卷子答案网-一个不只有答案的网站2023-2024学年苏科版八年级数学上《2.5等腰三角形的轴对称性》强化提优训练（三）
（时间：90分钟 满分：120分）
一．选择题(30分）
1.等腰三角形ABC中,AB=AC,AD是角平分线,“①AD⊥BC,②BD=DC,③∠B=∠C,
④∠BAD=∠CAD”中,结论正确的个数是( )
A.4 B.3 C.2 D.1
2.如图,在△ABC中,AB=AC,AD是高线,E是AB的中点,已知△ABC的面积为8,则△ADE的面积为( )
A.1 B.2 C.3 D.4
第2题图 第3题图 第4题图 第5题图
3.如图,在等腰△ABC中,AB=AC,BD=CD,∠ABD的平分线BE交AD于点E,若∠BAC=36°,则∠AEB等于( )
A.108° B.126° C.130° D.144°
4.如图,△ABC中,点D为BC边上的一点,且BD=BA,连结AD,BP平分∠ABC交AD于点P,连结PC,若△ABC的面积为2 cm2,则△BPC的面积为( )
A.0.5 cm2 B.1 cm2 C.1.5 cm2 D.2 cm2
5.如图,已知在△ABC中,AB=AC,∠ABC=70°,点P是∠BAC的平分线AP和∠CBD的平分线BP的交点,射线CP交AB的延长线于点D,则∠D的度数为( )
A.15° B.17.5° C.20° D.22.5°
6.如图,在△ABC中,AB=AC,用尺规作图的方法作出射线AD和直线EF,AD与BC交于点D,EF交AC于E,交AB于F,设AD交EF于点O,连结BE,OC,则下列结论中不一定成立的是( )
A.AE⊥BE B.EF平分∠AEB C.OA=OC D.AB=BE+EC
第6题图 第7题图 第8题图 第9题图 第10题图
7．如图△ABP与△CDP是两个全等的等边三角形，且PA⊥PD，有下列四个结论：①∠PBC=15°； ②AD∥BC；③直线PC与AB垂直；④四边形ABCD是轴对称图形．其中正确结论的个数是 ( )
A．1 B．2 C．3 D．4
8．如图，D，E，F分别是等边△ABC各边上的点，且AD= BE= CF,则△DEF的形状是( )
A．等边三角形 B．腰和底边不相等的等腰三角形 C．直角三角形 D．不等边三角形
9．如图，∠AOB=60°，OA= OB，动点C从点D出发，沿射线OB方向移动，以AC为边在右侧作等边△ACD，连结BD，则BD所在直线与OA所在直线的位置关系是( )
平行 B．相交 C．垂直 D．平行、相交或垂直
10.如图，点P是∠AOB内任意一点，且∠AOB＝40°，点M和点N分别是射线OA和射线OB上的动点，当△PMN周长取最小值时,则∠MPN的度数为（ ）
A.140° B.100° C.50° D.40°
二．填空题(30分)
11.如图,等边三角形ABC的角平分线AD,BE交于点O,则∠BOD= 度.
12.如图,在△ABC中,AB=AC,AD⊥BC于点D,DE∥AB交AC于点E.若∠ADE=25°,则∠BAC的度数为
13.如图,在△ABC中,AB=AC,AD⊥BC于点D,DE⊥AB于点E,BF⊥AC于点F,DE=2.5,则BF= .
第11题图 第12题图 第13题图 第14题图 第15题图.
14．如图，已知△ABC是等边三角形，点B，C，D，E在同一直线上，且CG=CD，DF=DE，则
∠E=____度．
15．如图，在等边△ABC中，AC=9，点O在AC上，且AO=3，点P是AB上一动点，连接OP，将线段OP绕点O逆时针旋转60°得到线段OD．要使点D恰好落在BC上，则AP的长为 ．
16．如图，△ABC中，AB=AC，AD=DE，∠BAD=20°，∠EDC=10°，则∠DAE的度数为 °．
第16题图 第17题图 第18题图 第19题图 第20题图
17．△ABC中，AB=AC，AB的垂直平分线与AC所在的直线相交所成的锐角是40°，则底角∠B= .
