卷子答案网-一个不只有答案的网站专题1.8 一定是直角三角形吗（直通中考）
一、单选题
（2018·江苏南通·中考真题）
1．下列长度的三条线段能组成直角三角形的是
A．3， 4，5 B．2，3，4 C．4，6，7 D．5，11，12
（2018·山西·统考中考真题）
2．“算经十书”是指汉唐一千多年间的十部著名数学著作，它们曾经是隋唐时期国子监算学科的教科书，这些流传下来的古算书中凝聚着历代数学家的劳动成果．下列四部著作中，不属于我国古代数学著作的是（ ）
A． B． C． D．
（2022·贵州贵阳·统考中考真题）
3．如图，“赵爽弦图”是由四个全等的直角三角形与中间的一个小正方形拼成的大正方形，若图中的直角三角形的两条直角边的长分别为1和3，则中间小正方形的周长是（ ）
A．4 B．8 C．12 D．16
（2021·湖北襄阳·统考中考真题）
4．我国古代数学著作《九章算术》中记载了一个问题：“今有池方一丈，葭（ jiā）生其中，出水一尺，引葭赴岸，适与岸齐．问水深几何．”（丈、尺是长度单位，1丈尺，）其大意为：有一个水池，水面是一个边长为10尺的正方形，在水池正中央有一根芦苇，它高出水面1尺．如果把这根芦苇拉向水池一边的中点，它的顶端恰好到达池边的水面，水的深度是多少？则水深为（ ）
A．10尺 B．11尺 C．12尺 D．13尺
（2019·湖北咸宁·统考中考真题）
5．勾股定理是“人类最伟大的十个科学发现之一”．我国对勾股定理的证明是由汉代的赵爽在注解《周髀算经》时给出的，他用来证明勾股定理的图案被称为“赵爽弦图”.2002年在北京召开的国际数学大会选它作为会徽．下列图案中是“赵爽弦图”的是（ ）
A． B． C． D．
（2012·浙江宁波·中考真题）
6．勾股定理是几何中的一个重要定理．在我国古算书《周髀算经》中就有“若勾三，股四，则弦五”的记载．如图1是由边长相等的小正方形和直角三角形构成的，可以用其面积关系验证勾股定理．图2是由图1放入矩形内得到的，∠BAC=90°，AB=3，AC=4，点D，E，F，G，H，I都在矩形KLMJ的边上，则矩形KLMJ的面积为 （ ）
A．90 B．100
C．110 D．121
（2007·江苏泰州·中考真题）
7．如图，王大伯家屋后有一块长12m，宽8m的矩形空地，他在以长边BC为直径的半圆内种菜，他家养的一只羊平时拴A处的一棵树上，为了不让羊吃到菜，拴羊的绳长可以选用（ ）
A．3m B．5m C．7m D．9m
（2023·河北保定·统考模拟预测）
8．平面内，将长分别为2，4，3的三根木棒按如图方式连接成折线，其中可以绕点任意旋转，保持，将，两点用绷直的皮筋连接，设皮筋长度为，则不可能是（ ）
A．3 B．5 C．7 D．8
（2023·河北石家庄·石家庄市第四十一中学校考模拟预测）
9．图1、图2的两个正方形网格的面积分别为、，正方形、满足，下列结论正确的是（ ）
A． B．
C． D．
（2017·广东·统考一模）
10．五根木棒，其长度分别为7，15，20，24，25，现将他们摆成两个直角三角形，其中摆放方法正确的是（ ）
A． B． C． D．
二、填空题
（2020·湖南娄底·中考真题）
11．由4个直角边长分别为a，b的直角三角形围成的“赵爽弦图”如图所示，根据大正方形的面积等于小正方形的面积与4个直角三角形的面积的和证明了勾股定理，还可以用来证明结论：若、且为定值，则当 时，取得最大值．
（2013·福建莆田·中考真题）
12．如图是一株美丽的勾股树，其中所有的四边形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形，若正方形A、B、C、D的面积分别为2，5，1，2．则最大的正方形E的面积是 ．
（2011·贵州遵义·中考真题）
13．.如图，圆柱底面半径为，高为，点分别是圆柱两底面圆周上的点，且、在同一母线上，用一棉线从顺着圆柱侧面绕3圈到，求棉线最短为 ．
（2013·山东东营·中考真题）
14．如图，圆柱形容器中，高为1.2m，底面周长为1m，在容器内壁离容器底部0.3m的点B处有一蚊子，此时一只壁虎正好在容器外壁，离容器上沿0.3m与蚊子相对的点A处，则壁虎捕捉蚊子的最短距离为 m（容器厚度忽略不计）．
（2022·四川内江·统考中考真题）
