卷子答案网-一个不只有答案的网站重庆市第八中学2020-2021学年高二上学期数学(期中)半期试卷
一、单选题
1．（2016高二上·宜昌期中）直线 的倾斜角为（ ）
A． B． C． D．
2．（2020高二上·重庆期中）已知直线 与直线 平行，则它们之间的距离为（ ）
A． B． C． D．4
3．（2020高二上·重庆期中）抛物线 的焦点为 ，点 在抛物线上且其横坐标为 ，则 （ ）
A． B．5 C．4 D．3
4．（2020高二上·重庆期中）圆 与圆 的位置关系为（ ）
A．内切 B．外切 C．相交 D．相离
5．（2020高二上·重庆期中）已知双曲线 的离心率为 ，焦点到渐近线距离为3，则双曲线 实轴长（ ）
A． B．3 C． D．6
6．（2020高二上·重庆期中）已知圆 上到直线 的距离等于 的点有 个，则 （ ）
A． B．±2 C． D．±1
7．（2020高二上·重庆期中）在 中，已知 ， ， ，则 的面积为（ ）
A． B． C． D．
8．（2020高二上·重庆期中）若点 和点 分别为双曲线 的中心和左焦点，点 为该双曲线上的任意一点，则 的最小值为（ ）
A． B． C． D．
二、多选题
9．（2020高二上·重庆期中）若 表示空间中两条不同直线， 表示平面，下列说法正确的为（ ）
A． B．
C． D．
10．（2020高二上·重庆期中）已知曲线 （ ）
A．若 ， ，则 是两条直线
B．若 ，则 是圆，其半径为
C．若 ，则 是椭圆，其焦点在 轴上
D．若 ，则 是双曲线，其渐近线方程为
11．（2020高二上·重庆期中）已知圆 和圆 相交于 、 两点，下列说法正确的为（ ）
A．两圆有两条公切线
B．直线 的方程为
C．线段 的长为
D．圆 上点 ，圆 上点 ， 的最大值为
12．（2020高二上·重庆期中）设 是抛物线 上两点， 是坐标原点，若 ，下列结论正确的为（ ）
A． 为定值
B．直线 过抛物线 的焦点
C． 最小值为16
D． 到直线 的距离最大值为4
三、填空题
13．（2020高二上·重庆期中）设等差数列 的前 项和为 ， ，则
14．（2020高二上·重庆期中）圆 关于直线 对称的圆的方程为
15．（2020高二上·重庆期中）设 为抛物线 ： 的焦点，过 且倾斜角为 的直线交 于 ， 两点， 为坐标原点，则 的面积为
16．（2020高二上·重庆期中）设 为椭圆 的左焦点， 为 上第一象限的一点.若 ， ，则椭圆 的离心率为
四、解答题
17．（2020高二上·重庆期中）已知三角形 的内角 的对边分别为 ，且 .
（1）求角 ；
（2）若 ，角 的角平分线交 于点 ， ，求 的长.
18．（2020高二上·重庆期中）现给出三个条件：① 成等比数列；② 成等差数列；③ .试从中任选一个条件，补充在下面的问题中，并作答.
已知 为数列 的前 项和， ，且 .
（1）求数列 的通项公式；
（2）记 ，求数列 的前 项和 .
19．（2020高二上·重庆期中）直三棱柱 被平面 截去一部分后得到如图所示几何体， ， ， 是 中点.
（1）求证：平面 ⊥平面 ；
（2）若三棱锥 体积为 ，求二面角 的正弦值.
20．（2020高二上·重庆期中）在平面直角坐标系 中，平面上的动点 到点 的距离与它到直线 的距离相等.
（1）求动点 的轨迹 的方程；
（2）过点 的直线 与点 的轨迹 交于两个不同点 、 .若点 ，且 ，求直线 的方程.
21．（2020高二上·重庆期中）已知圆 经过点 ， ，且圆心在直线 上.
（1）求圆 的方程；
（2）过点 的直线与圆 交于 ， 两点，问：在直线 上是否存在定点 ，使得 ， 分别为直线 ， 的斜率）恒成立？若存在，请求出点 的坐标；若不存在，请说明理由.
22．（2020高二上·重庆期中）已知椭圆 经过点 ，离心率为 .
（1）求曲线 的方程；
（2）设直线 与曲线 交于 两点，点 为 中点， 与曲线 的另一个交点为 ，设 ，试求出 的值.