18．如图，在△ABC中，∠B=∠C=60°，点D在AB边上，DE⊥AB，并与AC边交于点E．如果AD=1，BC=6，那么CE等于_______．
19．如图，△ABC是边长为5的等边三角形，△BDC是顶角为120°的等腰三角形，以D为顶点作一个60°的∠MDN，点M、N分别在AB、AC上，连接MN，则△AMN的周长为_______．
20．如图，C为线段AE上一动点（不与点A，E重合），在AE同侧分别作等边△ABC和等边△CDE，AD与BE交于点O，AD与BC交于点P，BE与CD交于点Q，连接PQ．则下列结论：①AD=BE；②PQ∥AE；③AP=BQ；④DE=DP．其中正确的是_______．
三．解答题（60分）
21.(8分)如图,在等腰△ABC中,AB=AC,BC=8,∠BAC=90°,AD是∠BAC的平分线,交BC于D,AD=4,点E是AB的中点,连结DE.
(1)求∠B的度数;
(2)求三角形BDE的面积.
22.（8分）如图所示,在△ABC中,AB=BC,D为BC上的一点,DE⊥AB于点E,DF⊥BC于点D,交AC于点F.
(1)若∠AFD=155°,求∠A的度数;
(2)若F是AC的中点,求证:∠CFD=∠ABC.
23．（8分）如图，在边长为4的正方形ABCD中，请画出以A为一个顶点，另外两个顶点在正方形ABCD的边上，且含边长为3的所有大小不同的等腰三角形(要求：只要画出示意图，并在所画等腰三角形长为3的边上标注数字即可)．
24.（12分）如图，O是等边三角形ABC内一点，∠AOB=110°，∠BOC=α，D是△ABC外一点，且△ADC≌△BOC，连接OD．
(1) 求证：ACOD是等边三角形；
(2) 当α=150°时，试判断△AOD的形状，并说明理由；
(3) 当α为多少度时，△AOD是等腰三角形
25．（12分）如图，△ABC中，AB=BC=AC=12cm，现有两点M、N分别从点A、点B同时出发，沿三角形的边运动，已知点M的速度为1cm/s，点N的速度为2cm/s．当点N第一次到达B点时，M、N同时停止运动．
（1）点M、N运动几秒后，M、N两点重合？
（2）点M、N运动几秒后，可得到等边三角形△AMN？
（3）当点M、N在BC边上运动时，能否得到以MN为底边的等腰三角形AMN？如存在，请求出此时M、N运动的时间．
26.（12分）在△ABC中,AB=AC.
(1)如图1,如果∠BAD=30°,AD是BC边上的高,AD=AE,则∠EDC= ;
(2)如图2,如果∠BAD=40°,AD是BC边上的高,AD=AE,则∠EDC= ;
(3)思考:通过以上两题,你发现∠BAD与∠EDC之间有什么关系 请用式子表示: ;
(4)如图3,如果AD不是BC边上的高,AD=AE,∠BAD与∠EDC是否仍有上述关系 如有,请你写出来,并说明理由.
图1 图2 图3
教师样卷
一．选择题(30分）
1.等腰三角形ABC中,AB=AC,AD是角平分线,“①AD⊥BC,②BD=DC,③∠B=∠C,
④∠BAD=∠CAD”中,结论正确的个数是( A )
A.4 B.3 C.2 D.1
2.如图,在△ABC中,AB=AC,AD是高线,E是AB的中点,已知△ABC的面积为8,则△ADE的面积为( B )
A.1 B.2 C.3 D.4
第2题图 第3题图 第4题图 第5题图
3.如图,在等腰△ABC中,AB=AC,BD=CD,∠ABD的平分线BE交AD于点E,若∠BAC=36°,则∠AEB等于( B )
A.108° B.126° C.130° D.144°
4.如图,△ABC中,点D为BC边上的一点,且BD=BA,连结AD,BP平分∠ABC交AD于点P,连结PC,若△ABC的面积为2 cm2,则△BPC的面积为( B )
A.0.5 cm2 B.1 cm2 C.1.5 cm2 D.2 cm2
5.如图,已知在△ABC中,AB=AC,∠ABC=70°,点P是∠BAC的平分线AP和∠CBD的平分线BP的交点,射线CP交AB的延长线于点D,则∠D的度数为( A )