15．我国汉代数学家赵爽为了证明勾股定理，创制了一幅“弦图”，后人称其为“赵爽弦图”（如图（1））．图（2）由弦图变化得到，它是由八个全等的直角三角形拼接而成，记图中正方形ABCD、正方形EFGH、正方形MNKT的面积分别为S1、S2、S3 ． 若正方形EFGH的边长为2，则S1+S2+S3= ．
（2020·吉林长春·统考模拟预测）
16．《九章算术》是我国古代最重要的数学著作之一，在“勾股”章中记载了一道“折竹抵地”问题：“今有竹高一丈，末折抵地，去本三尺，问折者高几何？”翻译成数学问题是：中，，，，则的长为 ．
（2022·甘肃定西·统考模拟预测）
17．若的三边长a，b，c满足，则是 ．
（2022·浙江舟山·统考二模）
18．《九章算术》是古代东方数学代表作，书中记载：今有开门去阃（读kǔn，门槛的意思）一尺，不合二寸，问门广几何？题目大意是：如图1、2（图2为图1的平面示意图），推开双门，双门间隙CD的距离为2寸，点C和点D距离门槛AB都为1尺（1尺＝10寸），则AB的长是 寸．
（2020·福建·校联考零模）
19．我国古代数学著作《九章算术》中“今有池方一丈，葭生其中央，出水一尺，引酸赴岸，适与岸齐．问水深，葭长几何”意思是有一个水池，水面是一个边长为10尺的正方形，水池正中央有一根芦苇，如果把这根芦苇拉向水池一边的中点，它的顶端恰好达到池边的水面水的深度是 ，这根芦苇的长度是 （l丈=10尺，1尺）
三、解答题
（2018·山西·统考一模）
20．如图，在△ABC中，AB=13cm，BC=12cm，AC=5cm．
（1）作出△ABC的高线CD（保留痕迹，不写作法）；
（2）求CD的长．
（2021·湖南张家界·统考一模）
21．如图，小亮发现升旗的绳子放下时，末端刚好接触到地面处，但将绳子末端拉到距离旗杆米的处，发现此时绳子末端距离地面米．求旗杆的高度．
（2018·山西·统考一模）
22．如图，是由6个大小相同的小正方形组成的方格．
（1）如图1，A、B、C是三个格点，判断AB与BC的位置关系，并说明理由；
（2）如图2，直接写出∠α＋∠β的度数．
（2023·四川攀枝花·校联考二模）
23．将两个全等的直角三角形按如图所示摆放，使点A、E、D在同一条直线上．利用此图的面积表示式证明勾股定理．
（2020·湖北黄石·校考模拟预测）
24．如图是一个可折叠的钢丝床的示意图，这是展开后支撑起来放在地面上的情况，如果折叠起来，床头部分被折到床面之上了（这里的A、B、C、D各点都是活动的）．活动床头是根据三角形的稳定性和四边形的不稳定性设计而成的，其折叠过程可用如图的变换反映出来，如果已知四边形ABCD中，AB=6，CD=15，那么BC、AD取多长时，才能实现上述的折叠变化？
试卷第1页，共3页
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参考答案：
1．A
【分析】利用勾股定理的逆定理：如果三角形两条边的平方和等于第三边的平方，那么这个三角形就是直角三角形．最长边所对的角为直角．由此判定即可．
【详解】A、∵32+42=52，
∴三条线段能组成直角三角形，故A选项正确；
B、∵22+32≠42，
∴三条线段不能组成直角三角形，故B选项错误；
C、∵42+62≠72，
∴三条线段不能组成直角三角形，故C选项错误；
D、∵52+112≠122，
∴三条线段不能组成直角三角形，故D选项错误；
故选：A．
【点睛】考查勾股定理的逆定理，解题的关键是掌握如果三角形两条边的平方和等于第三边的平方，那么这个三角形就是直角三角形．
2．B
【分析】根据数学常识逐一判别即可得．
【详解】A、《九章算术》是中国古代数学专著，作者已不可考，它是经历代各家的增补修订，而逐渐成为现今定本的；
B、《几何原本》是古希腊数学家欧几里得所著的一部数学著作；
C、《海岛算经》是中国学者编撰的最早一部测量数学著作，由刘徽于三国魏景元四年所撰；
D、《周髀算经》原名《周髀》，是算经的十书之一，中国最古老的天文学和数学著作；
故选B．
【点睛】本题主要考查数学常识，解题的关键是了解我国古代在数学领域的成就．
3．B
【分析】根据图形分析可得小正方形的边长为两条直角边长的差，据此即可求解．
【详解】图中的直角三角形的两条直角边的长分别为1和3，则中间小正方形的周长是．
故选B．
【点睛】本题考查了以弦图为背景的计算题，理解题意是解题的关键．
4．C
【分析】根据勾股定理列出方程，解方程即可.
