试卷答案
寻你做寻,想你所想

第十三章 轴对称专题复习试题(含解析)


2023年秋季初二数学轴对称专题
一.垂直平分线性质
1.如图,DE是△ABC的边BC的垂直平分线,若AC=8,AB=6,BC=4,则△ADB的周长为(  )
A.14 B.13 C.12 D.10
2.如图,△ABC中,∠C=90°,ED垂直平分AB,若AC=12,EC=5,且△ACE的周长为30,则BE的长为(  )
A.5 B.10 C.12 D.13
3.如图,在△ABC中,DE是AC的垂直平分线,若∠B=70°,∠BAD:∠BAC=1:3,则∠C的度数是(  )
A.22° B.40° C.44° D.45°
4.如图,在△ABC中,AC的垂直平分线与AC,BC分别交于点E,D,CE=4,△ABC的周长是25,则△ABD的周长为    .
5.如图,在△ABC中,AC=4cm,线段AB的垂直平分线交AC于点N,△BCN的周长是7cm,则BC的长为   cm.
6.如图,DP所在直线是BC的垂直平分线,垂足为点P,DP与∠BAC的平分线相交于点D,若∠BAC=80°,则∠BDC=   .
7.如图,已知AE=BE,DE是AB的垂直平分线,BF=12,CF=3,则AC=   .
8.如图所示,在△ABC中,D、E、F分别在BC、AB、AC边上,BE=CD,BD=CF,DG是EF的垂直平分线,试判断△ABC是哪种类型的三角形,并说明理由.
9.如图,在△ABC中,AB的垂直平分线EF交BC于点E,交AB于点F,D为线段CE的中点,且BE=AC.
(1)求证:AD⊥BC;
(2)若∠C=70°,求∠BAC的度数.
10.如图,△ABC中,∠ACB=90°,AD平分∠BAC,DE⊥AB于E.
(1)若∠BAC=50°,求∠EDA的度数;
(2)求证:直线AD是线段CE的垂直平分线.
11.如图,Rt△ABC中,∠ACB=90°,D是AB上一点,BD=BC,过点D作AB的垂线交AC于点E,求证:BE垂直平分CD.
12.如图,AD是△ABC的角平分线,EF是AD的垂直平分线.
求证:(1)∠EAD=∠EDA.
(2)DF∥AC.
(3)∠EAC=∠B.
二.轴对称作图
13.如图,请把△ABC和△A′B′C′图形补充完整,使得它们关于直线l对称.(保留作图痕迹)
14.如图,已知线段AC∥y轴,点B在第一象限,且AO平分∠BAC,AB交y轴于G,连OB、OC.
(1)判断△AOG的形状,并予以证明;
(2)若点B、C关于y轴对称,求证:AO⊥BO.
15.如图,在平面直角坐标系中,已知△ABC的三个顶点的坐标分别为A(﹣3,5),B(﹣2,1),C(﹣1,3).
(1)画出△ABC关于x轴的对称图形△A1B1C1;
(2)画出△A1B1C1沿x轴向右平移4个单位长度后得到的△A2B2C2;
(3)如果AC上有一点M(a,b)经过上述两次变换,那么对应A2C2上的点M2的坐标是    .
16.在平面直角坐标系中,已知点A(﹣3,2),B(﹣4,﹣2),C(﹣6,2)
(1)请用签字笔、直尺在网格种画出△ABC及△ABC关于y轴对称图形△A′B′C′;
(2)若在y轴上存在点P,使得S△AOP=,求出点P坐标.
三.等腰三角形性质
17.下列说法正确的是(  )
A.有两条边不相等的三角形不是等腰三角形
B.有两个内角不相等的三角形不是等腰三角形
C.有两个内角分别是40°和110°的三角形是等腰三角形
D.如果三角形两边上的高相等,那么这个三角形是等腰三角形
18.如图,在△ABC中,AB=AC,∠BAC=120°,点D在BC上,AB⊥AD,AD=2cm,则BC的长为(  )
A.4cm B.5cm C.6cm D.8cm
19.如图,△ABC中,AC=8,点D,E分别在BC,AC上,F是BD的中点.若AB=AD,EF=EC,则EF的长是(  )
A.3 B.4 C.5 D.6
20.如图,已知△ABC是等边三角形,点B、C、D、E在同一直线上,且CG=CD,DF=DE,则∠E的度数为(  )
A.25° B.20° C.15° D.7.5°
21.如图,在△ABC中,已知∠ABC和∠ACB的平分线相交于点F,过点F作DE∥BC,交AB于D,交AC于E,若AB+AC=8,则△ADE的周长为(  )
A.6 B.8 C.10 D.12
22.如图,△ABC中,AB=AC=9,∠BAC=120°,AD是△ABC的中线,AE是∠BAD的角平分线,DF∥AB交AE延长线于F,则DF的长为   .
