卷子答案网-一个不只有答案的网站5.7 三角函数的应用
一、单项选择题
1．函数y＝－2sin的周期、振幅、初相分别是( )
A．2π，－2， B．4π，－2，
C．2π，2，－ D．4π，2，－
2．如图，是一机械振动的传播图，图中E，F，G，H四点经过半个周期后达到最高点的是( )
A．E B．F C．G D．H
3．如果单摆从某点开始来回摆动，离开平衡位置的距离s(cm)和时间t(s)的函数解析式为s＝6sin，那么单摆来回摆动一次所需的时间为( )
A．2π s B．π s C．0.5 s D．1 s
4．国际油价在某一时间内呈现正弦波动规律：P＝Asin＋60(美元)[t(天)，A>0，ω>0]，现采集到下列信息：最高油价80美元，当t＝150(天)时达到最低油价，则ω的最小值为( )
A. B. C. D.
5. 电流强度I(安)随时间t(秒)变化的函数I＝Asin(A>0，ω≠0)的图象如图所示，则当t＝秒时，电流强度是( )
A．－5安 B．5安 C．5安 D．10安
6．如图所示，设点A是单位圆上的一定点，动点P从点A出发在圆上按逆时针方向旋转一周，点P所旋转过的弧的长为l，弦AP的长为d，则函数d＝f(l)的图象大致是( )
7．商场人流量被定义为每分钟通过入口的人数，某商场一天的人流量满足函数f(t)＝50＋4sin(t≥0)，则下列时间段内人流量是增加的是( )
A．[0,5] B．[5,10] C．[10,15] D．[15,20]
8．动点A(x，y)在圆x2＋y2＝1上绕坐标原点沿逆时针方向匀速旋转，12秒旋转一周．已知时间t＝0时，点A的坐标是，则当0≤t≤12时，动点A的纵坐标y关于t(单位：秒)的函数的单调递增区间是 ( )
A．[0,1] B．[1,7]
C．[7,12] D．[0,1]和[7,12]
二、多项选择题
9. 如图所示，一个半径为10米的水轮按逆时针方向每分钟转4圈．记水轮上的点P到水面的距离为d米(P在水面下d取负数)，则d(米)与时间t(秒)之间满足关系式：d＝Asin(ωt＋φ)＋k，且当P点从水面上浮现时开始计算时间．以下四个结论正确的是( )
A．A＝10 B．ω＝
C．φ＝－ D．k＝5
10．某实验室一天的温度(单位：℃)随时间t(单位：h)的变化近似满足函数关系：f(t)＝10－2sin，t∈[0，24)．下列说法正确的是( )
A．实验室这一天上午8时的温度为10 ℃
B．3时实验室这一天的温度达到最低
C．14时实验室这一天的温度达到最高
D．实验室这一天的最大温差为4 ℃
11. 如图，弹簧挂着的小球做上下振动，时间t(s)与小球对于平衡位置(即静止时状态)的高度h(cm)之间的关系式是h＝2sin，t∈[0，＋∞)，下列说法正确的是( )
A．小球开始振动时，在平衡位置上方 cm处
B．最高点、最低点与平衡位置的距离都是2
C．往复振动一次需2π s
D．π s时小球达到最低点
12. 水车在古代是进行灌溉引水的工具，是人类的一项古老的发明，也是人类利用自然和改造自然的象征．如图是一个半径为R的水车，一个水斗从点A(3，－3)出发，沿圆周按逆时针方向匀速旋转，且旋转一周用时60秒．经过t秒后，水斗旋转到P点，设P的坐标为(x，y)，其纵坐标满足y＝f(t)＝Rsin(ωt＋φ).则下列叙述正确的是( )
A．R＝6，ω＝，φ＝－
B．当t∈[35,55]时，点P到x轴的距离的最大值为6
C．当t∈[10,25]时，函数y＝f(t)单调递减
D．当t＝20时，点P到x轴的距离为6
三、填空题
13. 如图，某港口一天6时到18时的水深变化曲线近似满足函数y＝3sin＋k.据此函数可知，这段时间水深(单位：m)的最大值为________m.