答案解析部分
1．【答案】D
【知识点】直线的倾斜角
【解析】【解答】解：∵直线 的斜率等于﹣ ，设直线 的倾斜角为θ，
则tanθ=﹣ ，0≤θ＜π，解得 θ= ，
故选D．
【分析】由直线的方程可得斜率等于﹣ ，设直线的倾斜角为θ，则tanθ=﹣ ，0≤θ＜π，由此解得 θ的值．
2．【答案】A
【知识点】平面内两条平行直线间的距离
【解析】【解答】因为直线 与直线 平行，
所以 ，所以 ，
所以直线 即为 ，即 ，
所以两直线的距离为 .
故答案为：A.
【分析】首先由两条直线平行的关系求出m的值，再由两条直线间的距离公式计算出结果即可。
3．【答案】B
【知识点】抛物线的标准方程
【解析】【解答】因为抛物线方程为 ，所以焦点 ，
因为点 在抛物线上且其横坐标为 ，
所以 ，解得 或 ，点 坐标为 或 ，
取 ，则 ；
取 ，则 ，
故答案为：B.
【分析】首先根据题意由抛物线的方程求出其焦点坐标，再把点A的横坐标代入到抛物线的方程即可计算出点A的坐标然后借助两点间的距离计算出结果即可。
4．【答案】C
【知识点】圆与圆的位置关系及其判定
【解析】【解答】由题意，圆 的圆心为 ，半径为2，
圆 的圆心为 ，半径为3，
因为两圆心的距离 ，所以 ，
所以两圆相交.
故答案为：C.
【分析】首先根据圆的标准方程求出圆的半径和圆心坐标再由两点间的距离公式即可判断出两圆的位置关系。
5．【答案】D
【知识点】平面内点到直线的距离公式；双曲线的简单性质
【解析】【解答】由题意，双曲线的一个渐近线为 即 ，
设双曲线的的右焦点为 ，则 ，
所以焦点到渐近线的距离 ，
又离心率 ，所以 ，
所以双曲线C实轴长 .
故答案为：D.
【分析】首先求出双曲线的渐近线方程再结合双曲线里的a、b、c的关系以及点到直线的距离公式即可求解出b的值，再由离心率的公式即可求出a的值从而可求出双曲线的方程。
6．【答案】A
【知识点】平面内点到直线的距离公式；直线与圆的位置关系
【解析】【解答】由题意，圆 的圆心为 ，半径为3，
因为圆 上到直线 的距离等于 的点有 个，
所以点 到直线 的距离 ，所以 .
故答案为：A.
【分析】根据题意由点到直线的距离公式求出圆心到直线的距离关于a的代数式求解出其值即可。
7．【答案】A
【知识点】两角和与差的正弦公式；正弦定理
【解析】【解答】 中， ， ， ，
，
即 ，
解得 ，
又 ， ，
， ，
的面积为
．
故答案为：A．
【分析】首先题意利用正弦定理求出角B的大小，再由两角和的正弦公式求出角C的正弦值，然后把数值代入到三角形的面积公式计算出结果即可。
8．【答案】B
【知识点】平面向量数量积的坐标表示；双曲线的简单性质
【解析】【解答】由题意，点 ，点 ，
设点 ，则 ， ， ，
所以 ，
所以 ，
所以当 时， 取最小值 .
故答案为：B.
【分析】首先求出向量的坐标再由数量积的坐标运算公式得到关于x的一元二次方程，结合二次函数的图象和性质即可求出其最小值。
9．【答案】B,D
【知识点】空间中直线与平面之间的位置关系
【解析】【解答】A. 如图，正方体中， ，但 相交；
B. ，根据线面垂直的性质，垂直于同一平面的两条直线平行，所以正确；
C. 如图，正方体中， ，则 ，错误；
D. ，根据直线与平面垂直的判断，则 ，正确.
故答案为：BD.
【分析】根据平面内直线与平面的位置关系以及线面平行的判断与性质、线面垂直的性质与判定逐项分析即可得到结果。
10．【答案】A,D
【知识点】圆锥曲线的综合
【解析】【解答】对于A，若 ， ，则 即 ，为两条直线，A符合题意；
对于B，若 ，则 ，所以 是圆，半径为 ，B不符合题意；
对于C，若 ，则 ，
所以 即 为椭圆，且焦点在 轴上，C不符合题意；
对于D，若 ，则 为双曲线，
且其渐近线为 ，D符合题意.
