卷子答案网-一个不只有答案的网站2015-2016学年山西省大同一中八年级下学期期中数学试卷
一、选择题
1．（2016八下·高安期中）下列二次根式中，属于最简二次根式的是（ ）
A． B． C． D．
2．（2015八下·大同期中）若代数式 有意义，则实数x的取值范围是（ ）
A．x≠1 B．x≥0 C．x＞0 D．x≥0且x≠1
3．（2015八下·大同期中）满足下列条件的三角形中，不是直角三角形的是（ ）
A．三内角之比为1：2：3 B．三边长分别为5，12，14
C．三边长之比为3：4：5 D．三边长分别为1， ，
4．（2015八下·大同期中）如图，在平行四边形ABCD中，AB=3cm，BC=5cm，对角线AC，BD相交于点O，则OA的取值范围是（ ）
A．2cm＜OA＜5cm B．2cm＜OA＜8cm
C．1cm＜OA＜4cm D．3cm＜OA＜8cm
5．（2015八下·大同期中）在一组对边平行的四边形中，增加下列条件中的哪一个条件，这个四边形是矩形（ ）
A．另一组对边相等，对角线相等
B．另一组对边相等，对角线互相垂直
C．另一组对边平行，对角线相等
D．另一组对边平行，对角线互相垂直
6．（2015八下·大同期中）如图，以Rt△ABC的三边为斜边分别向外作等腰直角三角形．若斜边AB= ，则图中阴影部分的面积为（ ）
A．1 B． C． D．
7．（2016八下·微山期中）如图，在矩形ABCD中，AB=8，BC=4，将矩形沿AC折叠，点D落在点D′处，则重叠部分△AFC的面积为（ ）
A．6 B．8 C．10 D．12
8．（2015八下·大同期中）直角三角形斜边的平方等于两直角边乘积的2倍，这个三角形有一个锐角是（ ）
A．15度 B．30度 C．60度 D．45度
9．（2015八下·大同期中）如图，在四边形ABCD中，点P是对角线BD的中点，点E、F分别是AB、CD的中点，AD=BC，∠PEF=30°，则∠PFE的度数是（ ）
A．15° B．20° C．25° D．30°
10．（2015八下·大同期中）如图，正方形ABCD的对角线AC与BD相交于点O，∠ACB的角平分线分别交AB，BD于M，N两点．若AM=2，则线段ON的长为（ ）
A． B． C．1 D．
二、填空题
11．（2015八下·大同期中）在实数范围内因式分解：x2﹣2= ．
12．（2016八上·靖远期中）边长为2的正三角形的面积是
13．（2015八下·大同期中）如图， ABCD的周长为16cm，AC、BD相交于点O，OE⊥AC交AD于E，则△DCE的周长为 cm．
14．（2015八下·临河期中）如图，正方形ABCD的边长为4，点P在DC边上且DP=1，点Q是AC上一动点，则DQ+PQ的最小值为 ．
15．（2015八下·大同期中）如图，在平面直角坐标系中，点A，B的坐标分别为（﹣6，0）、（0，8）．以点A为圆心，以AB长为半径画弧，交x正半轴于点C，则点C的坐标为 ．
16．（2015八下·大同期中）已知在△ABC中，AB=13cm，AC=15cm，高AD=12cm．则△ABC的周长为 ．
三、解答题
17．（2015八下·大同期中）计算：
（1）（ ﹣ ）﹣（ + ）
（2）（﹣3）0﹣ +|1﹣2 |．
18．（2015八下·大同期中）化简求值
已知x=2﹣ ，y=2+ ，求下列各式的值．
（1）x2﹣y2；
（2）x2+xy+y2．
19．（2017八下·蚌埠期中）已知如图，四边形ABCD中，∠B=90°，AB=4，BC=3，CD=12，AD=13，求这个四边形的面积．
20．（2015八下·大同期中）如图，在正方形ABCD中，E是AB上一点，F是AD延长线上一点，且DF=BE．
（1）求证：CE=CF；
（2）若点G在AD上，且∠GCE=45°，则GE=BE+GD成立吗？为什么？
21．（2016八下·费县期中）如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，以AC为一边向外作等边三角形ACD，点E为AB的中点，连结DE．
