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2024数学中考专题复习
2.2 分式方程
5年中考
考点1 分式方程及其解法
1.(2021四川成都,8,3分)分式方程=1的解为( )
A.x=2 B.x=-2 C.x=1 D.x=-1
2.(2023山东日照,10,3分)若关于x的方程的解为正数,则m的取值范围是( )
A.m>-
C.m>-且m≠0 D.m<且m≠
3.(2022江苏苏州,18,5分)解方程:=1.
4.(2023山西,17,7分)解方程:.
考点2 分式方程的实际应用
5.(2022云南,12,4分)某地开展建设绿色家园活动,活动期间,计划每天种植相同数量的树木,该活动开始后,实际每天比原计划每天多植树50棵,实际植树400棵所需时间与原计划植树300棵所需时间相同.设实际每天植树x棵,则下列方程正确的是( )
A.
C.
6.(2021山西,18,7分)太原武宿国际机场简称“太原机场”,是山西省开通的首条定期国际客运航线.游客从太原某景区乘车到太原机场,有两条路线可供选择,路线一:走迎宾路经太榆路全程是25千米,但交通比较拥堵;路线二:走太原环城高速全程是30千米,平均速度是路线一的倍,因此到达太原机场的时间比走路线一少用7分钟,求走路线一到达太原机场需要多长时间.
7.(2022重庆A卷,21,10分)在全民健身运动中,骑行运动颇受市民青睐,甲、乙两骑行爱好者约定从A地沿相同路线骑行去距A地30千米的B地,已知甲骑行的速度是乙的1.2倍.
(1)若乙先骑行2千米,甲才开始从A地出发,则甲出发半小时恰好追上乙,求甲骑行的速度;
(2)若乙先骑行20分钟,甲才开始从A地出发,则甲、乙恰好同时到达B地,求甲骑行的速度.
8.(2023重庆A卷,22,10分)某公司不定期为员工购买某预制食品厂生产的杂酱面、牛肉面两种食品.
(1)该公司花费3 000元一次性购买了杂酱面、牛肉面共170份,此时杂酱面、牛肉面的价格分别为15元、20元,求购买两种食品各多少份;
(2)由于公司员工人数和食品价格有所调整,现该公司分别花费1 260元、1 200元一次性购买杂酱面、牛肉面两种食品,已知购买杂酱面的份数比牛肉面的份数多50%,每份杂酱面比每份牛肉面的价格少6元,求购买牛肉面多少份.
9.(2023山东济宁,20,8分)为加快公共领域充电基础设施建设,某停车场计划购买A,B两种型号的充电桩.已知A型充电桩比B型充电桩的单价少0.3万元,且用15万元购买A型充电桩与用20万元购买B型充电桩的数量相等.
(1)A,B两种型号充电桩的单价各是多少
(2)该停车场计划共购买25个A,B型充电桩,购买总费用不超过26万元,且B型充电桩的购买数量不少于A型充电桩购买数量的.问:共有哪几种购买方案 哪种方案所需购买总费用最少
3年模拟
53·基础练
1.(2022江苏无锡模拟)将分式方程去分母化为整式方程,所得结果正确的是( )
A.2-x-3=5 B.2-x+3=5
C.2-x-3=-5 D.2-x+3=-5
2.(2022湖北宜昌二模)我国古代著作《四元玉鉴》记载“买椽多少”问题:“六贯二百一十钱,倩人去买几株椽.每株脚钱三文足,无钱准与一株椽.”其大意为:现请人代买一批椽,这批椽的价钱为6 210文.如果每株椽的运费是3文,那么少拿一株椽后,剩下的椽的运费恰好等于一株椽的价钱,试问6 210文能买多少株椽 设这批椽的数量为x株,则符合题意的方程是( )
A.3(x-1)==3
C.3x-1==3
3.(2022黑龙江齐齐哈尔模拟)如果关于x的不等式-3x+2a≥0的解集中仅含有两个正整数解,且关于x的分式方程=1有非负数解,则整数a的值是( )
A.2或3或4 B.3
C.3或4 D.2或3
4.(2023山东济南一模)若代数式的值相等,则x= .
5.(2022浙江嘉兴模拟)分式方程的解为 .
6.(2021浙江金华模拟)如图,点A、B在数轴上,它们对应的数分别为-2,,且点A、B到原点的距离相等,求x的值.
