入幻方的空格中，要求每一横行、每一竖列以及两条对角线上的个数之和相等例如：图就是一个幻方，图是一个未完成的幻方，则的值是 ．
16.用张白铁皮做罐头盒，每张白铁皮可制盒身个或盒底个，一个盒身与两个盒底配成一套罐头盒设把张白铁皮制盒身，则可列方程为 ．
三、解答题（本大题共9小题，共72.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
17.本小题分
已知是关于的一元一次方程．
求的值；
若，求出的值；
若数满足，试化简：．
18.本小题分
已知是关于的一元一次方程
求的值
若，求的值
19.本小题分
已知关于的方程是一元一次方程，试求：
的值；
的值．
20.本小题分
用“”定义一种新运算：对于任意有理数和，规定如：．
求的值；
若，求的值；
若，其中为有理数，试比较大小______用不等号填空．
21.本小题分
阅读下列材料：
关于的方程
的解是
的解是
的解是
以上材料，解答下列问题：
观察上述方程以及解的特征，
请你直接写出关于的方程的解为_________________
比较关于的方程与上面各式的关系，猜想它的解是_____________________________；
请验证第问猜想的结论
利用第问的结论，求解关于的方程的解．
22.本小题分
对于任意四个有理数，，，，我们规定：，例如：，根据上述规定解决下列问题：
计算；
若，求的值．
23.本小题分
某市区居民生活用水开始实行阶梯式计量水价，该阶梯式计量水价分为三级如下表所示：
月用水量吨 水价元吨
第一级 吨以下含吨
第二级 吨---吨含吨
第三级 吨以上
例：某用户的月用水量为吨，按三级计量应缴交水费为：元
如果甲用户年月的用水量为吨，则甲需缴交的水费为___元；
如果乙用户年月的用水量为吨，水价要按两级计算，则乙用户该月应缴交水费多少元？用含的代数式表示，结果尽量化简；
如果丙用户年月应缴交水费元，则丙用户该月用水多少吨？
24.本小题分
某工人计划加工一批产品，如果每小时加工产品个，就可以在预定时间完成任务，如果每小时多加工个，就可以提前小时完成任务．
该产品的预定加工时间为几小时？
若该产品销售时的标价为元个，按标价的八折销售时，每个仍可以盈利元，该批产品总成本为多少元？
25.本小题分
为准备联合韵律操表演，甲、乙两校共人准备统一购买服装一人买一套参加表演，其中甲校人数多于乙校人数，下面是服装厂给出的演出服装的价格表：
购买服装的套数 套至套 套至套 套及以上
每套服装的价格 元 元 元
如果两所学校分别单独购买服装，一共应付元．
如果甲、乙两校联合起来购买服装，那么比各自购买服装共可以节省多少钱？
甲、乙两校各有多少学生准备参加表演？
如果甲校有名同学抽调去参加迎奥运书法比赛不能参加演出，那么你有几种购买方案，通过比较，你该如何购买服装才能最省钱？
答案和解析
1.【答案】
【解析】【分析】
本题主要考查了一元一次方程的定义：只含有一个未知数，并且未知数的次数是的整式方程，叫做一元一次方程．
根据一元一次方程的定义进行判断即可．
【解答】
解：中含有个未知数，属于二元一次方程，不符合题意，
是分式方程，不符合题意；
符合一元一次方程的定义，符合题意；
由得到：符合一元一次方程的定义，符合题意；
一元一次方程的个数有个，
故选B．
2.【答案】
【解析】解：，是一元一次方程；
，都不是一元一次方程；
所以一元一次方程有个，
故选：．
利用一元一次方程的定义判断即可．
此题考查了一元一次方程的定义，熟练掌握一元一次方程的定义是解本题的关键．
3.【答案】
【解析】解：该式子不含未知数，不是方程，故本选项不符合题意；
B.，是一元一次方程，故本选项符合题意；
C.，不是方程，故本选项不符合题意；
D.，是一元二次方程，不是一元一次方程，故本选项不符合题意．
故选：．
根据一元一次方程的定义逐个判断即可．
本题考查了一元一次方程的定义，能熟记一元一次方程的定义是解此题的关键，只含有一个未知数，并且所含未知数的项的最高次数是的整式方程，叫一元一次方程．
4.【答案】
【解析】【分析】
本题主要考查一元一次方程的解，解题的关键是将变形为 ，并根据为整数得出关于的方程将变形为 ，据此可得或时取得整数，解之求得的值可得答案．
【解答】
解：
，
当或或或时，为整数，
解得：或或或，
则满足为整数的所有整数的和为．
故选D．
