专题2.20 一元二次方程(全章知识梳理与考点分类讲解)
【知识点1】一元二次方程有关概念
1.一元二次方程的概念:
通过化简后,只含有一个未知数(一元),并且未知数的最高次数是2(二次)的整式方程,叫做一元二次方程.
2.一元二次方程的一般式:
3.一元二次方程的解:
使一元二次方程左右两边相等的未知数的值叫做一元二次方程的解,也叫做一元二次方程的根.
要点说明:
判断一个方程是否为一元二次方程时,首先观察其是否是整式方程,否则一定不是一元二次方程;其次再将整式方程整理化简使方程的右边为0,看是否具备另两个条件:①一个未知数;②未知数的最高次数为2.
对有关一元二次方程定义的题目,要充分考虑定义的三个特点,不要忽视二次项系数不为0.
【知识点2】一元二次方程的解法
1.基本思想
一元二次方程一元一次方程
2.基本解法
直接开平方法、配方法、公式法、因式分解法.
要点说明:
解一元二次方程时,根据方程特点,灵活选择解题方法,先考虑能否用直接开平方法和因式分解法,再考虑用公式法.
【知识点3】一元二次方程根的判别式及根与系数的关系
1.一元二次方程根的判别式
一元二次方程中,叫做一元二次方程的根的判别式,通常用“”来表示,即
(1)当△>0时,一元二次方程有2个不相等的实数根;
(2)当△=0时,一元二次方程有2个相等的实数根;
(3)当△<0时,一元二次方程没有实数根.
2.一元二次方程的根与系数的关系
如果一元二次方程的两个实数根是,
那么,.
注意它的使用条件为a≠0, Δ≥0.
要点说明:
1.一元二次方程 为常数的根的判别式正反都成立.利用其可以解决以下问题:
(1)不解方程判定方程根的情况;
(2)根据参系数的性质确定根的范围;
(3)解与根有关的证明题.
2.一元二次方程根与系数的应用很多:
(1)已知方程的一根,不解方程求另一根及参数系数;
(2)已知方程,求含有两根对称式的代数式的值及有关未知数系数;
(3)已知方程两根,求作以方程两根或其代数式为根的一元二次方程.
【知识点3】列一元二次方程解应用题
1.列方程解实际问题的三个重要环节:
一是整体地、系统地审题;
二是把握问题中的等量关系;
三是正确求解方程并检验解的合理性.
2.利用方程解决实际问题的关键是寻找等量关系.
3.解决应用题的一般步骤:
审 (审题目,分清已知量、未知量、等量关系等);
设 (设未知数,有时会用未知数表示相关的量);
列 (根据题目中的等量关系,列出方程);
解 (解方程,注意分式方程需检验,将所求量表示清晰);
验 (检验方程的解能否保证实际问题有意义);
答 (写出答案,切忌答非所问).
4.常见应用题型
数字问题、平均变化率问题、利息问题、利润(销售)问题、形积问题等.
要点说明:
列方程解应用题就是先把实际问题抽象为数学问题(列方程),然后由数学问题的解决而获得对实际问题的解决.
【考点一】一元二次方程 有关概念
1.已知a是一元二次方程的根.求代数式的值.
【举一反三】
2.已知.
(1)化简;
(2)若是一元二次方程的解,求的值.
3.先化简,再求值:,其中是方程的根.
【考点二】一元二次方程的解法
4.解方程:
(1)
(2)
【举一反三】
5.解一元二次方程:
(1)
(2)
6.解方程
(1)
(2)
7.解方程:.
【举一反三】
8.解方程:
9.解下列方程
(1);
(2).
【考点三】一元二次方程根的判别式
10.已知关于x的方程有实数根.
(1)求m的取值范围;
(2)当时,求方程的根.
【举一反三】
11.已知关于的一元二次方程有两个不相等的实数根.
(1)求的取值范围;
(2)当时,用配方法解方程.
12.已知关于的一元二次方程.
(1)求证:方程总有两个不相等的实数根;
(2)若方程有一个根是,求方程的另一个根.
【举一反三】
13.已知关于的一元二次方程.(m为实数)
(1)求证:无论m取何值,该方程总有两个实数根;
(2)该方程的两个实数根为、(),若,求正数m的值.
【考点四】一元二次方程根与系数关系
14.关于的一元二次方程有两个实数根.
(1)求的取值范围;
(2)若的两条直角边的长恰好是此方程的两个实数根,斜边,求的周长.
【举一反三】
15.已知关于的一元二次方程.
(1)求证无论实数取何值,此方程一定有两个实数根;
(2)设此方程的两个实数根分别为,,若,求的值.
