卷子答案网-一个不只有答案的网站
2024数学中考专题复习
4.2 三角形及其全等
5年中考
考点1 三角形的有关概念
1.(2023湖南衡阳,2,3分)下列长度的各组线段能组成一个三角形的是( )
A.1 cm,2 cm,3 cm B.3 cm,8 cm,5 cm
C.4 cm,5 cm,10 cm D.4 cm,5 cm,6 cm
2.(2021陕西,4,3分)如图,点D、E分别在线段BC、AC上,连接AD、BE.若∠A=35°,∠B=25°,∠C=50°,则∠1的大小为( )
A.60° B.70° C.75° D.85°
3.(2023浙江杭州,12,4分)如图,点D,E分别在△ABC的边AB,AC上,且DE∥BC,点F在线段BC的延长线上.若∠ADE=28°,∠ACF=118°,则∠A= °.
4.(2022四川南充,13,4分)数学实践活动中,为了测量校园内被花坛隔开的A,B两点的距离,同学们在AB外选择一点C,测得AC,BC两边中点的距离DE为10 m(如图),则A,B两点的距离是 m.
5.(2022江苏苏州,12,3分)定义:一个三角形的一边长是另一边长的2倍,这样的三角形叫做“倍长三角形”.若等腰△ABC是“倍长三角形”,底边BC的长为3,则腰AB的长为 .
6.(2023安徽,13,5分)清初数学家梅文鼎在著作《平三角举要》中,对南宋数学家秦九韶提出的计算三角形面积的“三斜求积术”给出了一个完整的证明,证明过程中创造性地设计直角三角形,得出了一个结论:如图,AD是锐角△ABC的高,则BD=.当AB=7,BC=6,AC=5时,CD= .
考点2 全等三角形的性质与判定
7.(2021江苏盐城,8,3分)工人师傅常常利用角尺构造全等三角形的方法来平分一个角.如图,在∠AOB的两边OA、OB上分别任取OC=OD,移动角尺,使角尺两边相同的刻度分别与点C、D重合,这时过角尺顶点M的射线OM就是∠AOB的平分线.这里构造全等三角形的依据是( )
A.SAS B.ASA
C.AAS D.SSS
8.(2022湖北黄冈,12,3分)如图,已知AB∥DE,AB=DE,请你添加一个条件 ,使△ABC≌△DEF.
9.(2023重庆A卷,15,4分)如图,在Rt△ABC中,∠BAC=90°,AB=AC,点D为BC上一点,连接AD.过点B作BE⊥AD于点E,过点C作CF⊥AD交AD的延长线于点F.若BE=4,CF=1,则EF的长度为 .
10.(2022福建,18,8分)如图,点B,F,C,E在同一条直线上,BF=EC,AB=DE,∠B=∠E.
求证:∠A=∠D.
11.(2021浙江杭州,19,8分)在①AD=AE,②∠ABE=∠ACD,③FB=FC这三个条件中选择其中一个,补充在下面的问题中,并完成问题的解答.
问题:如图,在△ABC中,∠ABC=∠ACB,点D在AB边上(不与点A,点B重合),点E在AC边上(不与点A,点C重合),连接BE,CD,BE与CD相交于点F.若 ,求证:BE=CD.
注:如果选择多个条件分别作答,按第一个解答计分.
12.(2023江苏苏州,20,6分)如图,在△ABC中,AB=AC,AD为△ABC的角平分线,以点A为圆心,AD长为半径画弧,与AB,AC分别交于点E,F,连接DE,DF.
(1)求证:△ADE≌△ADF;
(2)若∠BAC=80°,求∠BDE的度数.
3年模拟
53·基础练
1.(2022江苏徐州二模)如果一个三角形的三边长分别为3,6,a,那么a的值不可能是( )
A.4 B.9
C.6 D.8
2.(2023湖南张家界一模)如图,CD⊥AB于点D,EF⊥AB于点F,CD=EF,要根据HL证明Rt△ACD≌Rt△BEF,则还需要添加的条件是( )
A.∠A=∠B B.∠C=∠E
C.AD=BF D.AC=BE
3.(2023河北邯郸一模)如图,已知在Rt△ABC中,∠C=90°,若沿图中虚线剪去∠C,则∠1+∠2的度数是( )
A.270° B.240° C.180° D.90°
4.(2022山东聊城一模)如图,一块试验田的形状是三角形(设其为△ABC),管理员从BC边上的一点D出发,沿DC→CA→AB→BD的路线走了一圈回到D处,则管理员从出发到回到原处身体转过的角度之和为 °.