23.如图,在△ABC中,D为边AC上一点,且BD平分∠ABC,过A作AE⊥BD于点E.若∠ABC=64°,∠C=29°,AB=4,BC=10,则AE=   .
24.如图,点O是△ABC内的一点,OA=OB=OC,∠BAC=45°,则∠BOC=   .
25.如图,BD是∠ABC的角平分线,AD⊥BD,垂足为D,∠DAC=20°,∠C=38°,则∠BAD=   .
26.等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角为35°,则顶角的度数为   .
27.已知等腰△ABC,AB=AC,若AB边上的垂直平分线与直线AC所夹的锐角为40°,则等腰△ABC底角的度数为    .
28.在等腰△ABC中,AB=AC,中线BD将这个三角形的周长分为18和21两个部分,则这个等腰三角形的底边长为    .
29.如图,M,N为4×4方格纸中格点上的两点,若以MN为边,在方格中取一点P(P在格点上),使得△MNP为等腰三角形,则点P的个数为    个.
30.如图,在4×5的正方形网格中,已有线段AB,在格点中再取一点C,使△ABC成为等腰三角形,这样的点C有    个.

31.如图所示,∠AOB=60°,C是BO延长线上的一点,OC=12cm,动点P从点C出发沿CB以3cm/s的速度移动,动点Q从点O出发沿OA以2cm/s的速度移动,如果点P、Q同时出发,用t(s)表示移动的时间,
当t=   s时,△POQ是等腰三角形.
32.如图,等边△ABC的边长为12cm,M,N两点分别从点A,B同时出发,沿△ABC的边顺时针运动,点M的速度为1cm/s,点N的速度为2cm/s,当点N第一次到达B点时,M,N两点同时停止运动,则当M,N运动时间t=   s时,△AMN为等腰三角形.
四.轴对称最值问题
33.如图,在△ABC中,BC的垂直平分线MN交AB于点D,若BD=5,AD=3,P是直线MN上的任意点,则PA+PC的最小值是    .
34.如图,在△ABC中,AB=AC,AB的垂直平分线交AB于N,交AC于M,P是直线MN上一动点,点H为BC中点.若BC=5,△ABC的面积是30,则PB+PH的最小值为    .
35.如图,Rt△ABC中,∠C=90°,AC=4,BC=3,点P为AC边上的动点,过点P作PD⊥AB于点D,则PB+PD的最小值为    .
36.如图,在△ABC中,AB=AC=10cm,BC=8cm,AB的垂直平分线交AB于点M,交AC于点N,在直线MN上存在一点P,使P、B、C三点构成的△PBC的周长最小,则△PBC的周长最小值为   .
37.如图,在△ABC中,∠ABC=66°,BD平分∠ABC,P为线段BD上一动点,Q为边AB上一动点,当AP+PQ的值最小时,∠APB的度数是    .
38.如图,点P是∠AOB内任意一点,且∠AOB=40°,点M和点N分别是射线OA和射线OB上的动点,当△PMN周长取最小值时,则∠MPN的度数为   .
39.如图,直线l1与l2交于点O,P为其平面内一定点,OP=3,M,N分别为l1与l2上的两动点,连接PM,PN,MN,若∠MON=30°,则△MPN周长的最小值为    .
40.如图,∠AOB=30°,点P为∠AOB内一点,OP=8.点M、N分别在OA、OB上,则△PMN周长的最小值为    .
41.如图,点P是∠AOB内任意一点,OP=3cm,点M和点N分别是射线OA和射线OB上的动点,∠AOB=30°,则△PMN周长的最小值是   .
42.如图,点A是∠MON=45°内部一点,且OA=6cm,B,C分别是边OM,ON两个动点,则△ABC最小周长为    cm.
参考答案与试题解析
1.如图,DE是△ABC的边BC的垂直平分线,若AC=8,AB=6,BC=4,则△ADB的周长为(  )
A.14 B.13 C.12 D.10
【解答】解:∵DE是△ABC的边BC的垂直平分线,
∴CD=BD,
∵AC=AD+CD,
∴AC=AD+BD=8,
∴△ADB的周长=AD+DB+AB=AC+BC=8+6=14,
故选:A.
