卷子答案网-一个不只有答案的网站2023-2024学年苏科版八年级数学上册《2.5等腰三角形的轴对称性》
解答题专题训练（附答案）
1．如图，已知Rt△ABC≌Rt△ADE，∠ABC＝∠ADE＝90°，BC与DE相交于点F，连接AF．
（1）求证：DF＝BF；
（2）连接CE，求证直线AF是线段CE的垂直平分线．
2．如图，点B、F、C、E在一条直线上，△ABC≌△DEF，连结AD交BE于O．
（1）求证：AC∥FD，AB∥ED；
（2）求证：AO＝DO．
3．如图，已知，△ABC≌△ADE，AD与BC交于点F，点C在DE上，∠B＝30°，∠AFC＝70°．
（1）求∠FCD的度数；
（2）求证：AC＝AF．
4．如图，点O是等边△ABC内一点，D是△ABC外的一点，∠AOB＝110°，∠BOC＝α，△BOC≌△ADC，∠OCD＝60°，连接OD．
（1）当α＝150°时，试判断△AOD的形状，并说明理由；
（2）探究：当α为多少度时，△AOD是等腰三角形，请说明理由．
5．如图，在等边△ABC中，点D为边BC上一点，∠ABE＝∠CAD，CF∥BE交AD的延长线于点F．
（1）求∠AEB的度数；
（2）若BE＝10，AF＝15，求AE的长．
6．如图，在△ABC中，AC＞BC，∠A＝45°，点D是AB边上一点，且CD＝CB，过点B作BF⊥CD于点E，与AC交于点F点，画出∠DCB的角平分线交AB于G并回答以下问题：
（1）求证：∠ABF＝∠BCD；
（2）判断△BCF的形状，并说明理由．
7．如图，△ABC和△ADE均为等边三角形，A，D，C在同一条直线上，连接BD，CE，点M，N分别为BD，CE的中点，顺次连接A，M，N．
（1）求证：BD＝CE；
（2）判断△AMN的形状，并说明理由．
8．如图，在△ABC中，AB的垂直平分线MN交AB于点E，交AC于点D，连接BD，若AC＝15，△BCD的周长等于25．
（1）求BC的长；
（2）若∠ADB＝108°，AB＝AC，求∠C的度数．
9．如图，已知AD是△ABC的角平分线，AD的垂直平分线交AB于点F，交BC的延长线于点E，连接AE、DF．试说明：
（1）∠EAD＝∠EDA；
（2）DF∥AC．
10．如图，在△ABC中，∠BAC＞90°，AB的垂直平分线分别交AB，BC于点E，F，AC的垂直平分线分别交AC，BC于点M，N，直线EF，MN交于点P．
（1）求证：点P在线段BC的垂直平分线上；
（2）连接AP，求证：AP平分∠FAN；
（3）设∠FAN＝α，其他条件不变时，∠FPN的度数是 ．（用含α的代数式表示）
11．如图，在直角△ABC中，∠ABC＝90°，边BC上有一点D满足AB＝BD，过点D作DE⊥AC于点E，连接BE．
（1）如图1，在EA延长线上取AM＝ED，连接BM．求证：∠AEB＝45°．
（2）如图2，连接AD，若AD＝CD，求∠EBC的度数．
12．如图，在△ABC中，BC＝BA，BD是AC边上的中线，在射线BD上截取BM＝AC，CE是AB边上的高，在射线CE上截取CN＝BC，联结MA、NA，求证：MA⊥NA．
13．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠B＝30°，DE是AB的垂直平分线，交AB、BC于点D、E连接CD、AE．求证：
（1）△ADC是等边三角形；
（2）点E在线段CD的垂直平分线上．
14．如图，在等边△ABC中，已知点E在直线AB上（不与点A、B重合），点D在直线BC上，且ED＝EC．
（1）若点E为线段AB的中点时，试说明DB＝AE的理由；
（2）若△ABC的边长为2，AE＝1，求CD的长．
15．已知△ABC中，∠ACB的平分线CD交AB于点D，DE∥BC．
（1）如图1，如果点E是边AC的中点，AC＝8，求DE的长；