A.15° B.17.5° C.20° D.22.5°
6.如图,在△ABC中,AB=AC,用尺规作图的方法作出射线AD和直线EF,AD与BC交于点D,EF交AC于E,交AB于F,设AD交EF于点O,连结BE,OC,则下列结论中不一定成立的是( A )
A.AE⊥BE B.EF平分∠AEB C.OA=OC D.AB=BE+EC
第6题图 第7题图 第8题图 第9题图 第10题图
7．如图，△ABP与△CDP是两个全等的等边三角形，且PA⊥PD，有下列四个结论：①∠PBC=15°； ②AD∥BC；③直线PC与AB垂直；④四边形ABCD是轴对称图形．其中正确结论的个数是 ( C )
A．1 B．2 C．3 D．4
8．如图，D，E，F分别是等边△ABC各边上的点，且AD= BE= CF,则△DEF的形状是( A )
A．等边三角形 B．腰和底边不相等的等腰三角形 C．直角三角形 D．不等边三角形
9．如图，∠AOB=60°，OA= OB，动点C从点D出发，沿射线OB方向移动，以AC为边在右侧作等边△ACD，连结BD，则BD所在直线与OA所在直线的位置关系是( A )
平行 B．相交 C．垂直 D．平行、相交或垂直
解:∵∠AOB=60°，OA=OB，∴△OAB是等边三角形，∴OA=AB．∠OAB=∠AB0=60° ①当点C在线段OB上时，如图1．∵△ACD是等边三角形，∴AC=AD．∠CAD=60°,∴∠OAC=∠BAD． 在△AOC和△ABD中，∴△AOC≌△ABD( SAS),
∴∠ABD=∠AOC=60°,∴∠DBF=180°-∠ABO-∠ABD=60°．∴∠DBE= ∠AOB,∴BD// OA.②当点C在OB的延长线上时，如图2．同①的方法得出BD//OA.，故选A．
10.如图，点P是∠AOB内任意一点，且∠AOB＝40°，点M和点N分别是射线OA和射线OB上的动点，当△PMN周长取最小值时,则∠MPN的度数为（ B ）
A.140° B.100° C.50° D.40°
【解答】如图，分别作点P关于OB、OA的对称点C、D，连接CD，分别交OA、OB于点M、N，连接OC、OD、PM、PN、MN，此时△PMN周长取最小值.根据轴对称的性质可得OC=OP=OD，∠CON=∠PON∠POM=∠DOM；因∠AOB=∠MOP+∠PON＝40°,即可得∠COD=2∠AOB=80°，在△COD中，OC=OD，根据等腰三角形的性质和三角形的内角和定理可得∠OCD=∠ODC=50°；在△CON和△PON中，OC=OP，∠CON=∠PON，ON=ON，利用SAS判定△CON≌△PON，根据全等三角形的性质可得∠OCN=∠NPO=50°,同理可得∠OPM=∠ODM=50°,所以∠MPN=∠NPO+∠OPM=50°+50°=100°. 故答案为：B.
二．填空题(30分)
11.如图,等边三角形ABC的角平分线AD,BE交于点O,则∠BOD= 60 度.
第11题图 第12题图 第13题图 第14题图 第15题图
12.如图,在△ABC中,AB=AC,AD⊥BC于点D,DE∥AB交AC于点E.若∠ADE=25°,则∠BAC的度数为 50° .
13.如图,在△ABC中,AB=AC,AD⊥BC于点D,DE⊥AB于点E,BF⊥AC于点F,DE=2.5,则BF= 5 .
14．如图，已知△ABC是等边三角形，点B，C，D，E在同一直线上，且CG=CD，DF=DE，则
∠E=__15__度．
15．如图，在等边△ABC中，AC=9，点O在AC上，且AO=3，点P是AB上一动点，连接OP，将线段OP绕点O逆时针旋转60°得到线段OD．要使点D恰好落在BC上，则AP的长为 6 ．
16．如图，△ABC中，AB=AC，AD=DE，∠BAD=20°，∠EDC=10°，则∠DAE的度数为 60 °．
第16题图 第17题图 第18题图 第19题图 第20题图
17．△ABC中，AB=AC，AB的垂直平分线与AC所在的直线相交所成的锐角是40°，则底角∠B= 65°或25° .