16.公安交警部门提醒市民,骑车出行必须严格遵守“一盔一带”的规定.某头盔经销商统计了某品牌头盔3月份到5月份的销量,该品牌头盔3月份销售256个,5月份销售400个,且从3月份到5月份销售量的月增长率均为.
(1)求月增长率r;
(2)经在市场中调查,若此种头盔的进价为30元/个时,定价为40元/个时,月销售量为600个,若在此基础上售价每上涨1元/个,则月销售量将减少10个,为使月销售利润达到10000元,而且尽可能让顾客得到实惠,则该品牌头盔的实际售价应定为多少元/个?
【考点五】一元二次方程根的应用
17.2023年杭州亚运会吉祥物一开售,就深受大家的喜爱.某商店以每件35元的价格购进某款亚运会吉祥物,以每件58元的价格出售.经统计,4月份的销售量为256件,6月份的销售量为400件.
(1)求该款吉祥物4月份到6月份销售量的月平均增长率.
(2)从7月份起,商场决定采用降价促销的方式回馈顾客.经试验,发现该吉祥物每降价1元,月销售量就会增加20件.当该吉祥物售价为多少元时,月销售利润达8400元?
【举一反三】
18.某水果商场经销一种高档水果,原售价每千克50元.
(1)连续两次降价后每千克32元,若每次下降的百分率相同.求每次下降的百分率;
(2)若每千克盈利10元,每天可售出500千克,经市场调查发现,在进货价不变的情况下,商场决定采取适当的涨价措施,但商场规定每千克涨价不能超过8元,若每千克涨价1元,日销售量将减少20千克,现该商场要保证每天盈利6000元,且要尽快减少库存,那么每千克应涨价多少元?
19.如图,某农场有两堵互相垂直的墙,长度分别为米和米.该农场打算借这两堵墙建一个长方形饲养场,用总长米的木栏围成,中间预留1米宽的通道,在和边上各留1米宽的门,设长x米.
(1)写出的长(用含x的代数式表示).
(2)若饲养场的面积为平方米,求x的值.
20.如图,有一农户用24m长的篱笆围成一面靠墙(墙长12m),大小相等且彼此相连的三个矩形鸡舍.
(1)鸡舍的面积能够达到吗?若能,给出你的方案;若不能,请说明理由;
(2)鸡舍的面积能够达到吗?若能,给出你的方案;若不能,请说明理由.
【举一反三】
21.如图,某市规划在五边形河畔公园内挖一个四边形人工湖,使点O、P、M、N分别在边、、、上,且满足,.已知五边形中,,m,m,m,m.请问,四边形人工湖的面积能否为,若能,求出此时的长;若不能,请说明理由.
试卷第1页,共3页
试卷第1页,共3页
参考答案:
1.6
【分析】先根据平方差公式和单项式乘以多项式的法则计算原式,然后根据方程根的定义可得,再结合化简后的式子整体代入求解即可.
【详解】解:
,
∵a是一元二次方程的根,
∴,即,
∴原式.
【点睛】本题考查了一元二次方程根的定义、整式的乘法运算和代数式求值,熟练掌握整式的运算法则、掌握整体代入的方法是解题关键.
2.(1)
(2)13
【分析】(1)分别计算单项式乘多项式、完全平方,然后进行加减运算即可;
(2)由题意知,即,根据,计算求解即可
【详解】(1)解:
,
∴;
(2)解:∵是一元二次方程的解,
∴,即,
∴;
∴的值为13.
【点睛】本题考查了整式的加减运算,一元二次方程的根,代数式求值等知识.解题的关键在于对知识的熟练掌握与灵活运用.
3.,
【分析】先根据异分母分式的加减法则,化简分式,再根据是方程的根得到,整体代入进行计算即可得到答案.
【详解】解:
,
是方程的根,
,
,
原式
.
【点睛】本题主要考查了分式的化简求值,解一元二次方程,熟练掌握异分母分式的加减的运算法则,以及一元二次方程的解法,整体代入法,是解题的关键.
4.(1),
(2)无实数根
【分析】(1)利用直接开平方法即可求解;
(2)利用公式法计算即可.
【详解】(1)解:
,
,;
(2)解:∵,
∴
原方程无实数根
【点睛】本题主要考查了一元二次方程的求解,准确计算是解题的关键.
5.(1),
(2),
【分析】(1)由配方法解方程即可得出答案;
(2)根据因式分解法解一元二次方程即可求解.
【详解】(1)解:,
,
,
,
.
∴,;
(2),
,
,
,
∴或 ,
∴,.
【点睛】本题考查了解一元二次方程,熟练掌握解一元二次方程的方法是解题的关键.
