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第1章 二次函数
知识梳理
一、二次函数的表达式：
1、一般式：y=ax +bx+c（对称轴为直线x= b2a，顶点（ b2a，4ac b 4a）
2、顶点式：y=a（x-m） +k（对称轴直线x=m，顶点（m，k）
3、交点式：y=a(x x1)(x x2)(a≠0)（对称轴：直线x=x1+x22）
二、二次函数的图象：
1、二次函数y=ax +bx+c(a≠0)的图像是一条抛物线，它的对称轴是直线y= b2a，顶点坐标是（ b2a，4ac b24a）；当a＞0时，抛物线的开口向上，顶点是抛物线的最低点；当a＜0时，抛物线的开口向下，顶点是抛物线的最低点，
|a|的几何意义：|a|决定抛物线开口大小，|a|越大，抛物线开口越小；|a|越小，抛物线开口越大
2、图像的平移：平移的简记口诀是“左加右减”“上加下减”（对于任意图像均适用）
3、图像的旋转、翻折：紧抓顶点式：y=a（x-m） +k（a≠0）
（1）关于x轴翻折：y=－a（x－m） －k
（2）关于y轴翻折：y=a（x+m） +k
（3）关于原点中心对称：y=－a（x+m） －k
（4）关于任一点（p，q）中心对称：y=－a（x－2p+m） +2q－k
4、抛物线的特征与a,b,c的关系：
a的符号由抛物线的开口方向决定，若抛物线的开口朝上，则a>0；若抛物线的开口朝下。则a<0.
b的符号有对称轴决定，若对称轴是y轴，则b=0；若抛物线的顶点在y轴的左侧，顶点的横坐标 b2a<0,即b2a>0，则a，b同号；若抛物线的顶点在y轴的右侧，顶点的横坐标 b2a>0,即b2a<0，则a，b异号。简记口诀“左同右异”
c的符号由抛物线与y轴的交点位置确定，若抛物线交y轴于正半轴，则c>0; 若抛物线交y轴于负半轴，则c<0; 若抛物线过原点，则c=0;
b -4ac的符号由抛物线与x轴的交点个数决定。若抛物线与x轴只有一个交点，则 b -4ac=0；若两个交点，则 b -4ac＞0；若没有交点，则 b -4ac＜0.
如何确定代数式a+b+c与a-b+c的符号？
a+b+c是抛物线 y=ax +bx+c(a≠0)上的点（1，a+b+c）的纵坐标，a-b+c是抛物线 y=ax +bx+c(a≠0)上的点（-1，a-b+c）的纵坐标。根据点的位置，可确定它们的符号。
同理，也可确定4a+2b+c,4a-2b+c,9a+3b+c,9a-3b+c等代数式的符号。
a与b的关系比较：看对称轴的具体值。
a与c的关系、b与c的关系：看图象中的等式。
三、二次函数的性质：
1、二次函数y=ax +bx+c(a≠0)有以下性质：
条件 a>0 a<0
图像 b -4ac＞0
b -4ac=0
b -4ac＜0
特征 对称轴：直线x= b2a 顶点坐标：（ b2a，4ac b24a） 对称轴：直线x= b2a顶点坐标：（ b2a，4ac b24a）
增减性 当x≤ b2a时，y随x的增大而减小当x≥ b2a时，y随x的增大而增大 当x≤ b2a时，y随x的增大而增大当x≥ b2a时，y随x的增大而减小
最大（小）值 当x= b2a时，y达到最小值，y=4ac b24a；无最大值 当x= b2a时，y达到最大值，y=4ac b24a；无最小值
2、二次函数y=ax +bx+c的图像与x轴有没有交点由b -4ac的符号决定：
当b -4ac＞0时，其图像与x轴有两个交点；
当b -4ac=0时，其图像与x轴只有一个交点；
当b -4ac＜0时，其图像与x轴没有交点
在顶点能够取得到的前提下，二次函数y=ax +bx+c（a≠0）的最值也是在顶点（ b2a，4ac b24a）处取得。
四、二次函数应用以及综合模型：
（1）二次函数最值应用：设变量应用中从问题设变量图象结合的综合运用：设点法
根据题意列初步表达式
求取值范围
求对称轴一般式：直线x= b2a交点式：直线x=x1+x22
根据简易图定最值。
（2）桥洞问题
（3）根据抛物路径确定平面直角坐标系
（4）结合图象与性质的运用
基础训练
一、单选题
1．如果将抛物线y=x2向左平移1个单位，那么所得新抛物线的表达式是（ ）
A．y=x2+1 B．y=x2﹣1 C．y=（x+1）2 D．y=（x﹣1）2．
2．用配方法将化成的形式为（ ）．
A． B． C． D．
3．在同一平面直角坐标系中，有两条抛物线y1=a（x+1）（x﹣5）和y2=mx2+2mx+1，其中am＜0，要使得两条抛物线构成轴对称图形，下列变换正确的是（ ）
A．将抛物线y1向右平移3个单位
B．将抛物线y1向左平移3个单位
C．将抛物线y1向右平移1个单位
D．将抛物线y1向左平移1个单位
4．已知二次函数的图象（）如图．关于该函数在所给自变量的取值范围内，下列说法正确的是（ ）
A．有最大值2，无最小值 B．有最大值2，有最小值1.5
C．有最大值2，有最小值 D．有最大值1.5，有最小值
5．已知二次函数的图象如图所示，有下列4个结论，其中正确的结论是（ ）
A． B． C． D．
6．已知二次函数y=x2+bx－2的图象与x轴的一个交点为（1,0），则它与x轴的另一个交点坐标是（ ）.