故答案为：AD.
【分析】根据曲线方程以及圆锥曲线的性质逐项分析即可得出结论。
11．【答案】A,D
【知识点】直线与圆的位置关系；圆与圆的位置关系及其判定
【解析】【解答】对于A，因为两圆相交，所以两圆有两条公切线，A符合题意；
对于B，因为圆 ，圆 ，
两圆作差得 即 ，
所以直线 的方程为 ，B不符合题意；
对于C，圆 的圆心为 ，半径为2，
则圆心到直线 的距离 ，
所以 ，C不符合题意；
对于D，圆 的圆心 ，半径为1，
所以 ，D符合题意.
故答案为：AD.
【分析】根据题意由两圆的位置关系、两圆方程作差以及垂径定理和圆心之间的距离逐项判断即可得出结论。
12．【答案】A,C,D
【知识点】抛物线的简单性质；直线与圆锥曲线的综合问题
【解析】【解答】对于A，因为 ，所以 ，
所以 ，A符合题意；
对于B，设直线 ，代入 可得 ，
所以 ，即 ，所以直线 过点 ，
而抛物线 的焦点为 ，B不符合题意；
对于C，因为 ，
当 时，等号成立，
又直线 过点 ，所以 ，C符合题意；
对于D，因为直线 过点 ，所以 到直线 的距离最大值为4，D符合题意.
故答案为：ACD.
【分析】结合题意由抛物线方程以及直线的斜率公式即可判断出选项A；在由直线与圆锥曲线的位置关系结合韦达定理即可判断出B；利用韦达定理即可得出有最小值进而判断出C；由直线过定点即可判断出D。从而得到答案。
13．【答案】15
【知识点】等差数列的前n项和；等差数列的性质
【解析】【解答】因为 ，
所以 ， ，
所以 ．
故答案为：15.
【分析】根据题意由等差数列的前n项和公式以及等差数列的性质代入数值计算出结果即可。
14．【答案】
【知识点】关于点、直线对称的圆的方程
【解析】【解答】由题意，圆 的圆心为 ，半径为2，
因为点 关于直线 对称的点为 ，
所以圆 关于直线 对称的圆的圆心为 ，半径为2，
所以该圆的方程为 .
故答案为： .
【分析】首先求出圆心关于直线对称的圆心的坐标再结合圆的标准方程即可求出结果。
15．【答案】
【知识点】抛物线的简单性质；直线与圆锥曲线的综合问题
【解析】【解答】因为 为抛物线 ： 的焦点，所以 ，
又直线 过点 且倾斜角为 ，
则直线 的方程为： ，即 ，
设 ， ，
由 消去 可得 ，整理得 ，所以 ，
因此
又点 到直线 的距离为 ，
所以 的面积为 .
故答案为： .
【分析】首先求出直线的方程再联立直线和抛物线的方程，消元后得到关于x的一元二次方程由韦达定理求出两根之和和两根之积，再由点到直线的距离公式求出三角形的高线最后把数值代入到三角形的面积公式计算出结果即可。
16．【答案】
【知识点】椭圆的简单性质
【解析】【解答】设 ，椭圆的右焦点 ，连接 ，如图，
因为 ， ，
所以 ，
所以 ，所以 ， ，
所以 为等边三角形， ，
所以 ，
所以离心率 .
故答案为： .
【分析】首先求出椭圆的焦点坐标结合余弦定理即可求出的值再由已知可判断出三角形的形状为等边三角形，由三角形边的关系即可求出离心率的值。
17．【答案】（1）解：因为 ，
由正弦定理可得 ，
即 ，即 ，
又 ，所以 ， ，
所以 ；
（2）解：由（1）得 ，角 的角平分线交 于点 ，所以 ，
又 ，所以 ，
在 中，由正弦定理得 ，
所以 ，
在 中，由余弦定理可得 ，
即 ，
所以 .
【知识点】两角和与差的正弦公式；正弦定理；余弦定理
【解析】【分析】(1)由正弦定理以及两角和的正弦公式整理化简原式即可得到从而求出角A的大小。
(2)结合角平分线的性质以及正弦定理即可求出边AC=AD，再由余弦定理代入数值计算出边CD的值即可。
18．【答案】（1）解：由已知 ，当 时，可得 ，两式相减，可得 ，整理得 ， ，所以数列 是以 为公比的等比数列，
若选条件①
， ， 成等差数列，即 ，即 ，解得 ，
所以 .