（2）如图2，若DE平分∠ADC，∠ABC＝30°，在BC边上取点F使BF＝DF，若BC＝9，求DF的长．
16．如图，在△ABC中，∠BAC的平分线与BC边的垂直平分线交于点D，DG⊥AB，DH⊥AC，G，H为垂足．
（1）求证：BG＝CH；
（2）若AB＝8，AC＝6，求AG的长．
17．如图，BM平分∠ABC，D为AC的中点，且MD⊥AC，过点M作ME⊥BC于点E，MF⊥AB于点F．
（1）求证：AF＝CE；
（2）如果BC＝8，AB＝4，求BE，AF的长．
18．在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝90°，点D为直线BC上一动点，以AD为直角边在AD的右侧作等腰直角三角形ADE，使∠DAE＝90°，AD＝AE．
（1）当点D在线段BC上时，如图①，求证：①BC＝CE+CD；②CE⊥BC．
（2）当点D在线段CB的延长线上时，如图②，（1）中的两个结论是否仍然成立．若成立，请给予证明；若不成立，请说明理由．
19．如图，在△ABC中，∠B＝90°，AB＝3，BC＝4．点P从点B出发，沿BC边以每秒1个单位长度的速度运动，到达点C后立即以每秒2个单位长度的速度返回点B，点P运动的时间为t秒．
（1）点P返回点B时，共耗时 秒；
（2）当t＝5时，求BP的长；
（3）当点P到达点C之前，求△ACP的面积（用含t的代数式表示）；
（4）当△ABP是等腰三角形时，直接写出t的值．
20．以点A为顶点作两个等腰直角三角形（△ABC，△ADE），如图1所示放置，使得一直角边重合，连接BD，CE．
（1）说明BD＝CE；
（2）延长BD，交CE于点F，求∠BFC的度数；
（3）若如图2放置，只探究BD与CE之间的关系．（只写结论，不必说明理由）
参考答案
1．证明：（1）∵Rt△ABC≌Rt△ADE，
∴AB＝AD，
在Rt△ADF与Rt△ABF中，
，
∴Rt△ADF≌Rt△ABF（HL），
∴DF＝BF；
（2）连接CE，∵Rt△ABC≌Rt△ADE，
∴BC＝DE，AC＝AE，
∵DF＝BF，
∴FC＝FE，
∴点A和点F在CE的中垂线上，
∴AF是CE的中垂线．
2．（1）证明：∵△ABC≌△DEF，
∴∠B＝∠E，∠ACB＝∠EFD，
∴AB∥DE，AC∥DF；
（2）证明：∵△ABC≌△DEF，
∴∠ACB＝∠EFD，AC＝DF，
在△ACO和△DFO中，
，
∴△ACO≌△DFO（AAS），
∴AO＝DO．
3．（1）解：∵△ABC≌△ADE，
∴∠B＝∠D＝30°，
∵∠AFC＝70°，
∴∠FCD＝∠AFC﹣∠D＝70°﹣30°＝40°；
（2）证明：∵△ABC≌△ADE，
∴AE＝AC，∠E＝∠ACB，
∴∠E＝∠ACE＝∠ACB，
由（1）知，∠FCD＝40°，
∴∠ACF＝（180°﹣∠FCD）＝（180°﹣40°）＝70°，
∵∠AFC＝70°，
∴∠ACF＝∠AFC，
∴AC＝AF．
4．解：（1）△AOD是直角三角形，理由如下：
∵△BOC≌△ADC，∠α＝150°，
∴OC＝DC，∠ADC＝∠BOC＝∠α＝150°，
∵∠OCD＝60°，
∴△OCD是等边三角形，
∴∠ODC＝60°，
∴∠ADO＝∠ADC﹣∠ODC＝150°﹣60°＝90°，
∴△AOD是直角三角形；
（2）当α＝110°或125°或140°时，△AOD是等腰三角形，理由如下：
∵△OCD是等边三角形，
∴∠COD＝∠ODC＝60°．
∵∠AOB＝110°，∠ADC＝∠BOC＝α，
∴∠AOD＝360°﹣∠AOB﹣∠BOC﹣∠COD＝360°﹣110°﹣α﹣60°＝190°﹣α，
∠ADO＝∠ADC﹣∠ODC＝α﹣60°，
∴∠OAD＝180°﹣∠AOD﹣∠ADO＝180°﹣（190°﹣α）﹣（α﹣60°）＝50°．
①当∠AOD＝∠ADO时，190°﹣α＝α﹣60°，