A．（1，0） B．（2，0） C．（－2，0） D．（－1，0）
7．已知某种礼炮的升空高度与飞行时间的关系式是．若此礼炮在升空到最高处时引爆，则引爆需要的时间为（ ）
A． B． C． D．
8．二次函数y=x2﹣x﹣2的图象如图所示，则函数值y＜0时x的取值范围是（ ）
A．x＜﹣1 B．x＞2 C．﹣1＜x＜2 D．x＜﹣1或x＞2
9．对于二次函数y=(x-1)2+2的图象，下列说法正确的是（ ）
A．开口向下 B．对称轴是x=-1 C．顶点坐标是(1，2) D．与x轴有两个交点
10．二次函数y=ax2+bx+c的图象如图所示，对称轴是x=－1．有以下结论：①abc>0，②4ac
A．1 B．2 C．3 D．4
11．抛物线上部分点的横坐标x，纵坐标y的对应值如下表：
x … 0 1 2 …
y … 0 4 6 6 4 …
从上表可知，下列说法正确的个数是（ ）
①抛物线与x轴的一个交点为 ②抛物线与y轴的交点为
③抛物线的对称轴是：直线 ④在对称轴左侧y随x的增大而增大A．1 B．2 C．3 D．4
二、填空题
12．二次函数y＝x2﹣2x﹣5的最小值是______．
13．如图，若抛物线上的，Q两点关于它的对称轴 对称，则Q点的坐标为 ____ .
14．在平面直角坐标系中，将抛物线y＝2x2先向右平移3个单位，再向上平移1个单位，得到的抛物线的函数表达式为__________．
15．已知函数y=x2﹣|x﹣2|的图象与x轴相交于A、B两点，另一条抛物线y=ax2﹣2x+4也过A、B两点，则a=________．
16．已知经过原点的抛物线与轴的另一个交点为，现将抛物线向右平移个单位长度，所得抛物线与轴交于，与原抛物线交于点，设的面积为，则用表示=__________
17．如图是二次函数和一次函数的图象，观察图象，当时， 的取值范围是_______________________________.
18．已知二次函数y=x2+（m﹣1）x+1，当x＞1时，y随x的增大而增大，则m的取值范围是________．
19．二次函数的图象如图所示．当y＜0时，自变量x的取值范围是____．
20．如图，正方形的顶点，与正方形的顶点，同在一段抛物线上，且抛物线的顶点同时落在和轴上，正方形的边与同时落在上．若正方形的边长为，则正方形的边长为__________．
21．如图，锐角中，，，分别在边上，且∥，以为边向下作矩形，设，矩形的面积为，则关于的函数表达式为____________．
三、解答题
22．已知二次函数y=x2+bx+c的图象经过点（4，3），（3，0）．
（1）求b、c的值；
（2）求出该二次函数图象的顶点坐标和对称轴，并在所给坐标系中画出该函数的图象；
（3）该函数的图象经过怎样的平移得到y=x2的图象？
23．如图，用50m长的护栏全部用于建造一块靠墙的长方形花园，写出长方形花园的面积y（m2）与它与墙平行的边的长x（m）之间的函数．
24．某商店购进一批单价为20元的日用品，如果以单价30元销售，那么半个月内可以售出400件.根据销售经验，提高销售单价会导致销售量的减少，即销售单价每提高1元，销售量相应减少20件.问如何提高售价,才能在半个月内获得最大利润？
25．某花圃销售一批名贵花卉，平均每天可售出20盆，每盆盈利40元，为了增加盈利并尽快减少库存，花圃决定采取适当的降价措施，经调查发现，如果每盆花卉每降1元，花圃平均每天可多售出2盆．
（1）若花圃平均每天要盈利1200元，每盆花卉应降价多少元？
（2）每盆花卉降低多少元时，花圃平均每天盈利最多，是多少？
26．如图，在中，，点在 上， ，交 与点 ，点 在 上， ，若，，，，求与的函数关系式，并写出自变量的取值范围．
27．已知抛物线，如图所示，直线是其对称轴，
确定，，，的符号；
求证：；
当取何值时，，当取何值时．
28．已知直线y=2x+m与抛物线y=ax2+ax+b有一个公共点M（1,0），且a＜b.