5.(2022江苏南通一模)如图,△ABC中,AB=BC,∠ABC=90°,点E在BC上,点F为AB延长线上一点,且AE=CF,∠BAE=25°,则∠ACF= °.
6.(2023山东济南一模)一个等腰直角三角尺不小心掉到两墙之间(如图),已知∠ACB=90°,AC=BC,AB=26 cm,AD为三块砖的厚度,BE为两块砖的厚度,李明很快就知道了砌墙所用砖块的厚度(每块砖的厚度相等,两块砖间的缝隙忽略不计)为 cm.
7.(2022广东二模)如图,在△ABC中,AD是BC边上的高.
(1)尺规作图:作∠ABC的平分线l(保留作图痕迹,不写作法,不写结论);
(2)在已作图形中,若l与AD交于点E,且BE=AC,BD=AD,求证:∠ABE=∠DAC.
8.(2023浙江温州一模)如图,AB=AC,CE∥AB,D是AC上的一点,且AD=CE.
(1)求证:△ABD≌△CAE;
(2)若∠ABD=25°,∠CBD=40°,求∠BAE的度数.
53·提升练
9.(2023河北沧州模拟)如图,在AB、AC上各取一点E、D,使AE=AD,连接BD、CE相交于点O,再连接AO、BC,若∠1=∠2,则图中的全等三角形共有( )
A.5对 B.6对
C.7对 D.8对
10.(2022浙江杭州一模)如图,在△ABC中,边AB,AC的垂直平分线交于点P,连接BP,CP,若∠A=50°,则∠BPC=( )
A.50° B.100°
C.130° D.150°
11.(2022河北秦皇岛一模)如图,已知△ABC中,∠C=90°,按以下步骤作图:
①以点A为圆心,以适当长为半径画弧,分别交边AC,AB于点M,N;
②分别以M,N为圆心,以大于MN的长为半径画弧,两弧在△ABC的内部相交于点P;
③作射线AP交BC于点D;
④分别以A,D为圆心,以大于AD的长为半径画弧,两弧相交于点G,H;
⑤作直线GH分别交AC,AB于点E,F.若AF=3,CE=1,则△ACD的面积是( )
A.4
C.8
12.(2023江苏苏州调研)定义:如果三角形的一个内角是另一个内角的2倍,那么称这个三角形为“倍角三角形”.若△ABC是“倍角三角形”,∠A=90°,BC=4,则△ABC的面积为 .
13.(2022河北石家庄模拟)如图1,在△ABC中,∠ACB=90°,点D,E分别在边AC,BC上,且AC=BC=4,DC=EC.将△DEC绕点C逆时针旋转,设旋转角为α(0°<α<180°).
(1)如图2,在△DEC绕点C旋转的过程中,求证:BE=AD;
(2)如图2,若点N是AB的中点,在△DEC绕点C旋转的过程中,连接AD并延长,交BE于M,连接MN,MN的长度是不是定值 若是,请求出MN的长,若不是,请说明理由.
图1
图2
4.2 三角形及其全等
5年中考
考点1 三角形的有关概念
1.(2023湖南衡阳,2,3分)下列长度的各组线段能组成一个三角形的是( )
A.1 cm,2 cm,3 cm B.3 cm,8 cm,5 cm
C.4 cm,5 cm,10 cm D.4 cm,5 cm,6 cm
答案 D
2.(2021陕西,4,3分)如图,点D、E分别在线段BC、AC上,连接AD、BE.若∠A=35°,∠B=25°,∠C=50°,则∠1的大小为( )
A.60° B.70° C.75° D.85°
答案 B 在△BEC中,∠AEB=∠B+∠C=75°,又∠A=35°,∴∠1=180°-∠AEB-
∠A=180°-75°-35°=70°.故选B.
3.(2023浙江杭州,12,4分)如图,点D,E分别在△ABC的边AB,AC上,且DE∥BC,点F在线段BC的延长线上.若∠ADE=28°,∠ACF=118°,则∠A= °.
答案 90
解析 ∵DE∥BC,∠ADE=28°,
∴∠B=∠ADE=28°.
∵∠ACF=118°,
∴∠A=∠ACF-∠B=90°.
4.(2022四川南充,13,4分)数学实践活动中,为了测量校园内被花坛隔开的A,B两点的距离,同学们在AB外选择一点C,测得AC,BC两边中点的距离DE为10 m(如图),则A,B两点的距离是 m.
答案 20
解析 因为点D、点E分别是AC、BC的中点,所以DE是△ABC的中位线,所以DE=AB=10 m,所以AB=20 m.