7.(2023山西晋中一模)小颖和小兰约定周末到体育公园打网球.她们的家到体育公园的距离分别是1 800米,300米.小颖准备骑自行车,小兰准备步行,已知小颖骑自行车的速度是小兰步行速度的3倍,若二人同时到达,小颖需提前5分钟出发,求小兰步行的速度.
提升练
8.(2022河北邢台模拟)解分式方程分以下四步,其中错误的一步是( )
A.方程两边同乘(x+1)(x-1),得2(x-1)+3(x+1)=6
B.去括号得2x-2+3x+3=6
C.合并同类项得5x=5
D.原方程的解为x=1
9.(2021湖南怀化)定义a b=2a+,则方程3 x=4 2的解为( )
A.x=
C.x=
10.(2022重庆二模)已知关于x的分式方程无解,且关于y的不等式组有且只有三个偶数解,则符合条件的整数m有( )
A.0个 B.1个
C.2个 D.3个
11.(2023重庆模拟)从-4,-2,-1,0,1,2,4,6这八个数中随机抽一个数记为a.若数a使得二次函数y=(a-4)x2+2x+1的图象与x轴有交点,且使得关于y的分式方程有整数解,则所有满足条件的a的值之和是( )
A.-4 B.-2 C.0 D.2
12.(2023四川巴中模拟)若关于x的分式方程有增根,则m= .
13.(2022山东日照一模)已知关于x的分式方程=1的解不大于2,则m的取值范围是 .
14.(2023山西晋中模拟)某工程队承接了60万平方米的乡村筑路工程,由于情况有变,…….设原计划每天筑路的面积为x万平方米,列方程为=30.
(1)根据方程可知题中省略的部分是( )
A.实际工作时每天的工作效率比原计划提高了20%,结果提前30天完成了这一任务
B.实际工作时每天的工作效率比原计划提高了20% ,结果推迟30天完成了这一任务
C.实际工作时每天的工作效率比原计划降低了20%,结果推迟30天完成了这一任务
D.实际工作时每天的工作效率比原计划降低了20%,结果提前30天完成了这一任务
(2)在(1)的条件下,在下列两个选项中任选一项作为问题,写出完整的解题过程.
E.求实际每天筑路的面积是多少万平方米.
F.求原计划完成这项筑路工程需要多少天.
我选的问题是 .
15.(2023湖北黄冈二模)国庆期间,某商家用3 200元购进了一批纪念衫,上市后果然供不应求,商家又用7 200元购进了第二批这种纪念衫,所购数量是第一批购进数量的2倍,但每件贵了10元.
(1)该商家购进的第一批纪念衫每件的进价是多少元
(2)若两批纪念衫按相同的标价销售,最后剩下20件按标价八折优惠卖出,如果两批纪念衫全部售完利润不低于3 520元(不考虑其他因素),那么每件纪念衫的标价至少是多少元
16.(2022江西模拟)甲、乙两人去市场采购相同价格的同一种商品,甲用2 400元购买的商品数量比乙用3 000元购买的商品数量少10件.
(1)求这种商品的售价;
(2)甲、乙两人第二次再采购该商品时,售价比上次少了20元/件,甲购买商品的总价与上次相同,乙购买商品的数量与上次相同,则甲两次购买这种商品的平均售价是 元/件,乙两次购买这种商品的平均售价是 元/件;
(3)生活中,无论油价如何变化,有人总按相同金额加油,有人总按相同油量加油,结合(2)的计算结果,建议按相同 加油更合算(填“金额”或“油量”).
2.2 分式方程
5年中考
考点1 分式方程及其解法
1.(2021四川成都,8,3分)分式方程=1的解为( )
A.x=2 B.x=-2 C.x=1 D.x=-1
答案 A
2.(2023山东日照,10,3分)若关于x的方程的解为正数,则m的取值范围是( )
A.m>-
C.m>-且m≠0 D.m<且m≠
答案 D 去分母得2x-2(2x-2)=3m,
解得x=,
∵关于x的分式方程的解为正数,
∴>0,解得m<,
又∵2x-2≠0,即2·-2≠0,
∴m≠,
∴m<且m≠,故选D.
3.(2022江苏苏州,18,5分)解方程:=1.
解析 方程两边同乘x(x+1),得x2+3(x+1)=x(x+1),
解得x=-.
经检验,x=-是原方程的解.
4.(2023山西,17,7分)解方程:.
解析 原方程可化为,
方程两边同乘2(x-1),得2+2(x-1)=3,
解得x=.