（1）证明DE∥CB；
（2）探索AC与AB满足怎样的数量关系时，四边形DCBE是平行四边形．
22．（2015八下·大同期中）阅读理解，我们把依次连接任意一个四边形各边中点得到的四边形叫中点四边形，如图1，在四边形ABCD中，E，F，G，H分别是边AB，BC，CD，DA的中点，依次连接各边中点得到中点四边形EFGH．
（1）这个中点四边形EFGH的形状是 ；
（2）如图2，在四边形ABCD中，点M在AB上且△AMD和△MCB为等边三角形，E、F、G、H分别为AB、BC、CD、AD的中点，试判断四边形EFGH的形状并证明．
23．（2015八下·大同期中）已知点P是Rt△ABC斜边AB上一动点（不与A，B重合），分别过A，B向直线CP作垂线，垂足分别为E，F．
（1）如图1，当点P为AB的中点时，连接AF，BE．求证：四边形AEBF是平行四边形；
（2）如图2，当点P不是AB的中点，取AB的中点Q，连接EQ，FQ．试判断△QEF的形状，并加以证明．
答案解析部分
1．【答案】D
【知识点】最简二次根式
【解析】【解答】解：A、被开方数含分母，故A错误；
B、被开方数含分母，故B错误；
C、被开方数含能开得尽方的因数，故C错误；
D、被开方数不含分母；被开方数不含能开得尽方的因数或因式，故D正确；
故选：D．
【分析】判定一个二次根式是不是最简二次根式的方法，就是逐个检查最简二次根式的两个条件是否同时满足，同时满足的就是最简二次根式，否则就不是．
2．【答案】B
【知识点】二次根式有意义的条件
【解析】【解答】解：由题意得，x≥0，
故选：B．
【分析】根据二次根式有意义的条件列出不等式，解不等式即可．
3．【答案】B
【知识点】勾股定理的逆定理
【解析】【解答】解：A、180°× =90°，是直角三角形，故此选项不合题意；
B、52+122≠142，不能作为直角三角形的三边长，故本选项符合题意；
C、32+42=52，能作为直角三角形的三边长，故本选项不符合题意；
D、12+（ ）2=（ ）2，能作为直角三角形的三边长，故本选项不符合题意；
故选：B．
【分析】根据勾股定理的逆定理对各选项进行逐一分析即可．
4．【答案】C
【知识点】三角形三边关系；平行四边形的性质
【解析】【解答】解：∵平行四边形ABCD中，AB=3cm，BC=5cm，
∴OA=OC= AC，2cm＜AC＜8cm，
∴1cm＜OA＜4cm．
故选：C．
【分析】由在平行四边形ABCD中，AB=3cm，BC=5cm，根据平行四边形对角线互相平分与三角形三边关系，即可求得OA=OC= AC，2cm＜AC＜8cm，继而求得OA的取值范围．
5．【答案】C
【知识点】平行四边形的性质；矩形的判定
【解析】【解答】解：A、另一组对边相等，对角线相等，等腰梯形有此性质，故此选项不正确；
B、另一组对边相等，对角线互相垂直，菱形有此性质，故此选项不正确；
C、另一组对边平行，对角线相等，符合矩形的性质，故此选项正确；
D：另一组对边平行，对角线互相垂直，菱形有此性质，故此选项不正确．
故选：C．
【分析】根据矩形的判定及平行四边形的性质对每个选项论证得出正确选项．
6．【答案】A
【知识点】勾股定理
【解析】【解答】解：在Rt△ADC中，AC2=AD2+DC2，AD=DC，
∴AC2=2AD2，
∴DC=AD= AC，
同理；CF=BF= BC，BE=AE= AB，
在Rt△ABC中，AB2=AC2+BC2，AB= ，
S阴影=S△ADC+S△BFC+S△AEB= DC AD+ CF BF+ AE BE，
= （AC2+BC2+AB2）
= （AB2+AB2）
= ×2AB2
= AB2
= ×2
=1；
故选：A．
【分析】根据勾股定理和等腰直角三角形的面积公式，可以证明：以直角三角形的两条直角边为斜边的等腰直角三角形的面积和等于以斜边为斜边的等腰直角三角形的面积．则阴影部分的面积即为以斜边为斜边的等腰直角三角形的面积的2倍．
7．【答案】C
【知识点】翻折变换（折叠问题）
【解析】【解答】解：易证△AFD′≌△CFB，
∴D′F=BF，