14．已知某种交流电流I(A)随时间t(s)的变化规律可以拟合为函数I＝5sin，t∈[0，＋∞)，则这种交流电流在0.5 s内往复运行________次．
15．某时钟的秒针端点A到中心点O的距离为5 cm，秒针均匀地绕点O旋转，当时间t＝0时，点A与钟面上标12的点B重合，将A，B两点的距离d(cm)表示成t(s)的函数，则d＝________，其中t∈[0,60]．
16．据市场调查，某种商品在一年内每件的出厂价在7千元的基础上，按月呈f(x)＝Asin(ωx＋φ)＋b的模型波动(x为月份)，已知3月份达到最高价9千元，7月份价格最低，为5千元，根据以上条件确定f(x)的解析式为________，5月份该商品每件的出厂价为________千元．
四、解答题
17．如图所示，点O为做简谐运动的物体的平衡位置，取向右的方向为物体的位移的正方向，已知振幅为3 cm，周期为3 s，且物体向右运动到距平衡位置最远处A时开始计时．
(1)求物体对平衡位置的位移x(cm)和时间t(s)之间的函数关系式；
(2)求该物体在t＝5 s时的位置．
18．为迎接夏季旅游旺季的到来，少林寺单独设置了一个专门安排旅客住宿的客栈，寺庙的工作人员发现为游客准备的食物有些月份剩余不少，浪费很严重，为了控制经营成本，减少浪费，就想适时调整投入．为此他们统计每个月入住的游客人数，发现每年各个月份来客栈入住的游客人数会发生周期性的变化，并且有以下规律：
①每年相同的月份，入住客栈的游客人数基本相同；
②入住客栈的游客人数在2月份最少，在8月份最多，相差约400人；
③2月份入住客栈的游客约为100人，随后逐月递增直到8月份达到最多．
(1)试用一个正弦型三角函数描述一年中入住客栈的游客人数与月份之间的关系；
(2)请问哪几个月份要准备400份以上的食物？
5.7 三角函数的应用
一、单项选择题
1．函数y＝－2sin的周期、振幅、初相分别是( )
A．2π，－2， B．4π，－2，
C．2π，2，－ D．4π，2，－
答案 D
解析 y＝－2sin＝2sin，所以周期T＝＝4π，振幅A＝2，初相φ＝－.
2．如图，是一机械振动的传播图，图中E，F，G，H四点经过半个周期后达到最高点的是( )
A．E B．F C．G D．H
答案 B
解析 由图象易知F点经过半个周期达到最高点．
3．如果单摆从某点开始来回摆动，离开平衡位置的距离s(cm)和时间t(s)的函数解析式为s＝6sin，那么单摆来回摆动一次所需的时间为( )
A．2π s B．π s C．0.5 s D．1 s
答案 D
解析 单摆来回摆动一次即完成了一个周期运动，而周期T＝＝1，所以单摆来回摆动一次所需的时间为1 s.
4．国际油价在某一时间内呈现正弦波动规律：P＝Asin＋60(美元)[t(天)，A>0，ω>0]，现采集到下列信息：最高油价80美元，当t＝150(天)时达到最低油价，则ω的最小值为( )
A. B. C. D.
答案 A
解析 因为Asin＋60＝80，sin≤1，所以A＝20，当t＝150(天)时达到最低油价，即sin＝－1，此时150ωπ＋＝2kπ－，k∈Z，因为ω>0，所以当k＝1时，ω取最小值，所以150ωπ＋＝，解得ω＝.
5. 电流强度I(安)随时间t(秒)变化的函数I＝Asin(A>0，ω≠0)的图象如图所示，则当t＝秒时，电流强度是( )
A．－5安 B．5安 C．5安 D．10安
答案 B
解析 由图象可知A＝10，T＝2×＝，∴＝，∴ω＝100π.∴I＝10sin.当t＝秒时，I＝10sin＝5(安)．
6．如图所示，设点A是单位圆上的一定点，动点P从点A出发在圆上按逆时针方向旋转一周，点P所旋转过的弧的长为l，弦AP的长为d，则函数d＝f(l)的图象大致是( )
答案 C
解析 设所对的圆心角为α，则α＝l，弦AP的长d＝2·|OA|·sin，即有d＝f(l)＝2sin，故其图象大致是C.
7．商场人流量被定义为每分钟通过入口的人数，某商场一天的人流量满足函数f(t)＝50＋4sin(t≥0)，则下列时间段内人流量是增加的是( )
A．[0,5] B．[5,10] C．[10,15] D．[15,20]
答案 C
解析 由2kπ－≤≤2kπ＋，k∈Z，得4kπ－π≤t≤4kπ＋π，k∈Z，即函数f(t)的单调递增区间为[4kπ－π，4kπ＋π]，k∈Z.当k＝1时，函数的单调递增区间为[3π，5π]，而[10,15]?[3π，5π]，故选C.
