卷子答案网-一个不只有答案的网站2023年天津市中考数学复习——图形的变化
一．选择题（共14小题）
1．（2023 武清区校级模拟）如图是由5个相同的正方体搭成的几何体，这个几何体的主视图是（ ）
A． B．
C． D．
2．（2023 河东区校级模拟）2sin45°的值为（ ）
A． B．1 C． D．
3．（2023 河西区模拟）cos60°的值等于（ ）
A． B． C． D．
4．（2023 河西区模拟）“方胜”是中国古代妇女的一种发饰，其图案由两个全等正方形相叠组成，寓意是同心吉祥．如图，将边长为2cm的正方形ABCD沿对角线BD方向平移1cm得到正方形A′B′C′D′，形成一个“方胜”图案，则重叠部分的小正方形边长为（ ）
A．1cm B．2cm C． D．
5．（2023 红桥区模拟）如图是一个由5个相同的正方体组成的立体图形，它的三视图是（ ）
A．
B．
C．
D．
6．（2023 红桥区模拟）如图，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，BD为斜边AC的高，D为垂足，则下列结论中正确的是（ ）
A． B． C． D．
7．（2023 红桥区模拟）如图，在△ABC中，DE∥BC，AB＝3AD，若S四边形BCED＝16，则S△ABC的大小等于（ ）
A．16 B．18 C．20 D．24
8．（2023 河东区校级模拟）在△ABC中，∠C＝90°，设∠A，∠B，∠C所对的边分别是a，b，c，则下列各等式中一定成立的是（ ）
A．a＝c sinA B．b＝c cosB C． D．a＝b tanB
9．（2023 河东区校级模拟）将正方形ABCD折叠，使顶点A与CD边上的点M重合，折痕交AD于E，交BC于F，边AB折叠后与BC边交于点G．若DC＝5，CM＝2，则EF＝（ ）
A．3 B．4 C． D．
10．（2023 河东区校级模拟）如图，正方形ABCD和正方形CEFG边长分别为a和b，正方形CEFG绕点C旋转，给出下列结论：①BE＝DG；②BE⊥DG；③DE2+BG2＝2a2+2b2；④当∠DCE＝60°时，S△DCES△BCE．其中正确的结论是（ ）
A．①②③ B．②③④ C．①②④ D．①②③④
11．（2023 和平区一模）如图，为测楼房BC的高，在距楼房50米的A处，测得楼顶的仰角为a，则楼房BC的高为（ ）
A．50tana米 B．米 C．50sina米 D．米
12．（2023 和平区一模）如图，在边长为1的小正方形组成的网格中，A，B，C，D四个点均在格点上，AC与BD相交于点E，连接AB，CD，则△ABE与△CDE的周长比为（ ）
A．1：4 B．4：1 C．1：2 D．2：1
13．（2023 滨海新区模拟）在△ABC中（如图），点D、E分别为AB、AC的中点，则S△ADE：S△ABC＝（ ）
A．1：1 B．1：2 C．1：3 D．1：4
14．（2023 滨海新区模拟）如图，在△ABC中，AB＜AC，将△ABC以点A为中心逆时针旋转得到△ADE，点D在BC边上，DE交AC于点F．下列结论：①△AFE∽△DFC；②DA平分∠BDE；③∠CDF＝∠BAD，其中所有正确结论的序号是（ ）
A．①② B．②③ C．①③ D．①②③
二．填空题（共2小题）
15．（2023 河东区校级模拟）如图，已知l1∥l2∥l3，两条直线分别与l1、l2、l3交于点A、B、C，D、E、F，若AB＝6，BC＝10，DF＝24，则DE的长为 ．