2.如图,△ABC中,∠C=90°,ED垂直平分AB,若AC=12,EC=5,且△ACE的周长为30,则BE的长为(  )
A.5 B.10 C.12 D.13
【解答】解:∵ED垂直平分AB,
∴BE=AE,
∵AC=12,EC=5,且△ACE的周长为30,
∴12+5+AE=30,
∴AE=13,
∴BE=AE=13,
故选:D.
3.如图,在△ABC中,DE是AC的垂直平分线,若∠B=70°,∠BAD:∠BAC=1:3,则∠C的度数是(  )
A.22° B.40° C.44° D.45°
【解答】解:设∠BAD=x°,
∵∠B=70°,∠BAD:∠BAC=1:3,
∴∠BAC+∠C=110°,∠BAC=3x°,∠DAC=2x°,
∵DA=DC,
∴∠DAC=∠C=2x°,
∴3x+2x=110°,
解得x=22°,∠C=2x°=44°,
故选:C.
4.如图,在△ABC中,AC的垂直平分线与AC,BC分别交于点E,D,CE=4,△ABC的周长是25,则△ABD的周长为  17 .
【解答】解:∵DE垂直平分线AC,
∴DA=DC,AC=2CE,
∵CE=4,
∴AC=8
∵△ABC的周长=AB+BC+AC=25,
∴AB+BC=17,
∴△ABD的周长=AB+BD+AD=AB+BD+CD=AB+BC=17.
故答案为:17.
5.如图,在△ABC中,AC=4cm,线段AB的垂直平分线交AC于点N,△BCN的周长是7cm,则BC的长为 3 cm.
【解答】解:∵线段AB的垂直平分线交AC于点N,
∴NB=NA,
△BCN的周长=BC+CN+BN=7cm,
∴BC+AC=7cm,又AC=4cm,
∴BC=3cm,
故答案为:3.
6.如图,DP所在直线是BC的垂直平分线,垂足为点P,DP与∠BAC的平分线相交于点D,若∠BAC=80°,则∠BDC= 100° .
【解答】解:如图,过点D作DE⊥AB,交AB延长线于点E,DF⊥AC于F,
∵AD是∠BOC的平分线,
∴DE=DF,
∵DP是BC的垂直平分线,
∴BD=CD,
在Rt△DEB和Rt△DFC中,

∴Rt△DEB≌Rt△DFC(HL).
∴∠BDE=∠CDF,
∴∠BDC=∠EDF,
∵∠DEB=∠DFC=90°,
∴∠EAF+∠EDF=180°,
∵∠BAC=80°,
∴∠BDC=∠EDF=100°,
故答案为:100°.
7.如图,已知AE=BE,DE是AB的垂直平分线,BF=12,CF=3,则AC= 15 .
【解答】解:∵DE是AB的垂直平分线,
∴AF=BF
∴AC=AF+CF=BF+CF=12+3=15.
8.如图所示,在△ABC中,D、E、F分别在BC、AB、AC边上,BE=CD,BD=CF,DG是EF的垂直平分线,试判断△ABC是哪种类型的三角形,并说明理由.
【解答】解:△ABC是等腰三角形
证明:连接DE、DF,如图所示,
∵DG是EF的垂直平分线,
∴DE=DF,
在△BDE和△CFD中,,
∴△BDE≌△CFD(SSS),
∴∠B=∠C,
∴AB=AC.
即△ABC是等腰三角形.
9.如图,在△ABC中,AB的垂直平分线EF交BC于点E,交AB于点F,D为线段CE的中点,且BE=AC.
(1)求证:AD⊥BC;
(2)若∠C=70°,求∠BAC的度数.
【解答】(1)证明:连接AE,
∵EF是AB的垂直平分线,
∴BE=AE,
∵BE=AC,
∴AE=AC,
∵D为线段CE的中点,
∴AD⊥BC;
(2)解:∵AE=BE,
∴∠B=∠BAE,
∵∠AEC是△ABE的外角,
∴∠AEC=∠B+∠BAE=2∠B,
∵AE=AC,
∴∠AEC=∠C=2∠B,
∵∠C=70°,
∴∠B=35°,
∵∠B+∠C+∠BAC=180°,
∴∠BAC=180°﹣35°﹣70°=75°.
10.如图,△ABC中,∠ACB=90°,AD平分∠BAC,DE⊥AB于E.
(1)若∠BAC=50°,求∠EDA的度数;
(2)求证:直线AD是线段CE的垂直平分线.
【解答】(1)解:∵∠BAC=50°,AD平分∠BAC,
∴∠EAD=∠BAC=25°,
∵DE⊥AB,
∴∠AED=90°,
∴∠EDA=90°﹣25°=65°.