18．如图，在△ABC中，∠B=∠C=60°，点D在AB边上，DE⊥AB，并与AC边交于点E．如果AD=1，BC=6，那么CE等于___4____．
解：∵在△ABC中，∠B=∠C=60°，∴∠A=60°，∵DE⊥AB，∴∠AED=30°，∵AD=1，∴AE=2，∵BC=6，∴AC=BC=6，∴CE=AC﹣AE=6﹣2=4，故答案为4．
19．如图，△ABC是边长为5的等边三角形，△BDC是顶角为120°的等腰三角形，以D为顶点作一个60°的∠MDN，点M、N分别在AB、AC上，连接MN，则△AMN的周长为__5_____．
解：延长CD、BD，分别交AB于Q，交AC于P，在AC上取一点K，使KP=QM，连接DK，
∵△BDC是顶角为120°的等腰三角形，∴BD=CD，∠DBC=∠DCB=30°，∵△ABC是等边三角形，∴∠ABC=∠ACB=60°，∴∠BPC=∠CQB=90°，∴PC=BC，BQ=BC，∴PC=BQ=AQ=AP=×5=，在Rt△BDQ和Rt△CDP中，∵，∴Rt△BDQ≌Rt△CDP（HL），∴DQ=PD，
同理得Rt△DQM≌Rt△DPK，∴DM=DK，∠QDM=∠PDK，∵∠BDQ=60°，∠MDN=60°，∴∠QDM+∠NDP=60°，∴∠PDK+∠NDP=60°，即∠NDK=60°，∴∠NDK=∠MDN=60°，∵ND=ND，
∴△MDN≌△KDN，∴MN=NK=NP+PK，∴△AMN的周长=AM+AN+MN=AM+AN+NP+PK=
AM+AN+NP+QM=AP+AQ=+=5，故答案为：5．
20．如图，C为线段AE上一动点（不与点A，E重合），在AE同侧分别作等边△ABC和等边△CDE，AD与BE交于点O，AD与BC交于点P，BE与CD交于点Q，连接PQ．则下列结论：①AD=BE；②PQ∥AE；③AP=BQ；④DE=DP．其中正确的是___①②③_____．
解：∵等边△ABC和等边△CDE，∴AC=BC，CD=CE，∠ACB=∠ECD=60°，∴180°﹣∠ECD=180°﹣∠ACB，即∠ACD=∠BCE，在△ACD与△BCE中，，∴△ACD≌△BCE（SAS），∴AD=BE，故①小题正确；∵△ACD≌△BCE（已证），∴∠CAD=∠CBE，∵∠ACB=∠ECD=60°（已证），∴∠BCQ=180°﹣60°×2=60°，∴∠ACB=∠BCQ=60°，在△ACP与△BCQ中，，∴△ACP≌△BCQ（ASA），∴AP=BQ，故③小题正确；PC=QC，∴△PCQ是等边三角形，∴∠CPQ=60°，∴∠ACB=∠CPQ，∴PQ∥AE，故②小题正确；∵AD=BE，AP=BQ，∴AD﹣AP=BE﹣BQ，即DP=QE，∠DQE=∠ECQ+∠CEQ=60°+∠CEQ，∠CDE=60°，
∴∠DQE≠∠CDE，故④小题错误．综上所述，正确的是①②③．故答案为：①②③．
三．解答题（60分）
21.(8分)如图,在等腰△ABC中,AB=AC,BC=8,∠BAC=90°,AD是∠BAC的平分线,交BC于D,AD=4,点E是AB的中点,连结DE.
(1)求∠B的度数;
(2)求三角形BDE的面积.
解： (1)∵AB=AC,∠BAC=90°,∴∠B=∠C=×(180°-∠BAC)=45°.
(2)∵AB=AC,AD是∠BAC的平分线,∴AD⊥BC,BD=CD=4,
∵点E是AB的中点,∴S△BDE=S△ADE=S△ABD=×AD·BD=××4×4=4.
22.（8分）如图所示,在△ABC中,AB=BC,D为BC上的一点,DE⊥AB于点E,DF⊥BC于点D,交AC于点F.
(1)若∠AFD=155°,求∠A的度数;
(2)若F是AC的中点,求证:∠CFD=∠ABC.
解：(1)∵DF⊥BC,∴∠FDC=90°,∴∠C=∠AFD-∠FDC=65°,又∵AB=BC,∴∠A=∠C=65°.
(2)证明:连结BF.∵AB=BC,F是AC的中点,∴BF⊥AC,∠ABF=∠CBF=∠ABC,
∴∠CFD+∠BFD=90°,∵DF⊥BC,∴∠CBF+∠BFD=90°,∴∠CFD=∠CBF,∴∠CFD=∠ABC.