16．（2023 河东区校级模拟）如图，在边长为4的菱形ABCD中，∠ABC＝120°，将△ADC沿射线AC的方向平移得到△A'D'C'，分别连接A'B，D′B，则A'B+D′B的最小值为 ．
三．解答题（共11小题）
17．（2023 河西区模拟）如图，某座山AB的顶部有一座通讯塔BC，且点A，B，C在同一条直线上．从地面P处测得塔顶C的仰角为42°，测得塔底B的仰角为35°．已知通讯塔BC的高度为29m，求这座山AB的高度（结果取整数）．参考数据：tan35°≈0.70，tan42°≈0.90．
18．（2023 河东区校级模拟）为做好疫情防控工作，确保师生生命安全，学校门口安装一款红外线体温检测仪，该设备通过探测人体红外辐射的能量对进入测温区域的人员进行快速体温检测，无需人员停留和接触．如图所示，BF是水平地面，其中EF是测温区域，测温仪安装在校门AB上的点A处，已知∠DAG＝60°，∠DAC＝30°．
（1）∠ACG＝ 度，∠ADG＝ 度．
（2）学生DF身高1.5米，当摄像头安装高度BA＝3.5米时，求出图中BF的长度；（结果保留根号）
（3）为了达到良好的检测效果，测温区EF的长不低于3米，请计算得出设备的最低安装高度BA是多少？（结果保留1位小数，参考数据：）
19．（2023 和平区一模）为了测量一条两岸平行的河流宽度，三个数学研究小组设计了不同的方案，他们在河南岸的点A处测得河北岸的树H恰好在A的正北方向．测量方案与数据如表：
课题 测量河流宽度
测量工具 测量角度的仪器，皮尺等
测量小组 第一小组 第二小组 第三小组
测量方案示意图
说明 点B，C在点A的正东方向 点B，D在点A的正东方向 点B在点A的正东方向，点C在点A的正西方向
测量数据 BC＝54.8m，∠ABH＝74°，∠ACH＝37°． BD＝20m，∠ABH＝74°，∠BCD＝37°． BC＝84.8m，∠ABH＝74°，∠ACH＝37°．
（Ⅰ）第 小组的数据无法计算出河宽；
（Ⅱ）请选择其中一个方案及其数据求出河宽（结果保留小数点后一位）．
参考数据：sin74°≈0.96，cos74°≈0.28，tan74°≈3.49，sin37°≈0.60，cos37°≈0.80，tan37°≈0.75
20．（2023 红桥区模拟）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝3，BC＝4，求sinA，cosA，tanA的值．
21．（2023 红桥区模拟）在平面直角坐标系中，点O（0，0），点A（2，0），点B（0，2）．以点O为中心，逆时针旋转△OAB，得△OA'B'，点A，B的对应点分别为点A'，B'、记旋转角为α．
（1）如图①，当α＝45°时，求点A'，B'的坐标；
（2）如图②，当A'B'经过点B时，求AB与OA'的交点C的坐标．
22．（2023 红桥区模拟）如图，小琪站在自家阳台的A处，看对面一栋楼顶部B处的仰角为45°，看这栋楼底部C处的俯角为37°，已知两楼之间的水平距离CD为30m，求这栋楼BC的高度（结果保留小数点后一位）．
参考数据：sin37°≈0.60，cos37°≈0.80，tan37°≈0.75．
23．（2023 红桥区模拟）如图，在△ABC中，D为边AB上一点，∠ACD＝∠B，若AC＝6，BC＝5，CD＝4，求AD，AB的长．
24．（2023 武清区校级模拟）小明同学想利用刚学的三角函数知识测量一栋教学楼的高度，如图，他在A处测得教学楼顶B点的仰角为45°，走7m到C处测得B的仰角为55°，已知O、A、C在同一条直线上．求教学楼OB的高度．（参考数据：sin55°≈0.82，cos55°≈0.57，tan55°≈1.43，结果精确到0.1m）