5.【答案】
【解析】解：、变形得：，故选项错误；
B、变形得：，故选项正确；
C、变形得：，故选项错误；
D、变形得，故选项错误．
故选B．
各项利用去分母，去括号，移项合并，将系数化为的方法计算得到结果，即可做出判断．
此题考查了解一元一次方程，其步骤为：去分母，去括号，移项合并，将未知数系数化为，求出解．
6.【答案】
【解析】【分析】
本题考查了一元一次方程的解：使一元一次方程左右两边相等的未知数的值叫做一元一次方程的解．把方程的解代入原方程，等式左右两边相等．先把方程化为，利用方程无解得到，用表示，则从而可对各选项进行判断．
【解答】
解：关于的方程无解，
，
，
．
故选：．
7.【答案】
【解析】【分析】
本题考查了由实际问题抽象出一元一次方程，关键知道年龄差是不变的，所以根据倍数关系可列出方程．
若设妹妹今年岁，根据今年哥哥的年龄是妹妹年龄的倍，四年前哥哥的年龄是妹妹年龄的倍，可列出方程．
【解答】
解：设妹妹今年岁，根据题意得
．
故选B．
8.【答案】
【解析】【试题解析】
【分析】本题解决的关键是：能够理解有两种情况、能够根据题意找出题目中的相等关系．
如果甲、乙两车是在环形车道上行驶，则本题应分两种情况进行讨论：
一、两车在相遇以前相距千米，在这个过程中存在的相等关系是：甲的路程乙的路程千米；
二、两车相遇以后又相距千米．在这个过程中存在的相等关系是：甲的路程乙的路程千米．
已知车的速度，以及时间就可以列代数式表示出路程，得到方程，从而求出时间的值．
【解答】解：当甲、乙两车未相遇时，根据题意，得，
解得；
当两车相遇后，两车又相距千米时，
根据题意，得，
解得．
故选：．
9.【答案】
【解析】解：设小南买平板电脑的预算是元，
则原售价为元，现售价为元，
根据题意知，，
解得：，
答：小南买平板电脑的预算是元．
故选：．
设小南买平板电脑的预算是元，则原售价为元，现售价为元，根据“预算现售价”列方程求解即可．
本题主要考查一元一次方程的应用，解题的关键是理解题意，找到题目中蕴含的相等关系，并据此列出方程．
10.【答案】
【解析】解：设该分派站有名快递员，则可列方程为：
．
故选：．
设该分派站有名快递员，根据“若每个快递员派送件，还剩件；若每个快递员派送件，还差件”，即可得出关于的一元一次方程，求出答案．
本题考查了由实际问题抽象出一元一次方程，找准等量关系是解题的关键．
11.【答案】
【解析】解：方程两边同时乘以得：，
去括号得：．
故选：．
去分母的方法是方程两边同时乘各分母的最小公倍数，在去分母的过程中注意分数线右括号的作用，以及去分母时不能漏乘没有分母的项．
本题考查了一元一次方程的解，掌握一元一次方程的解法是关键．
12.【答案】
【解析】解：、由，得到，正确；
B、由，得到，正确；
C、当时，由，，错误；
D、由，得到，正确；
故选：．
根据等式的性质：等式的两边同时加上或减去同一个数或字母，等式仍成立；等式的两边同时乘以或除以同一个不为的数或字母，等式仍成立，可得答案．
本题主要考查了等式的基本性质，等式的两边同时加上或减去同一个数或字母，等式仍成立；等式的两边同时乘以或除以同一个不为的数或字母，等式仍成立．
13.【答案】
【解析】【分析】
此题主要考查了一元一次方程的定义，只含有一个未知数元，且未知数的次数是，这样的方程叫一元一次方程，根据一元一次方程的定义可得，且，再解即可．
【解答】
解：由题意得：，且，
解得：，
故答案为．
14.【答案】
【解析】解：由若是关于的方程的解，得
．
把代入，得
，
解得，
故答案为：．
根据方程的解满足方程，可得，根据整体代入法，可得关于的方程，根据解方程，可得答案．
本题考查了一元一次方程的解，利用整体代入得出是解题关键．
15.【答案】
【解析】解：如图，由题意得：，解得：，
，即，解得：，
，即，解得：，
，解得：，
，即，解得：，则，
所以．
故答案为：．
如图，设空白处的字母为，，，，根据题意列出方程，求解即可．
本题考查了一元一次方程的应用，读懂题意，找出等量关系列出方程是解题的关键．
16.【答案】
【解析】解：设把张白铁皮制盒身，则张白铁皮制盒底，根据题意得，
，
故答案为：．
设把张白铁皮制盒身，则张白铁皮制盒底，根据“一个盒身与两个盒底配成一套罐头盒”列出一元一次方程即可求解．
本题考查了一元一次方程的应用，根据题意列出方程是解题的关键．