(2)证明:∵DE⊥AB,
∴∠AED=90°=∠ACB,
又∵AD平分∠BAC,
∴∠DAE=∠DAC,
∵AD=AD,
∴△AED≌△ACD,
∴AE=AC,
∵AD平分∠BAC,
∴AD⊥CE,AD平分线段EC,
即直线AD是线段CE的垂直平分线.
11.如图,Rt△ABC中,∠ACB=90°,D是AB上一点,BD=BC,过点D作AB的垂线交AC于点E,求证:BE垂直平分CD.
【解答】证明:∵∠ACB=90°,DE⊥AB,
∴∠ACB=∠BDE=90°,
在Rt△BDE和Rt△BCE中,

∴Rt△BDE≌Rt△BCE,
∴ED=EC,
∵ED=EC,BD=BC,
∴BE垂直平分CD.
12.如图,AD是△ABC的角平分线,EF是AD的垂直平分线.
求证:(1)∠EAD=∠EDA.
(2)DF∥AC.
(3)∠EAC=∠B.
【解答】证明:(1)∵EF是AD的垂直平分线,
∴AE=DE,
∴∠EAD=∠EDA;
(2)∵EF是AD的垂直平分线,
∴AF=DF,
∴∠BAD=∠ADF,
∵AD是△ABC的角平分线,
∴∠BAD=∠CAD,
∴∠ADF=∠CAD,
∴DF∥AC;
(3)由(1)∠EAD=∠EDA,
即∠ADE=∠CAD+∠EAC,
∵∠ADE=∠BAD+∠B,
∠BAD=∠CAD,
∴∠EAC=∠B.
13.如图,请把△ABC和△A′B′C′图形补充完整,使得它们关于直线l对称.(保留作图痕迹)
【解答】解:如图所示.
14.如图,已知线段AC∥y轴,点B在第一象限,且AO平分∠BAC,AB交y轴于G,连OB、OC.
(1)判断△AOG的形状,并予以证明;
(2)若点B、C关于y轴对称,求证:AO⊥BO.
【解答】解:(1)△AOG是等腰三角形;
证明:∵AC∥y轴,
∴∠CAO=∠AOG,
∵AO平分∠BAC,
∴∠CAO=∠GAO,
∴∠GAO=∠AOG,
∴AG=GO,
∴△AOG是等腰三角形;
(2)证明:连接BC交y轴于K,过A作AN⊥y轴于N,
∵AC∥y轴,点B、C关于y轴对称,
∴AN=CK=BK,
在△ANG和△BKG中,

∴△ANG≌△BKG,(AAS)
∴AG=BG,
∵AG=OG,(1)中已证,
∴AG=OG=BG,
∴∠BOG=∠OBG,∠OAG=∠AOG,
∵∠OAG+∠AOG+∠BOG+∠OBG=180°,
∴∠AOG+∠BOG=90°,
∴AO⊥BO.
15.如图,在平面直角坐标系中,已知△ABC的三个顶点的坐标分别为A(﹣3,5),B(﹣2,1),C(﹣1,3).
(1)画出△ABC关于x轴的对称图形△A1B1C1;
(2)画出△A1B1C1沿x轴向右平移4个单位长度后得到的△A2B2C2;
(3)如果AC上有一点M(a,b)经过上述两次变换,那么对应A2C2上的点M2的坐标是  (a+4,﹣b) .
【解答】解:(1)如图所示:△A1B1C1,即为所求;
(2)如图所示:△A2B2C2,即为所求;
(3)由(1)(2)轴对称以及平移的性质得出对应A2C2上的点M2的坐标是:(a+4,﹣b).
故答案为:(a+4,﹣b).
16.在平面直角坐标系中,已知点A(﹣3,2),B(﹣4,﹣2),C(﹣6,2)
(1)请用签字笔、直尺在网格种画出△ABC及△ABC关于y轴对称图形△A′B′C′;
(2)若在y轴上存在点P,使得S△AOP=,求出点P坐标.
【解答】解:(1)如图所示;
(2)因为△ABC的面积=,
所以△AOP的面积=2=,
解得:|OP|=,
所以点P的坐标为(0,)或(0,﹣).