25．（2023 武清区校级模拟）如图，在平面直角坐标系中有Rt△ABO，∠BAO＝90°，∠ABO＝30°，B（﹣8，0）．将三角形ABO绕着点O顺时针方向旋转，旋转后点A与A1，点B与B1相重合．
（1）当旋转角为60°时，求点B1的坐标；
（2）当点B1落在BA的延长线上时，求点B1的坐标．
（3）若点E为AB的中点，求EB1的最大值和最小值．（直接写出结果即可）
26．（2023 西青区校级模拟）在平面直角坐标系中，点O（0，0），点A（，0），点B（，m）（m＞0），∠AOB＝30°．以点O为中心，逆时针旋转△OAB，得到△OCD，点A，B的对应点分别为C，D．记旋转角为α．
（Ⅰ）如图①，当点C落在OB上时，求点D的坐标；
（Ⅱ）如图②，当α＝45°时，求点C的坐标；
（Ⅲ）在（Ⅱ）的条件下，求点D的坐标（直接写出结果即可）．
27．（2023 河东区校级模拟）如图，在平面直角坐标系中，已知△AOB是等边三角形，点A的坐标是（0，3），点B在第一象限，∠OAB的平分线交x轴于点P，把△AOP绕着点A按逆时针方向旋转，使边AO与AB重合，得到△ABD，连接DP．
求：DP的长及点D的坐标．
2023年天津市中考数学冲刺专题练——9图形的变化
参考答案与试题解析
一．选择题（共14小题）
1．（2023 武清区校级模拟）如图是由5个相同的正方体搭成的几何体，这个几何体的主视图是（ ）
A． B．
C． D．
【解答】解：从正面看该组合体，一共有三列，从左到右正方体个数分别是1，2，1，
故选：B．
2．（2023 河东区校级模拟）2sin45°的值为（ ）
A． B．1 C． D．
【解答】解：2sin45°＝2．
故选：A．
3．（2023 河西区模拟）cos60°的值等于（ ）
A． B． C． D．
【解答】解：cos60°，
故选：C．
4．（2023 河西区模拟）“方胜”是中国古代妇女的一种发饰，其图案由两个全等正方形相叠组成，寓意是同心吉祥．如图，将边长为2cm的正方形ABCD沿对角线BD方向平移1cm得到正方形A′B′C′D′，形成一个“方胜”图案，则重叠部分的小正方形边长为（ ）
A．1cm B．2cm C． D．
【解答】解：∵四边形ABCD是正方形，
∵AB＝AD＝2cm，∠A＝90°，
∴BDAB＝2（cm），
由平移变换的性质可知BB′＝1cm，
∴DB′＝BD﹣BB1）cm，
∴小正方形的边长DB′（21）＝（2）cm，
故选：C．
5．（2023 红桥区模拟）如图是一个由5个相同的正方体组成的立体图形，它的三视图是（ ）
A．
B．
C．
D．
【解答】解：此几何体的主视图有两排，从上往下分别有1，3个正方形；
左视图有二列，从左往右分别有2，1个正方形；
俯视图有三列，从上往下分别有3，1个正方形，
故选：A．
6．（2023 红桥区模拟）如图，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，BD为斜边AC的高，D为垂足，则下列结论中正确的是（ ）
A． B． C． D．
【解答】解：A．根据正弦值的定义，在Rt△ADB中，sinA，那么A错误，故A不符合题意．
B．根据余弦值的定义，在Rt△ABC中，cosA，那么B错误，故B不符合题意．
C．根据正切值的定义，在Rt△ABC中，tanA，那么C错误，故C不符合题意．
D．根据正切值的定义，在Rt△ABD中，tanA，那么D正确，故D符合题意．
故选：D．