（1）求抛物线顶点Q的坐标（用含a的代数式表示）；
（2）说明直线与抛物线有两个交点；
（3）直线与抛物线的另一个交点记为N.
（Ⅰ）若-1≤a≤，求线段MN长度的取值范围；
（Ⅱ）求△QMN面积的最小值.浙教数学 九年级上册
第1章 二次函数
知识梳理
一、二次函数的表达式：
1、一般式：y=ax +bx+c（对称轴为直线x= b2a，顶点（ b2a，4ac b 4a）
2、顶点式：y=a（x-m） +k（对称轴直线x=m，顶点（m，k）
3、交点式：y=a(x x1)(x x2)(a≠0)（对称轴：直线x=x1+x22）
二、二次函数的图象：
1、二次函数y=ax +bx+c(a≠0)的图像是一条抛物线，它的对称轴是直线y= b2a，顶点坐标是（ b2a，4ac b24a）；当a＞0时，抛物线的开口向上，顶点是抛物线的最低点；当a＜0时，抛物线的开口向下，顶点是抛物线的最低点，
|a|的几何意义：|a|决定抛物线开口大小，|a|越大，抛物线开口越小；|a|越小，抛物线开口越大
2、图像的平移：平移的简记口诀是“左加右减”“上加下减”（对于任意图像均适用）
3、图像的旋转、翻折：紧抓顶点式：y=a（x-m） +k（a≠0）
（1）关于x轴翻折：y=－a（x－m） －k
（2）关于y轴翻折：y=a（x+m） +k
（3）关于原点中心对称：y=－a（x+m） －k
（4）关于任一点（p，q）中心对称：y=－a（x－2p+m） +2q－k
4、抛物线的特征与a,b,c的关系：
a的符号由抛物线的开口方向决定，若抛物线的开口朝上，则a>0；若抛物线的开口朝下。则a<0.
b的符号有对称轴决定，若对称轴是y轴，则b=0；若抛物线的顶点在y轴的左侧，顶点的横坐标 b2a<0,即b2a>0，则a，b同号；若抛物线的顶点在y轴的右侧，顶点的横坐标 b2a>0,即b2a<0，则a，b异号。简记口诀“左同右异”
c的符号由抛物线与y轴的交点位置确定，若抛物线交y轴于正半轴，则c>0; 若抛物线交y轴于负半轴，则c<0; 若抛物线过原点，则c=0;
b -4ac的符号由抛物线与x轴的交点个数决定。若抛物线与x轴只有一个交点，则 b -4ac=0；若两个交点，则 b -4ac＞0；若没有交点，则 b -4ac＜0.
如何确定代数式a+b+c与a-b+c的符号？
a+b+c是抛物线 y=ax +bx+c(a≠0)上的点（1，a+b+c）的纵坐标，a-b+c是抛物线 y=ax +bx+c(a≠0)上的点（-1，a-b+c）的纵坐标。根据点的位置，可确定它们的符号。
同理，也可确定4a+2b+c,4a-2b+c,9a+3b+c,9a-3b+c等代数式的符号。
a与b的关系比较：看对称轴的具体值。
a与c的关系、b与c的关系：看图象中的等式。
三、二次函数的性质：
1、二次函数y=ax +bx+c(a≠0)有以下性质：
条件 a>0 a<0
图像 b -4ac＞0
b -4ac=0
b -4ac＜0
特征 对称轴：直线x= b2a 顶点坐标：（ b2a，4ac b24a） 对称轴：直线x= b2a顶点坐标：（ b2a，4ac b24a）
增减性 当x≤ b2a时，y随x的增大而减小当x≥ b2a时，y随x的增大而增大 当x≤ b2a时，y随x的增大而增大当x≥ b2a时，y随x的增大而减小
最大（小）值 当x= b2a时，y达到最小值，y=4ac b24a；无最大值 当x= b2a时，y达到最大值，y=4ac b24a；无最小值
2、二次函数y=ax +bx+c的图像与x轴有没有交点由b -4ac的符号决定：
当b -4ac＞0时，其图像与x轴有两个交点；