设D′F=x，则AF=8﹣x，
在Rt△AFD′中，（8﹣x）2=x2+42，
解之得：x=3，
∴AF=AB﹣FB=8﹣3=5，
∴S△AFC= AF BC=10．
故选C．
【分析】因为BC为AF边上的高，要求△AFC的面积，求得AF即可，求证△AFD′≌△CFB，得BF=D′F，设D′F=x，则在Rt△AFD′中，根据勾股定理求x，于是得到AF=AB﹣BF，即可得到结果．
8．【答案】D
【知识点】勾股定理；等腰直角三角形
【解析】【解答】解：设直角三角形的两直角边是a、b，斜边是c．
根据斜边的平方等于两条直角边乘积的2倍得到：2ab=c2，
根据勾股定理得到：a2+b2=c2，因而a2+b2=2ab，
即：a2+b2﹣2ab=0，（a﹣b）2=0，
所以a=b，则这个三角形是等腰直角三角形，
因而这个三角形的锐角是45°．
故选D．
【分析】根据斜边的平方等于两条直角边乘积的2倍，以及勾股定理可以列出两个关系式，直接解答即可．
9．【答案】D
【知识点】三角形的中位线定理
【解析】【解答】解：∵在四边形ABCD中，P是对角线BD的中点，E，F分别是AB，CD的中点，
∴FP，PE分别是△CDB与△DAB的中位线，
∴PF=BC，PE=AD，
∵AD=BC，
∴PF=PE，
故△EPF是等腰三角形．
∵∠PEF=30°，
∴∠PEF=∠PFE=30
故选D．
【分析】根据中位线定理和已知，易证明△EPF是等腰三角形，由此可得出结论．
10．【答案】C
【知识点】角平分线的性质；正方形的性质；相似三角形的判定与性质
【解析】【解答】解：作MH⊥AC于H，如图，
∵四边形ABCD为正方形，
∴∠MAH=45°，
∴△AMH为等腰直角三角形，
∴AH=MH= AM= ×2= ，
∵CM平分∠ACB，
∴BM=MH= ，
∴AB=2+ ，
∴AC= AB= （2+ ）=2 +2，
∴OC= AC= +1，CH=AC﹣AH=2 +2﹣ =2+ ，
∵BD⊥AC，
∴ON∥MH，
∴△CON∽△CHM，
∴ = ，即 = ，
∴ON=1．
故选C．
【分析】作MH⊥AC于H，如图，根据正方形的性质得∠MAH=45°，则△AMH为等腰直角三角形，所以AH=MH= AM= ，再根据角平分线性质得BM=MH= ，则AB=2+ ，于是利用正方形的性质得到AC= AB=2 +2
OC= AC= +1，所以CH=AC﹣AH=2+ ，然后证明△CON∽△CHM，再利用相似比可计算出ON的长．
11．【答案】（x﹣ ）（x+ ）
【知识点】实数范围内分解因式
【解析】【解答】解：x2﹣2=（x﹣ ）（x+ ）．
故答案是：（x﹣ ）（x+ ）．
【分析】利用平方差公式即可分解．
12．【答案】
【知识点】等边三角形的性质
【解析】【解答】解：过A作AD⊥BC，
∵AB=AB=BC=2，
∴BD=CD= BC=1，
在Rt△ABD中，根据勾股定理得：AD= = ，
则S△ABC= BC AD= ，
故答案为： ．
【分析】求出等边三角形一边上的高，即可确定出三角形面积．
13．【答案】8
【知识点】线段垂直平分线的性质；平行四边形的性质
【解析】【解答】解：∵平行四边形ABCD，
∴AD=BC，AB=CD，OA=OC，
∵EO⊥AC，
∴AE=EC，
∵AB+BC+CD+AD=16，
∴AD+DC=8，
∴△DCE的周长是：CD+DE+CE=AE+DE+CD=AD+CD=8，
故答案为：8．
【分析】根据平行四边形性质得出AD=BC，AB=CD，OA=OC，根据线段垂直平分线得出AE=CE，求出CD+DE+EC=AD+CD，代入求出即可．
14．【答案】5
【知识点】正方形的性质；轴对称的应用-最短距离问题
【解析】【解答】解：如图，连接BP，
∵点B和点D关于直线AC对称，
∴QB=QD，
则BP就是DQ+PQ的最小值，
∵正方形ABCD的边长是4，DP=1，
∴CP=3，
∴BP= =5，
∴DQ+PQ的最小值是5．
故答案为：5．
【分析】要求DQ+PQ的最小值，DQ，PQ不能直接求，可考虑通过作辅助线转化DQ，PQ的值，从而找出其最小值求解．