7．（2023 红桥区模拟）如图，在△ABC中，DE∥BC，AB＝3AD，若S四边形BCED＝16，则S△ABC的大小等于（ ）
A．16 B．18 C．20 D．24
【解答】解：∵DE∥BC，
∴△ADE∽△ABC，
∵AB＝3AD，
∴AD：AB＝1：3，
∴S△ADE：S△ABC＝1：9，
设S△ADE＝x，
∵S四边形BCED＝16，
∴，
解得：x＝2，
∴S△ABC＝18，
故选：B．
8．（2023 河东区校级模拟）在△ABC中，∠C＝90°，设∠A，∠B，∠C所对的边分别是a，b，c，则下列各等式中一定成立的是（ ）
A．a＝c sinA B．b＝c cosB C． D．a＝b tanB
【解答】解：由题意可得：，，，
∴a＝c sinA，，a＝c cosB，b＝a tanB，
故A选项成立，B，C，D不成立，
故选：A．
9．（2023 河东区校级模拟）将正方形ABCD折叠，使顶点A与CD边上的点M重合，折痕交AD于E，交BC于F，边AB折叠后与BC边交于点G．若DC＝5，CM＝2，则EF＝（ ）
A．3 B．4 C． D．
【解答】解：由折叠的性质得EF⊥AM，
过点F作FH⊥AD于H，交AM于O，
则∠ADM＝∠FHE＝90°，
∴∠HAO+∠AOH＝90°、∠HAO+∠AMD＝90°，
∴∠POF＝∠AOH＝∠AMD，
又∵EF⊥AM，
∴∠POF+∠OFP＝90°、∠HFE+∠FEH＝90°，
∴∠POF＝∠FEH，
∴∠FEH＝∠AMD，
∵四边形ABCD是正方形，
∴AD＝CD＝FH＝5，
在△ADM和△FHE中，
，
∴△ADM≌△FHE（AAS），
∴EF＝AM．
故选：D．
10．（2023 河东区校级模拟）如图，正方形ABCD和正方形CEFG边长分别为a和b，正方形CEFG绕点C旋转，给出下列结论：①BE＝DG；②BE⊥DG；③DE2+BG2＝2a2+2b2；④当∠DCE＝60°时，S△DCES△BCE．其中正确的结论是（ ）
A．①②③ B．②③④ C．①②④ D．①②③④
【解答】解：设BE，DG交于点O，
∵四边形ABCD和EFGC都为正方形，
∴BC＝CD，CE＝CG，∠BCD＝∠ECG＝90°，
∴∠BCD+∠DCE＝∠ECG+∠DCE＝90°，
∴∠BCE＝∠DCG，
在△BCE和△DCG中，
，
∴△BCE≌△DCG（SAS），
∴BE＝DG，
∴∠1＝∠2，
∵∠1+∠4＝∠3+1＝90°，
∴∠2+∠3＝90°，
∴∠BOG＝90°，
∴BE⊥DG，
故①②正确；
连接BD，EG，如图所示，
∴DO2+BO2＝BD2＝BC2+CD2＝2a2，
EO2+OG2＝EG2＝CG2+CE2＝2b2，
∴BG2+DE2＝DO2+BO2+EO2+OG2＝2a2+2b2，故③正确；
如图所示，延长BC至点M，EM⊥BC于点M，过点E作EN⊥CD于N，
∴S△DCE，S，
当∠DCE＝60°时，∠ECM＝90°﹣∠DCE＝90°﹣60°＝30°，
∵sin∠DCE，sin，
∴NE，ME，
∴S，
∵四边形ABCD是正方形，
∴BC＝CD，
∴SS△BCE，故④正确，
∴正确的结论是①②③④，
故选：D．
11．（2023 和平区一模）如图，为测楼房BC的高，在距楼房50米的A处，测得楼顶的仰角为a，则楼房BC的高为（ ）
A．50tana米 B．米 C．50sina米 D．米
【解答】解：在直角△ABC中，sinα，cosα，
∴tanα，
∴BC＝AC tanα＝50tanα．
故选：A．
12．（2023 和平区一模）如图，在边长为1的小正方形组成的网格中，A，B，C，D四个点均在格点上，AC与BD相交于点E，连接AB，CD，则△ABE与△CDE的周长比为（ ）
