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人教新版九年级上学期期中必刷常考题
第8讲 二次函数的应用
一．选择题（共10小题）
1．（2022 路北区二模）如图是一款抛物线型落地灯筒示意图，防滑螺母C为抛物线支架的最高点，灯罩D距离地面1.5米，最高点C距灯柱的水平距离为1.6米，灯柱AB＝1.5米，若茶几摆放在灯罩的正下方，则茶几到灯柱的距离AE为多少米（ ）
A．3.2 B．0.32 C．2.5 D．1.6
2．（2022 沙坪坝区校级三模）五一假期，小明去游乐园游玩，坐上了他向往已久的摩天轮．摩天轮上，小明离地面的高度h（米）和他坐上摩天轮后旋转的时间t（分钟）之间的部分函数关系如图所示，则下列说法错误的是（ ）
A．摩天轮旋转一周需要6分钟
B．小明出发后的第3分钟和第9分钟，离地面的高度相同
C．小明离地面的最大高度为42米
D．小明出发后经过6分钟，离地面的高度为3米
3．（2021秋 古冶区期末）如图，从某建筑物10m高的窗口A处用水管向外喷水，喷出的水成抛物线状（抛物线所在平面与墙面垂直）．如果抛物线的最高点M离墙1m，离地面m，则水流落地点B离墙的距离OB是（ ）
A．2m B．3m C．4m D．5m
4．（2021秋 鄞州区期末）一个球从地面竖直向上弹起时的速度为8米/秒，经过t秒时球的高度为h米，h和t满足公式：h＝v0tgt2（v0表示球弹起时的速度，g表示重力系数，取g＝10米/秒2），则球不低于3米的持续时间是（ ）
A．0.4秒 B．0.6秒 C．0.8秒 D．1秒
5．（2022 小店区校级模拟）从地面竖直向上抛出一小球，小球的高度h（单位：m）与小球运动时间t（单位：s）之间的函数关系如图所示，下列结论：
①小球在空中经过的路程是40m；
②小球抛出3秒后，速度越来越快；
③小球抛出3秒时速度为0；
④小球的高度h＝30m时，t＝1.5s．
其中正确的是（ ）
A．①④ B．①② C．②③ D．②③④
6．（2021秋 南昌县期末）如图所示，拱桥的形状是抛物线，其函数关系式为，当水面离桥顶的高度为时，水面的宽度为（ ）米．
A．8 B．9 C．10 D．11
7．（2022秋 游仙区期中）下面的三个问题中都有两个变量：
①将一根长为1的铁丝刚好围成一个矩形，矩形的面积y与矩形一条边长x；
②赵老师爬香山所花的时间y和平均速度x；
③中秋节后，某超市月饼卖不出去，决定促销，月饼原价为30元/kg，成本价为10元/kg，单价每降价1元，可以多卖出10kg，月饼利润y与降价x；
其中，变量y与变量x之间的函数关系可以用如图所示的图象表示的是（ ）
A．① B．①③ C．②③ D．①②③
8．（2022秋 衢江区校级月考）足球运动员将足球沿与地面成一定角度的方向踢出，足球飞行的路线是一条抛物线，不考虑空气阻力，足球距离地面的高度h（单位：m）与足球被踢出后经过的时间t（单位：s）之间的关系如下表：
t 0 1 2 3 4 5 6 7 ……
h 0 8 14 18 20 20 18 14 ……
下列结论：①足球距离地面的最大高度为20m； ②足球飞行路线的对称轴是直线； ③足球被踢出8s时落地； ④足球被踢出1.5s时，距离地面的高度是，其中正确的结论是（ ）
A．①② B．②③ C．③④ D．②④
9．（2021秋 泰安期末）如图，某幢建筑物从2.25米高的窗口A用水管向外喷水，喷的水流呈抛物线型（抛物线所在平面与墙面垂直），如果抛物线的最高点M离墙1米，离地面3米，则水流下落点B离墙的距离OB是（ ）
A．2.5米 B．3米 C．3.5米 D．4米
10．（2022秋 庐阳区校级月考）如图，小明在某次投篮中，球的运动路线是抛物线y＝﹣0.2x2+3.5的一部分，若命中篮圈中心，则他与篮圈底的距离l是（ ）
A．3m B．3.5m C．4m D．4.5m
二．填空题（共2小题）
11．（2022秋 小店区期中）一个小球从地面竖直向上弹出，它在空中距离地面的高度h（m）与弹出的时间t（s）满足的关系式为h＝15t﹣5t2．当小球第一次距离地面10m时，小球弹出的时间为 秒．
12．（2022秋 新市区校级期中）如图所示，桥拱是抛物线形，其函数解析式是yx2，当水位线在AB位置时，水面宽为12米，这时水面离桥顶的高度h是 米．