若选条件②
， ， 成等比数列， ，即 ，解得 ，
所以 .
若选条件③
， ，即 ，解得 ，
所以 ；
（2）解：由（1），知 ，
所以 .
【知识点】等差数列的通项公式；等差数列的前n项和；等差数列的性质；等比数列的性质
【解析】【分析】(1)先由题设得到an=-2an-1 (n≥2)，从而说明数列{an }是以-2为公比的等比数列，然后由选的条件求出首项a1，即可求得an;
(2) 先由(1) 求得bn，再利用公式法求其前n项和Tn即可.
19．【答案】（1）证明：因为 ，所以 ，
在直三棱柱中，由 平面 可得 ，
又 ， ，所以 平面 ，
所以 ，
因为 ，所以 平面 ，
由 平面 可得平面 平面 ；
（2）解：由题意， ，解得 ，
以 为原点， 分别为 轴建立直角坐标系，如图，
则 ， ，
设面 的一个法向量为 ， ，
则 ，取 ， ，
设面 的一个法向量为 ， ，
则 ，取 ，
所以 ，
所以二面角 的正弦值 .
【知识点】平面与平面垂直的判定；与二面角有关的立体几何综合题；用空间向量研究二面角
【解析】【分析】(1)由线面垂直的性质和判定定理以及面面垂直的判定定理即可得证。
(2)结合题意由等体积法求出AB的值，再建立空间直角坐标系求出平面的法向量由法向量所成角的大小即为二面角的大小结合余弦定理即可得出结果。
20．【答案】（1）解：依据题意动点 到 的距离等于 到直线 的距离，
由抛物线定义知点 的轨迹是以 为焦点，直线 为准线的抛物线，
所以点 的轨迹 的方程为 ；-
（2）解：由于过点 的直线 与点 的轨迹 交于两个不同点 、 ，则直线 不与 轴重合，
设直线 的方程为 ，设点 、 ，
联立 ，整理得 ，则 ，
由韦达定理得 ， ，
，则 ，解得 .
所以，直线 的方程为 ，即 .
【知识点】抛物线的定义；直线与圆锥曲线的综合问题
【解析】【分析】(1)根据题意结合抛物线的定义即可求出轨迹方程。
(2)首先设出直线的方程然后联立直线和抛物线的方程消去x得到关于y的一元二次方程，再由韦达定理求出两根之和和两根之积，结合数量积的坐标公式代入数值求解出m的值，从而得到直线的方程。
21．【答案】（1）解：由 ， ，可知线段 的中点为 ， ，
的垂直平分线的斜率为 ， 的垂直平分线的方程为 .-
的垂直平分线与直线 的交点即为圆心 ，由 ，解得 ，
即 ，又圆的半径 ，
圆 的方程为 ；
（2）解：当直线 的斜率存在时，设直线 的斜率为 ，
则过点 的直线 的方程为 ，
由 ，消去 整理得 .
设 ， ， ， ， ， .
设 ，则 ， .由 ，即有 ，
即 ，即 ，将 式代入得 ，
解得 ，故点 的坐标为 ， .
当直线 平行 轴时，显然点 ， 可使 成立.
所以在直线 上存在定点 ， 使得 恒成立.
【知识点】用斜率判定两直线垂直；直线与圆的位置关系
【解析】【分析】(1)首先利用垂直平分的性质由点斜式求出直线的方程，根据 的垂直平分线与直线 的交点即为圆心 联立两个方程求出交点坐标从而可求出圆的半径以及圆心坐标，最终得到圆的方程。
(2)根据题意先设出直线的方程，然后联立直线和圆的方程消去y得到关于x的一元二次方程再由韦达定理求出两根之和和两根之积，并代入到直线斜率的方程整理化简得到关于k的方程，求解出其值进而得到点N的坐标结合题意即可求出直线AB的斜率。
22．【答案】（1）解：由题意得 ，解得 ， 的方程为 ；
（2）解：设 ，
将 代入 得 ，
所以 ，
所以 ，
由点 为 中点得 ，
由 得 ，
所以 ，
因为 在椭圆上，所以 ，
所以 ，
即 ，
又因为 ，
所以 ，化简得 ，解得 （负值舍去）.