【详解】设水池里的水深为x尺，由题意得：
解得：x=12
故选：C.
【点睛】本题主要考查勾股定理的运用，掌握勾股定理并能根据勾股定理正确的列出对应的方程式解题的关键.
5．B
【分析】“赵爽弦图”是由四个全等的直角三角形和中间的小正方形拼成的一个大正方形．
【详解】“赵爽弦图”是由四个全等的直角三角形和中间的小正方形拼成的一个大正方形，如图所示：
故选B.
【点睛】本题主要考查了勾股定理的证明，证明勾股定理时，用几个全等的直角三角形拼成一个规则的图形，然后利用大图形的面积等于几个小图形的面积和化简整理得到勾股定理．
6．C
【详解】解：如图，延长AB交KF于点O，延长AC交GM于点P，
所以四边形AOLP是正方形，
边长AO=AB+AC=3+4=7，
所以KL=3+7=10，LM=4+7=11，
因此矩形KLMJ的面积为10×11=110．
故选：C．
7．A
【详解】解：连接OA，交⊙O于E点，
在Rt△OAB中，OB=6，AB=8，
所以OA==10；
又OE=OB=6，
所以AE=OA-OE=4．
因此选用的绳子应该不大于4，
故选A．
8．D
【分析】连接，根据勾股定理可得的长，在分两种情况讨论即可；
【详解】连接，则．
如图1，当点在线段上时，；
如图2，当点在的延长线上时，，
∴的取值范围为，
故选：D．
【点睛】本题主要考查了勾股定理的应用、三角形的三边关系，解题的关键是构造直角三角形，利用勾股定理求出．
9．D
【分析】假设第一正方形网格边长为，第二个网格正方形边长为，然后根据勾股定理可得到，，然后利用计算即可得到和的比值．
【详解】解：设第一正方形网格边长为，第二个网格正方形边长为，
∴，，
∵，
∴，
∴，
∴，
故选：D
【点睛】本题主要考查网格中面积的计算和勾股定理，利用勾股定理用网格的边长表示正方形面积，然后转化为网格正方形面积的比值是解题的关键．
10．D
【分析】欲求证是否为直角三角形，这里给出三边的长，只要验证两小边的平方和等于最长边的平方即可．
【详解】解：A、，，，故A不正确，不符合题意；
B、，，故B不正确，不符合题意；
C、，，故C不正确，不符合题意
D、，，故D正确，符合题意．
故选：D．
【点睛】本题主要考查了勾股定理的逆定理，解题的关键是熟练掌握，如果一个三角形的三条边a、b、c满足，那么这个三角形为直角三角形．
11．=
【分析】设为定值，则，先根据“张爽弦图”得出，再利用平方数的非负性即可得．
【详解】设为定值，则
由“张爽弦图”可知，
即
要使的值最大，则需最小
又
当时，取得最小值，最小值为0
则当时，取得最大值，最大值为
故答案为：．
【点睛】本题考查了勾股定理的应用、平方数的非负性，掌握勾股定理是解题关键．
12．10
【详解】解：如图，根据勾股定理的几何意义，可得：
A、B的面积和为S1，C、D的面积和为S2，S1+S2=S3，
∵正方形A、B、C、D的面积分别为2，5，1，2，
∵最大的正方形E的面积S3=S1+S2=2+5+1+2=10．
故答案为：10．
【点睛】本题考查的是勾股定理的应用，解决此题的关键熟练运用勾股定理的发现的来源．
13．
【分析】将圆柱体展开，然后利用两点之间线段最短解答即可.