当b -4ac=0时，其图像与x轴只有一个交点；
当b -4ac＜0时，其图像与x轴没有交点
在顶点能够取得到的前提下，二次函数y=ax +bx+c（a≠0）的最值也是在顶点（ b2a，4ac b24a）处取得。
四、二次函数应用以及综合模型：
（1）二次函数最值应用：设变量应用中从问题设变量图象结合的综合运用：设点法
根据题意列初步表达式
求取值范围
求对称轴一般式：直线x= b2a交点式：直线x=x1+x22
根据简易图定最值。
（2）桥洞问题
（3）根据抛物路径确定平面直角坐标系
（4）结合图象与性质的运用
基础训练
一、单选题
1．如果将抛物线y=x2向左平移1个单位，那么所得新抛物线的表达式是（ ）
A．y=x2+1 B．y=x2﹣1 C．y=（x+1）2 D．y=（x﹣1）2．
2．用配方法将化成的形式为（ ）．
A． B． C． D．
3．在同一平面直角坐标系中，有两条抛物线y1=a（x+1）（x﹣5）和y2=mx2+2mx+1，其中am＜0，要使得两条抛物线构成轴对称图形，下列变换正确的是（ ）
A．将抛物线y1向右平移3个单位
B．将抛物线y1向左平移3个单位
C．将抛物线y1向右平移1个单位
D．将抛物线y1向左平移1个单位
4．已知二次函数的图象（）如图．关于该函数在所给自变量的取值范围内，下列说法正确的是（ ）
A．有最大值2，无最小值 B．有最大值2，有最小值1.5
C．有最大值2，有最小值 D．有最大值1.5，有最小值
5．已知二次函数的图象如图所示，有下列4个结论，其中正确的结论是（ ）
A． B． C． D．
6．已知二次函数y=x2+bx－2的图象与x轴的一个交点为（1,0），则它与x轴的另一个交点坐标是（ ）.
A．（1，0） B．（2，0） C．（－2，0） D．（－1，0）
7．已知某种礼炮的升空高度与飞行时间的关系式是．若此礼炮在升空到最高处时引爆，则引爆需要的时间为（ ）
A． B． C． D．
8．二次函数y=x2﹣x﹣2的图象如图所示，则函数值y＜0时x的取值范围是（ ）
A．x＜﹣1 B．x＞2 C．﹣1＜x＜2 D．x＜﹣1或x＞2
9．对于二次函数y=(x-1)2+2的图象，下列说法正确的是（ ）
A．开口向下 B．对称轴是x=-1 C．顶点坐标是(1，2) D．与x轴有两个交点
10．二次函数y=ax2+bx+c的图象如图所示，对称轴是x=－1．有以下结论：①abc>0，②4ac
A．1 B．2 C．3 D．4
11．抛物线上部分点的横坐标x，纵坐标y的对应值如下表：
x … 0 1 2 …
y … 0 4 6 6 4 …
从上表可知，下列说法正确的个数是（ ）
①抛物线与x轴的一个交点为 ②抛物线与y轴的交点为
③抛物线的对称轴是：直线 ④在对称轴左侧y随x的增大而增大A．1 B．2 C．3 D．4
二、填空题
12．二次函数y＝x2﹣2x﹣5的最小值是______．
13．如图，若抛物线上的，Q两点关于它的对称轴 对称，则Q点的坐标为 ____ .
14．在平面直角坐标系中，将抛物线y＝2x2先向右平移3个单位，再向上平移1个单位，得到的抛物线的函数表达式为__________．
15．已知函数y=x2﹣|x﹣2|的图象与x轴相交于A、B两点，另一条抛物线y=ax2﹣2x+4也过A、B两点，则a=________．
16．已知经过原点的抛物线与轴的另一个交点为，现将抛物线向右平移个单位长度，所得抛物线与轴交于，与原抛物线交于点，设的面积为，则用表示=__________
17．如图是二次函数和一次函数的图象，观察图象，当时， 的取值范围是_______________________________.