17.下列说法正确的是(  )
A.有两条边不相等的三角形不是等腰三角形
B.有两个内角不相等的三角形不是等腰三角形
C.有两个内角分别是40°和110°的三角形是等腰三角形
D.如果三角形两边上的高相等,那么这个三角形是等腰三角形
【解答】解:A.错误,如三角形的三边长为2,2,3,有两条边不相等,但是等腰三角形,本选项不符合题意;
B.错误,如等腰直角三角形有两个内角不相等,但是等腰三角形,本选项不符合题意;
C.有两个内角分别是40°和110°的三角形,第三个内角是30°,不是等腰三角形,本选项不符合题意;
D.如图,BD、CE是△ABC的高,且BD=CE,
在Rt△BCE与Rt△CBD中,BC=CB,CE=BD,
∴Rt△BCE≌Rt△CBD,
∴∠ABC=∠ACB,
∴△ABC是等腰三角形,选项D说法正确,本选项符合题意.
故选D.
18.如图,在△ABC中,AB=AC,∠BAC=120°,点D在BC上,AB⊥AD,AD=2cm,则BC的长为(  )
A.4cm B.5cm C.6cm D.8cm
【解答】解:∵AB=AC,∠BAC=120°,
∴∠B=∠C=30°,
∵AB⊥AD,AD=2m,
∴BD=2AD=4m,∠ADB=60°,
∴∠DAC=30°,
∴∠DAC=∠C,
∴AD=CD=2m,
∴BC=BD+CD=6cm,
故选:C.
19.如图,△ABC中,AC=8,点D,E分别在BC,AC上,F是BD的中点.若AB=AD,EF=EC,则EF的长是(  )
A.3 B.4 C.5 D.6
【解答】解:连接AF,
∵AB=AD,F是BD的中点,
∴AF⊥BD,
∴∠AFD=90°,
∴∠EAF+∠C=90°,∠AFE+∠EFC=90°,
∵EF=EC,
∴∠EFC=∠C,
∴∠EAF=∠AFE,
∴EA=EF,
∴EF=EA=EC=AC=4,
故选:B.
20.如图,已知△ABC是等边三角形,点B、C、D、E在同一直线上,且CG=CD,DF=DE,则∠E的度数为(  )
A.25° B.20° C.15° D.7.5°
【解答】解:∵△ABC是等边三角形,
∴∠ACB=60°.
∵∠ACB=∠CGD+∠CDG,
∴∠CGD+∠CDG=60°.
∵CG=CD,
∴∠CGD=∠CDG=30°.
∵∠CDG=∠DFE+∠E,
∴∠DFE+∠E=30°.
∵DF=DE,
∴∠E=∠DFE=15°.
故选:C.
21.如图,在△ABC中,已知∠ABC和∠ACB的平分线相交于点F,过点F作DE∥BC,交AB于D,交AC于E,若AB+AC=8,则△ADE的周长为(  )
A.6 B.8 C.10 D.12
【解答】解:∵∠ABC和∠ACB的平分线相交于点F,
∴∠ABF=∠FBC,∠ACF=∠FCB,
∵DE∥BC,
∴∠BFD=∠FBC,∠CFE=∠FCB,
∴∠ABF=∠BFD,∠ACF=∠CFE,
∴BD=FD,CE=FE,
∵AB+AC=8,
∴△ADE的周长为:AD+DE+AE=AD+DF+EF+AE=AD+BD+CE+AE=AB+AC=8.
故选:B.
22.如图,△ABC中,AB=AC=9,∠BAC=120°,AD是△ABC的中线,AE是∠BAD的角平分线,DF∥AB交AE延长线于F,则DF的长为  .
【解答】解:∵△ABC是等腰三角形,D为底边的中点,
∴AD⊥BC,∠BAD=∠CAD,
∵∠BAC=120°,
∴∠BAD=60°,∠ADB=90°,
∵AE是∠BAD的角平分线,
∴∠DAE=∠EAB=30°.
∵DF∥AB,
∴∠F=∠BAE=30°.
∴∠DAF=∠F=30°,
∴AD=DF.
∵AB=9,∠B=30°,
∴AD=,
∴DF=.
故答案为:.
23.如图,在△ABC中,D为边AC上一点,且BD平分∠ABC,过A作AE⊥BD于点E.若∠ABC=64°,∠C=29°,AB=4,BC=10,则AE= 3 .
【解答】解:如图,延长AE交BC于点F.
∵BD平分∠ABC,
∴∠ABE=∠FBE.
在△ABE和△FBE中,

∴△ABE≌△FBE(ASA),
∴AE=EF,AB=BF=4,
∴.
∵∠C=29°,
∴∠CAF=∠AFB﹣∠C=29°,
∴∠CAF=∠C,
∴AF=CF.
∵BC=10,
∴CF=BC﹣BF=6,
∴AF=6,
∴AE=3.
故答案为:3.
24.如图,点O是△ABC内的一点,OA=OB=OC,∠BAC=45°,则∠BOC= 90° .