5.(2022江苏苏州,12,3分)定义:一个三角形的一边长是另一边长的2倍,这样的三角形叫做“倍长三角形”.若等腰△ABC是“倍长三角形”,底边BC的长为3,则腰AB的长为 .
答案 6
解析 ∵等腰△ABC是“倍长三角形”,∴BC=2AB或AB=2BC.
当BC=2AB,BC=3时,AB=1.5,
此时△ABC的三边长分别是1.5,1.5,3.
1.5+1.5=3,此时不能构成三角形,不符合题意.
当AB=2BC,BC=3时,AB=6,此时△ABC的三边长分别为6,6,3,综上,腰AB的长为6.
6.(2023安徽,13,5分)清初数学家梅文鼎在著作《平三角举要》中,对南宋数学家秦九韶提出的计算三角形面积的“三斜求积术”给出了一个完整的证明,证明过程中创造性地设计直角三角形,得出了一个结论:如图,AD是锐角△ABC的高,则BD=.当AB=7,BC=6,AC=5时,CD= .
答案 1
解析 ∵AB=7,BC=6,AC=5,
∴BD==5.
∴CD=BC-BD=6-5=1.
考点2 全等三角形的性质与判定
7.(2021江苏盐城,8,3分)工人师傅常常利用角尺构造全等三角形的方法来平分一个角.如图,在∠AOB的两边OA、OB上分别任取OC=OD,移动角尺,使角尺两边相同的刻度分别与点C、D重合,这时过角尺顶点M的射线OM就是∠AOB的平分线.这里构造全等三角形的依据是( )
A.SAS B.ASA
C.AAS D.SSS
答案 D ∵OC=OD,OM=OM,CM=DM,
∴△COM≌△DOM(SSS).
8.(2022湖北黄冈,12,3分)如图,已知AB∥DE,AB=DE,请你添加一个条件 ,使△ABC≌△DEF.
答案 BC=EF(答案不唯一)
解析 ∵AB∥DE,∴∠B=∠DEF,又∵AB=DE,∴添加BC=EF可用SAS判定;添加BE=CF也可用SAS判定;添加∠ACB=∠F可用AAS判定;添加∠A=∠D可用ASA判定.
9.(2023重庆A卷,15,4分)如图,在Rt△ABC中,∠BAC=90°,AB=AC,点D为BC上一点,连接AD.过点B作BE⊥AD于点E,过点C作CF⊥AD交AD的延长线于点F.若BE=4,CF=1,则EF的长度为 .
答案 3
解析 ∵CF⊥AF,∴∠CFA=90°,∴∠CAF+∠ACF=90°,
又∵∠BAC=90°,
∴∠BAE+∠CAF=90°,
∴∠BAE=∠ACF,
又∵BE⊥AD,
∴∠AEB=90°,
∵AB=AC,
∴△ABE≌△CAF,
∴AE=CF=1,
AF=BE=4,∴EF=AF-AE=4-1=3.
10.(2022福建,18,8分)如图,点B,F,C,E在同一条直线上,BF=EC,AB=DE,∠B=∠E.
求证:∠A=∠D.
证明 ∵BF=EC,
∴BF+CF=EC+CF,即BC=EF.
在△ABC和△DEF中,
∴△ABC≌△DEF(SAS),
∴∠A=∠D.
11.(2021浙江杭州,19,8分)在①AD=AE,②∠ABE=∠ACD,③FB=FC这三个条件中选择其中一个,补充在下面的问题中,并完成问题的解答.
问题:如图,在△ABC中,∠ABC=∠ACB,点D在AB边上(不与点A,点B重合),点E在AC边上(不与点A,点C重合),连接BE,CD,BE与CD相交于点F.若 ,求证:BE=CD.
注:如果选择多个条件分别作答,按第一个解答计分.
证明 选择条件①的证明:
因为∠ABC=∠ACB,
所以AB=AC.
又因为AD=AE,∠A=∠A,
所以△ABE≌△ACD(SAS),
所以BE=CD.
选择条件②的证明:
因为∠ABC=∠ACB,
所以AB=AC,
又因为∠A=∠A,∠ABE=∠ACD,
所以△ABE≌△ACD(ASA),
所以BE=CD.
选择条件③的证明:
因为FB=FC,
所以∠FBC=∠FCB.
又因为∠ABC=∠ACB,BC=CB,
所以△CBE≌△BCD(ASA),
所以BE=CD.
12.(2023江苏苏州,20,6分)如图,在△ABC中,AB=AC,AD为△ABC的角平分线,以点A为圆心,AD长为半径画弧,与AB,AC分别交于点E,F,连接DE,DF.