三．解答题（共3小题）
13．（2021秋 九龙县期末）某商场销售一批名牌衬衫，平均每天可售出20件，每件盈利40元，为了扩大销售，增加盈利，尽快减少库存，商场决定采取适当的降价措施，经调查发现，如果每件衬衫每降价1元，商场平均每天可多售出2件．求：
（1）若商场平均每天要盈利1200元，每件衬衫应降价多少元？
（2）每件衬衫降价多少元时，商场平均每天盈利最多？
14．（2022春 源城区校级期末）某网店专门销售某种品牌的漆器笔筒，成本为30元/件，每天销售y（件）与销售单价x（元）之间存在一次函数关系，如图所示．
（1）求y与x之间的函数关系式；
（2）如果规定每天漆器笔筒的销售量不低于240件，当销售单价为多少元时，每天获取的利润最大，最大利润是多少？
15．（2022秋 安徽期中）跳绳是一项很好的健身活动，如图是小明跳绳运动时的示意图，建立平面直角坐标系如图所示，甩绳近似抛物线形状，脚底B、C相距20cm，头顶A离地174cm，相距60cm的双手D、E离地均为80cm．点A、B、C、D、E在同一平面内，脚离地面的高度忽略不计．小明调节绳子，使跳动时绳子刚好经过脚底B、C两点，且甩绳形状始终保持不变．
（1）求经过脚底B、C时绳子所在抛物线的解析式．
（2）判断小明此次跳绳能否成功，并说明理由．
人教新版九年级上学期期中必刷常考题
第8讲 二次函数的应用
一．选择题（共10小题）
1．（2022 路北区二模）如图是一款抛物线型落地灯筒示意图，防滑螺母C为抛物线支架的最高点，灯罩D距离地面1.5米，最高点C距灯柱的水平距离为1.6米，灯柱AB＝1.5米，若茶几摆放在灯罩的正下方，则茶几到灯柱的距离AE为多少米（ ）
A．3.2 B．0.32 C．2.5 D．1.6
答案：A
解：如图所示，以AE所在直线为x轴、AB所在直线为y轴建立平面直角坐标系，
方法一：∵AB＝DE＝1.5m，
∴点B与点D关于对称轴对称，
∴AE＝2×1.6＝3.2（m）；
方法二：根据题意知，抛物线的顶点C的坐标为（1.6，2.5），
设抛物线的解析式为y＝a（x﹣1.6）2+2.5，
将点B（0，1.5）代入得，2.56a+2.5＝1.5，
解得a，
∴抛物线的解析式为y（x﹣1.6）2+2.5，
当y＝1.5时，（x﹣1.6）2+2.5＝1.5，
解得x＝0（舍）或x＝3.2，
所以茶几到灯柱的距离AE为3.2米，
故选：A．
2．（2022 沙坪坝区校级三模）五一假期，小明去游乐园游玩，坐上了他向往已久的摩天轮．摩天轮上，小明离地面的高度h（米）和他坐上摩天轮后旋转的时间t（分钟）之间的部分函数关系如图所示，则下列说法错误的是（ ）
A．摩天轮旋转一周需要6分钟
B．小明出发后的第3分钟和第9分钟，离地面的高度相同
C．小明离地面的最大高度为42米
D．小明出发后经过6分钟，离地面的高度为3米
答案：C
解：由图可知小明第一次到达最高点时间节点为3分钟，第二次到达最高点时间节点为9分钟.9﹣3＝6．
∴A选项正确．
由图可知，第3分钟与第9分钟小明离地面的高度均为45米，高度相同．
∴B选项正确．
抛物线的顶点对应的高度为45米．
∴C选项错误，符合题意．
摩天轮旋转一周需要6分钟，摩天轮的最低点为3米，旋转一圈回到最低点．
∴D选项正确．
故选：C．
3．（2021秋 古冶区期末）如图，从某建筑物10m高的窗口A处用水管向外喷水，喷出的水成抛物线状（抛物线所在平面与墙面垂直）．如果抛物线的最高点M离墙1m，离地面m，则水流落地点B离墙的距离OB是（ ）
A．2m B．3m C．4m D．5m
答案：B
解：设抛物线的解析式为y＝a（x﹣1）2，由题意，得
10＝a，
a．
∴抛物线的解析式为：y（x﹣1）2．
当y＝0时，
0（x﹣1）2，解得：x1＝﹣1（舍去），x2＝3．
OB＝3m．
故选：B．
4．（2021秋 鄞州区期末）一个球从地面竖直向上弹起时的速度为8米/秒，经过t秒时球的高度为h米，h和t满足公式：h＝v0tgt2（v0表示球弹起时的速度，g表示重力系数，取g＝10米/秒2），则球不低于3米的持续时间是（ ）
A．0.4秒 B．0.6秒 C．0.8秒 D．1秒
答案：A
解：∵v0＝8，g＝10，
∴h＝8t﹣5t2，