【详解】圆柱体的展开图如图所示：用一棉线从A顺着圆柱侧面绕3圈到B的运动最短路线是：AC→CD→DB；即在圆柱体的展开图长方形中，将长方形平均分成3个小长方形，A沿着3个长方形的对角线运动到B的路线最短；
∵圆柱底面半径为2cm，
∴长方形的宽即是圆柱体的底面周长：2π×2=4πcm；
又∵圆柱高为9πcm，
∴小长方形的一条边长是3πcm；
根据勾股定理求得AC=CD=DB=5πcm；
∴AC+CD+DB=15πcm；
故答案为15π．
【点睛】本题主要考查了圆柱的计算、平面展开--路径最短问题．圆柱的侧面展开图是一个长方形，此长方形的宽等于圆柱底面周长，长方形的长等于圆柱的高．本题就是把圆柱的侧面展开成长方形，“化曲面为平面”，用勾股定理解决．
14．1.3．
【详解】因为壁虎与蚊子在相对的位置，则壁虎在圆柱展开图矩形两边中点的连线上，如图所示
要求壁虎捉蚊子的最短距离，实际上是求在EF上找一点P，使PA+PB最短，过A作EF的对称点，连接，则与EF的交点就是所求的点P．
过B作于点M，
在中，，，
∴．
∵，∴壁虎捉蚊子的最短距离为1.3m．
15．12
【详解】由题意得，正方形EFGH的面积为4，
则4个直角三角形的面积和为4-，
则正方形ABCD的面积为4+4-，
所以S1+S2+S3=4+4-S3+4+S3=12．
故答案为12．
16．4.55
【分析】设AC=x，可知AB=10-x，再根据勾股定理即可得出结论．
【详解】解：如图，
设AC=x，
∵AC+AB=10，
∴AB=10-x．
在Rt△ABC中，∠ACB=90°，
∴AC2+BC2=AB2，即x2+32=（10-x）2．
解得：x=4.55，
即AC=4.55．
故答案为：4.55．
【点睛】本题考查的是勾股定理的应用，在应用勾股定理解决实际问题时勾股定理与方程的结合是解决实际问题常用的方法，关键是从题中抽象出勾股定理这一数学模型，画出准确的示意图．领会数形结合的思想的应用．
17．等腰直角三角形
【分析】根据平方的结果是非负数、绝对值的结果为非负数，再根据勾股定理的逆定理、等腰三角形的判定进行判定即可．
【详解】解：∵
又∵、
∴、
∴、
∴是等腰直角三角形
故答案为：等腰直角三角形．
【点睛】本题考查了非负数的性质、勾股定理的逆定理、等腰三角形的判定等知识点，解答此题的关键是得出、．
18．101
【分析】取AB的中点O，过D作DE⊥AB于E，根据勾股定理解答即可得到结论．
【详解】解：取AB的中点O，过D作DE⊥AB于E，如图2所示：
由题意得：OA＝OB＝AD＝BC，
设OA＝OB＝AD＝BC＝r寸，
则AB＝2r（寸），DE＝10寸，OE＝CD＝1寸，
∴AE＝（r﹣1）寸，
在Rt△ADE中，
AE2＋DE2＝AD2，即（r﹣1）2＋102＝r2，
解得：r＝50.5，
∴2r＝101（寸），
∴AB＝101寸，
故答案为：101
【点睛】本题考查了勾股定理的应用，弄懂题意，构建直角三角形是解题的关键．
19． 4
【分析】如图所示，根据题意，可知的长为10尺，则＝5尺，设出AB＝＝x尺，表示出水深AC，根据勾股定理建立方程，求出的方程的解即可得到芦苇的长和水深．
【详解】解：依题意画出图形，设芦苇长AB＝＝x尺，则水深AC＝（x﹣1）尺，
∵＝10尺，
∴＝5尺，
在Rt中，52+（x﹣1）2＝x2，
解之得x＝13，
即水深12尺，芦苇长13尺，
∵12尺＝4m，13尺＝m，