18．已知二次函数y=x2+（m﹣1）x+1，当x＞1时，y随x的增大而增大，则m的取值范围是________．
19．二次函数的图象如图所示．当y＜0时，自变量x的取值范围是____．
20．如图，正方形的顶点，与正方形的顶点，同在一段抛物线上，且抛物线的顶点同时落在和轴上，正方形的边与同时落在上．若正方形的边长为，则正方形的边长为__________．
21．如图，锐角中，，，分别在边上，且∥，以为边向下作矩形，设，矩形的面积为，则关于的函数表达式为____________．
三、解答题
22．已知二次函数y=x2+bx+c的图象经过点（4，3），（3，0）．
（1）求b、c的值；
（2）求出该二次函数图象的顶点坐标和对称轴，并在所给坐标系中画出该函数的图象；
（3）该函数的图象经过怎样的平移得到y=x2的图象？
23．如图，用50m长的护栏全部用于建造一块靠墙的长方形花园，写出长方形花园的面积y（m2）与它与墙平行的边的长x（m）之间的函数．
24．某商店购进一批单价为20元的日用品，如果以单价30元销售，那么半个月内可以售出400件.根据销售经验，提高销售单价会导致销售量的减少，即销售单价每提高1元，销售量相应减少20件.问如何提高售价,才能在半个月内获得最大利润？
25．某花圃销售一批名贵花卉，平均每天可售出20盆，每盆盈利40元，为了增加盈利并尽快减少库存，花圃决定采取适当的降价措施，经调查发现，如果每盆花卉每降1元，花圃平均每天可多售出2盆．
（1）若花圃平均每天要盈利1200元，每盆花卉应降价多少元？
（2）每盆花卉降低多少元时，花圃平均每天盈利最多，是多少？
26．如图，在中，，点在 上， ，交 与点 ，点 在 上， ，若，，，，求与的函数关系式，并写出自变量的取值范围．
27．已知抛物线，如图所示，直线是其对称轴，
确定，，，的符号；
求证：；
当取何值时，，当取何值时．
28．已知直线y=2x+m与抛物线y=ax2+ax+b有一个公共点M（1,0），且a＜b.
（1）求抛物线顶点Q的坐标（用含a的代数式表示）；
（2）说明直线与抛物线有两个交点；
（3）直线与抛物线的另一个交点记为N.
（Ⅰ）若-1≤a≤，求线段MN长度的取值范围；
（Ⅱ）求△QMN面积的最小值.
参考答案：
1．C
【分析】先把函数化为顶点式的形式，再根据“左加右减”的法则即可得出结论．
【详解】解：∵抛物线y=x2向左平移1个单位后，所得新抛物线的表达式为y=（x+1）2，
故选C．
【点睛】本题考查的是二次函数的图象与几何变换，熟知“上加下减，左加右减”的法则是解答此题的关键．
2．D
【分析】通过加上一次项系数一半的平方再减去一次项系数一半的平方，凑成完全平方式，将一般式转化为顶点式即可．
【详解】解：，
故选D．
【点睛】本题考查二次函数一般式到顶点式的转化，熟练掌握配方法是解题的关键．
3．B
【详解】【分析】根据开口方向相反的抛物线关于x对称的抛物线的对称轴是同一条直线，图象的平移规律 左减右加，可得答案
【详解】y1=a（x+1）（x﹣5）=ax2﹣4ax﹣5a，对称轴是x=2，
y2=mx2+2mx+1对称轴是x=﹣1．
y1=a（x+1）（x﹣5）=ax2﹣4ax﹣5a图象向左平移3个单位，得对称轴x=﹣1，
两条抛物线关于x轴对称，
∴将抛物线y1向左平移3个单位，两条抛物线构成轴对称图形，
故选B．
【点睛】本题考查了二次函数图象与几何变换，利用图象的平移规律：左减右加是解题关键，还利用了开口方向相反的抛物线关于x对称的抛物线的对称轴是同一条直线．
4．C
【分析】直接根据函数的图象顶点坐标及最低点求出该函数在所给自变量的取值范围内的最大及最小值即可．
【详解】解：由函数图象可知，此函数的顶点坐标为（1，2），
∵此抛物线开口向下，
∴此函数有最大值，最大值为2；
∵0≤x≤3.4，
∴当x=3.4时，函数最小值为-2．
故选：C．
【点睛】本题考查的是二次函数的最值及二次函数的图象，解答此题时要注意应用数形结合的思想求解．
5．C
【详解】解：抛物线的开口向下，则a＜0；①
抛物线的对称轴为x=1，则-=1，b=-2a；②
抛物线交y轴于正半轴，则c＞0；③
抛物线与x轴有两个不同的交点，则：△=b2-4ac＞0；故D错误；
由②知：b＞0，b+2a=0；故B错误；
又由①②③得：abc＜0；故A错误；
由图知：当x=-1时，y＜0；
即a-b+c＜0，b＞a+c；故C正确；
故选C．
6．C
【详解】解：把交点坐标（1，0），代入二次函数y=x2+bx-2求出b的值，进而知道抛物线的对称轴，再利用公式x=，可求出它与x轴的另一个交点坐标．
解答：解：把x=1，y=0代入y=x2+bx-2得：
0=1+b-2，
∴b=1，
∴对称轴为x=-=-，
∴x==-，
∴x2=-2，
∴它与x轴的另一个交点坐标是（-2，0）．
故选C．
7．B
【分析】将题目中的函数表达式化为顶点式，从而可以求得h取得最大值时对应的t的值，本题得以解决．
【详解】h=-t2+20t+1=-(t-4)2+41t=4时，h取得最大值，此时h=41.
故答案选：B.
【点睛】本题考查的知识点是二次函数的应用，解题的关键是熟练的掌握二次函数的应用.