【解答】解:∵OA=OB=OC,
∴△AOB、△BOC、△AOC是等腰三角形,
∴∠OAB=∠OBA,∠OAC=∠ACO,∠OBC=∠OCB,
∴2∠OAB+2∠OAC+2∠OBC=180°,
∵∠BAC=45°,
∴∠OAB+∠OAC=45°,
∴2∠OAB+2∠OAC=90°,
∴2∠OBC=180°﹣2(∠OAB+∠OAC)=90°,
∴∠BOC=180°﹣2∠OBC=90°,
故答案为:90°.
25.如图,BD是∠ABC的角平分线,AD⊥BD,垂足为D,∠DAC=20°,∠C=38°,则∠BAD= 58° .
【解答】解:设∠ABD=α,∠BAD=β
∵AD⊥BD
∴∠ABD+∠BAD=90°,
即α+β=90°
∵BD是∠ABC得角平分线,
∴∠ABC=2∠ABD=2α,
∵∠ABC+∠BAC+∠C=180
∴2α+β+38°+20°=180°,
∴联立可得解得:
∴∠BAD=58°
法二,延长AD交BC于E,
∵∠DAC=20°,∠C=38°,
∴∠AEC=20°+38°=58°,
∵BD⊥AD,
∴∠BDA=90°,
∵BD是∠ABC的角平分线,
∴∠ABD=∠DBE,
∴∠BEA=∠BAD=58°,
故答案为:58°
26.等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角为35°,则顶角的度数为 125°或55° .
【解答】解:①此等腰三角形为钝角三角形,
∵等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角为35°,
∴此三角形的顶角=90°+35°=125°,
②此等腰三角形为锐角三角形,
∵等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角为35°,
∴此三角形的顶角=90°﹣35°=55°.
故顶角的度数为125°或55°.
故答案为:125°或55°.
27.已知等腰△ABC,AB=AC,若AB边上的垂直平分线与直线AC所夹的锐角为40°,则等腰△ABC底角的度数为  65°或25° .
【解答】解:①DE与线段AC相交时,如图1,
∵DE是AB的垂直平分线,∠AED=40°,
∴∠A=90°﹣∠AED=90°﹣40°=50°,
∵AB=AC,
∴∠ABC=(180°﹣∠A)=(180°﹣50°)=65°;
②DE与CA的延长线相交时,如图2,
∵DE是AB的垂直平分线,∠AED=40°,
∴∠EAD=90°﹣∠AED=90°﹣40°=50°,
∴∠BAC=180°﹣∠EAD=180°﹣50°=130°,
∵AB=AC,
∴∠ABC=(180°﹣∠BAC)=(180°﹣130°)=25°,
综上所述,等腰△ABC的底角∠B的大小为65°或25°.
故答案为:65°或25°.
28.在等腰△ABC中,AB=AC,中线BD将这个三角形的周长分为18和21两个部分,则这个等腰三角形的底边长为  11或15 .
【解答】解:根据题意,
①当18是腰长与腰长一半时,AC+AC=18,解得AC=12,
所以底边长=21﹣×12=15;
②当21是腰长与腰长一半时,AC+AC=21,解得AC=14,
所以底边长=18﹣×14=11.
所以底边长等于15或11.
故答案为:15或11.
29.如图,M,N为4×4方格纸中格点上的两点,若以MN为边,在方格中取一点P(P在格点上),使得△MNP为等腰三角形,则点P的个数为  5 个.
【解答】解:如图:
分三种情况:
当MP=MN时,以点M为圆心,以MN长为半径作圆,则点P1,P2即为所求;
当NP=NM时,以点N为圆心,以NM长为半径作圆,则点P3即为所求;
当PM=PN时,作线段MN的垂直平分线,则点P4,P5即为所求;
综上所述:使得△MNP为等腰三角形,则点P的个数为5个,
故答案为:5.
30.如图,在4×5的正方形网格中,已有线段AB,在格点中再取一点C,使△ABC成为等腰三角形,这样的点C有  4 个.

【解答】解:如图,以B为顶点的等腰三角形为△BAC1,以C为顶点的等腰三角形为△BAC2和△BAC4,以A为顶点的等腰三角形为△BAC3.
故答案为:4.
31.如图所示,∠AOB=60°,C是BO延长线上的一点,OC=12cm,动点P从点C出发沿CB以3cm/s的速度移动,动点Q从点O出发沿OA以2cm/s的速度移动,如果点P、Q同时出发,用t(s)表示移动的时间,当t= 或12 s时,△POQ是等腰三角形.