【知识点】椭圆的简单性质；直线与圆锥曲线的综合问题
【解析】【分析】(1)结合椭圆的简单性质计算出a、b的值进而求出椭圆的方程。
(2)首先设出直线的方程，然后联立直线和椭圆的方程消去y得到关于x的方程由韦达定理求出两根之和和两根之积，进而求出，再由向量的坐标公式代入数值即可得到关于m的方程求解出结果即可。
重庆市第八中学2020-2021学年高二上学期数学(期中)半期试卷
一、单选题
1．（2016高二上·宜昌期中）直线 的倾斜角为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】直线的倾斜角
【解析】【解答】解：∵直线 的斜率等于﹣ ，设直线 的倾斜角为θ，
则tanθ=﹣ ，0≤θ＜π，解得 θ= ，
故选D．
【分析】由直线的方程可得斜率等于﹣ ，设直线的倾斜角为θ，则tanθ=﹣ ，0≤θ＜π，由此解得 θ的值．
2．（2020高二上·重庆期中）已知直线 与直线 平行，则它们之间的距离为（ ）
A． B． C． D．4
【答案】A
【知识点】平面内两条平行直线间的距离
【解析】【解答】因为直线 与直线 平行，
所以 ，所以 ，
所以直线 即为 ，即 ，
所以两直线的距离为 .
故答案为：A.
【分析】首先由两条直线平行的关系求出m的值，再由两条直线间的距离公式计算出结果即可。
3．（2020高二上·重庆期中）抛物线 的焦点为 ，点 在抛物线上且其横坐标为 ，则 （ ）
A． B．5 C．4 D．3
【答案】B
【知识点】抛物线的标准方程
【解析】【解答】因为抛物线方程为 ，所以焦点 ，
因为点 在抛物线上且其横坐标为 ，
所以 ，解得 或 ，点 坐标为 或 ，
取 ，则 ；
取 ，则 ，
故答案为：B.
【分析】首先根据题意由抛物线的方程求出其焦点坐标，再把点A的横坐标代入到抛物线的方程即可计算出点A的坐标然后借助两点间的距离计算出结果即可。
4．（2020高二上·重庆期中）圆 与圆 的位置关系为（ ）
A．内切 B．外切 C．相交 D．相离
【答案】C
【知识点】圆与圆的位置关系及其判定
【解析】【解答】由题意，圆 的圆心为 ，半径为2，
圆 的圆心为 ，半径为3，
因为两圆心的距离 ，所以 ，
所以两圆相交.
故答案为：C.
【分析】首先根据圆的标准方程求出圆的半径和圆心坐标再由两点间的距离公式即可判断出两圆的位置关系。
5．（2020高二上·重庆期中）已知双曲线 的离心率为 ，焦点到渐近线距离为3，则双曲线 实轴长（ ）
A． B．3 C． D．6
【答案】D
【知识点】平面内点到直线的距离公式；双曲线的简单性质
【解析】【解答】由题意，双曲线的一个渐近线为 即 ，
设双曲线的的右焦点为 ，则 ，
所以焦点到渐近线的距离 ，
又离心率 ，所以 ，
所以双曲线C实轴长 .
故答案为：D.
【分析】首先求出双曲线的渐近线方程再结合双曲线里的a、b、c的关系以及点到直线的距离公式即可求解出b的值，再由离心率的公式即可求出a的值从而可求出双曲线的方程。
6．（2020高二上·重庆期中）已知圆 上到直线 的距离等于 的点有 个，则 （ ）
A． B．±2 C． D．±1
【答案】A
【知识点】平面内点到直线的距离公式；直线与圆的位置关系
【解析】【解答】由题意，圆 的圆心为 ，半径为3，
因为圆 上到直线 的距离等于 的点有 个，
所以点 到直线 的距离 ，所以 .
故答案为：A.
【分析】根据题意由点到直线的距离公式求出圆心到直线的距离关于a的代数式求解出其值即可。
7．（2020高二上·重庆期中）在 中，已知 ， ， ，则 的面积为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】两角和与差的正弦公式；正弦定理
【解析】【解答】 中， ， ， ，
，
即 ，
解得 ，
又 ， ，
， ，
的面积为
．
故答案为：A．
【分析】首先题意利用正弦定理求出角B的大小，再由两角和的正弦公式求出角C的正弦值，然后把数值代入到三角形的面积公式计算出结果即可。
8．（2020高二上·重庆期中）若点 和点 分别为双曲线 的中心和左焦点，点 为该双曲线上的任意一点，则 的最小值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】平面向量数量积的坐标表示；双曲线的简单性质
【解析】【解答】由题意，点 ，点 ，
设点 ，则 ， ， ，
所以 ，
所以 ，
所以当 时， 取最小值 .