∴α＝125°．
②当∠AOD＝∠OAD时，190°﹣α＝50°，
∴α＝140°．
③当∠ADO＝∠OAD时，α﹣60°＝50°，
∴α＝110°．
综上所述：当α＝110°或125°或140°时，△AOD是等腰三角形．
5．解：（1）∵△ABC是等边三角形，
∴AB＝AC＝BC，∠BAC＝∠ACB＝60°，
∵∠ABE＝∠CAD，
∴∠CAD+∠BAE＝∠ABE+∠BAE＝∠BAC＝60°，
∴∠AEB＝120°；
（2）如图，在AF上截取FH＝FC，连接CH，
∵∠AEB＝120°，
∴∠BED＝60°，
∵BE∥CF，
∴∠BED＝∠F＝60°，
又∵FH＝FC，
∴△FCH是等边三角形，
∴CF＝CH＝FH，∠FCH＝∠FHC＝60°，
∴∠AHC＝120°＝∠AEB，
在△ABE和△CAH中，
，
∴△ABE≌△CAH（AAS），
∴BE＝AH＝10，AE＝CH，
∴FH＝CH＝AE＝5．
6．（1）证明：过点C作CG⊥AB于点G，
∴∠DCG+∠CDG＝90°，
∵BC＝DC，
∴∠BCG＝∠DCG＝∠BCD，
∵BF⊥CD于点E，
∴∠ABF+∠CDG＝90°，
∴∠ABF＝∠DCG＝∠BCD；
（2）解：△BCF是等腰三角形，
理由：如图，∵∠A＝45°，CG⊥AB，
∴∠ACG＝45°，
∵∠ACB＝∠ACG+∠BCG，∠BFC＝∠A+∠ABF，
∴∠ACB＝45°+∠BCG，∠BFC＝45°+∠ABF，
∵∠BCG＝∠DCG＝∠ABF，
∴∠BCF＝∠BFC，
∴BC＝BF，
∴△BCF是等腰三角形．
7．证明：（1）∵△ABC和△ADE均为等边三角形，
∴AB＝AC，AD＝AE，∠BAC＝∠DAE＝60°，
在△ABD和△ACE中，
，
∴△ABD≌△ACE（SAS），
∴BD＝CE；
（2）△AMN是等边三角形，
理由如下：
∵点M，N分别为BD，CE的中点，BD＝CE，
∴BM＝CN，
∵△ABD≌△ACE，
∴∠ABM＝∠ACN，
在△ABM和△ACN中，
，
∴△ABM≌△ACN（SAS），
∴AM＝AN，∠BAM＝∠CAN，
∴∠MAN＝∠BAC﹣∠BAM+∠CAN＝60°，
∴△AMN是等边三角形．
8．解：（1）∵MN是AB的垂直平分线，
∴AD＝BD，
∵AC＝15，△BCD的周长等于25，
∴BC+CD+BD＝BC+CD+AD＝BC+AC＝25，
∴BC＝10．
（2）∵MN是AB的垂直平分线，∠ADB＝108°，
∴，∠AED＝90°．
∴∠A＝36°，
∵AB＝AC，
∴．
9．证明：（1）∵EF是AD的垂直平分线，
∴EA＝ED，
∴∠EAD＝∠EDA；
（2）∵EF是AD的垂直平分线，
∴FA＝FD，
∴∠FDA＝∠FAD，
∵AD平分∠BAC，
∴∠FAD＝∠CAD，
∴∠FDA＝∠CAD，
∴DF∥AC．
10．（1）证明：如图，连接PA，PB，PC．
∵PE垂直平分AB，PM垂直平分AC，
∴PA＝PB，PA＝PC，
∴PB＝PC，
∴点P在线段BC的垂直平分线上．
（2）证明：由（1）知PB＝PC，
∴∠PBF＝∠PCN，
∵PE垂直平分AB，
∴PA＝PB，FA＝FB，
∴∠PAB＝∠PBA，∠FAB＝∠FBA，
∴∠PAF＝∠PBF，
同理∠PAN＝∠PCN，
∴∠PAF＝∠PAN，即AP平分∠FAN．
（3）解：∵PE垂直平分AB，PM垂直平分AC，
∴FA＝FB，NA＝NC，∠AEP＝∠AMP＝90°，
设∠B＝x，∠C＝y，
∴∠B＝x＝∠BAF，∠C＝y＝∠CAN，
在△ABC中，∠B+∠C+∠CAB＝180°，∠FAN＝α，
∴x+y+x+y+α＝180°，即，
在四边形AEPM中，∠AEP+∠AMP+∠EAM+∠FPN＝360°，
∴，
故答案为：．
11．（1）证明：∵DE⊥AC，
∴∠DEC＝90°＝∠ABC，