8．动点A(x，y)在圆x2＋y2＝1上绕坐标原点沿逆时针方向匀速旋转，12秒旋转一周．已知时间t＝0时，点A的坐标是，则当0≤t≤12时，动点A的纵坐标y关于t(单位：秒)的函数的单调递增区间是 ( )
A．[0,1] B．[1,7]
C．[7,12] D．[0,1]和[7,12]
答案 D
解析 设动点A与x轴正方向的夹角为α，则t＝0时，α＝，每秒钟旋转，在t∈[0,1]上，α∈，在t∈[7，12]上，α∈，在t∈[0,1]上和t∈[7,12]上动点A的纵坐标y关于t都是单调递增的，故选D.
二、多项选择题
9. 如图所示，一个半径为10米的水轮按逆时针方向每分钟转4圈．记水轮上的点P到水面的距离为d米(P在水面下d取负数)，则d(米)与时间t(秒)之间满足关系式：d＝Asin(ωt＋φ)＋k，且当P点从水面上浮现时开始计算时间．以下四个结论正确的是( )
A．A＝10 B．ω＝
C．φ＝－ D．k＝5
答案 ABCD
解析 由题意知，A＝10，k＝5，T＝＝15，ω＝＝.∴d＝10sin＋5.又当t＝0时，d＝0，∴10sinφ＋5＝0.∴sinφ＝－.又－<φ<，∴φ＝－.故A，B，C，D均正确．
10．某实验室一天的温度(单位：℃)随时间t(单位：h)的变化近似满足函数关系：f(t)＝10－2sin，t∈[0，24)．下列说法正确的是( )
A．实验室这一天上午8时的温度为10 ℃
B．3时实验室这一天的温度达到最低
C．14时实验室这一天的温度达到最高
D．实验室这一天的最大温差为4 ℃
答案 ACD
解析 f(8)＝10－2sin＝10－2×0＝10(℃)，即实验室这一天上午8时的温度为10 ℃，A正确．因为0≤t<24，所以≤t＋<，－1≤sin≤1.当t＝2时，sin＝1；当t＝14时，sin＝－1，则当t＝14时，f(t)取得最大值12，当t＝2时，f(t)取得最小值8，B错误，C正确．实验室这一天的最高温度为12 ℃，最低温度为8 ℃，最大温差为4 ℃，D正确．故选ACD.
11. 如图，弹簧挂着的小球做上下振动，时间t(s)与小球对于平衡位置(即静止时状态)的高度h(cm)之间的关系式是h＝2sin，t∈[0，＋∞)，下列说法正确的是( )
A．小球开始振动时，在平衡位置上方 cm处
B．最高点、最低点与平衡位置的距离都是2
C．往复振动一次需2π s
D．π s时小球达到最低点
答案 ABC
解析 令t＝0，得h＝，即小球开始振动时，在平衡位置上方 cm处，A正确；由h＝2sin，知h的最大值为2，最小值为－2，则最高点、最低点与平衡位置的距离都是2，B正确；函数的周期T＝2π，即往复振动一次需2π s，C正确；当t＝π时，h＝2sin＝2×＝－≠－2，D错误．故选ABC.
12. 水车在古代是进行灌溉引水的工具，是人类的一项古老的发明，也是人类利用自然和改造自然的象征．如图是一个半径为R的水车，一个水斗从点A(3，－3)出发，沿圆周按逆时针方向匀速旋转，且旋转一周用时60秒．经过t秒后，水斗旋转到P点，设P的坐标为(x，y)，其纵坐标满足y＝f(t)＝Rsin(ωt＋φ).则下列叙述正确的是( )
A．R＝6，ω＝，φ＝－
B．当t∈[35,55]时，点P到x轴的距离的最大值为6
C．当t∈[10,25]时，函数y＝f(t)单调递减
D．当t＝20时，点P到x轴的距离为6
答案 ABD
解析 由题意，得R＝＝6，T＝60＝，∴ω＝.由一个水斗从点A(3，－3)出发，可知f(0)＝－3，∴－3＝6sinφ.∵|φ|<，∴φ＝－，A正确；由上可知，f(t)＝6sin，当t∈[35,55]时，t－∈，故点P到x轴的距离的最大值为6，B正确；当t∈[10,25]时，t－∈，此时函数y＝f(t)不单调，C不正确；当t＝20时，t－＝，点P的纵坐标为6，D正确．
三、填空题
13. 如图，某港口一天6时到18时的水深变化曲线近似满足函数y＝3sin＋k.据此函数可知，这段时间水深(单位：m)的最大值为________m.
答案 8
解析 由题图可知－3＋k＝2，得k＝5，
∴y＝3sin＋5，∴ymax＝3＋5＝8.