故答案为：B.
【分析】首先求出向量的坐标再由数量积的坐标运算公式得到关于x的一元二次方程，结合二次函数的图象和性质即可求出其最小值。
二、多选题
9．（2020高二上·重庆期中）若 表示空间中两条不同直线， 表示平面，下列说法正确的为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B,D
【知识点】空间中直线与平面之间的位置关系
【解析】【解答】A. 如图，正方体中， ，但 相交；
B. ，根据线面垂直的性质，垂直于同一平面的两条直线平行，所以正确；
C. 如图，正方体中， ，则 ，错误；
D. ，根据直线与平面垂直的判断，则 ，正确.
故答案为：BD.
【分析】根据平面内直线与平面的位置关系以及线面平行的判断与性质、线面垂直的性质与判定逐项分析即可得到结果。
10．（2020高二上·重庆期中）已知曲线 （ ）
A．若 ， ，则 是两条直线
B．若 ，则 是圆，其半径为
C．若 ，则 是椭圆，其焦点在 轴上
D．若 ，则 是双曲线，其渐近线方程为
【答案】A,D
【知识点】圆锥曲线的综合
【解析】【解答】对于A，若 ， ，则 即 ，为两条直线，A符合题意；
对于B，若 ，则 ，所以 是圆，半径为 ，B不符合题意；
对于C，若 ，则 ，
所以 即 为椭圆，且焦点在 轴上，C不符合题意；
对于D，若 ，则 为双曲线，
且其渐近线为 ，D符合题意.
故答案为：AD.
【分析】根据曲线方程以及圆锥曲线的性质逐项分析即可得出结论。
11．（2020高二上·重庆期中）已知圆 和圆 相交于 、 两点，下列说法正确的为（ ）
A．两圆有两条公切线
B．直线 的方程为
C．线段 的长为
D．圆 上点 ，圆 上点 ， 的最大值为
【答案】A,D
【知识点】直线与圆的位置关系；圆与圆的位置关系及其判定
【解析】【解答】对于A，因为两圆相交，所以两圆有两条公切线，A符合题意；
对于B，因为圆 ，圆 ，
两圆作差得 即 ，
所以直线 的方程为 ，B不符合题意；
对于C，圆 的圆心为 ，半径为2，
则圆心到直线 的距离 ，
所以 ，C不符合题意；
对于D，圆 的圆心 ，半径为1，
所以 ，D符合题意.
故答案为：AD.
【分析】根据题意由两圆的位置关系、两圆方程作差以及垂径定理和圆心之间的距离逐项判断即可得出结论。
12．（2020高二上·重庆期中）设 是抛物线 上两点， 是坐标原点，若 ，下列结论正确的为（ ）
A． 为定值
B．直线 过抛物线 的焦点
C． 最小值为16
D． 到直线 的距离最大值为4
【答案】A,C,D
【知识点】抛物线的简单性质；直线与圆锥曲线的综合问题
【解析】【解答】对于A，因为 ，所以 ，
所以 ，A符合题意；
对于B，设直线 ，代入 可得 ，
所以 ，即 ，所以直线 过点 ，
而抛物线 的焦点为 ，B不符合题意；
对于C，因为 ，
当 时，等号成立，
又直线 过点 ，所以 ，C符合题意；
对于D，因为直线 过点 ，所以 到直线 的距离最大值为4，D符合题意.
故答案为：ACD.
【分析】结合题意由抛物线方程以及直线的斜率公式即可判断出选项A；在由直线与圆锥曲线的位置关系结合韦达定理即可判断出B；利用韦达定理即可得出有最小值进而判断出C；由直线过定点即可判断出D。从而得到答案。
三、填空题
13．（2020高二上·重庆期中）设等差数列 的前 项和为 ， ，则
【答案】15
【知识点】等差数列的前n项和；等差数列的性质
【解析】【解答】因为 ，
所以 ， ，
所以 ．
故答案为：15.
【分析】根据题意由等差数列的前n项和公式以及等差数列的性质代入数值计算出结果即可。
14．（2020高二上·重庆期中）圆 关于直线 对称的圆的方程为
【答案】
【知识点】关于点、直线对称的圆的方程
【解析】【解答】由题意，圆 的圆心为 ，半径为2，
因为点 关于直线 对称的点为 ，
所以圆 关于直线 对称的圆的圆心为 ，半径为2，
所以该圆的方程为 .