A．1：4 B．4：1 C．1：2 D．2：1
【解答】解：如图所示，
由网格图可知：BF＝2，AF＝4，CH＝2，DH＝1，
∴AB2，
CD．
∵FA∥CG，
∴∠FAC＝∠ACG．
在Rt△ABF中，
tan∠BAF，
在Rt△CDH中，
tan∠HCD，
∴tan∠BAF＝tan∠HCD，
∴∠BAF＝∠HCD，
∵∠BAC＝∠BAF+∠CAF，∠ACD＝∠DCH+∠GCA，
∴∠BAC＝∠DCA，
∴AB∥CD，
∴△ABE∽△CDE，
∴△ABE与△CDE的周长比2：1．
故选：D．
13．（2023 滨海新区模拟）在△ABC中（如图），点D、E分别为AB、AC的中点，则S△ADE：S△ABC＝（ ）
A．1：1 B．1：2 C．1：3 D．1：4
【解答】解：在△ABC中，点D、E分别为AB、AC的中点，
∴DE为△ABC的中位线，
∴DE∥BC，DEBC，
∴△ADE∽△ABC，
∴S△ADE：S△ABC．
故选：D．
14．（2023 滨海新区模拟）如图，在△ABC中，AB＜AC，将△ABC以点A为中心逆时针旋转得到△ADE，点D在BC边上，DE交AC于点F．下列结论：①△AFE∽△DFC；②DA平分∠BDE；③∠CDF＝∠BAD，其中所有正确结论的序号是（ ）
A．①② B．②③ C．①③ D．①②③
【解答】解：∵将△ABC以点A为中心逆时针旋转得到△ADE，
∴∠BAC＝∠DAE，∠B＝∠ADE，AB＝AD，∠E＝∠C，
∴∠B＝∠ADB，
∴∠ADE＝∠ADB，
∴DA平分∠BDE，
∴②符合题意；
∵∠AFE＝∠DFC，∠E＝∠C，
∴△AFE∽△DFC，
∴①符合题意；
∵∠BAC＝∠DAE，
∴∠BAC﹣∠DAC＝∠DAE﹣∠DAC，
∴∠BAD＝∠FAE，
∵△AFE∽△DFC，
∴∠FAE＝∠CDF，
∴∠BAD＝∠CDF，
∴③符合题意；
故选：D．
二．填空题（共2小题）
15．（2023 河东区校级模拟）如图，已知l1∥l2∥l3，两条直线分别与l1、l2、l3交于点A、B、C，D、E、F，若AB＝6，BC＝10，DF＝24，则DE的长为 9 ．
【解答】解：∵l1∥l2∥l3，
由平行线截线段成比例可得：，
设DE＝x，
则EF＝24﹣x，
∵AB＝6，BC＝10，
∴，
解得：x＝9，
故答案为：9．
16．（2023 河东区校级模拟）如图，在边长为4的菱形ABCD中，∠ABC＝120°，将△ADC沿射线AC的方向平移得到△A'D'C'，分别连接A'B，D′B，则A'B+D′B的最小值为 4 ．
【解答】解：∵在边长为4的菱形ABCD中，∠ABC＝120°，
∴AB＝CD＝4，∠BAC＝∠DAC＝30°，
∵将△ADC沿射线AC的方向平移得到△A'D'C'，
∴A′D′＝AD＝4，A′D′∥AD，
∵四边形ABCD是菱形，
∴AD＝CB，AD∥CB，
∴∠ADC＝120°，
∴A′D′＝CB，A′D′∥CB，
∴四边形A′BCD′是平行四边形，
∴A′B＝D′C，
∴A'B+BD'的最小值＝BD′+CD′的最小值，
∵点D′在过点D且平行于AC的定直线上，
∴作点C关于定直线的对称点E，连接BE交定直线于D′，
则BE的长度即为BD'+BA'的最小值，
在Rt△CHD中，∵∠D′DC＝∠ACD＝30°，AD＝4，
∴CH＝EHAD＝2，
∴CE＝4，
∴CE＝CB，
∵∠ECB＝∠ECA′+∠ACB＝90°+30°＝120°，
∴∠E＝∠BCE＝30°，
∴BE＝2CD＝4．
故答案为：4．