6.(1),
(2),
【分析】(1)移项,利用平方差公式分解因式求解可得;
(2)用公式法进行求解可得.
【详解】(1)解:∵,
∴,
即,
则或,
解得,;
(2)解:
∵,
∴,
∴,.
【点睛】本题考查了因式分解法和公式法解一元二次方程,正确掌握解一元二次方程的解法是解题的关键.
7.
【分析】分式方程去分母转化为整式方程,求出整式方程的解得到的值,经检验即可得到分式方程的解.
【详解】解:
方程两边同乘,
得,
整理得,,
∴,
解得:,,
检验:当时,,是增根,
当时,,
原方程的解为.
【点睛】本题考查了分式方程的解法,属于基本题型,熟练掌握解分式方程的方法是解题关键.
8.
【分析】先移项将原方程进行变形,再等式两边平方得到,然后整理解一元二次方程即可解答.
【详解】解:移项:,
两边平方:,
整理得:,解得:.
经检验:是原方程的根,是增根,舍去.
所以,原方程的根是.
【点睛】本题主要考查了解一元二次方程,将原方程化成一元二次方程是解答本题的关键.
9.(1)
(2)
【分析】(1)用公式法解一元二次方程即可求解;
(2)先去分母化分式方程为整式方程,解整式方程求得x的值,代入最简公分母检验即可得.
【详解】(1)解:
∵,,,
∴.
∴.
∴.
(2)两边同时乘以得:
,
,
.
检验:当时,.
∴为原方程的解.
【点睛】本题考查解一元二次方程和分式方程,解题的关键是掌握解方程的方法,正确求解.
10.(1)
(2),
【分析】(1)根据判别式不小于零,解不等式即可;
(2)将m的值代入,求解方程即可.
【详解】(1)解:(1)∵关于x的方程有实数根,
∴.解得.
(2)解:(2)当时,原方程为.
即,∴,,
∴方程的根为0,2;
【点睛】本题考查了一元二次方程的跟的判别式,一元二次方程的解法,是考试中常考的考点.
11.(1)且
(2),
【分析】(1)根据题意,可得,注意一元二次方程的系数问题,即可解答,
(2)将代入,利用配方法解方程即可.
【详解】(1)解:依题意得:,
解得且;
(2)解:当时,原方程变为:,
则有:,
,
,
方程的根为,.
【点睛】本题考查了根据根的情况判断参数,用配方法解一元二次方程,熟练利用配方法解一元二次方程是解题的关键.
12.(1)见解析
(2)方程另一个根为
【分析】(1)根据方程的系数结合根的判别式得出,由此可证出方程总有两个不相等的实数根;
(2)将1代入方程可得方程为,解方程即可求出另一个根;
【详解】(1)∵,
∴
,
,
∴方程总有两个不相等的实数根.
(2)∵1是一元二次方程的一个根,
∴,
∴ ,
∴,
∴
∴, ,
∴方程另一个根为.
【点睛】本题主要考查了一元二次方程根的判别式、一元二次方程的解以及解一元二次方程,解答本题的关键是能够熟记根判别式,熟练解答一元二次方程.
13.(1)见解析
(2)
【分析】(1)直接根据根的判别式证明即可;
(2)先根据根与系数的关系求出,的值,再根据完全平方公式的变形求解即可.
【详解】(1)∵
∴
∴无论m取何值,该方程总有两个实数根;
(2)∵方程的两个实数根为、
∴,
∵
∴
∴
∴
∴
∴解得或(舍去).
【点睛】本题考查了根的判别式,熟练掌握判别式与根的关系是解题的关键.当判别式时,一元二次方程有两个不相等的实数根;当判别式时,一元二次方程有两个相等的实数根;当判别式时,一元二次方程没有实数根.一元二次方程根与系数的关系:,.
14.(1)
(2)14
【分析】(1)由一元二次方程有两个实数根,结合根的判别式可得出,解之即可得出结论;
(2)根据题意,设的两条直角边分别为,由根与系数的关系可得出、,结合勾股定理可得出关于的一元二次方程,解之可得出的值,由方程的两根是对应的直角边长,均为正值,可确定的值,再根据三角形的周长公式即可求出结论.
【详解】(1)解:关于的一元二次方程有两个实数根,
,解得:;
(2)解:设的两条直角边分别为,
,是方程的两个实数根,
,,
,即,解得或,
由于是直角三角形的两条直角边,从而有,即,
,
这个三角形的周长为.
【点睛】本题考查了根与系数的关系、根的判别式以及勾股定理,解题的关键是:(1)由方程有两个实数根找出;(2)利用根与系数的关系结合勾股定理找出.
