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人教新版九年级上学期期中必刷常考题
第2讲 解一元二次方程
一．选择题（共10小题）
1．（2021秋 新罗区期末）已知一元二次方程x2+4x﹣3＝0，下列配方正确的是（ ）
A．（x+2）2＝3 B．（x﹣2）2＝3 C．（x+2）2＝7 D．（x﹣2）2＝7
2．（2021秋 阳山县期末）方程x2＝3x的解为（ ）
A．x＝3 B．x＝0 C．x1＝0，x2＝﹣3 D．x1＝0，x2＝3
3．（2022春 和平区校级期中）若关于x的一元二次方程（k﹣2）x2﹣2kx+k＝6有实数根，则k的取值范围为（ ）
A．且k≠2 B．k≥0且k≠2 C． D．k≥0
4．（2022春 昌平区期末）用配方法解一元二次方程x2+8x﹣3＝0，配方后得到的方程是（ ）
A．（x+4）2＝19 B．（x﹣4）2＝19 C．（x﹣4）2＝13 D．（x+4）2＝13
5．（2022 叙州区校级开学）等腰三角形的一边长是3，另两边的长是关于x的方程x2﹣4x+k＝0的两个根，则k的值为（ ）
A．7 B．3 C．4 D．3或4
6．（2022秋 兴庆区校级期中）若x1，x2是方程2x2﹣6x+3＝0的两个根，则的值为（ ）
A．2 B．﹣2 C． D．
7．（2022秋 海陵区校级期中）若一元二次方程x2﹣（2m+3）x+m2＝0有两个不相等的实数根x1，x2，且x1+x2＝x1x2，则m的值是（ ）
A．﹣1 B．3 C．3或﹣1 D．﹣3或1
8．（2021秋 莲湖区期末）一元二次方程x2＝x的解为（ ）
A．﹣x＝1 B．x1＝x2＝1 C．x1＝0，x2＝1 D．x1＝x2＝0
9．（2021秋 井研县期末）若方程（x﹣1）2＝m有解，则m的取值范围是（ ）
A．m≤0 B．m≥0 C．m＜0 D．m＞0
10．（2022春 黄浦区期中）关于x的一元二次方程x2﹣mx﹣1＝0的根的情况是（ ）
A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根
C．没有实数根 D．不能确定
二．填空题（共2小题）
11．（2022 礼县校级模拟）若关于x的一元二次方程（k﹣1）x2+4x+1＝0有两个不相等的实数根，则k的取值范围是 ．
12．（2022春 吴中区校级期中）对于实数a，b，定义运算“a*b，例如4*2，因为4＞2，所以4*2＝42﹣4×2＝8．若x1，x2是一元二次方程x2﹣8x+16＝0的两个根，则x1*x2＝ ．
三．解答题（共3小题）
13．（2021秋 天津期末）解下列方程：
（1）x2+4x﹣1＝0；
（2）（x﹣1）（x+3）＝5（x﹣1）．
14．（2022秋 武冈市期中）已知关于x的一元二次方程（a+b）x2﹣2cx+（a﹣b）＝0，其中a，b，c分别为△ABC三边的长．
（1）如果x＝1是方程的一个根，试判断△ABC的形状，并说明理由；
（2）如果△ABC是等边三角形，试求这个一元二次方程的根．
15．（2022春 蜀山区校级期中）已知关于x的一元二次方程（a+c）x2+2bx+（a﹣c）＝0，其中a，b，c分别为△ABC三边的长．
（1）如果x＝﹣1是方程的根，试判断△ABC的形状，并说明理由；
（2）如果方程有两个相等的实数根，试判断△ABC的形状，并说明理由；
（3）如果△ABC是等边三角形，试求这个一元二次方程的根．
人教新版九年级上学期期中必刷常考题
第2讲 解一元二次方程
一．选择题（共10小题）
1．（2021秋 新罗区期末）已知一元二次方程x2+4x﹣3＝0，下列配方正确的是（ ）
A．（x+2）2＝3 B．（x﹣2）2＝3 C．（x+2）2＝7 D．（x﹣2）2＝7
答案：C
解：方程移项得：x2+4x＝3，
配方得：x2+4x+4＝7，即（x+2）2＝7，
故选：C．
2．（2021秋 阳山县期末）方程x2＝3x的解为（ ）
A．x＝3 B．x＝0 C．x1＝0，x2＝﹣3 D．x1＝0，x2＝3
答案：D
解：∵x2﹣3x＝0，
∴x（x﹣3）＝0，则x＝0或x﹣3＝0，解得：x＝0或x＝3，
故选：D．
3．（2022春 和平区校级期中）若关于x的一元二次方程（k﹣2）x2﹣2kx+k＝6有实数根，则k的取值范围为（ ）
A．且k≠2 B．k≥0且k≠2 C． D．k≥0
答案：A
解：∵关于x的方程（k﹣2）x2﹣2kx+k＝6有两个实数根，
∴，解得：k且k≠2，故选：A．
4．（2022春 昌平区期末）用配方法解一元二次方程x2+8x﹣3＝0，配方后得到的方程是（ ）
A．（x+4）2＝19 B．（x﹣4）2＝19 C．（x﹣4）2＝13 D．（x+4）2＝13
答案：A
解：∵x2+8x﹣3＝0，
∴x2+8x＝3，
则x2+8x+16＝3+16，即（x+4）2＝19．
故选：A．
5．（2022 叙州区校级开学）等腰三角形的一边长是3，另两边的长是关于x的方程x2﹣4x+k＝0的两个根，则k的值为（ ）
A．7 B．3 C．4 D．3或4
答案：D
