山东省泰安市名校2023-2024高一上学期10月第一次质量检测数学试题（含答案）

泰安市20名23校级高一上学期第一次质量检测
数学试题
考试时间：120 分钟；
注意事项：
1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息
2．请将答案正确填写在答题卡上
第 I卷（选择题）
一、单选题（每个题目 5 分，共 40 分）
1 2．已知集合 A 0,1, a ， B 0,1, 2a 3 ，若 A B，则 a等于（ ）
A．－1 或 3 B．0 或 1
C．3 D．－1
2．设全集U R，B x x 2 x 2 0 ，A x x 1 ，则图中阴影部分对应的集
合为（ ）
A． x x 1 B． x 1 x 2 C． x x 1 D． x 1 x 2
3．满足 M 1,2,3 的集合 M共有（ ）
A．6 个 B．7 个 C．8 个 D．15 个
4．若不等式 x2 ax 1 0有解，则实数 a的取值范围为（ ）
A． a 2或 a 2 B． 2 a 2 C． a 2 D．1 a 3
5 2．命题“ x 1,2 , x a 0 ”为真命题的一个充分不必要条件是（ ）
A．a 4 B． a 4 C．a 5 D．a 5
6 1．当 x 1时，不等式 x a恒成立，则实数 a的取值范围是（ ）
x 1
A．{a∣a 2} B．{a∣a 2}
C．{a∣a 3} D．{a∣a 3}
7 7．设 p： x2 x 12 0 ，q： 1，则 p是 q的（ ）
x 3
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
高一质检一数学试题 第1页,共4页
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8．甲、乙两人同时于上周和本周到同一加油站给汽车加油两次，甲每次加
油 20 升，乙每次加油 200 元，若上周与本周油价不同，则在这两次加油中，
平均价格较低的是（ ）
A．甲 B．乙 C．一样低 D．不能确定
二、多选题（每个小题满分 5分，答对部分答案得 2 分，答错得 0 分）
9．若非空集合M ,N ,P满足：M N N ,M P P，则（ ）
A． P M B．M IP M
C．N P P D．M pN
10．已知 a，b，c R，则下列命题为真命题的是（ ）
A．若 bc2 ac2 1 1，则b a B．若 a3 b3且 ab 0 ，则 a b
a b
C．若a b c 0 a a c，则 b b c D．若 c b a 0，则 c a c b
11．下列说法正．确．的是（ ）
A．命题“ x 0， x2 x 0”的否定是“ x 0， x2 x 0 ”
B．若 a,b,c R ，则“ ab2 cb2 ”是“ a c ”的充分不必要条件
C．“ a b ”是“ 1a
1
b ”的充要条件
D b b m．若b a 0，m 0，则 a a m
12．已知命题 p：关于 x的不等式 x2 2ax a 0的解集为 R，那么命题 p的一
个必要不充分条件是（ ）
A． 1 a
1 2
B． a 0
2 3
C． 1 a 0 D．a 1
第 II 卷（非选择题）
三、填空题（每个小题 5分，共 20 分）
13．某学校举办运动会，比赛项目包括田径、游泳、球类，经统计高一年级
有57人参加田径比赛，有11人参加游泳比赛，有62人参加球类比赛.参加球
类比赛的同学中有14人参加田径比赛，有4人参加游泳比赛；同时参加田径
比赛和游泳比赛的有8人；同时参加三项比赛的有 2人.则高一年级参加比赛
的同学有 .
14．若命题“ x R,ax2 2ax 1 0 ”是假命题，则实数 a的取值范围是 .
高一质检一数学试题 第2页,共4页
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15．已知集合 A x x 2 ax b 0 2， B x x cx 15 0 ，若 A B 3,5 ，
A B 3 ，则实数 a的值为 ．
16 1 1．已知若正数 a、b满足a b 1，则 的最小值为 ．
a 2 b 2
四、解答题
17．（本题满分 12 分）
（1）试比较 x 1 x 5 2与 x 3 的大小；
（2）已知 a b， 1 1a b，求证：ab 0．
18．（本题满分 12 分）
已知命题 p : 1 x 2, x2 a 0，命题 q : x R, x 2 2ax 2a a 2 0 .
（1）若命题 p为真命题，求实数 a 的取值范围；
（2）若命题 p 和 q均为真命题，求实数 a 的取值范围.
19.（本题满分 12 分）
已知函数 f x ax2 a2 1 x a， a R
(1) f x 0 2, 1 若 的解集为 ，求 a的值；
2
(2)若a 0，求不等式 f x 0的解集.
20．（本题满分 12 分）
x 5
已知全集U R ，集合 A x 0 ， B x a 1 x a 1,a R
x 2
.