检验:当x=时,2(x-1)≠0.
∴原方程的解是x=.
考点2 分式方程的实际应用
5.(2022云南,12,4分)某地开展建设绿色家园活动,活动期间,计划每天种植相同数量的树木,该活动开始后,实际每天比原计划每天多植树50棵,实际植树400棵所需时间与原计划植树300棵所需时间相同.设实际每天植树x棵,则下列方程正确的是( )
A.
C.
答案 B
6.(2021山西,18,7分)太原武宿国际机场简称“太原机场”,是山西省开通的首条定期国际客运航线.游客从太原某景区乘车到太原机场,有两条路线可供选择,路线一:走迎宾路经太榆路全程是25千米,但交通比较拥堵;路线二:走太原环城高速全程是30千米,平均速度是路线一的倍,因此到达太原机场的时间比走路线一少用7分钟,求走路线一到达太原机场需要多长时间.
解析 设走路线一到达太原机场需要x分钟.(1分)
根据题意,得.(4分)
解得x=25.(5分)
经检验,x=25是原方程的解,且符合题意.(6分)
答:走路线一到达太原机场需要25分钟.(7分)
7.(2022重庆A卷,21,10分)在全民健身运动中,骑行运动颇受市民青睐,甲、乙两骑行爱好者约定从A地沿相同路线骑行去距A地30千米的B地,已知甲骑行的速度是乙的1.2倍.
(1)若乙先骑行2千米,甲才开始从A地出发,则甲出发半小时恰好追上乙,求甲骑行的速度;
(2)若乙先骑行20分钟,甲才开始从A地出发,则甲、乙恰好同时到达B地,求甲骑行的速度.
解析 (1)设乙骑行的速度是x千米/时,则甲骑行的速度是1.2x千米/时.
由题意,得x+2.解得x=20.
∴1.2x=1.2×20=24.
答:甲骑行的速度是24千米/时.
(2)设乙骑行的速度是y千米/时,则甲骑行的速度是1.2y千米/时.
由题意,得.解得y=15.
经检验,y=15是原方程的解,且符合题意.
∴1.2y=18.
答:甲骑行的速度为18千米/时.
8.(2023重庆A卷,22,10分)某公司不定期为员工购买某预制食品厂生产的杂酱面、牛肉面两种食品.
(1)该公司花费3 000元一次性购买了杂酱面、牛肉面共170份,此时杂酱面、牛肉面的价格分别为15元、20元,求购买两种食品各多少份;
(2)由于公司员工人数和食品价格有所调整,现该公司分别花费1 260元、1 200元一次性购买杂酱面、牛肉面两种食品,已知购买杂酱面的份数比牛肉面的份数多50%,每份杂酱面比每份牛肉面的价格少6元,求购买牛肉面多少份.
解析 (1)设购买杂酱面x份,则购买牛肉面(170-x)份,
根据题意,得15x+20(170-x)=3 000,
解得x=80.
则170-x=90.
答:该公司购买杂酱面80份,牛肉面90份.
(2)设购买牛肉面y份,则购买杂酱面(1+50%)y份.
根据题意,得-6.
解得y=60.
经检验,y=60是原方程的解且符合题意.
答:该公司购买牛肉面60份.
9.(2023山东济宁,20,8分)为加快公共领域充电基础设施建设,某停车场计划购买A,B两种型号的充电桩.已知A型充电桩比B型充电桩的单价少0.3万元,且用15万元购买A型充电桩与用20万元购买B型充电桩的数量相等.
(1)A,B两种型号充电桩的单价各是多少
(2)该停车场计划共购买25个A,B型充电桩,购买总费用不超过26万元,且B型充电桩的购买数量不少于A型充电桩购买数量的.问:共有哪几种购买方案 哪种方案所需购买总费用最少
解析 (1)设A型充电桩的单价为x万元,则B型充电桩的单价为(0.3+x)万元,
根据题意得,解得x=0.9.
经检验,x=0.9是分式方程的解且符合题意.
∴0.3+x=0.3+0.9=1.2.
答:A,B两种型号充电桩的单价分别为0.9万元,1.2万元.
(2)设购买A型充电桩a个,则购买B型充电桩(25-a)个,
根据题意得解得13≤a≤16.
由题意可知a为正整数,所以a的取值为14,15,16.
故有三种购买方案:
A型充 电桩数量 B型充 电桩数量
方案一 14 11
方案二 15 10
方案三 16 9
设购买A,B两种型号充电桩的总费用为y万元,
则y=0.9a+1.2(25-a)=-0.3a+30.