三．解答题（共11小题）
17．（2023 河西区模拟）如图，某座山AB的顶部有一座通讯塔BC，且点A，B，C在同一条直线上．从地面P处测得塔顶C的仰角为42°，测得塔底B的仰角为35°．已知通讯塔BC的高度为29m，求这座山AB的高度（结果取整数）．参考数据：tan35°≈0.70，tan42°≈0.90．
【解答】解：设AP＝x米，
在Rt△APB中，∠APB＝35°，
∴AB＝AP tan35°≈0.7x（米），
∵BC＝29米，
∴AC＝AB+BC＝（29+0.7x）米，
在Rt△APC中，∠APC＝42°，
∴tan42°0.9，
∴x＝145，
经检验：x＝145是原方程的根，
∴AB＝0.7x≈102（米），
∴这座山AB的高度约为102米．
18．（2023 河东区校级模拟）为做好疫情防控工作，确保师生生命安全，学校门口安装一款红外线体温检测仪，该设备通过探测人体红外辐射的能量对进入测温区域的人员进行快速体温检测，无需人员停留和接触．如图所示，BF是水平地面，其中EF是测温区域，测温仪安装在校门AB上的点A处，已知∠DAG＝60°，∠DAC＝30°．
（1）∠ACG＝ 60 度，∠ADG＝ 30 度．
（2）学生DF身高1.5米，当摄像头安装高度BA＝3.5米时，求出图中BF的长度；（结果保留根号）
（3）为了达到良好的检测效果，测温区EF的长不低于3米，请计算得出设备的最低安装高度BA是多少？（结果保留1位小数，参考数据：）
【解答】解：（1）依题意，DG⊥AG，
∵∠DAG＝60°，∠DAC＝30°．
∴∠CAG＝∠DAG﹣∠DAC＝30°，
∴∠ACG＝90°﹣∠CAG＝60°；∠ADG＝90°﹣∠DAG＝30°，
故答案为：60；30；
（2）∵AB＝3.5，DF＝1.5，
∴AG＝AB﹣BG＝3.5﹣1.5＝2，
在Rt△ADG中，∠ADG＝30°，
∴（米），
∵BF＝GD，
∴图中BF的长度为2米；
（3）∵∠DAC＝30°，∠ADG＝30°，
∴AC＝CD＝3，
∴（米），
∴BA＝AG+GB（米），
∴设备的最低安装高度BA是4.1米．
19．（2023 和平区一模）为了测量一条两岸平行的河流宽度，三个数学研究小组设计了不同的方案，他们在河南岸的点A处测得河北岸的树H恰好在A的正北方向．测量方案与数据如表：
课题 测量河流宽度
测量工具 测量角度的仪器，皮尺等
测量小组 第一小组 第二小组 第三小组
测量方案示意图
说明 点B，C在点A的正东方向 点B，D在点A的正东方向 点B在点A的正东方向，点C在点A的正西方向
测量数据 BC＝54.8m，∠ABH＝74°，∠ACH＝37°． BD＝20m，∠ABH＝74°，∠BCD＝37°． BC＝84.8m，∠ABH＝74°，∠ACH＝37°．
（Ⅰ）第 二 小组的数据无法计算出河宽；
（Ⅱ）请选择其中一个方案及其数据求出河宽（结果保留小数点后一位）．
参考数据：sin74°≈0.96，cos74°≈0.28，tan74°≈3.49，sin37°≈0.60，cos37°≈0.80，tan37°≈0.75
【解答】解：（Ⅰ）第二小组的数据无法计算河宽，理由如下：
∵第二小组给出的数据为BD的长，△BCD和△ABH无法建立联系，无法得到△ABH的任何一边长度，
∴第二小组的数据无法计算河宽，
故答案为：二；
（Ⅱ）第一小组的解法：
∵∠ABH是△BCH的外角，
∴∠BHC＝∠ABH﹣∠ACH＝74°﹣37°＝37°，
∴∠BHC＝∠ACH，
∴BC＝BH＝54.8m，
∴AH＝BH sin74°≈54.8×0.96≈53（m）；