(1)求证:△ADE≌△ADF;
(2)若∠BAC=80°,求∠BDE的度数.
解析 (1)证明:∵AD是△ABC的角平分线,∴∠BAD=∠CAD.
由作图知AE=AF.
在△ADE和△ADF中,
∴△ADE≌△ADF(SAS).
(2)∵∠BAC=80°,AD为△ABC的角平分线,
∴∠EAD=40°.
由作图知AE=AD,
∴∠ADE==70°.
∵AB=AC,AD为△ABC的角平分线,
∴AD⊥BC.
∴∠BDE=20°.
3年模拟
53·基础练
1.(2022江苏徐州二模)如果一个三角形的三边长分别为3,6,a,那么a的值不可能是( )
A.4 B.9
C.6 D.8
答案 B ∵一个三角形的三边长分别为3,6,a,
∴6-3
2.(2023湖南张家界一模)如图,CD⊥AB于点D,EF⊥AB于点F,CD=EF,要根据HL证明Rt△ACD≌Rt△BEF,则还需要添加的条件是( )
A.∠A=∠B B.∠C=∠E
C.AD=BF D.AC=BE
答案 D
3.(2023河北邯郸一模)如图,已知在Rt△ABC中,∠C=90°,若沿图中虚线剪去∠C,则∠1+∠2的度数是( )
A.270° B.240° C.180° D.90°
答案 A
4.(2022山东聊城一模)如图,一块试验田的形状是三角形(设其为△ABC),管理员从BC边上的一点D出发,沿DC→CA→AB→BD的路线走了一圈回到D处,则管理员从出发到回到原处身体转过的角度之和为 °.
答案 360
解析 管理员走过一圈转过的角度之和正好是三角形的外角和,所以从出发到回到原处身体转过的角度之和为360°.
5.(2022江苏南通一模)如图,△ABC中,AB=BC,∠ABC=90°,点E在BC上,点F为AB延长线上一点,且AE=CF,∠BAE=25°,则∠ACF= °.
答案 70
解析 ∵∠ABC=90°,
∴∠CBF=180°-∠ABC=90°.
在Rt△ABE与Rt△CBF中,
∴Rt△ABE≌Rt△CBF(HL),
∴∠BAE=∠BCF=25°.
∵AB=BC,∠ABC=90°,
∴∠ACB=45°,
∴∠ACF=25°+45°=70°.
6.(2023山东济南一模)一个等腰直角三角尺不小心掉到两墙之间(如图),已知∠ACB=90°,AC=BC,AB=26 cm,AD为三块砖的厚度,BE为两块砖的厚度,李明很快就知道了砌墙所用砖块的厚度(每块砖的厚度相等,两块砖间的缝隙忽略不计)为 cm.
答案
解析 ∵∠ACB=90°,∴∠ACD+∠BCE=90°,∵∠ACD+∠DAC=90°,∴∠DAC=∠BCE.
∵∠ADC=∠BEC=90°,AC=BC,∴△ACD≌△CBE(AAS),∴AD=CE,DC=BE.
设每块砖的厚度为x cm(x>0),则AD=CE=3x cm,DC=BE=2x cm,根据勾股定理得AC=BC=x cm.
在Rt△ACB 中,AB=x cm,∵AB=26 cm,
∴x=.故砌墙所用砖块的厚度为 cm.
7.(2022广东二模)如图,在△ABC中,AD是BC边上的高.
(1)尺规作图:作∠ABC的平分线l(保留作图痕迹,不写作法,不写结论);
(2)在已作图形中,若l与AD交于点E,且BE=AC,BD=AD,求证:∠ABE=∠DAC.
解析 (1)如图所示,l即为所求.
(2)证明:∵AD为△ABC的高,
∴∠ADB=∠ADC=90°,
在Rt△BDE和Rt△ADC中,
∴Rt△BDE≌Rt△ADC(HL),
∴∠DAC=∠EBD,
又∵BE平分∠ABD,
∴∠ABE=∠EBD,
∴∠ABE=∠DAC.
8.(2023浙江温州一模)如图,AB=AC,CE∥AB,D是AC上的一点,且AD=CE.
(1)求证:△ABD≌△CAE;
(2)若∠ABD=25°,∠CBD=40°,求∠BAE的度数.
解析 (1)证明:∵CE∥AB,
∴∠BAD=∠ACE.
又∵AB=AC,AD=CE,
∴△ABD≌△CAE.
(2)由(1)得△ABD≌△CAE,
∴∠EAC=∠ABD=25°.