∴∠DEC+∠C＝∠ABC+∠C，即∠BDE＝∠MAB，
∵AB＝BD，AM＝DE，
∴△MAB≌△EDB（SAS），
∴∠MBA＝∠EBD，BM＝BE，
∴∠MBA+∠ABE＝∠EBD+∠ABE＝∠ABC＝90°，即∠MBE＝90°，
∴△MBE是等腰直角三角形，
∴∠AEB＝45°；
（2）∵∠ABC＝90°，AB＝BD，
∴∠BAD＝∠ADB＝45°，
∴∠DAC+∠DCA＝45°，
∵AD＝CD，
∴∠DAC＝∠DCA＝22.5°，
∴∠BAE＝∠BAD+∠DAC＝67.5°，
由（1）知∠AEB＝45°，
∴∠ABE＝180°﹣∠AEB﹣∠BAE＝67.5°，
∴∠EBC＝∠ABC﹣∠ABE＝90°﹣67.5°＝22.5°．
12．证明：∵BC＝BA，CN＝BC，
∴BA＝CN，
∵BC＝BA，BD是AC边上的中线，
∴BD是AC边上的高线，
∴∠ADB＝90°，
∴∠BAD+∠ABD＝90°，
∵CE是AB边上的高，
∴∠AEC＝∠AEN＝90°，
∴∠BAD+∠ACE＝90°，∠BAN+∠N＝90°，
∴∠ABM＝∠NCA，
在△ABM与△NCA中，
，
∴△ABM≌△NCA（SAS），
∴∠MAB＝∠N，
∴∠BAN+∠MAB＝90°，
∴MA⊥NA．
13．（1）证明：在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠B＝30°，
∴∠BAC＝60°，，
∵DE是AB的垂直平分线，
∴，
∴AD＝AC，
∴△ADC是等边三角形；
（2）证明：DE是AB的垂直平分线，
∴AE＝BE，DE⊥AB，
∴∠EAB＝∠B＝30°，则∠EAC＝∠BAC﹣∠EAB＝30°，
∴∠BAE＝∠CAE，
∴AE平分∠BAC，
∵DE⊥AB，AC⊥BC，
∴DE＝EC，
∵△ADC是等边三角形，
∴AD＝AC，
∴点E在线段CD的垂直平分线上．
14．解：（1）∵△ABC是等边三角形，E为AB的中点，
∴∠BCE＝30°，BE＝AE，
∵ED＝EC，
∴∠EDB＝∠BCE＝30°，
∵∠ABD＝120°，
∴∠DEB＝30°，
∴DB＝EB，
∴AE＝DB；
（2）如图1，E在线段AB上时，
∵AB＝2，AE＝1，
∴点E是AB的中点，
由（1）知，BD＝AE＝1，
∴CD＝BC+BD＝3；
如图2，E在线段AB的反向延长线上时，
∵AE＝1，AB＝2，
∴BE＝3，
∵△ABC是等边三角形，
∴∠BAC＝∠BCA＝60°，AB＝BC＝AC＝2，
过E作EH∥AC交BC的延长线于H，
∴∠BEH＝∠BHE＝60°，
∴△BEH是等边三角形，
∴BE＝EH＝BH＝3，∠B＝∠H＝60°，
∵ED＝EC，
∴∠EDC＝∠ECD，
∴∠B+∠BED＝∠H+∠HEC，
∴∠BED＝∠HEC，
在△BDE和△HCE中，
，
∴△BDE≌△HCE（SAS），
∴BD＝HC＝BH﹣BC＝3﹣2＝1，
∴CD＝BH﹣BD﹣HC＝3﹣1﹣1＝1．
综上所述，CD的长为1或3．
15．解：（1）∵DC平分∠ACB，
∴∠BCD＝∠ACD，
∵DE∥BC，
∴∠EDC＝∠BCD，
∴∠EDC＝∠ACD，
∴ED＝EC，
∵点E是边AC的中点，AC＝8，
∴EC＝AC＝4，
∴DE＝4；
（2）∵DE∥BC，
∴∠ADE＝∠B，∠CDE＝∠BCD，
∵DE平分∠ADC，
∴∠ADE＝∠CDE，
∴∠B＝∠BCD，
∴DB＝DC．
如图2，作DG⊥BC于点G，
∵DB＝DC，DG⊥BC，
∴GB＝BC＝×9＝4.5，
∵∠ABC＝30°，BF＝DF，
∴∠BDF＝∠B＝30°，
∴∠DFG＝∠B+∠BDF＝60°，
∴∠FDG＝30°，
∴BF＝DF＝2FG，
∴GF＝1.5，
∴DF＝2FG＝3．
16．（1）证明：如图，连接BD、CD，
∵D是线段BC垂直平分线上的点，
∴BD＝DC，
