卷子答案网-一个不只有答案的网站建邺区名校2023-2024学年高三上学期10月检测数学
一 单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1.设全集，集合，则（ ）
A. B. C. D.
2.设，是虚数单位，则“”是“复数为纯虚数”的（ ）
A.充要条件 B.充分不必要条件
C.必要不充分条件 D.既不充分也不必要条件
3.已知数列各项为正数，满足，则（ ）
A.是等差数列 B.是等比数列
C.是等差数列 D.是等比数列
4.四面体满足，点在棱上，且为的重心，则点到直线的距离为（ ）
A. B. C. D.
5.在中，点满足，则的长为（ ）
A. B. C. D.6
6.在平面直角坐标系中，设曲线上的点到直线的距离的最大值为，最小值为，则的值为（ ）
A. B. C. D.2
7.在中，内角所对的边分别为，角为锐角，若，则的最小值为（ ）
A. B. C. D.
8.已知函数，若总存在两条不同的直线与函数，图象均相切，则实数的取值范围为（ ）
A. B. C. D.
二 多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.
9.“天宫课堂”是为发挥中国空间站的综合效益，推出的首个太空科普教育品牌.为了解学生对“天宫课堂”的喜爱程度，某学校从全校学生中随机抽取200名学生进行问卷调查，得到以下数据，则（ ）
喜欢天宫课堂 不喜欢天宫课堂
男生 80 20
女生 70 30
参考公式及数据：①.
②当时，.
A.从这200名学生中任选1人，已知选到的是男生，则他喜欢天宫课堂的概率为
B.用样本的频率估计概率，从全校学生中任选3人，恰有2人不喜欢天宫课堂的概率为
C.根据小概率值的独立性检验，认为喜欢天宫课堂与性别没有关联
D.对抽取的喜欢天宫课堂的学生进行天文知识测试，男生的平均成绩为80，女生的平均成绩为90，则参加测试的学生成绩的均值为85
10.已知双曲线的左 右焦点分别是，点在双曲线的右支上，则下列说法正确的是（ ）
A.若直线的斜率为，则
B.使得为等腰三角形的点有且仅有四个
C.点到两条渐近线的距离乘积为
D.已知点，则的最小值为5
11.已知数列的前项和为，若，则下列结论正确的是（ ）
A. B.是等比数列
C.是单调递增数列 D.
12.已知且，则（ ）
A. B.
C. D.
三 填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.
13.展开式的常数项为__________.（用最简分数表示）
14.已知内有一点，满足，则__________.
15.已知抛物线，圆，点的坐标为分别为上的动点，且满足，则点的横坐标的取值范围是__________.
16.用数学的眼光看世界就能发现很多数学之“美”.现代建筑讲究线条感，曲线之美让人称奇.衡量曲线弯曲程度的重要指标是曲率，曲线的曲率定义如下：若是的导函数，是的导函数，则曲线在点处的曲率，则曲线在处的曲率为__________；正弦曲线（x∈R）曲率的平方的最大值为__________.
四 解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明 证明过程或演算步骤.
17.（10分）在中，，点在边上，满足.
（1）若，求；
（2）若，求的面积.
18.（12分）已知各项均为正数的数列的前项和为，且为等差数列.
（1）求数列的通项公式；
（2）若为正整数，记集合的元素个数为，求数列的前50项和.
19.（12分）3月14日为国际数学日，也称为节，为庆祝该节日，某中学举办了数学文化节活动，其中一项活动是“数学知识竞赛”，初赛采用“两轮制”方式进行，要求每个班级派出两个小组，且每个小组都要参加两轮比赛，两轮比赛都通过的小组才具备参与决赛的资格.高三某班派出甲 乙两个小组参赛，在初赛中，若甲 乙两组通过第一轮比赛的概率分别是，通过第二轮比赛的概率分别是，且各个小组所有轮次比赛的结果互不影响.
（1）若高三某班获得决赛资格的小组个数为，求的数学期望；
（2）已知甲 乙两个小组在决赛中相遇决赛以三道抢答题形式进行，抢到并答对一题得10分答错一题扣10分，得分高的获胜：假设这两组在决赛中对每个问题回答正确的概率恰好是各自获得决赛资格的概率，且甲 乙两个小组抢到该题的可能性分别是，假设每道题抢与答的结果均互不影响，求乙已在第一道题中得10分的情况下甲获胜的概率.
20.（12分）如图，在四棱锥中，底面为直角梯形，，.平面平面.
（1）若平面平面，求证：；
（2）求证：平面平面；
（3）若二面角的正切值为，求四棱锥的体积.
21.（12分）已知椭圆的长半轴长为，点为椭圆的离心率）在椭圆上
（1）求椭圆的标准方程；
（2）如图，为直线上任一点，过点作椭圆的切线，切点分别，直线与直线分别交于两点，点的纵坐标分别为，求的值.
22.（12分）已知函数.
（1）若函数在上为增函数，求实数的取值范围；
（2）当时，判断函数的零点个数.
建邺区名校2023-2024学年高三上学期10月检测数学答案
一 单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1.【答案】B
【解析】依题意，全集，而，有
所以，故选：B
2.【答案】C
【解析】因为复数为纯虚数，所以且，所以“”是“复数为纯虚线”的必要不充分条件.
3.【答案】C
【解析】因为数列各项为正数，满足，故对任意的，则，所以，数列的每一项都是正数，所以，，可得，由等差中项法可知，数列是等差数列，故选：C.