∵∠CBD=40°,
∴∠ABC=∠ABD+∠DBC=65°.
∵AB=AC,
∴∠ABC=∠ACB=65°,
∴∠BAC=180°-2×65°=50°,
∴∠BAE=∠BAC+∠EAC=75°.
53·提升练
9.(2023河北沧州模拟)如图,在AB、AC上各取一点E、D,使AE=AD,连接BD、CE相交于点O,再连接AO、BC,若∠1=∠2,则图中的全等三角形共有( )
A.5对 B.6对
C.7对 D.8对
答案 A △AEO≌△ADO,△BEO≌△CDO,△BEC≌△CDB,△AEC≌△ADB,△AOB≌△AOC.共有5对全等三角形.故选A.
10.(2022浙江杭州一模)如图,在△ABC中,边AB,AC的垂直平分线交于点P,连接BP,CP,若∠A=50°,则∠BPC=( )
A.50° B.100°
C.130° D.150°
答案 B 连接AP,根据题意得AP=BP=CP,∴∠PAB=∠ABP,∠PAC=∠ACP,∴∠ABP+∠ACP=50°.
∵∠BPC=180°-(∠PBC+∠PCB),又∠PBC+∠PCB=180°-(∠ABP+∠ACP+∠BAC)=180°-100°=80°,∴∠BPC=180°-80°=100°.
11.(2022河北秦皇岛一模)如图,已知△ABC中,∠C=90°,按以下步骤作图:
①以点A为圆心,以适当长为半径画弧,分别交边AC,AB于点M,N;
②分别以M,N为圆心,以大于MN的长为半径画弧,两弧在△ABC的内部相交于点P;
③作射线AP交BC于点D;
④分别以A,D为圆心,以大于AD的长为半径画弧,两弧相交于点G,H;
⑤作直线GH分别交AC,AB于点E,F.若AF=3,CE=1,则△ACD的面积是( )
A.4
C.8
答案 A 由作法得AD平分∠BAC,直线EF垂直平分AD.连接DE,设EF交AD于O点,如图.
∵直线EF垂直平分AD,
∴EA=ED,AO⊥EF,
∵AD平分∠BAC,
∴∠FAD=∠EAD,
在△AOF和△AOE中,
∴△AOF≌△AOE(ASA),
∴AF=AE=3,
∴DE=3,
在Rt△CDE中,CD=,∴△ACD的面积=.故选A.
12.(2023江苏苏州调研)定义:如果三角形的一个内角是另一个内角的2倍,那么称这个三角形为“倍角三角形”.若△ABC是“倍角三角形”,∠A=90°,BC=4,则△ABC的面积为 .
答案 2或4
解析 分四种情况讨论:①当∠A=2∠B=90°时,∠C=∠B=45°,∴AB=AC,
∵BC=4,∴AB=AC=2,
∴△ABC的面积为×AB×AC=4.
②当∠A=2∠C=90°时,同理可得△ABC的面积为4.
③当∠C=2∠B时,∵∠C+∠B=90°,∴∠C=60°,∠B=30°,
∵BC=4,
∴AC=2,AB=2,
∴△ABC的面积为.
④当∠B=2∠C时,同理可得△ABC的面积为2.
综上,△ABC的面积为2或4.
13.(2022河北石家庄模拟)如图1,在△ABC中,∠ACB=90°,点D,E分别在边AC,BC上,且AC=BC=4,DC=EC.将△DEC绕点C逆时针旋转,设旋转角为α(0°<α<180°).
(1)如图2,在△DEC绕点C旋转的过程中,求证:BE=AD;
(2)如图2,若点N是AB的中点,在△DEC绕点C旋转的过程中,连接AD并延长,交BE于M,连接MN,MN的长度是不是定值 若是,请求出MN的长,若不是,请说明理由.
图1
图2
解析 (1)证明:∵△DEC绕点 C 逆时针旋转,
∴∠ACD=∠BCE.
∵AC=BC,CD=CE,
∴△ACD≌△BCE,
∴AD=BE.
(2)MN 的长度是定值,且 MN=2.
设AM与BC交于点 Q.
如图所示,在 Rt△ABC 中,AB=.
由(1)中的△ACD≌△BCE,可得∠MBC=∠DAC.
∵∠ACB=90°,
∴∠DAC+∠AQC=90°.
∵∠BQM=∠AQC,
∴∠MBC+∠BQM=90°,
∴∠BMA=90°,
∴△BMA为直角三角形.
又N为AB边的中点,
∴MN=,
∴MN 的长是定值,为 2.
精品试卷·第 2 页 （共 2 页）
()