第三小组的解法：
设AH＝xm，则CA，AB，
∵CA+AB＝CB，
∴84.8，
解得x≈53，
故河宽约为53米．
20．（2023 红桥区模拟）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝3，BC＝4，求sinA，cosA，tanA的值．
【解答】解：∵∠C＝90°，AC＝3，BC＝4，
∴AB
＝5，
∴sinA，
cosA，
tanA．
21．（2023 红桥区模拟）在平面直角坐标系中，点O（0，0），点A（2，0），点B（0，2）．以点O为中心，逆时针旋转△OAB，得△OA'B'，点A，B的对应点分别为点A'，B'、记旋转角为α．
（1）如图①，当α＝45°时，求点A'，B'的坐标；
（2）如图②，当A'B'经过点B时，求AB与OA'的交点C的坐标．
【解答】解：（1）过A'作A'M⊥x轴于M，过B'作B'N⊥y轴于N，如图：
∵α＝45°，
∴∠A'OM＝∠B'ON＝45°，
∴△A'OM，△B'ON是等腰直角三角形，
∴OM＝A'M，ON＝B'N，
∵A（2，0），B（0，2），
∴OA＝OA'＝2，OB＝OB'＝2，
∴OM＝A'M，ON＝B'N，
∴A'（，），B'（，）；
（2）过C作CH⊥y轴于H，如图，
∵OA＝2，OB＝2，
∴tan∠ABO，
∴∠ABO＝60°，
∵以点O为中心，逆时针旋转△OAB，得△OA'B'，
∴OB'＝OB＝2，∠B'＝∠ABO＝60°，
∴△BB'O是等边三角形，
∴∠BOB'＝60°，
∴∠BOC＝∠A'OB'﹣∠BOB'＝90°﹣60°＝30°，
∴∠BCO＝180°﹣∠ABO﹣∠BOC＝90°，
在Rt△BOC中，
OC＝OB cos∠BOC＝2，
在Rt△COH中，
HC＝OC sin∠HOC，OH＝OC cos∠HOC，
∴C（，）．
22．（2023 红桥区模拟）如图，小琪站在自家阳台的A处，看对面一栋楼顶部B处的仰角为45°，看这栋楼底部C处的俯角为37°，已知两楼之间的水平距离CD为30m，求这栋楼BC的高度（结果保留小数点后一位）．
参考数据：sin37°≈0.60，cos37°≈0.80，tan37°≈0.75．
【解答】解：过点A作AE⊥BC于点E，
由题意得，AE＝CD＝30m，∠BAE＝45°，∠CAE＝37°，
在Rt△ABE中，tan45°，
解得BE＝30，
在Rt△ACE中，tan37°0.75，
解得CE≈22.5，
∴BC＝BE+CE＝52.5（m）．
∴这栋楼BC的高度约为52.5m．
23．（2023 红桥区模拟）如图，在△ABC中，D为边AB上一点，∠ACD＝∠B，若AC＝6，BC＝5，CD＝4，求AD，AB的长．
【解答】解：∵∠ACD＝∠B，∠A＝∠A，
∴△ACD∽△ABC，
∴，
∵AC＝6，BC＝5，CD＝4，
∴AD，
∴AB，
∴AD的长是，AB的长是．
24．（2023 武清区校级模拟）小明同学想利用刚学的三角函数知识测量一栋教学楼的高度，如图，他在A处测得教学楼顶B点的仰角为45°，走7m到C处测得B的仰角为55°，已知O、A、C在同一条直线上．求教学楼OB的高度．（参考数据：sin55°≈0.82，cos55°≈0.57，tan55°≈1.43，结果精确到0.1m）
【解答】解：在Rt△AOB中，∠A＝45°，
则OA＝OB，
∵AC＝7米，
∴OC＝（OB﹣7）米，
在Rt△COB中，∠BCO＝55°，
∵tan∠BCO，
∴1.43，
解得：OB≈23.3，
答：教学楼OB的高度约为23.3米．