故答案为： .
【分析】首先求出圆心关于直线对称的圆心的坐标再结合圆的标准方程即可求出结果。
15．（2020高二上·重庆期中）设 为抛物线 ： 的焦点，过 且倾斜角为 的直线交 于 ， 两点， 为坐标原点，则 的面积为
【答案】
【知识点】抛物线的简单性质；直线与圆锥曲线的综合问题
【解析】【解答】因为 为抛物线 ： 的焦点，所以 ，
又直线 过点 且倾斜角为 ，
则直线 的方程为： ，即 ，
设 ， ，
由 消去 可得 ，整理得 ，所以 ，
因此
又点 到直线 的距离为 ，
所以 的面积为 .
故答案为： .
【分析】首先求出直线的方程再联立直线和抛物线的方程，消元后得到关于x的一元二次方程由韦达定理求出两根之和和两根之积，再由点到直线的距离公式求出三角形的高线最后把数值代入到三角形的面积公式计算出结果即可。
16．（2020高二上·重庆期中）设 为椭圆 的左焦点， 为 上第一象限的一点.若 ， ，则椭圆 的离心率为
【答案】
【知识点】椭圆的简单性质
【解析】【解答】设 ，椭圆的右焦点 ，连接 ，如图，
因为 ， ，
所以 ，
所以 ，所以 ， ，
所以 为等边三角形， ，
所以 ，
所以离心率 .
故答案为： .
【分析】首先求出椭圆的焦点坐标结合余弦定理即可求出的值再由已知可判断出三角形的形状为等边三角形，由三角形边的关系即可求出离心率的值。
四、解答题
17．（2020高二上·重庆期中）已知三角形 的内角 的对边分别为 ，且 .
（1）求角 ；
（2）若 ，角 的角平分线交 于点 ， ，求 的长.
【答案】（1）解：因为 ，
由正弦定理可得 ，
即 ，即 ，
又 ，所以 ， ，
所以 ；
（2）解：由（1）得 ，角 的角平分线交 于点 ，所以 ，
又 ，所以 ，
在 中，由正弦定理得 ，
所以 ，
在 中，由余弦定理可得 ，
即 ，
所以 .
【知识点】两角和与差的正弦公式；正弦定理；余弦定理
【解析】【分析】(1)由正弦定理以及两角和的正弦公式整理化简原式即可得到从而求出角A的大小。
(2)结合角平分线的性质以及正弦定理即可求出边AC=AD，再由余弦定理代入数值计算出边CD的值即可。
18．（2020高二上·重庆期中）现给出三个条件：① 成等比数列；② 成等差数列；③ .试从中任选一个条件，补充在下面的问题中，并作答.
已知 为数列 的前 项和， ，且 .
（1）求数列 的通项公式；
（2）记 ，求数列 的前 项和 .
【答案】（1）解：由已知 ，当 时，可得 ，两式相减，可得 ，整理得 ， ，所以数列 是以 为公比的等比数列，
若选条件①
， ， 成等差数列，即 ，即 ，解得 ，
所以 .
若选条件②
， ， 成等比数列， ，即 ，解得 ，
所以 .
若选条件③
， ，即 ，解得 ，
所以 ；
（2）解：由（1），知 ，
所以 .
【知识点】等差数列的通项公式；等差数列的前n项和；等差数列的性质；等比数列的性质
【解析】【分析】(1)先由题设得到an=-2an-1 (n≥2)，从而说明数列{an }是以-2为公比的等比数列，然后由选的条件求出首项a1，即可求得an;
(2) 先由(1) 求得bn，再利用公式法求其前n项和Tn即可.
19．（2020高二上·重庆期中）直三棱柱 被平面 截去一部分后得到如图所示几何体， ， ， 是 中点.
（1）求证：平面 ⊥平面 ；
（2）若三棱锥 体积为 ，求二面角 的正弦值.
【答案】（1）证明：因为 ，所以 ，
在直三棱柱中，由 平面 可得 ，
又 ， ，所以 平面 ，
所以 ，
因为 ，所以 平面 ，
由 平面 可得平面 平面 ；
（2）解：由题意， ，解得 ，
以 为原点， 分别为 轴建立直角坐标系，如图，
则 ， ，
设面 的一个法向量为 ， ，
则 ，取 ， ，
设面 的一个法向量为 ， ，
则 ，取 ，
所以 ，
所以二面角 的正弦值 .