(1)当a 2时，求 U A UB ；
(2)若 x A是 x B的必要不充分条件，求实数 a的取值范围.
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21．（本题满分 12 分）
为宣传 2023 年杭州亚运会，某公益广告公司拟在一张矩形海报纸（记为矩
形 ABCD，如图）上设计四个等高的宣传栏（栏面分别为两个等腰三角形和
两个全等的直角三角形且GH 2EF），宣传栏（图中阴影部分）的面积之和
为36000cm2．为了美观，要求海报上所有水平方向和竖直方向的留空白宽度
均为 10cm，设 EF xcm ．
(1)当 x 100cm时，求海报纸的面积；
(2)为节约成本，应如何选择海报纸的尺寸，可使用纸量最少（即矩形 ABCD
的面积最小）？
22．（本题满分 12 分）
3x 1 2
已知集合 A x 2 , B x mx 2m 1 x 2 0,m R
x 1
.

(1)当m 1时，求 A B；
(2)若 x A是 x B的充分条件，求实数m的取值范围．
{#{QQABYQQAogAgQhAAAAhCUwWiCAGQkACCCAoOgBAMMAAAAAFABAA=}#} 泰安市名校2023级高一上学期第一次质量检测数学
答案
1．C 2．D 3．B 4．A 5．D 6．D 7．B 8．B
【详解】设两次加油时的单价分别为 x元和 y元，且 x y，
20(x y) x y
则甲每次加油20升，两次加油中，平均价格为 元，
40 2
400 2 xy

乙每次加油 200元，两次加油中，平均价格为 200 200 x y 元，
x y
x y 2xy (x y ) 2 4xy (x y ) 2
可得 02 x y 2(x y) 2(x y) ，所以乙的平均价格更低.故选：B.
9．BC 10．ABC 11．BD 12．CD
13．106 14． 0,1 15 4． 6 16． 5
【详解】已知正数 a、b满足a b 1，则 a 2 b 2 5，
1 1 a 2 b 2 1 1
所以， a 2 b 2 5 a 2 b 2
1 b 2 a 2 2 1

2 b 2 a 2
4
2
1
5 a 2 b 2 5 a 2 b 2


，当且仅当 a b 5 2 时，等号成立.
1 1 4
因此， 的最小值为 5 .a 2 b 2
17.【详解】（1）由题意， x 1 x 5 x 3 2
x2 6x 5 x2 6x 9 4 0，----------------------------------4 分
所以 x 1 x 5 x 3 2 ．----------------------------------------5 分
1 1 b a
（2）证明：因为 1 1，所以 0，即 0a b a b ab ，------------------------------8 分
而 a b，所以b a 0，则ab 0．得证．---------------------------------------------10 分
18.【详解】解：(1)根据题意，知当1 x 2时，1 x2 4 ------------------3 分
p : 1 x 2, x2 a 0，为真命题， a 1.
实数 a 的取值范围是 a | a 1 .-----------------------------------------------------6 分
(2)由(1)知命题 p 为真命题时， a 1 .-----------------------------------------------8 分
命题 q 为真命题时， 4a2 4 2a a2 0 ，解得 a 0, q为真命题时，a 0 .-10 分
a 1
a 0，解得
0 a 1，即实数 a 的取值范围为 a | 0 a 1 .----------------12 分

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19.【详解】（1）因为 f x 0 的解集为 2,
1
，
2
ax2 a2所以方程 1 x a 0 1的两根为 2和 2 ，且 a<0 .----------------------3 分
1 a2
2
1