17.【答案】解：，
，
，
，
；
，
即，
或，
或；
，即，
，
，，
．
【解析】根据一元一次方程的意义和未知数系数不等于求解；
根据绝对值意义转化为两个方程求解；
确定的范围，去绝对值合并．
本题考查一元一次方程意义和绝对值意义．确定绝对值内代数式符号是解答关键．
18.【答案】解：根据题意，得，且
由，
得，
由，
得，
所以的值为；
由，，得，即或，
解得或，
因此的值为或．
【解析】本题考查了一元一次方程的定义，解绝对值方程，熟练掌握一元一次方程的定义及绝对值的定义是解答本题的关键．
根据一元一次方程的定义，由的指数等于，系数不等于解答即可；
把的值代入，根据绝对值的意义求解即可．
19.【答案】解：由题意，得
且，
解得．
当时，．
【解析】根据一元一次方程的定义求解即可；
根据代数式求值，可得答案．
本题主要考查了一元一次方程的一般形式，只含有一个未知数，未知数的指数是，一次项系数不是，这是这类题目考查的重点．
20.【答案】解：
；
，
，
，
，
，
；
．
【解析】【分析】
本题考查了解一元一次方程，能根据新运算展开是解此题的关键，注意：解一元一次方程的步骤是：去分母，去括号，移项，合并同类项，系数化成即可．
根据新运算展开，再求出即可；
先根据新运算展开，再解一元一次方程即可；
先根据新运算展开，再求出、，即可得出答案．
【解答】
解：见答案；
见答案；
，
．
故答案为．
21.【答案】解：
当时，，所以方程仍然成立
设，则原方程为，
移项得：，
所以
即
所以 ．
【解析】【分析】
本题考查了规律型：数字的变化类、方程的解以及常用解题方法换元法．
根据规律，直接写出答案即可；
根据规律，直接写出答案即可；
将代入方程，验证即可；
设，再根据规律计算即可．
【解答】
解：关于的方程
的解是
的解是
的解是
根据以上规律得：
关于的方程的解为，
故答案为；
根据以上规律得：
关于的方程的解是，
故答案为；
见答案；
见答案．
22.【答案】解：
；
，
，
解得．
【解析】根据题干所给公式计算可得；
由题意得出，解之可得．
本题主要考查有理数的混合运算，解题的关键是熟练掌握新定义和有理数的混合运算顺序与运算法则、解一元一次方程的能力．
23.【答案】
乙用户年月的用水量为吨，水价要按两级计算，
乙用户该月应缴交水费：元，
即乙用户该月应缴交水费元；
，
设丙用户该月用水吨，
，
解得，，
答：丙用户该月用水吨．
【解析】【分析】
根据表格中的数据可以解答本题；
根据题意和表格中的数据可以解答本题；
根据题意可以列出相应的方程，从而可以求得丙用户该月用水多少吨．
本题考查一元一次方程的应用，解答本题的关键是明确题意，列出相应的方程，利用方程的知识解答．
【解答】
解：如果甲用户年月的用水量为吨，
则甲需缴交的水费为：元，
故答案为：；
见答案
见答案
24.【答案】解：设这批产品需要加工个，
，
，
，
答：该产品的预定加工时间为小时；
设该批产品成本为元个，
，
，
，
答：该批产品总成本为元．
【解析】设这批产品需要加工个，根据按现在的加工速度可以提前小时完成任务列方程，解方程即可；
先计算每个产品的成本，由可知：该产品一共有个，可得结论．
本题考查了一元一次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元一次方程是解题的关键．
25.【答案】解：若甲、乙两校联合起来购买服装，那么比各自购买服装共可以节省：
元；
设甲校有学生人依题意，则乙校有学生人．
依题意得：，解得：．
经检验符合题意．
所以．
故甲校有人，乙校有人．
方案一：各自购买服装需元；
方案二：联合购买服装需元；
方案三：联合购买套服装需元；
综上所述：因为．
所以应该甲乙两校联合起来选择按元每套一次购买套服装最省钱．
【解析】此题考查了一元一次方程的应用，解题关键是要理清题意，找出合适的等量关系列出方程，再求解，属中档题．
根据：“节省费用单独购买服装总费用联合起来购买服装总费用”列式计算；
由两学校分别单独购买时的相等关系：“甲校购买服装总费用乙校购买服装总费用共付费用”，列方程可得；
有三种方案：各自购买、联合购买、购买套，分别计算、比较可得．
精品试卷·第 2 页 （共 2 页）
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