【解答】解:分两种情况:(1)当点P在线段OC上时,
设t时后△POQ是等腰三角形,
有OP=OC﹣CP=OQ,
即12﹣3t=2t,
解得,t=s;
(2)当点P在CO的延长线上时,此时经过CO时的时间已用5s,
当△POQ是等腰三角形时,∵∠POQ=60°,
∴△POQ是等边三角形,
∴OP=OQ,
即3t﹣12=2t,
解得,t=12s
故答案为或12.
32.如图,等边△ABC的边长为12cm,M,N两点分别从点A,B同时出发,沿△ABC的边顺时针运动,点M的速度为1cm/s,点N的速度为2cm/s,当点N第一次到达B点时,M,N两点同时停止运动,则当M,N运动时间t= 4或16 s时,△AMN为等腰三角形.
【解答】解:如图1,设点M、N运动x秒后,AN=AM,
由运动知,AN=(12﹣2x)cm,AM=xcm,
∴12﹣2x=x,
解得:x=4,
∴点M、N运动4秒后,△AMN是等腰三角形;
如图,假设△AMN是等腰三角形,
∴AN=AM,
∴∠AMN=∠ANM,
∴∠AMC=∠ANB,
∵△ACB是等边三角形,
∴∠C=∠B,
在△ACM和△ABN中,
∠C=∠B,∠AMC=∠ANB,AC=AB,
∴△ACM≌△ABN(AAS),
∴CM=BN,
设当点M、N在BC边上运动时,M、N运动的时间y秒时,△AMN是等腰三角形,
∴CM=(y﹣12)cm,NB=(36﹣2y)cm,
∵CM=NB,
∴y﹣12=36﹣2y,
解得:y=16.故假设成立.
∴点M、N运动时间为4秒或16秒时,△AMN为等腰三角形.
故答案为:4或16.
33.如图,在△ABC中,BC的垂直平分线MN交AB于点D,若BD=5,AD=3,P是直线MN上的任意点,则PA+PC的最小值是  8 .
【解答】解:如图,连接PB.
∵MN垂直平分线段BC,
∴PC=PB,
∴PA+PC=PA+PB,
∵PA+PB≥AB=BD+DA=5+3=8,
∴PA+PC≥8,
∴PA+PC的最小值为8.
故答案为:8.
34.如图,在△ABC中,AB=AC,AB的垂直平分线交AB于N,交AC于M,P是直线MN上一动点,点H为BC中点.若BC=5,△ABC的面积是30,则PB+PH的最小值为  12 .
【解答】解:连接AP,AH,如图所示:
∵AB=AC,点H为BC中点,
∴AH⊥BC,
∴△ABC的面积是30,
∴,
∴AH=12,
∵MN是线段AB的垂直平分线,
∴点B关于直线MN的对称点为点A,
∴AP=BP,
∴BP+PH=AP+PH≥AH,
∴AH的长为PB+PH的最小值,
∴PB+PH的最小值为12.
故答案为:12.
35.如图,Rt△ABC中,∠C=90°,AC=4,BC=3,点P为AC边上的动点,过点P作PD⊥AB于点D,则PB+PD的最小值为   .
【解答】解:如图,作点B关于AC的对称点B′,
过点B′作B′D⊥AB于点D,交AC于点P,
点P即为所求作的点,此时PB+PD有最小值,
连接AB′,根据对称性的性质,
BP=B′P,
在Rt△ABC中,∠ACB=90°,AC=4,BC=3,
∴AB==5,
∵AC=AC,∠ACB=∠ACB′,BC=B′C,
∴△ABC≌△AB′C(SAS),
∴S△ABB′=S△ABC+S△AB′C=2S△ABC,
即AB B′D=2×BC AC,
∴5B′D=24,
∴B′D=.
故答案为:.
36.如图,在△ABC中,AB=AC=10cm,BC=8cm,AB的垂直平分线交AB于点M,交AC于点N,在直线MN上存在一点P,使P、B、C三点构成的△PBC的周长最小,则△PBC的周长最小值为 18cm .
【解答】解:如图,连接PA.
∵△PBC的周长=BC+PB+PC,BC=8cm,
∴PB+PC的值最小时,△PBC的周长最小,
∵MN垂直平分线段AB,
∴PA=PB,
∴PB+PC=PA+PC≥AC=10cm,
∴PB+PC的最小值为10cm,
∴△PBC的周长的最小值为18cm.
故答案为18cm
37.如图,在△ABC中,∠ABC=66°,BD平分∠ABC,P为线段BD上一动点,Q为边AB上一动点,当AP+PQ的值最小时,∠APB的度数是  123° .