故答案为：4，．
【点睛】本题考查主要考查了勾股定理的应用，在应用勾股定理解决实际问题时勾股定理与方程的结合是解决实际问题常用的方法，关键是从题中抽象出勾股定理这一数学模型，画出准确的示意图．领会数形结合的思想的应用．
20．（1）详见解析；（2）
【分析】（1）根据过直线外一点作一条直线垂直于已知直线的方法作图即可；
（2）先用勾股定理的逆定理判定△ABC的形状，再用面积法求斜边上的高即可．
【详解】（1）以C为圆心，以大于C到AB的距离为半径画弧，交AB于M、N两点；分别M、N为圆心，大于MN为半径画弧，两弧交于E点，作射线AE交AB于D点，线段就是所求作的图形．
（2）∵，，，，
∴，
∴是直角三角形，为斜边，
在中，
，
即，
∴．
【点睛】本题考查的是尺规作图-过直线外一点作一条直线垂直于已知直线及勾股定理的逆定理，掌握尺规作图的方法、勾股定理的逆定理及用三角形的面积法求高是关键．
21．米
【分析】如图：作于点，由题意得，设，则，，然后运用勾股定理求得x即可．
【详解】解：作于点，由题意得
设，则，．
在中，
解得．
答：旗杆的高度是米．
【点睛】本题主要考查了勾股定理的应用，做出辅助线、构造直角三角形成为解答本题的关键．
22．（1），理由详见解析；（2）45°
【分析】（1）连接AC，再利用勾股定理列式求出AB2、BC2、AC2，然后利用勾股定理逆定理解答；
（2）根据方格的特点，先在方格中作出和∠α相等的角，顶点在A点，根据勾股定理及其逆定理判断△ABC的形状即可．
【详解】（1）如图①，连接AC，
由勾股定理得，AB2=12+22=5，
BC2=12+22=5，
AC2=12+32=10，
∴AB2+BC2=AC2，
∴△ABC是直角三角形，∠ABC=90°，
∴AB⊥BC，
（2）∠α+∠β=45°．
证明如下：如图②，
由勾股定理得，AB2=12+22=5，
BC2=12+22=5，
AC2=12+32=10，
∴AB2+BC2=AC2，
∴△ABC是直角三角形，
∵AB=BC，
∴△ABC是等腰直角三角形，
∴∠α+∠β=45°．
【点睛】本题考查了勾股定理，勾股定理逆定理，等腰直角三角形的判定与性质，熟练掌握网格结构以及勾股定理和逆定理是解题的关键．
23．见解析
【分析】先推出△BEC是直角三角形，然后根据S梯形ABCD＝S△ABE+S△BEC+S△DEC，代入字母整理化简，即可证明结论成立．
【详解】证明：由已知可得，
Rt△BAE≌Rt△EDC，
∴∠ABE＝∠DEC，
∵∠ABE+∠AEB＝90°，
∴∠DEC+∠AEB＝90°，
∴∠BEC＝90°，
∴△BEC是直角三角形，
∴S梯形ABCD＝S△ABE+S△BEC+S△DEC，
∴，
∴，
∴a2+b2＝c2．
【点睛】本题考查勾股定理的证明，解答本题的关键是推出△BEC是直角三角形．
24．AD=39，BC=30
【分析】根据已知得出图形得出和6+AD=15+BC，进而组成方程组求出即可．
【详解】由图1知
①
由图2知，AB+AD=CD+BC，即6+AD=15+BC②．
联立①②组成方程组得：
解得AD=39，BC=30．
故BC，AD分别取30和39时，才能实现上述变化．
【点睛】本题考查的是勾股定理的应用，难度不大，关键点在于将生活中的实际例子与数学模型有机结合起来
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