将h＝3代入h＝8t﹣5t2得3＝8t﹣5t2，解得t1，t2＝1，
∴球不低于3米的持续时间是10.4（秒），
故选：A．
5．（2022 小店区校级模拟）从地面竖直向上抛出一小球，小球的高度h（单位：m）与小球运动时间t（单位：s）之间的函数关系如图所示，下列结论：
①小球在空中经过的路程是40m；
②小球抛出3秒后，速度越来越快；
③小球抛出3秒时速度为0；
④小球的高度h＝30m时，t＝1.5s．
其中正确的是（ ）
A．①④ B．①② C．②③ D．②③④
答案：C
解：①由图象知小球在空中达到的最大高度是40m；故①错误；
②小球抛出3秒后，速度越来越快；故②正确；
③小球抛出3秒时达到最高点，速度为0，故③正确；
④设函数解析式为：h＝a（t﹣3）2+40，
把O（0，0）代入得0＝a（0﹣3）2+40，解得a，
∴函数解析式为h（t﹣3）2+40，
把h＝30代入解析式得，30（t﹣3）2+40，
解得：t＝4.5或t＝1.5，
∴小球的高度h＝30m时，t＝1.5s或4.5s，故④错误；
故选：C．
6．（2021秋 南昌县期末）如图所示，拱桥的形状是抛物线，其函数关系式为，当水面离桥顶的高度为时，水面的宽度为（ ）米．
A．8 B．9 C．10 D．11
答案：C
解：将y代入得x2，
解得x＝5或x＝﹣5，
∴水面宽度＝5﹣（﹣5）＝10．
故选：C．
7．（2022秋 游仙区期中）下面的三个问题中都有两个变量：
①将一根长为1的铁丝刚好围成一个矩形，矩形的面积y与矩形一条边长x；
②赵老师爬香山所花的时间y和平均速度x；
③中秋节后，某超市月饼卖不出去，决定促销，月饼原价为30元/kg，成本价为10元/kg，单价每降价1元，可以多卖出10kg，月饼利润y与降价x；
其中，变量y与变量x之间的函数关系可以用如图所示的图象表示的是（ ）
A．① B．①③ C．②③ D．①②③
答案：B
解：①∵矩形的面积y＝x（）＝﹣x2x，
∴变量y与变量x之间的函数关系可以用如图所示的图象表示，
故①符合题意；
②∵赵老师爬香山所花的时间y是平均速度x的反比例函数，
∴变量y与变量x之间的函数关系不可以用如图所示的图象表示，
故②不符合题意；
③根据题意得：y＝（30﹣10﹣x）×10x＝﹣10x2+200x，
∴变量y与变量x之间的函数关系可以用如图所示的图象表示，
故③符合题意．
故选：B．
8．（2022秋 衢江区校级月考）足球运动员将足球沿与地面成一定角度的方向踢出，足球飞行的路线是一条抛物线，不考虑空气阻力，足球距离地面的高度h（单位：m）与足球被踢出后经过的时间t（单位：s）之间的关系如下表：
t 0 1 2 3 4 5 6 7 ……
h 0 8 14 18 20 20 18 14 ……
下列结论：①足球距离地面的最大高度为20m； ②足球飞行路线的对称轴是直线； ③足球被踢出8s时落地； ④足球被踢出1.5s时，距离地面的高度是，其中正确的结论是（ ）
A．①② B．②③ C．③④ D．②④
答案：D
解：由题意，抛物线的解析式为h＝at（t﹣9），
把（1，8）代入可得a＝﹣1，
∴h＝﹣t2+9t＝﹣（t﹣4.5）2+20.25，
∴足球距离地面的最大高度为20.25m，故①错误，
∴抛物线的对称轴为直线t＝4.5，故②正确，
∵t＝9时，h＝0，
∴足球被踢出9s时落地，故③错误，
∵t＝1.5时，h＝11.25，故④正确．
∴正确的有②④，
故选：D．
9．（2021秋 泰安期末）如图，某幢建筑物从2.25米高的窗口A用水管向外喷水，喷的水流呈抛物线型（抛物线所在平面与墙面垂直），如果抛物线的最高点M离墙1米，离地面3米，则水流下落点B离墙的距离OB是（ ）
A．2.5米 B．3米 C．3.5米 D．4米
答案：B
解：由题意可得，抛物线的顶点坐标为（1，3），
设抛物线的解析式为：y＝a（x﹣1）2+3，
2.25＝a（0﹣1）2+3，
解得a＝﹣0.75，
∴y（x﹣1）2+3，
当y＝0时，（x﹣1）2+3＝0，
解得，x1＝﹣1，x2＝3，
∴点B的坐标为（3，0），
∴OB＝3，
答：水流下落点B离墙距离OB的长度是3米．
故选：B．
10．（2022秋 庐阳区校级月考）如图，小明在某次投篮中，球的运动路线是抛物线y＝﹣0.2x2+3.5的一部分，若命中篮圈中心，则他与篮圈底的距离l是（ ）