【解答】解:在BC上截取BE=BQ,连接PE,如图所示:
∵BD平分∠ABC,
∴,
在△BQP和△BEP中,

∴△BQP≌△BEP(SAS),
∴PQ=PE,
∴AP+PQ=AP+PE,
∴当点A、P、E在同一直线上,且AE⊥BC,AP+PE的值最小,即AP+PQ的值最小,
∴当点A、P、E
在同一直线上,且AE⊥BC时,∠AEB=90°,
∵∠CBD=33°,
∴∠BPE=90°﹣33°=57°,
∴∠APB=180°﹣57°=123°,
故答案为:123°.
38.如图,点P是∠AOB内任意一点,且∠AOB=40°,点M和点N分别是射线OA和射线OB上的动点,当△PMN周长取最小值时,则∠MPN的度数为 100° .
【解答】解:分别作点P关于OA、OB的对称点P1、P2,连接P1P2,交OA于M,交OB于N,则
OP1=OP=OP2,∠OP1M=∠MPO,∠NPO=∠NP2O,
根据轴对称的性质,可得MP=P1M,PN=P2N,
则△PMN的周长的最小值=P1P2,
∴∠P1OP2=2∠AOB=80°,
∴等腰△OP1P2中,∠OP1P2+∠OP2P1=100°,
∴∠MPN=∠OPM+∠OPN=∠OP1M+∠OP2N=100°,
故答案为:100°.
39.如图,直线l1与l2交于点O,P为其平面内一定点,OP=3,M,N分别为l1与l2上的两动点,连接PM,PN,MN,若∠MON=30°,则△MPN周长的最小值为  3 .
【解答】解:分别作点P关于l1、l2的对称点C、D,连接CD,连接OC、OD,
∵点P关于l1的对称点为C,关于l2的对称点为D,
∴PM=CM,OP=OC,∠COM=∠POM,
∵点P关于l2的对称点为D,
∴PN=DN,OP=OD,∠DON=∠PON,
∴OP=OC=OD=3,∠COD=2(∠POM+∠PON)=2∠MON=60°,
∴△COD是等边三角形,
∴CD=OC=OD=3.
当C,M,N,D共线时,△PMN的周长=PN+MN+PM=CM+MN+DN=CD=3,此时周长最短.
故答案为:3.
40.如图,∠AOB=30°,点P为∠AOB内一点,OP=8.点M、N分别在OA、OB上,则△PMN周长的最小值为  8 .
【解答】解:分别作点P关于OA、OB的对称点P1、P2,连P1、P2,交OA于M,交OB于N,连接OP,
则OP1=OP=OP2,∠P1OA=∠POA,∠POB=∠P2OB,
MP=P1M,PN=P2N,则△PMN的周长的最小值=P1P2
∴∠P1OP2=2∠AOB=60°,
∴△OP1P2是等边三角形.
△PMN的周长=P1P2,
∴P1P2=OP1=OP2=OP=8.
故答案为:8.
41.如图,点P是∠AOB内任意一点,OP=3cm,点M和点N分别是射线OA和射线OB上的动点,∠AOB=30°,则△PMN周长的最小值是 3cm .
【解答】解:分别作点P关于OA、OB的对称点C、D,连接CD,分别交OA、OB于点M、N,连接OP、OC、OD、PM、PN.
∵点P关于OA的对称点为C,关于OB的对称点为D,
∴PM=CM,OP=OC,∠COA=∠POA;
∵点P关于OB的对称点为D,
∴PN=DN,OP=OD,∠DOB=∠POB,
∴OC=OD=OP=3cm,∠COD=∠COA+∠POA+∠POB+∠DOB=2∠POA+2∠POB=2∠AOB=60°,
∴△COD是等边三角形,
∴CD=OC=OD=3(cm).
∴△PMN的周长的最小值=PM+MN+PN=CM+MN+DN≥CD=3cm.
故答案为3cm.
42.如图,点A是∠MON=45°内部一点,且OA=6cm,B,C分别是边OM,ON两个动点,则△ABC最小周长为   cm.
【解答】解:分别作点A关于OM、ON的对称点D、E,连接DE,分别交于OM、ON于点B、C,连接OD、OE,
由轴对称的性质得,OD=OE=OA=6,∠DOB=∠AOB,∠AOC=∠EOC,AB=DB,AC=CE,
∵∠MON=45°,
∴∠DOE=2∠MON=90°,
∴△DOE是等腰直角三角形,
∴,
∴△ABC最小周长为.
故答案为:.
精品试卷·第 2 页 (共 2 页)
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