2 a 1
所以 ，解得a 2或 a 2 .------------------------------------6 分 1
2 1 2
1
（2）因为a 0，所以不等式 f x 0，即a x x a 0a ，
1 1 1
当 0 a 1时， a，解得 a x a，即不等式的解集为
a,
a ；-----7 分a
1 1 1
当 a 1时， a，解得 x a

a a ，即不等式的解集为
,a
a
；-------8 分

当 a 1
2
时，原不等式即 x 1 0，解得 x 1，即不等式的解集为 1 .--9 分
1
综上：当 0 a 1时式的解集为 a,
a
，

1
当 a 1时不等式的解集为

,a
a ，
当 a 1时不等式的解集为 1 .--------------------------------------------12 分
x 5
20.【详解】（1）因为 A x 0 x 2 x 5 x 2 ，---------------------------2 分
当a 2时， B x 1 x 3 ，------------------------------------------------------------3 分
因为全集U R，则 U A x x 2或 x 5 ，------------------------------------------4 分
UB x x 1或 x 3 ，--------------------------------------------------------------------5 分
因此， U A UB x x 1或 x 5 .--------------------------------------------------6 分
（2）易知集合 B x a 1 x a 1,a R 为非空集合，
因为 x A是 x B的必要不充分条件，则 B A ，--------------------------------9 分
a 1 2
所以， a 1 5，（且两边不能同时取得“=”）----------------------------------11 分
解得3 a 4 .因此，实数 a的取值范围是 a 3 a 4 .---------------------------12 分
20.【详解】（1）设阴影部分直角三角形的高为 ycm,所以阴影部分的面积：
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S 1 6 xy 3xy 36000
2 ，所以
xy 12000, --------------------------------------------2 分当
当 x 100cm, y 120cm，-----------------------------------------------------------------3 分
由图像知： AD y 20 140cm, AB 3x 50 350cm，
SABCD 140 350 49000 cm2 .---------------------------------------------------------4 分
（2）由（1）知： xy 12000, x 0, y 0,
SABCD 3x 50 y 20 3xy 60x 50y 1000 3xy 2 60x 50y 1000
49000，----------------------------------------------------------------------------------8 分
当且仅当6x 5y,即 x 100cm, y 120cm，-------------------------------------------10 分
即 AB 350cm, AD 140cm等号成立.
综上，选择长宽分别为350cm,140cm的海报纸.------------------------------------12 分
22 1 3x 1．【详解】（ ） 2 0 x 3 0 ，即 x 3 x 1 0 ，
x 1 x 1
解得： 3 x 1，所以 A x 3 x 1 ，------------------------------------------2 分
m 1时， x2 x 2 0，即 x 1 x 2 0，得 1 x 2，
则 B x 1 x 2 ，------------------------------------------------------------------3 分
所以 A B x 3 x 2 ；-----------------------------------------------------------4 分
（2）若 x A是 x B的充分条件，则 A B，
①当m 0时， x 2 0，得 x 2 ， B x x 2 ，此时 A B，----------------5 分
1 1
②当m 0时， mx 1 x 2 0，得 x 2， B x x 2m m ，
若 A B
1
，则 3
1
m ，得
0 m
3 ；-------------------------------------------6 分
③若m 0，则 mx 1 x
1
2 0 x
x 2 0
m ，----------------------7 分
1 1 1
（Ⅰ）当 2时，即m 2 ，不等式的解集为
{x x 2或 x }，
m m
A x 3 x 1 ，若 A B 1，则 1，得 1 m 1 ，----------------9 分
m 2
1 1
（Ⅱ）当 2
1
m 时，即
m 0，不等式的解集为{x x 或 x 2}，
2 m
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A B 1恒成立，得 m 0。--------------------------------------------------11 分
2
1 1
（Ⅲ）当 2时，m 2 ，不等式的解集为 x x 2 ，此时 A B，m
1
综上可知，m的取值范围为 m 1 m 3 .----------------------------------12 分
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