25．（2023 武清区校级模拟）如图，在平面直角坐标系中有Rt△ABO，∠BAO＝90°，∠ABO＝30°，B（﹣8，0）．将三角形ABO绕着点O顺时针方向旋转，旋转后点A与A1，点B与B1相重合．
（1）当旋转角为60°时，求点B1的坐标；
（2）当点B1落在BA的延长线上时，求点B1的坐标．
（3）若点E为AB的中点，求EB1的最大值和最小值．（直接写出结果即可）
【解答】解：（1）过点B1作B1C⊥x轴，
∵旋转角为60°，
∴OB1＝OB＝8，
∴在Rt△OB1C中，OC＝4，，
∴；
（2）∵点B1落在BA的延长线上，且OB1＝OB＝8，∠BAO＝90°．
∴∠AOB1＝∠AOB＝90°﹣∠ABO＝60°，
∴∠BOB1＝120°，又∠B1OA1＝60°，
∴A1落在x轴上，
∴在Rt△OB1A1中，，，
∴；
（3）过点A作AN⊥x轴，
∵∠BAO＝90°，∠ABO＝30°，B（﹣8，0），
∴OB1＝OB＝8，
∴，∠AOB＝60°，
∴∠ANO＝30°，
∴，
∴，
∴，
∵点E为AB的中点，
∴，
∴，
∵当O、B、E三点不共线时，OB1+OE＞EB1，即，OB1﹣OE＜EB1，即，
∴当点E在OE延长线上时，EB1取到最小值，如图所示；
当点E在EO延长线上时，EB1取到最大值，如图所示；
综上所述，EB1的最大值为，最小值为．
26．（2023 西青区校级模拟）在平面直角坐标系中，点O（0，0），点A（，0），点B（，m）（m＞0），∠AOB＝30°．以点O为中心，逆时针旋转△OAB，得到△OCD，点A，B的对应点分别为C，D．记旋转角为α．
（Ⅰ）如图①，当点C落在OB上时，求点D的坐标；
（Ⅱ）如图②，当α＝45°时，求点C的坐标；
（Ⅲ）在（Ⅱ）的条件下，求点D的坐标（直接写出结果即可）．
【解答】解：（Ⅰ）如图①，过点D作DH⊥OA于点H．
∵A（，0），
∴OA，
∵∠OAB＝90°，∠AOB＝30°，
∴OB2，
由旋转的性质可知，OD＝OB＝2，∴∠COD＝∠AOB＝30°，
∴∠DOH＝60°，
∴∠ODH＝30°，
∴OHOD＝1，DHOH，
∴D（1，）；
（Ⅱ）如图②，过点C作CT⊥OA于点T，
∵OC＝OA，∠COT＝45°，
∴OT＝CT＝OC cos45°，
∴C（，）；
（Ⅲ）如图②中，过点D作DJ⊥OA于点J，在DJ上取一点K，使得DK＝OK，设OJ＝m．
∵∠DOC＝30°，∠COT＝45°，
∴∠DOJ＝75°，
∴∠ODJ＝90°﹣75°＝15°，
∵KD＝KO，
∴∠KDO＝∠KOD＝15°，
∴∠OKJ＝∠KDO+∠KOD＝30°，
∴OK＝DK＝2m，KJm，
∵OD2＝OJ2+DJ2，
∴22＝m2+（2mm）2，
解得m（负根已经舍弃），
∴OJ，DJ，
∴D（，）．
27．（2023 河东区校级模拟）如图，在平面直角坐标系中，已知△AOB是等边三角形，点A的坐标是（0，3），点B在第一象限，∠OAB的平分线交x轴于点P，把△AOP绕着点A按逆时针方向旋转，使边AO与AB重合，得到△ABD，连接DP．
求：DP的长及点D的坐标．
【解答】解：∵△AOB是等边三角形，
∴∠OAB＝60°，
∵△AOP绕着点A按逆时针方向旋转边AO与AB重合，
∴旋转角＝∠OAB＝∠PAD＝60°，AD＝AP，
∴△APD是等边三角形，
∴DP＝AP，∠PAD＝60°，
∵A的坐标是（0，3），∠OAB的平分线交x轴于点P，
∴∠OAP＝30°，AP2，
∴DP＝AP＝2，
∵∠OAP＝30°，∠PAD＝60°，
∴∠OAD＝30°+60°＝90°，
∴点D的坐标为（2，3）．