23．（8分）如图，在边长为4的正方形ABCD中，请画出以A为一个顶点，另外两个顶点在正方形ABCD的边上，且含边长为3的所有大小不同的等腰三角形(要求：只要画出示意图，并在所画等腰三角形长为3的边上标注数字即可)．
解：满足条件的所有图形如解图所示．
24.（12分）如图，O是等边三角形ABC内一点，∠AOB=110°，∠BOC=α，D是△ABC外一点，且△ADC≌△BOC，连接OD．
(1) 求证：ACOD是等边三角形；
(2) 当α=150°时，试判断△AOD的形状，并说明理由；
(3) 当α为多少度时，△AOD是等腰三角形
解：(1) ∵△ADC≌△BOC，∴DC=OC，∠DCA=∠OCB．∵△ABC为等边三角形，∴∠OCB+∠ACO=∠ACB=60°．∴∠DCA+∠ACO=∠DCO=60°．∴△COD是等边三角形 (2) 当α=150°时，△AOD是直角三角形 理由：∵△ADC≌△BOC，∴∠ADC=∠BOC=150°．又∵△COD是等边三角形，∴∠ODC=60°．∴∠ADO=90。，即△AOD是直角三角形． (3) ① 要使AO=AD，需∠AOD=∠ADO．∵∠AOD=190°－α，∠ADO=α－60°，∴190°－α=α－60°，∴α=125°．② 要使OA=OD，需∠OAD=∠ADO.∵∠OAD=180°－(∠AOD+∠ADO)=180°－(190°－α+α－60°)=50°，∴α－60°－50°．∴α=110°．③要使AD=OD，需∠AOD=∠OAD，∴190°－α=50°．∴α=140°．综上所述，当α为125°，110°或140°时，△AOD是等腰三角形．
25．（12分）如图，△ABC中，AB=BC=AC=12cm，现有两点M、N分别从点A、点B同时出发，沿三角形的边运动，已知点M的速度为1cm/s，点N的速度为2cm/s．当点N第一次到达B点时，M、N同时停止运动．
（1）点M、N运动几秒后，M、N两点重合？
（2）点M、N运动几秒后，可得到等边三角形△AMN？
（3）当点M、N在BC边上运动时，能否得到以MN为底边的等腰三角形AMN？如存在，请求出此时M、N运动的时间．
解：（1）设点M、N运动x秒后，M、N两点重合，x×1+12=2x，解得：x=12；
（2）设点M、N运动t秒后，可得到等边三角形△AMN，如图①，AM=t×1=t，AN=AB﹣BN=12﹣2t，∵三角形△AMN是等边三角形，∴t=12﹣2t，解得t=4，∴点M、N运动4秒后，可得到等边三角形△AMN．
（3）当点M、N在BC边上运动时，可以得到以MN为底边的等腰三角形，由（1）知12秒时M、N两点重合，恰好在C处，如图②，假设△AMN是等腰三角形，∴AN=AM，∴∠AMN=∠ANM，∴∠AMC=∠ANB，∵AB=BC=AC，∴△ACB是等边三角形，∴∠C=∠B，
在△ACM和△ABN中，∵，∴△ACM≌△ABN，∴CM=BN，设当点M、N在BC边上运动时，M、N运动的时间y秒时，△AMN是等腰三角形，∴CM=y﹣12，NB=36﹣2y，CM=NB，y﹣12=36﹣2y，解得：y=16．故假设成立．∴当点M、N在BC边上运动时，能得到以MN为底边的等腰三角形AMN，此时M、N运动的时间为16秒．
26.（12分）在△ABC中,AB=AC.
(1)如图1,如果∠BAD=30°,AD是BC边上的高,AD=AE,则∠EDC= ;
(2)如图2,如果∠BAD=40°,AD是BC边上的高,AD=AE,则∠EDC= ;
(3)思考:通过以上两题,你发现∠BAD与∠EDC之间有什么关系 请用式子表示: ;
(4)如图3,如果AD不是BC边上的高,AD=AE,∠BAD与∠EDC是否仍有上述关系 如有,请你写出来,并说明理由.
图1 图2 图3
解：(1)∵在△ABC中,AB=AC,AD是BC边上的高,∴∠BAD=∠CAD,∠ADC=90°,
∵∠BAD=30°,∴∠CAD=30°,∵AD=AE,∴∠ADE=∠AED=×(180°-30°)=75°,
∴∠EDC=∠ADC-∠ADE=90°-75°=15°.
(2)∵在△ABC中,AB=AC,AD是BC边上的高,∴∠BAD=∠CAD,∠ADC=90°,∵∠BAD=40°,∴∠CAD=40°,∵AD=AE,∴∠ADE=∠AED=×(180°-40°)=70°,∴∠EDC=∠ADC-∠ADE=90°-70°=20°.
(3)∠BAD=2∠EDC.
(4)仍有∠BAD=2∠EDC.理由如下:∵AD=AE,∴∠ADE=∠AED,
∴∠BAD+∠B=∠ADC=∠ADE+∠EDC=∠AED+∠EDC=(∠EDC+∠C)+∠EDC=2∠EDC+∠C,∵AB=AC,∴∠B=∠C,∴∠BAD=2∠EDC.
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