15．【答案】（4，0）
【知识点】坐标与图形性质；勾股定理
【解析】【解答】解：∵点A，B的坐标分别为（﹣6，0）、（0，8），
∴AO=6，BO=8，
∴AB= =10，
∵以点A为圆心，以AB长为半径画弧，
∴AB=AC=10，
∴OC=AC﹣AO=4，
∵交x正半轴于点C，
∴点C的坐标为（4，0），
故答案为：（4，0）．
【分析】首先利用勾股定理求出AB的长，进而得到AC的长，因为OC=AC﹣AO，所以OC求出，继而求出点C的坐标．
16．【答案】42cm或32cm
【知识点】勾股定理
【解析】【解答】32cm或42cm解：分两种情况说明：（1）当△ABC为锐角三角形时，在Rt△ABD中，
BD= = =5，
在Rt△ACD中，
CD= = =9，
∴BC=5+9=14，
∴△ABC的周长为：15+13+14=42（cm）；（2）当△ABC为钝角三角形时，
BC=BD﹣CD=9﹣5=4．
∴△ABC的周长为：15+13+4=32（cm）；
故答案为：42cm或32cm．
【分析】分两种情况进行讨论：（1）当△ABC为锐角三角形时，在Rt△ABD和Rt△ACD中，运用勾股定理可将BD和CD的长求出，两者相加即为BC的长，从而可将△ABC的周长求出；（2）当△ABC为钝角三角形时，求出BC的长，从而可将△ABC的周长求出．
17．【答案】（1）解：原式=2 ﹣ ﹣2 ﹣ = ﹣3
（2）解：原式=1﹣2 +2 ﹣1=0
【知识点】实数的运算；零指数幂
【解析】【分析】（1）原式去括号合并即可得到结果；（2）原式利用零指数幂法则，二次根式性质，以及绝对值的代数意义化简，计算即可得到结果．
18．【答案】（1）解：∵x=2﹣ ，y=2+ ，
∴x+y=4，x﹣y=﹣2 ，xy=4﹣3=1
x2﹣y2=（x+y）（x﹣y）=4×（﹣2 ）=﹣8
（2）解：x2+xy+y2=（x+y）2﹣xy=42﹣1=15
【知识点】二次根式的化简求值
【解析】【分析】（1）求出x+y=4，x﹣y=﹣2 ，xy=4﹣3=1，再根据平方差公式变形后代入求出即可；（2）根据完全平方公式变形，代入求出即可．
19．【答案】解：连接AC，如图所示：
∵∠B=90°，∴△ABC为直角三角形，
又AB=4，BC=3，
∴根据勾股定理得：AC= =5，
又AD=13，CD=12，
∴AD2=132=169，CD2+AC2=122+52=144+25=169，
∴CD2+AC2=AD2，
∴△ACD为直角三角形，∠ACD=90°，
则S四边形ABCD=S△ABC+S△ACD= AB BC+ AC CD= ×3×4+ ×12×5=36．
【知识点】勾股定理；勾股定理的逆定理
【解析】【分析】连接AC，在直角三角形ABC中，由AB及BC的长，利用勾股定理求出AC的长，再由AD及CD的长，利用勾股定理的逆定理得到三角形ACD为直角三角形，根据四边形ABCD的面积=直角三角形ABC的面积+直角三角形ACD的面积，即可求出四边形的面积．
20．【答案】（1）证明：在正方形ABCD中，
∵ ，
∴△CBE≌△CDF（SAS）．
∴CE=CF
（2）解：GE=BE+GD成立．
理由是：∵由（1）得：△CBE≌△CDF，
∴∠BCE=∠DCF，
∴∠BCE+∠ECD=∠DCF+∠ECD，即∠ECF=∠BCD=90°，
又∵∠GCE=45°，∴∠GCF=∠GCE=45°．
∵ ，
∴△ECG≌△FCG（SAS）．
∴GE=GF．
∴GE=DF+GD=BE+GD．
【知识点】全等三角形的判定与性质；正方形的性质
【解析】【分析】（1）由DF=BE，四边形ABCD为正方形可证△CEB≌△CFD，从而证出CE=CF．（2）由（1）得，CE=CF，∠BCE+∠ECD=∠DCF+∠ECD即∠ECF=∠BCD=90°又∠GCE=45°所以可得∠GCE=∠GCF，故可证得△ECG≌△FCG，即EG=FG=GD+DF．又因为DF=BE，所以可证出GE=BE+GD成立．
21．【答案】（1）证明：连结CE．
∵点E为Rt△ACB的斜边AB的中点，