∵D是∠BAC平分线上的点，DG⊥AB，DH⊥AC，
∴DG＝DH，∠DGB＝∠H＝90°，
在Rt△BDG与Rt△CDH中，
，
∴Rt△BDG≌Rt△CDH（HL），
∴BG＝CH；
（2）解：∵Rt△ADG≌Rt△ADH（HL），
∴AG＝AH，
∴AB﹣AC＝AG+BG﹣（AH﹣CH）＝2BG＝8﹣6＝2，
∴BG＝1，
∴AG＝AB﹣BG＝8﹣1＝7．
17．（1）证明：如图，连接AM，CM，
∵BM平分∠ABC，ME⊥BC于点E，MF⊥AB于点F，
∴ME＝MF，
∵D为AC的中点，且MD⊥AC，
∴MA＝MC，
在Rt△MAF和Rt△MCE中，
，
∴Rt△MAF≌Rt△MCE（HL），
∴AF＝CE；
（2）解：在Rt△MBF和Rt△MBE中，
，
∴Rt△MBF≌Rt△MBE（HL），
∴BF＝BE，
∵BC＝8，AB＝4，
∴BF＝BE＝AB+AF＝4+CE，
∵BE＝BC﹣CE＝8﹣CE，
∴4+CE＝8﹣CE，
∴CE＝2，
∴BE＝BC﹣CE＝8﹣CE＝6，
∴AF＝CE＝2．
∴BE，AF的长分别为6，2．
18．（1）证明：①∵∠BAC＝90°，∠DAE＝90°，
∴∠BAD＝90°﹣∠DAC，∠CAE＝90°﹣∠DAC，
∴∠BAD＝∠CAE．
在△ABD和△ACE中，
∴△ABD≌△ACE（SAS），
∴BD＝CE．
∵BC＝BD+CD，
∴BC＝CE+CD．
②∵△ABD≌△ACE，
∴∠ABD＝∠ACE．
在Rt△ABC中，∵∠BAC＝90°，
∴∠ABC+∠ACB＝90°，即∠ACB+∠ACE＝90°，
∴BC⊥CE．
（2）解：①不成立．理由如下：
∵∠BAC＝∠DAE＝90°，
∴∠BAC﹣∠BAE＝∠DAE﹣∠BAE，
∴∠BAD＝∠CAE．
在△DAB与△EAC中，
∴△DAB≌△EAC（SAS），
∴DB＝CE．
∵CD﹣DB＝BC，
∴BC＝CD﹣CE．
②成立．证明如下：
∵△DAB≌△EAC（SAS），
∴∠ABD＝∠ACE．
∵AB＝AC，
∴∠ABC＝∠ACB＝45°，
∴∠ABD＝∠ACE＝135°，
∴∠BCE＝∠ACE﹣∠ACB＝135°﹣45°＝90°，
即CE⊥BC．
19．解：（1）∵点P从点B出发，沿BC边以每秒1个单位长度的速度运动，到达点C后立即以每秒2个单位长度的速度返回点B，
∴点P返回点B时，共耗时为＝4+2＝6（秒）．
故答案为6；
（2）当t＝5时，BP＝BC﹣PC＝4﹣（5﹣4）×2＝2；
（3）当点P到达点C之前，PC＝4﹣t，AB＝3，
∴S△ACP＝AB×PC＝×3×（4﹣t）＝6﹣t；
（4）当△ABP是等腰三角形时，AB＝BP＝3，
若点P到达点C之前，BP＝3，
即t＝3秒时，△ABP是等腰三角形；
若点P到达点C之后，BP＝3，CP＝1，
即t＝4+＝（秒），△ABP是等腰三角形．
综合以上可得t＝3或时，△ABP是等腰三角形．
20．（1）证明：∵△ABC、△ADE是等腰直角三角形，
∴AB＝AC，∠BAD＝∠EAC＝90°，AD＝AE，
在△ADB和△AEC中，
，
∴△ADB≌△AEC（SAS），
∴BD＝CE；
（2）解：∵△ADB≌△AEC，
∴∠ACE＝∠ABD，
而在△CDF中，∠BFC＝180°﹣∠ACE﹣∠CDF，
又∵∠CDF＝∠BDA
∴∠BFC＝180°﹣∠DBA﹣∠BDA
＝∠DAB
＝90°；
（3）解：BD＝CE成立．理由如下：
如图2，
△ABC、△ADE是等腰直角三角形，
∴AB＝AC，AD＝AE，∠BAC＝∠EAD＝90°，
∵∠BAC+∠CAD＝∠EAD+∠CAD，
∴∠BAD＝∠CAE，
在△ADB和△AEC中，
，
∴△ADB≌△AEC（SAS），
∴BD＝CE．
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