【知识点】平面与平面垂直的判定；与二面角有关的立体几何综合题；用空间向量研究二面角
【解析】【分析】(1)由线面垂直的性质和判定定理以及面面垂直的判定定理即可得证。
(2)结合题意由等体积法求出AB的值，再建立空间直角坐标系求出平面的法向量由法向量所成角的大小即为二面角的大小结合余弦定理即可得出结果。
20．（2020高二上·重庆期中）在平面直角坐标系 中，平面上的动点 到点 的距离与它到直线 的距离相等.
（1）求动点 的轨迹 的方程；
（2）过点 的直线 与点 的轨迹 交于两个不同点 、 .若点 ，且 ，求直线 的方程.
【答案】（1）解：依据题意动点 到 的距离等于 到直线 的距离，
由抛物线定义知点 的轨迹是以 为焦点，直线 为准线的抛物线，
所以点 的轨迹 的方程为 ；-
（2）解：由于过点 的直线 与点 的轨迹 交于两个不同点 、 ，则直线 不与 轴重合，
设直线 的方程为 ，设点 、 ，
联立 ，整理得 ，则 ，
由韦达定理得 ， ，
，则 ，解得 .
所以，直线 的方程为 ，即 .
【知识点】抛物线的定义；直线与圆锥曲线的综合问题
【解析】【分析】(1)根据题意结合抛物线的定义即可求出轨迹方程。
(2)首先设出直线的方程然后联立直线和抛物线的方程消去x得到关于y的一元二次方程，再由韦达定理求出两根之和和两根之积，结合数量积的坐标公式代入数值求解出m的值，从而得到直线的方程。
21．（2020高二上·重庆期中）已知圆 经过点 ， ，且圆心在直线 上.
（1）求圆 的方程；
（2）过点 的直线与圆 交于 ， 两点，问：在直线 上是否存在定点 ，使得 ， 分别为直线 ， 的斜率）恒成立？若存在，请求出点 的坐标；若不存在，请说明理由.
【答案】（1）解：由 ， ，可知线段 的中点为 ， ，
的垂直平分线的斜率为 ， 的垂直平分线的方程为 .-
的垂直平分线与直线 的交点即为圆心 ，由 ，解得 ，
即 ，又圆的半径 ，
圆 的方程为 ；
（2）解：当直线 的斜率存在时，设直线 的斜率为 ，
则过点 的直线 的方程为 ，
由 ，消去 整理得 .
设 ， ， ， ， ， .
设 ，则 ， .由 ，即有 ，
即 ，即 ，将 式代入得 ，
解得 ，故点 的坐标为 ， .
当直线 平行 轴时，显然点 ， 可使 成立.
所以在直线 上存在定点 ， 使得 恒成立.
【知识点】用斜率判定两直线垂直；直线与圆的位置关系
【解析】【分析】(1)首先利用垂直平分的性质由点斜式求出直线的方程，根据 的垂直平分线与直线 的交点即为圆心 联立两个方程求出交点坐标从而可求出圆的半径以及圆心坐标，最终得到圆的方程。
(2)根据题意先设出直线的方程，然后联立直线和圆的方程消去y得到关于x的一元二次方程再由韦达定理求出两根之和和两根之积，并代入到直线斜率的方程整理化简得到关于k的方程，求解出其值进而得到点N的坐标结合题意即可求出直线AB的斜率。
22．（2020高二上·重庆期中）已知椭圆 经过点 ，离心率为 .
（1）求曲线 的方程；
（2）设直线 与曲线 交于 两点，点 为 中点， 与曲线 的另一个交点为 ，设 ，试求出 的值.
【答案】（1）解：由题意得 ，解得 ， 的方程为 ；
（2）解：设 ，
将 代入 得 ，
所以 ，
所以 ，
由点 为 中点得 ，
由 得 ，
所以 ，
因为 在椭圆上，所以 ，
所以 ，
即 ，
又因为 ，
所以 ，化简得 ，解得 （负值舍去）.
【知识点】椭圆的简单性质；直线与圆锥曲线的综合问题
【解析】【分析】(1)结合椭圆的简单性质计算出a、b的值进而求出椭圆的方程。
(2)首先设出直线的方程，然后联立直线和椭圆的方程消去y得到关于x的方程由韦达定理求出两根之和和两根之积，进而求出，再由向量的坐标公式代入数值即可得到关于m的方程求解出结果即可。