8．C
【详解】解：由x2﹣x﹣2=0可得：x1=﹣1，x2=2，
观察函数图象可知，当﹣1＜x＜2时，
函数值y＜0．
故选C．
9．C
【分析】根据抛物线的性质由a=1得到图象开口向上，根据顶点式得到顶点坐标为（1，2），对称轴为直线x=1，从而可判断抛物线与x轴没有公共点．
【详解】解：二次函数y=（x-1）2+2的图象开口向上，顶点坐标为（1，2），对称轴为直线x=1，抛物线与x轴没有公共点．
故选：C．
【点睛】本题考查了二次函数的性质，掌握二次函数的顶点式是解题的关键，即在y=a（x-h）2+k中，其顶点坐标为（h，k），对称轴为x=h．当a＞0时，抛物线开口向上，当a＜0时，抛物线开口向下．
10．C
【详解】①∵抛物线开口向下，∴a＜0，
∵抛物线的对称轴为直线x==﹣1，∴b=2a＜0，
∵抛物线与y轴的交点在x轴上方，∴c＞0，
∴abc＞0，所以①正确，符合题意；
②∵抛物线与x轴有2个交点，∴△=b2-4ac＞0，∴4ac
④∵x=﹣1时，y＞0，∴a﹣b+c＞2，所以④正确，符合题意．
故选C．
11．C
【分析】根据表格中信息，可得点，在抛物线上，从而得到①②正确；又有当 时， ，当 时，，可得抛物线的对称轴为 ，故③错误；根据 ，得到抛物线开口向下，可判断④正确；即可求解．
【详解】解：根据表格中信息，得：
当 时， ，当时 ， ，
∴点，在抛物线上，故①②正确；
根据表格中信息，得：
当 时， ，
当 时，，
∴抛物线的对称轴为 ，故③错误；
∵ ，
∴抛物线开口向下，
∴在对称轴左侧y随x的增大而增大，故④正确；
所以正确的有①②④，共3个．
故选：C．
【点睛】此题主要考查了抛物线与坐标轴的交点坐标与自变量和的函数值的对应关系，也考查了利用自变量和对应的函数值确定抛物线的对称轴和增减性，熟练掌握相关知识点是解题的关键．
12．-6
【详解】∵原式可化为y=x2﹣2x+1﹣6=（x﹣1）2﹣6，
∴最小值为﹣6．
故答案为﹣6
点睛：本题考查了配方法求二次函数的最值，对于，当a>0时，抛物线开口向上，函数有最小值；当a<0时，抛物线开口向下，函数有最大值.
13．（﹣2，0）
【详解】解：∵抛物线y=ax2+bx+c上的P（4，0），Q两点关于它的对称轴x=1对称，
∴P，Q两点到对称轴x=1的距离相等，
∴Q点的坐标为：（﹣2，0）．
故答案为：（﹣2，0）
14．y＝2(x－3)2＋1
【分析】由抛物线平移不改变二次项系数a的值，根据点的平移规律“左减右加，上加下减”可知移动后的顶点坐标，再由顶点式可求移动后的函数表达式．
【详解】解：原抛物线的顶点为（0，0），向右平移3个单位，再向上平移1个单位后，那么新抛物线的顶点为：（3，1）．
可设新抛物线的解析式为y=2（x﹣h）2+k，代入得y=2（x﹣3）2+1．
故答案为：y=2（x﹣3）2+1．
【点睛】本题考查了二次函数图象与几何变换．解决本题的关键是得到新抛物线的顶点坐标．
15．-2
【分析】分x>2和x<2两种情况解出方程，求出A、B两点的坐标，把点A的坐标代入另一条抛物线，求出a的值即可．
【详解】当x>2时,函数y=x2 |x 2|可化为y=x2 x+2，
x2 x+2=0，方程无解.
当x<2时,函数y=x2 |x 2|可化为y=x2+x 2，
x2+x 2=0,x1= 2,x2=1，
则A( 2,0),B(1,0)，
4a+4+4=0，
解得a= 2.
故答案为 2.
【点睛】本题考查的知识点是抛物线与x轴的交点，解题的关键是熟练的掌握抛物线与x轴的交点.