4.【答案】A
【解析】四面体满足，即两两垂直以点为原点，以射线的正方向分别为轴的正方向建立空间直角坐标系，如图，
因为，则，于是，，所以点到直线的
距离.故选：A
5.【答案】A
【解析】因为，所以
，设，则，
得，即，
因为，故解得，即，
所以.
6.【答案】C
【解析】将化为：，所以圆心，半径，
因为圆心到直线的距离，所以圆上的点到直线的最小距离，
最大值为到直线的距离，即，则.故选C.
7.【答案】B
【解析】中，，由正弦定理得；
又，所以，
整理得，即，且；
又，
所以
.
当且仅当时取""；所以的最小值为.故选：B.
8.【答案】B
【解析】设函数上的切点坐标为，且，函数上的切点坐标为，且又，
则公切线的斜率，则所以，
则公切线方程为，即
代入得：，则，
整理得，
若总存在两条不同的直线与函数图象均相切，则方程有
两个不同的实根，设，则
令得，当时，单调递增
时，单调递减，
又可得，则时，时，，
则函数的大致图象如下：
所以，解得故实数的取值范围为.故选：B.
二 多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.
9.【答案】BC
【解析】对于A：从这200名学生中任选1人，已知选到的是男生，则他喜欢天宫课堂的概率，故A错误；
对于B：样本中喜欢天宫课堂的频率，从全校学生中任选3人，
恰有2人不喜欢天宫课堂的概率，故B正确；
对于因为，
所以根据小概率值的独立性检验，认为喜欢天宫课堂与性别没有关联，故C正确；
对于D：抽取的喜欢天宫课堂的学生男 女生人数分别为，
又男生的平均成绩为80，女生的平均成绩为90，所以参加测试的学生成绩的均值为
，故D错误；
故选：BC.
10.【答案】ABC
【解析】对于，由题意可知，，设，
则直线的斜率为，
令
，令在单调递减，
对.
对于B，当，则满足条件的有两个；易得不存在满足
满足为等腰三角形的有4个，对.
对于，渐近线：即
，C对.
对于，由题意，点在双曲线外，当三点共线时，有最小值，
此时，D错误.故选：ABC.
11.【答案】AC
【解析】对于选项，由得，故，正确；
对于B选项，将，两式相减得，
即，又令，得，，所以从第二项开始成等比数列，公比为2，
故时，，即，所以，故B选项错误；
对于选项，因为当时，
当时，
所以，，令，
则时，
即，而，所以数列单调递增，C选项正确；
对于选项，当时，显然成
立，故恒成立，选项错误
故选：AC.
12.【答案】ACD
三 填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.
13.【答案】
【解析】展开式通项公式
，
令，解得，则，
所以展开式的常数项是
故答案为：
14.【答案】
【解析】如图，易知，
，
所以，
则由正弦定理得，解得
故答案为：
15.【答案】
【解析】因为抛物线：的焦点，准线：，所以圆心即为抛物线的焦
点，设.
，
.
故答案为：
16.【答案】；1
【详解】
（1）由题意得，，则，，
则.
（2）由题意得，，，∴，
令，则，令，则，
显然当t∈[1，2]时，，单调递减，所以，∴的最大值为1.
故答案为：，1.
四 解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明 证明过程或演算步骤.
17.【解析】
（1）在中，由正弦定理，
所以，
因为，所以，所以，
所以，
故.
（2）设，则，
由勾股定理.
所以，
在中，由余弦定理得，则，
所以，所以，
所以的面积为.
18.【解析】
（1）因为为等差数列，所以，且
当时，，可得；
当时，，
则；
由，故，
所以是首项为1，公差为1的等差数列，故.
（2），
因为，当且仅当时成立，所以，
当，因为，
所以能使成立的的最大值为，所以，
所以的前50项和为.
19.【解析】
（1）设甲乙通过两轮制的初赛分别为事件，
则，
由题意可得，的取值有，
，
，
所以.
（2）依题意甲，乙抢到并答对一题的概率为，
乙已得10分，甲若想获胜情况有：
①甲得20分：其概率为；
②甲得10分，乙再得-10分，其概率为；
③甲得0分，乙再得-20分，其概率为.
故乙先得10分后甲获胜的概率为.
20.【解析】
（1）证明：因为平面平面，所以平面，又平面，平面平面，所以.
（2）证明：因为，所以，
因为，所以，所以，
因为，所以，所以
因为平面平面平面，平面平面，
，所以平面，因为平面，所以，
又因为，所以平面，又因为平面，
所以平面平面.
（3）如图，取中点，连接，作，垂足为，连接，
所以，
因为平面平面平面，
平面平面，所以平面.
因为平面，所以，所以平面.
因为平面，所以
所以二面角的平面角为，
所以，所以，又因为，所以，
所以，所以.
21.【解析】
（1）由椭圆的长半轴长为，得.
因为点在椭圆上，所以.
又因为，所以，所以，
故椭圆的标准方程为.
（2）设点的坐标为，直线的方程为，
直线的方程为.
联立得
据题意得，
得，同理，得，
所以易得
所以
22.【解析】
（1）因为，
由函数在上为增函数，则在上恒成立.
令
当时，，所以恒成立.
所以在为增函数.所以
所以.
（2）由，则
所以是的两个零点.
因为，由（1知，函数在上为增函数，，无零点.
所以下面证函数在上有且仅有1个零点
①当时，.无零点.
②当时，，设，
在上递增，
又
存在唯一零点，使得.
当时，在上递减；
当时，在上递增，且，
所以函数在上有且仅有1个零点.
故函数在上有且仅有1个零点.
综上：当时，函数有且仅有3个零点.
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