14．已知某种交流电流I(A)随时间t(s)的变化规律可以拟合为函数I＝5sin，t∈[0，＋∞)，则这种交流电流在0.5 s内往复运行________次．
答案 25
解析 据I＝5sin知ω＝100π rad/s，该电流的周期为T＝＝＝0.02 s，则这种交流电流在0.5 s内往复运行次数为n＝＝ s＝25(次)．
15．某时钟的秒针端点A到中心点O的距离为5 cm，秒针均匀地绕点O旋转，当时间t＝0时，点A与钟面上标12的点B重合，将A，B两点的距离d(cm)表示成t(s)的函数，则d＝________，其中t∈[0,60]．
答案 10sint
解析 函数解析式可设为d＝Asin(ωt＋φ)的形式，由题意易知A＝10，当t＝0时，d＝0，得φ＝0；当t＝30时，d＝10，可得ω＝，所以d＝10sint.
16．据市场调查，某种商品在一年内每件的出厂价在7千元的基础上，按月呈f(x)＝Asin(ωx＋φ)＋b的模型波动(x为月份)，已知3月份达到最高价9千元，7月份价格最低，为5千元，根据以上条件确定f(x)的解析式为________，5月份该商品每件的出厂价为________千元．
答案 f(x)＝2sin＋7(1≤x≤12，x∈N*) 7
解析 由题意，得函数f(x)的周期为8，A＝2，b＝7，则ω＝，
∴f(x)＝2sin＋7.令x＝3，得9＝2sin＋7 sin＝1.又|φ|<，∴φ＝－.∴f(x)＝2sin＋7(1≤x≤12，x∈N*)．f(5)＝2sin＋7＝2sinπ＋7＝7，即5月份该商品每件的出厂价为7千元．
四、解答题
17．如图所示，点O为做简谐运动的物体的平衡位置，取向右的方向为物体的位移的正方向，已知振幅为3 cm，周期为3 s，且物体向右运动到距平衡位置最远处A时开始计时．
(1)求物体对平衡位置的位移x(cm)和时间t(s)之间的函数关系式；
(2)求该物体在t＝5 s时的位置．
解 (1)由题意，可设x＝3sin(ωt＋φ)(ω>0,0≤φ<2π)，则由T＝＝3，得ω＝.当t＝0时，x＝3，有3＝3sinφ，即sinφ＝1.
而0≤φ<2π， 所以φ＝.
故所求函数关系式为x＝3sin，
即x＝3cost.
(2)当t＝5时，x＝3cos＝3cos＝－1.5.
故该物体在t＝5 s时的位置是在O点左侧且距O点1.5 cm处．
18．为迎接夏季旅游旺季的到来，少林寺单独设置了一个专门安排旅客住宿的客栈，寺庙的工作人员发现为游客准备的食物有些月份剩余不少，浪费很严重，为了控制经营成本，减少浪费，就想适时调整投入．为此他们统计每个月入住的游客人数，发现每年各个月份来客栈入住的游客人数会发生周期性的变化，并且有以下规律：
①每年相同的月份，入住客栈的游客人数基本相同；
②入住客栈的游客人数在2月份最少，在8月份最多，相差约400人；
③2月份入住客栈的游客约为100人，随后逐月递增直到8月份达到最多．
(1)试用一个正弦型三角函数描述一年中入住客栈的游客人数与月份之间的关系；
(2)请问哪几个月份要准备400份以上的食物？
解 (1)设该函数为f(x)＝Asin(ωx＋φ)＋B(A>0，ω>0,0<|φ|<π)，根据条件①，可知这个函数的周期是12；由②可知，f(2)最小，f(8)最大，且f(8)－f(2)＝400，故该函数的振幅为200；由③可知，f(x)在[2,8]上单调递增，且f(2)＝100，所以f(8)＝500.
根据上述分析可得，＝12，
故ω＝，且解得
根据分析可知，当x＝2时，f(x)最小，
当x＝8时，f(x)最大，
故sin＝－1，且sin＝1.
又因为0<|φ|<π，故φ＝－.
所以入住客栈的游客人数与月份之间的关系式为
f(x)＝200sin＋300.
(2)由条件可知，200sin＋300≥400，化简得
sin≥ 2kπ＋≤x－≤2kπ＋，k∈Z，
解得12k＋6≤x≤12k＋10，k∈Z.
因为x∈N*，且1≤x≤12，所以x＝6,7,8,9,10.
即只有6,7,8,9,10五个月份要准备400份以上的食物．
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