16．
【详解】试题解析：令-2x2+4x=0，得x1=0，x2=2
∴点A的坐标为（2，0），
如图1，当0＜m＜2时，作PH⊥x轴于H，
设P（xP，yP），
∵A（2，0），C（m，0）
∴AC=2-m，
∴CH=
∴xP=OH=m+
把xP=代入y=-2x2+4x，
得yP=-m2+2
∵CD=OA=2
∴S=CD HP=×2×（-m2+2）=-m2+2
如图2，当m＞2时，作PH⊥x轴于H，
设P（xP，yP）
∵A（2，0），C（m，0）
∴AC=m-2，
∴AH=
∴xP=OH=2+=
把xP=代入y=-2x2+4x，得
yP=-m2+2
∵CD=OA=2
∴S=CD HP=m2-2．
综上可得：s＝．
【点睛】由原抛物线的解析式中y=0，即可求得A点的坐标，若求△CDP的面积需要知道两个条件：底边CD及CD边上的高PH（过P作PH⊥x轴于H）；因此本题要分两种情况讨论：①0＜m＜2时，P点在x轴上方；②m＞2时，P点位于x轴下方；可分别表示出两种情况的CH的长即P点横坐标，根据抛物线的解析式即可得到P点的纵坐标；以CD为底，P点纵坐标的绝对值为高即可得到关于S、m的函数关系式．此题考查了二次函数图象与坐标轴交点坐标的求法、平移的性质以及三角形面积的求法等知识，需注意的是要根据m的取值范围分段讨论，以免造成漏解、错解．
17．
【详解】当二次函数的图象在一次函数图象的上方时， 则有，故答案为.
18．m≥-1
【分析】根据二次函数的性质，利用二次函数的对称轴不大于1列式计算即可得解．
【详解】抛物线的对称轴为直线x=﹣=，开口向上，
∵当x＞1时，y的值随x值的增大而增大，
∴≤1，
解得：m≥﹣1．
故答案为：m≥﹣1．
19．－1＜x＜3．
【分析】根据二次函数的性质得出，y＜0，即是图象在x轴下方部分，从而得出x的取值范围．
【详解】解：∵二次函数y=x2-2x-3的图象如图所示，
∴图象与x轴交在（－1，0），（3，0），
∴当y＜0时，即图象在x轴下方的部分，此时x的取值范围是：－1＜x＜3．
故答案为：－1＜x＜3．
20．
【详解】试题解析：∵正方形ABCD边长为6，
∴顶点坐标为：(0,6),B(3,0)，
设抛物线解析式为：
将B点代入得，
解得
∴抛物线解析式为：
设G点坐标为：
则
整理的：
解得： (不合题意舍去)，
∴正方形EFGH的边长
故答案为
21．
【详解】∵设边BC上的高为h，
则
又∵
∴
∵
∴
设边MN上的高为h1，
∴
即：
解得：
∴
∴
∵且
∴
∴
故答案为.
22．（1）－4，3；（2）（2，－1），x＝2；（3）向左平移2个单位，再向上平移1个单位.
【详解】试题分析：（1）把（4，3），（3，0）代入得到关于b、c的方程组，然后解方程组即可；
（2）把二次函数的解析式配成顶点式，然后确定顶点坐标和对称轴，再画出函数图象；
（3）把顶点（2，－1）移到原点即可．
试题解析：（1）将（4，3），（3，0）代入，得，
解得：.
（2）∵二次函数，
∴顶点坐标为（2，－1），对称轴是直线x＝2.
画图如下：
（3）将该函数的图像向左平移2个单位，再向上平移1个单位得到的图像．
考点：1.待定系数法求二次函数解析式；2.二次函数图象与几何变换．
23．y=﹣0.5x2+25x.
【分析】根据已知条件，用x表示出矩形的宽，再利用矩形的面积公式即可求解．
【详解】设与墙平行的边的长为x（m），则垂直于墙的边长为： =（25﹣0.5x）m，
根据题意得出：y=x（25﹣0.5x）=﹣0.5x2+25x.
【点睛】本题考查了根据实际问题列二次函数关系式，根据题意表示出矩形的宽是解决问题的关键．
24．销售单价为35元时，才能在半月内获得最大利润.
【详解】本题考查了二次函数的应用.
设销售单价为x元，销售利润为y元．求得方程，根据最值公式求得．
解：设销售单价为x元，销售利润为y元．
根据题意，得y=（x-20）[400-20（x-30）]=（x-20）（1000-20x）=-20x2+1400x-20000
当x==35时，才能在半月内获得最大利润
25．（1）若花圃平均每天要盈利1200元，每盆花卉应降价20元；（2）每盆花卉降低15元时，花圃每天盈利最多为1250元．
【分析】（1）设每盆花卉应降价x元，然后根据题意列出方程，可得：（40－x）（20＋2x）＝1200，解出方程，求出答案.
（2）设每盆花卉降价x元时，商场平均每天赢利为y，根据题意列出y关于x的解析式，化简可知：y＝－2（x－15）2＋1250，根据二次函数的最值问题，求出答案.