∵-0.3<0,∴y随a的增大而减小,
∴当a=16时,y取得最小值.
答:购买16个A型充电桩和9个B型充电桩所需购买总费用最少.
3年模拟
53·基础练
1.(2022江苏无锡模拟)将分式方程去分母化为整式方程,所得结果正确的是( )
A.2-x-3=5 B.2-x+3=5
C.2-x-3=-5 D.2-x+3=-5
答案 D
2.(2022湖北宜昌二模)我国古代著作《四元玉鉴》记载“买椽多少”问题:“六贯二百一十钱,倩人去买几株椽.每株脚钱三文足,无钱准与一株椽.”其大意为:现请人代买一批椽,这批椽的价钱为6 210文.如果每株椽的运费是3文,那么少拿一株椽后,剩下的椽的运费恰好等于一株椽的价钱,试问6 210文能买多少株椽 设这批椽的数量为x株,则符合题意的方程是( )
A.3(x-1)==3
C.3x-1==3
答案 A 根据题意得,一株椽的价钱为文,少拿一株椽的运费为3(x-1)文.两者相等,故选A.
3.(2022黑龙江齐齐哈尔模拟)如果关于x的不等式-3x+2a≥0的解集中仅含有两个正整数解,且关于x的分式方程=1有非负数解,则整数a的值是( )
A.2或3或4 B.3
C.3或4 D.2或3
答案 B 解不等式-3x+2a≥0,得x≤a,
∵解集中仅含有两个正整数解,∴这两个正整数解为1,2,
∴2≤a<3,即3≤a<.
解分式方程=1,得x=a-2,
∴a-2≥0,∴a≥2.
∵3≤a<,∴a=3或4,
∵x-2≠0,∴x≠2,∴a-2≠2,
∴a≠4,∴a=3.故选B.
4.(2023山东济南一模)若代数式的值相等,则x= .
答案 3
5.(2022浙江嘉兴模拟)分式方程的解为 .
答案 x=3
6.(2021浙江金华模拟)如图,点A、B在数轴上,它们对应的数分别为-2,,且点A、B到原点的距离相等,求x的值.
解析 根据题意得=2,
去分母,得x=2(x+1),
去括号,得x=2x+2,
解得x=-2.
经检验,x=-2是原分式方程的解.
∴x的值为-2.
7.(2023山西晋中一模)小颖和小兰约定周末到体育公园打网球.她们的家到体育公园的距离分别是1 800米,300米.小颖准备骑自行车,小兰准备步行,已知小颖骑自行车的速度是小兰步行速度的3倍,若二人同时到达,小颖需提前5分钟出发,求小兰步行的速度.
解析 设小兰步行的速度为x米/分,
根据题意得,
解得x=60.
经检验,x=60是原方程的解且符合题意.
答:小兰步行的速度为60米/分.
53·提升练
8.(2022河北邢台模拟)解分式方程分以下四步,其中错误的一步是( )
A.方程两边同乘(x+1)(x-1),得2(x-1)+3(x+1)=6
B.去括号得2x-2+3x+3=6
C.合并同类项得5x=5
D.原方程的解为x=1
答案 D
9.(2021湖南怀化)定义a b=2a+,则方程3 x=4 2的解为( )
A.x=
C.x=
答案 B 3 x=2×3+,
4 2=2×4+,
∵3 x=4 2,∴6+,
解得x=.
经检验,x=是原分式方程的解.
10.(2022重庆二模)已知关于x的分式方程无解,且关于y的不等式组有且只有三个偶数解,则符合条件的整数m有( )
A.0个 B.1个
C.2个 D.3个
答案 C 分式方程去分母得mx+2x-12=3x-6,
移项、合并同类项得(m-1)x=6,
当m-1=0,即m=1时,方程无解;
当m-1≠0,即m≠1时,解得x=,由分式方程无解,得到=2或=6,解得m=4或m=2.
不等式组整理得即-8≤y
A.-4 B.-2 C.0 D.2
答案 B 因为数a使得二次函数图象与x轴有交点,所以Δ=4-4(a-4)≥0,a≠4,所以a≤5且a≠4.分式方程两边同乘(y-1)得y+a-3(y-1)=-1,解得y=,要使分式方程有整数解,则a=-4,a=0,a=2,a=4,a=6.综上所述,满足条件的a的值为-4,0,2,它们的和为-2,故选B.