A．3m B．3.5m C．4m D．4.5m
答案：C
解：如图，
把C点纵坐标y＝3.05代入y＝0.2x2+3.5中得：
x＝±1.5（舍去负值），
即OB＝1.5，
所以l＝AB＝2.5+1.5＝4．
故选：C．
二．填空题（共2小题）
11．（2022秋 小店区期中）一个小球从地面竖直向上弹出，它在空中距离地面的高度h（m）与弹出的时间t（s）满足的关系式为h＝15t﹣5t2．当小球第一次距离地面10m时，小球弹出的时间为 1 秒．
答案：1．
解：当h＝10时，15t﹣5t2＝10，
解得t1＝1，t2＝2，
∵小球第一次距离地面10m，
∴t＝1，
故答案为：1．
12．（2022秋 新市区校级期中）如图所示，桥拱是抛物线形，其函数解析式是yx2，当水位线在AB位置时，水面宽为12米，这时水面离桥顶的高度h是 9 米．
解：由yx2，由题知，
当x＝±6时，y＝﹣9，
即水面离桥顶的高度h是9米．
三．解答题（共3小题）
13．（2021秋 九龙县期末）某商场销售一批名牌衬衫，平均每天可售出20件，每件盈利40元，为了扩大销售，增加盈利，尽快减少库存，商场决定采取适当的降价措施，经调查发现，如果每件衬衫每降价1元，商场平均每天可多售出2件．求：
（1）若商场平均每天要盈利1200元，每件衬衫应降价多少元？
（2）每件衬衫降价多少元时，商场平均每天盈利最多？
解：（1）设每件衬衫降价x元，商场平均每天盈利y元，
则y＝（40﹣x）（20+2x）＝800+80x﹣20x﹣2x2＝﹣2x2+60x+800，
当y＝1200时，1200＝（40﹣x）（20+2x），
解得 x1＝10，x2＝20，
经检验，x1＝10，x2＝20都是原方程的解，但要尽快减少库存，
所以x＝20，
答：每件衬衫应降价20元；
（2）∵y＝﹣2x2+60x+800＝﹣2（x﹣15）2+1250，
∴当x＝15时，y的最大值为1250，
答：当每件衬衫降价15元时，专卖店每天获得的利润最大，最大利润是1250元．
14．（2022春 源城区校级期末）某网店专门销售某种品牌的漆器笔筒，成本为30元/件，每天销售y（件）与销售单价x（元）之间存在一次函数关系，如图所示．
（1）求y与x之间的函数关系式；
（2）如果规定每天漆器笔筒的销售量不低于240件，当销售单价为多少元时，每天获取的利润最大，最大利润是多少？
解：（1）设y＝kx+b，
将（40，300）、（55，150）代入，得：，
解得：，
则y＝﹣10x+700；
（2）设每天获取的利润为W，
则W＝（x﹣30）（﹣10x+700）＝﹣10x2+1000x﹣21000＝﹣10（x﹣50）2+4000，
又∵﹣10x+700≥240，
∴x≤46，
∵x＜50时，W随x的增大而增大，
∴当x＝46时，W取得最大值，最大值为﹣10×16+4000＝3840，
答：当销售单价为46元时，每天获取的利润最大，最大利润是3840元．
15．（2022秋 安徽期中）跳绳是一项很好的健身活动，如图是小明跳绳运动时的示意图，建立平面直角坐标系如图所示，甩绳近似抛物线形状，脚底B、C相距20cm，头顶A离地174cm，相距60cm的双手D、E离地均为80cm．点A、B、C、D、E在同一平面内，脚离地面的高度忽略不计．小明调节绳子，使跳动时绳子刚好经过脚底B、C两点，且甩绳形状始终保持不变．
（1）求经过脚底B、C时绳子所在抛物线的解析式．
（2）判断小明此次跳绳能否成功，并说明理由．
答案：（1）；（2）成功，理由见解答．
解：（1）建立如图所示的坐标系，结合题意可得：D（﹣30，0），E（30，0），
∵双手D、E离地均为80cm．
∴C点坐标为：（10，﹣80），
因为对称轴是y轴，
所以可设抛物线解析式为：y＝ax2+k，
把点C（10，﹣80），E（30，0）坐标代入可得，
，
解得：，
所以抛物线为，
（2）∵y＝0.1x2﹣90，
∴顶点为（0，﹣90），
即跳绳顶点到手的垂直距离是90cm
∵174﹣90＝84＜90，
∴跳绳不过头顶A，
∴小明此次跳绳成功．
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