【详解】（1）解：设每盆花卉应降价x元，
则（40－x）（20+2x）=1200，
解得：x1=10，x2=20．
因为要尽快减少库存，
∴x＝20，
答：每盆花卉应降价20元；
（2）设每盆花卉降价x元时，商场平均每天赢利为y，
则y=（40－x）（20+2x）=－2x2+60x+800=－2（x－15）2+1250．
∴当x=15时，赢利最多，最多为1250元．
答：每盆花卉降低15元时，花圃每天盈利最多为1250元．
【点睛】本题主要考查一元二次方程在实际问题中的应用，以及二次函数的最值问题，难度中等.
26．,自变量的取值范围．
【分析】利用边相等以及平行的条件可证明，再通过比例关系得到函数关系式，CD长度小于CB的长度.
【详解】解：∵，
∴
又∵
∴
∴
∴
∴
∴
自变量的取值范围．
【点睛】本题结合三角形相似考查了二次函数，同时注意自变量取值范围的确定.
27．（1），，，；（2）详见解析；（3）当时，；当或时，．
【分析】（1）根据开口方向确定a的符号，根据对称轴的位置确定b的符号，根据抛物线与y轴的交点确定c的符号，根据抛物线与x轴交点的个数确定b2-4ac的符号；
（2）根据图象和x=-1的函数值确定a-b+c与0的关系；
（3）抛物线在x轴上方时y＞0；抛物线在x轴下方时y＜0．
【详解】∵抛物线开口向下，
∴，
∵对称轴，
∴，
∵抛物线与轴的交点在轴的上方，
∴，
∵抛物线与轴有两个交点，
∴；
证明：∵抛物线的顶点在轴上方，对称轴为，
∴当时，；
根据图象可知，
当时，；当或时，．
【点睛】本题考查了二次函数图象与系数的关系，解题的关键是熟练的掌握二次函数图象与系数的关系.
28．（1）抛物线的顶点Q的坐标是（-，）；（2）证明见解析；（3）（Ⅰ）；
(Ⅱ) .
【详解】分析: （1）把M点坐标代入抛物线解析式可得到b与a的关系，可用a表示出抛物线解析式，化为顶点式可求得其顶点坐标；
（2）由直线解析式可先求得m的值，联立直线与抛物线解析式，消去y，可得到关于x的一元二次方程，再判断其判别式大于0即可；
（3）①由（2）的方程，可求得N点坐标，利用勾股定理可求得MN2，利用二次函数性质可求得MN长度的取值范围；②设抛物线对称轴交直线与点E，则可求得E点坐标，利用S△QMN=S△QEN+S△QEM可用a表示出△QMN的面积，再整理成关于a的一元二次方程，利用判别式可得其面积的取值范围，可求得答案
详解:
（1）∵M（1，0），
∴b=-2a，
∴y=ax2+ax+b
=ax2+ax-2a
= a(x+)2－
∴顶点Q的坐标为（－，－）.
（2）由直线y=2x+m经过点M（1，0），可得m=－2.
∴y=2x-2
∴ax2+（a-2）x-2a+2=0
∴△=（a-2）2－4×a×（－2a+2）=（3a－2）2
∵2a +b=0，a
∴△>0
∴方程有两个不相等的实数根，
∴直线与抛物线有两个交点.
（3）把y=2x-2代入y=ax2+ax-2a，得ax2+（a-2）x-2a+2=0，
即x2+(1- )x-2+=0，
∴（x-1）（x+2-）=0,
解得x1=1,x2 =-2，
∴点N（-2，-6）.
（i）根据勾股定理得，
MN2=[（-2）-1]2+（-6）2=20（）2，
∵-1≤a≤-，
∴-2≤ ≤-1，
∴<0，
∴MN=2 （ ）=3 ，
∴5≤MN≤7.
（ii）作直线x=－ 交直线y=2x-2于点E，
把x=－代入y=2x-2得，y=-3，
即E（－，-3），
∵M（1，0），N（-2，-6），且由（2）知a<0，
∴S△QMN =S△QEN+S△QEM= = ，
即27a2+(8S-54)a+24=0，
∵关于a的方程有实数根，
∴△=（8S-54）2-4×27×24≥0，
即（8S-54）2≥（36 ）2，
又∵a<0，
∴S=> ,
∴8S-54>0，
∴8S-54≥36，即S≥ ，
当S=时，由方程可得a=- 满足题意.
∴△QMN面积的最小值为.
点睛: 本题为二次函数的综合应用，涉及函数图象的交点、二次函数的性质、根的判别式、勾股定理、三角形的面积等知识．在（1）中由M的坐标得到b与a的关系是解题的关键，在（2）中联立两函数解析式，得到关于x的一元二次方程是解题的关键，在（3）中求得N点的坐标是解题的关键，在最后一小题中用a表示出△QMN的面积是解题的关键．本题考查知识点较多，综合性较强，难度较大.
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