解：当底边为3，两腰为关于x的方程x2﹣4x+k＝0的两个根，
∴Δ＝（﹣4）2﹣4k＝0，
解得k＝4，
此时方程为x2﹣4x+4＝0，解得x1＝x2＝2，
当腰为3时，把x＝3代入关于x的方程x2﹣4x+k＝0得9﹣12+k＝0，
解得k＝3，
此时方程为x2﹣4x+3＝0，解得x1＝1，x2＝3，
三角形三边分别为3、3、1，
综上所述，k的值为4或3．
故选：D．
6．（2022秋 兴庆区校级期中）若x1，x2是方程2x2﹣6x+3＝0的两个根，则的值为（ ）
A．2 B．﹣2 C． D．
答案：A
解： ＝2．
故选：A．
7．（2022秋 海陵区校级期中）若一元二次方程x2﹣（2m+3）x+m2＝0有两个不相等的实数根x1，x2，且x1+x2＝x1x2，则m的值是（ ）
A．﹣1 B．3 C．3或﹣1 D．﹣3或1
答案：B
解：∵关于x的一元二次方程x2﹣（2m+3）x+m2＝0的两个不相等的实数根，
∴Δ＝（2m+3）2﹣4m2＝12m+9＞0，
∴m，
∵x1+x2＝2m+3，x1 x2＝m2，
又∵x1+x2＝x1 x2，
∴2m+3＝m2，解得：m＝﹣1或m＝3，
∵m，
∴m＝3，
故选：B．
8．（2021秋 莲湖区期末）一元二次方程x2＝x的解为（ ）
A．﹣x＝1 B．x1＝x2＝1 C．x1＝0，x2＝1 D．x1＝x2＝0
答案：C
解：x2﹣x＝0，
x（x﹣1）＝0，
x＝0或x﹣1＝0，
所以x1＝0，x2＝1．
故选：C．
9．（2021秋 井研县期末）若方程（x﹣1）2＝m有解，则m的取值范围是（ ）
A．m≤0 B．m≥0 C．m＜0 D．m＞0
答案：B
解：根据题意得m≥0时，方程有实数解．
故选：B．
10．（2022春 黄浦区期中）关于x的一元二次方程x2﹣mx﹣1＝0的根的情况是（ ）
A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根
C．没有实数根 D．不能确定
答案：A
解：Δ＝（﹣m）2﹣4×1×（﹣1）＝m2+4
∵m2≥0，
∴Δ＝m2+4＞0．
∴关于x的一元二次方程x2﹣mx﹣1＝0有两个不相等的实数根．
故选：A．
二．填空题（共2小题）
11．（2022 礼县校级模拟）若关于x的一元二次方程（k﹣1）x2+4x+1＝0有两个不相等的实数根，则k的取值范围是 k＜5且k≠1 ．
解：∵关于x的一元二次方程（k﹣1）x2+4x+1＝0有两个不相等的实数根，
∴，
解得：k＜5且k≠1．
故答案为：k＜5且k≠1．
12．（2022春 吴中区校级期中）对于实数a，b，定义运算“a*b，例如4*2，因为4＞2，所以4*2＝42﹣4×2＝8．若x1，x2是一元二次方程x2﹣8x+16＝0的两个根，则x1*x2＝ 0 ．
答案：0．
解：由x2﹣8x+16＝0得x1＝x2＝4，
根据定义，x1*x2＝4*4＝4×4﹣42＝0，
故答案为：0．
三．解答题（共3小题）
13．（2021秋 天津期末）解下列方程：
（1）x2+4x﹣1＝0；
（2）（x﹣1）（x+3）＝5（x﹣1）．
解：（1）∵a＝1，b＝4，c＝﹣1，
∴△＝42﹣4×1×（﹣1）＝20＞0，
则x2，
即x1＝﹣2，x2＝﹣2；
（2）∵（x﹣1）（x+3）﹣5（x﹣1）＝0，
∴（x﹣1）（x﹣2）＝0，
则x﹣1＝0或x﹣2＝0，
解得x1＝1，x2＝2．
14．（2022秋 武冈市期中）已知关于x的一元二次方程（a+b）x2﹣2cx+（a﹣b）＝0，其中a，b，c分别为△ABC三边的长．
（1）如果x＝1是方程的一个根，试判断△ABC的形状，并说明理由；
（2）如果△ABC是等边三角形，试求这个一元二次方程的根．
答案：（1）△ABC是等腰三角形；
（2）x1＝0，x2＝1．
解：（1）△ABC是等腰三角形，
理由：∵x＝1是方程的根，
∴（a+b）﹣2c+（a﹣b）＝0，
∴a+b﹣2c+a﹣b＝0，
∴a﹣c＝0，
∴a＝c，
∴△ABC是等腰三角形；
（2）如果△ABC是等边三角形，则a＝b＝c，
原方程可化为：2ax2﹣2ax＝0，
∴x2﹣x＝0，
解得：x1＝0，x2＝1．
15．（2022春 蜀山区校级期中）已知关于x的一元二次方程（a+c）x2+2bx+（a﹣c）＝0，其中a，b，c分别为△ABC三边的长．
（1）如果x＝﹣1是方程的根，试判断△ABC的形状，并说明理由；
（2）如果方程有两个相等的实数根，试判断△ABC的形状，并说明理由；
（3）如果△ABC是等边三角形，试求这个一元二次方程的根．
解：（1）△ABC是等腰三角形；
理由：把x＝﹣1代入方程得a+c﹣2b+a﹣c＝0，则a＝b，所以△ABC为等腰三角形；
（2）△ABC为直角三角形；
理由：根据题意得Δ＝（2b）2﹣4（a+c）（a﹣c）＝0，即b2+c2＝a2，所以△ABC为直角三角形；
（3）∵△ABC为等边三角形，
∴a＝b＝c，
∴方程化为x2+x＝0，解得x1＝0，x2＝﹣1．
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