12.(2023四川巴中模拟)若关于x的分式方程有增根,则m= .
答案 -3
解析 方程左右两边同乘(x-3)得x=2(x-3)-m,由x-3≠0可知分式方程的增根是x=3,将x=3代入x=2(x-3)-m得m=-3.
13.(2022山东日照一模)已知关于x的分式方程=1的解不大于2,则m的取值范围是 .
答案 m≤0且m≠-3
解析 将关于x的分式方程=1去分母得m+3=2x-1,
所以x=,
根据题意得≤2且,
解得m≤0且m≠-3.
14.(2023山西晋中模拟)某工程队承接了60万平方米的乡村筑路工程,由于情况有变,…….设原计划每天筑路的面积为x万平方米,列方程为=30.
(1)根据方程可知题中省略的部分是( )
A.实际工作时每天的工作效率比原计划提高了20%,结果提前30天完成了这一任务
B.实际工作时每天的工作效率比原计划提高了20% ,结果推迟30天完成了这一任务
C.实际工作时每天的工作效率比原计划降低了20%,结果推迟30天完成了这一任务
D.实际工作时每天的工作效率比原计划降低了20%,结果提前30天完成了这一任务
(2)在(1)的条件下,在下列两个选项中任选一项作为问题,写出完整的解题过程.
E.求实际每天筑路的面积是多少万平方米.
F.求原计划完成这项筑路工程需要多少天.
我选的问题是 .
解析 (1)C.
(2)我选的问题是E.
=30,
解方程得x=0.5.
经检验,x=0.5是原方程的解且符合题意.
(1-20%)×0.5=0.4(万平方米).
答:实际每天筑路的面积是0.4万平方米.
我选的问题是F.
=30,
解方程得x=0.5.
经检验,x=0.5是原方程的解且符合题意.
60÷0.5=120(天).
答:原计划完成这项筑路工程需要120天.
15.(2023湖北黄冈二模)国庆期间,某商家用3 200元购进了一批纪念衫,上市后果然供不应求,商家又用7 200元购进了第二批这种纪念衫,所购数量是第一批购进数量的2倍,但每件贵了10元.
(1)该商家购进的第一批纪念衫每件的进价是多少元
(2)若两批纪念衫按相同的标价销售,最后剩下20件按标价八折优惠卖出,如果两批纪念衫全部售完利润不低于3 520元(不考虑其他因素),那么每件纪念衫的标价至少是多少元
解析 (1)设该商家购进的第一批纪念衫每件的进价是x元,则第二批纪念衫每件的进价是(x+10)元,
根据题意得,解得x=80,
经检验,x=80是分式方程的解且符合题意.
答:该商家购进的第一批纪念衫每件的进价是80元.
(2)由(1)得,第一批购进纪念衫40件,第二批购进纪念衫80件.
设每件纪念衫的标价是y元,
根据题意得40(y-80)+(80-20)·(y-90)+20(0.8y-90)≥3 520,解得y≥120.
答:每件纪念衫的标价至少是120元.
16.(2022江西模拟)甲、乙两人去市场采购相同价格的同一种商品,甲用2 400元购买的商品数量比乙用3 000元购买的商品数量少10件.
(1)求这种商品的售价;
(2)甲、乙两人第二次再采购该商品时,售价比上次少了20元/件,甲购买商品的总价与上次相同,乙购买商品的数量与上次相同,则甲两次购买这种商品的平均售价是 元/件,乙两次购买这种商品的平均售价是 元/件;
(3)生活中,无论油价如何变化,有人总按相同金额加油,有人总按相同油量加油,结合(2)的计算结果,建议按相同 加油更合算(填“金额”或“油量”).
解析 (1)设这种商品的售价是x元/件,根据题意得-10,解得x=60.
经检验,x=60是原方程的解,且符合题意.
答:这种商品的售价是60元/件.
(2)48;50.
理由:甲第一次购买=40件,第二次购买=60件,两次购买这种商品的平均售价为=48元/件;乙第一次购买=50件,第二次购买总金额为50×(60-20)=2 000元,两次购买这种商品的平均售价为=50元/件.
(3)金额.
理由:在(2)中,甲按相同金额购物两次,乙按相同数量购物两次,通过计算知,甲购买商品的平均售价小于乙购买商品的平均售价,所以答案是金额.
精品试卷·第 2 页 （共 2 页）
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