15.(1)证明见详解
(2)
【分析】(1)根据题意证明,即可证明方程一定有两个实数根;
(2)根据,,把变形为:,即可.
【详解】(1)关于的一元二次方程有两个实数根,
∴,
∴,
∴无论实数m取何值,此方程一定有两个实数根.
(2)∵,,
∴,,
∵,
∴,
∴,
∴.
【点睛】本题考查一元二次方程的知识,解题的关键是掌握一元二次方程根与系数的关系.
16.(1)
(2)50
【分析】(1)根据5月份销售量3月份销售量建立方程,解方程即可得;
(2)设该品牌头盔的实际售价应定为元/个,从而可得月销售量,再根据利润(实际售价进价)月销售量建立方程,解方程即可得.
【详解】(1)解:由题意得:,
解得或(不符合题意,舍去),
答:月增长率为.
(2)解:设该品牌头盔的实际售价应定为元/个,则月销售量为(个),
由题意得:,
解得或,
要尽可能让顾客得到实惠,
,
答:该品牌头盔的实际售价应定为50元/个.
【点睛】本题考查了一元二次方程的应用,找准等量关系,正确建立方程是解题关键.
17.(1)该款吉祥物4月份到6月份销售量的月平均增长率为
(2)该款吉祥物售价为50元时,月销售利润达8400元
【分析】(1)设4月份到6月份的月平均增长率为,根据4月份的销售量为256件,6月份的销售量为400件,可列方程,求解即可;
(2)设该款吉祥物降价元,根据单个商品的利润销售量总利润列方程求解即可.
【详解】(1)解:设该款吉祥物4月份到6月份销售量的月平均增长率为.
则
解得,(舍去)
答:该款吉祥物4月份到6月份销售量的月平均增长率为.
(2)解:设该款吉祥物降价元.
则
解得,(舍去)
∴元,
答:该款吉祥物售价为50元时,月销售利润达8400元.
【点睛】本题考查了一元二次方程的应用,找准等量关系、正确列出一元二次方程是解题的关键.
18.(1)每次下降的百分率为;
(2)每千克水果应涨价5元,盈利6000元.
【分析】(1)设每次降价的百分率为,列出方程求解即可;
(2)设每千克涨价元,根据题意列出一元二次方程,解方程即可求解.
【详解】(1)解:设每次下降百分率为,
根据题意,得,
解得:, (不合题意,舍去).
答:每次下降的百分率为;
(2)设每千克涨价x元,
由题意得:
解得:或,
∵商场规定每千克涨价不能超过8元,且要尽快减少库存,
∴,
答:每千克水果应涨价5元,盈利6000元.
【点睛】本题考查了一元二次方程的应用,根据题意列出方程是解题的关键.
19.(1)米
(2)米
【分析】(1)用(总长个1米的门的宽度)即为所求;
(2)由(1)表示饲养场面积计算即可.
【详解】(1)解:如图,
∵,
∴,
∴,
即长度为米;
(2)解:由题意知,,
解得,,
又∵,且,
∴,
∴(米).
【点睛】考查了一元二次方程的应用,解题关键是要读懂题目的意思,根据题目给出的条件,找出合适的等量关系,列出方程,再求解.
20.(1)能,垂直于墙的一边长为,平行于墙的一边长为
(2)不能,理由见解析
【分析】(1)设垂直于墙的一边长,根据题意可得,解方程即可得到答案;
(2)设垂直于墙的一边长,由题意可得:,解方程即可得到答案.
【详解】(1)解:能,理由如下:
设垂直于墙的一边长,
由题意可得:,
整理得:,
解得:,,
当时,(不符合题意,舍去),
当时,,符合题意,
,
垂直于墙的一边长为,平行于墙的一边长为,
(2)解:不能,理由如下:
设垂直于墙的一边长,
由题意可得:,
整理得:,
,
此方程无实数根,
不能.
【点睛】本题主要考查了一元二次方程的应用,读懂题意,正确列出一元二次方程是解题的关键.
21.能,的长为m或m
【分析】设,分别求出,,,,的长度,用表示四边形人工湖的面积,利用一元二次方程的判别式可求解.
【详解】解:能,理由如下:
如图,延长,于,
四边形是矩形,
,,
,,
,,
设,则,
,,
,,,
,,
若四边形人工湖的面积为,
,
整理得:,
解得:,,
故:能,的长为m或m.
【点睛】本题考查了矩形的性质,一元二次方程的应用,利用参数表示四边形的面积是解题的关键.
答案第1页,共2页
答案第1页,共2页
转载请注明出处卷子答案网-一个不只有答案的网站 » 专题2.20一元二次方程 全章知识梳理与考点分类讲解(含解析)2023-2024九年级数学上册北师大版专项讲练