∴CE= AB=AE．
∵△ACD是等边三角形，
∴AD=CD．
在△ADE与△CDE中， ，
∴△ADE≌△CDE（SSS），
∴∠ADE=∠CDE=30°．
∵∠DCB=150°，
∴∠EDC+∠DCB=180°．
∴DE∥CB．
（2）解：当AC= AB或AB=2AC时，四边形DCBE是平行四边形，
理由：∵AC= AB，∠ACB=90°，
∴∠B=30°，
∵∠DCB=150°，
∴∠DCB+∠B=180°，
∴DC∥BE，又∵DE∥BC，
∴四边形DCBE是平行四边形．
【知识点】全等三角形的判定与性质；等边三角形的性质；平行四边形的判定
【解析】【分析】（1）首先连接CE，根据直角三角形的性质可得CE= AB=AE，再根据等边三角形的性质可得AD=CD，然后证明△ADE≌△CDE，进而得到∠ADE=∠CDE=30°，再有∠DCB=150°可证明DE∥CB；（2）当AC= AB或AB=2AC时，四边形DCBE是平行四边形．根据（1）中所求得出DC∥BE，进而得到四边形DCBE是平行四边形．
22．【答案】（1）平行四边形
（2）解：四边形EFGH为菱形．理由如下：
连接AC与BD，如图2所示：
∵△AMD和△MCB为等边三角形，
∴AM=DM，∠AMD=∠CMB=60°，CM=BM，
∴∠AMC=∠DMB，
在△AMC和△DMB中，
，
∴△AMC≌△DMB（SAS），
∴AC=DB，
∵∵E，F，G，H分别是边AB，BC，CD，DA的中点，
∴EF是△ABC的中位线，GH是△ACD的中位线，HE是△ABD的中位线，
∴EF∥AC，EF= AC，GH∥AC，GH= AC，HE= DB，
∴EF∥GH，EF=GH，
∴四边形EFGH是平行四边形；
∵AC=DB，
∴EF=HE，
∴四边形EFGH为菱形．
【知识点】中点四边形
【解析】【解答】解：（1）中点四边形EFGH是平行四边形；
理由如下：连接AC，如图1所示：
∵E，F，G，H分别是边AB，BC，CD，DA的中点，
∴EF是△ABC的中位线，GH是△ACD的中位线，
∴EF∥AC，EF= AC，GH∥AC，GH= AC，
∴EF∥GH，EF=GH，
∴四边形EFGH是平行四边形；
故答案为：平行四边形；
【分析】（1）连接AC，由三角形中位线定理得出EF∥AC，EF= AC，GH∥AC，GH= AC，得出EF∥GH，EF=GH，即可得出结论；（2）连接AC、DB，由等边三角形的性质得出AM=DM，∠AMD=∠CMB=60°，CM=BM，证出∠AMC=∠DMB，由SAS证明△AMC≌△DMB，得出AC=DB，由三角形中位线定理得出EF∥AC，EF= AC，GH∥AC，GH= AC，HE= DB，得出EF∥GH，EF=GH，证出四边形EFGH是平行四边形；再得出EF=HE，即可得出结论．
23．【答案】（1）证明：如图1，
∵点Q为AB中点，∴AQ=BQ．
∵BF⊥CP，AE⊥CP，
∴BF∥AE，∠BFQ=∠AEQ．
在△BFQ和△AEQ中，
，
∴△BFQ≌△AEQ（AAS）．
∴QE=QF．
∴四边形AEBF是平行四边形
（2）证明：△QEF是等腰三角形，如图2，
延长FQ交AE于点D，
由（1）知AE∥BF，
∴∠QAD=∠FBQ．
在△FBQ和△DAQ中，
，
∴△FBQ≌△DAQ（ASA），
∴QF=QD．
∵AE⊥CP，
∴EQ是直角三角形DEF斜边上的中线，
∴QE=QF=QD，即QE=QF，
∴△QEF是等腰三角形
【知识点】全等三角形的判定与性质
【解析】【分析】（1）结合已知证明△BFQ≌△AEQ，进一步得到对角线互相平分即可；（2）延长FQ交AE于点D，证明△FBQ≌△DAQ，结合直角三角形斜边中线等于斜边的一半即可．
2015-2016学年山西省大同一中八年级下学期期中数学试卷
一、选择题
1．（2016八下·高安期中）下列二次根式中，属于最简二次根式的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】最简二次根式
【解析】【解答】解：A、被开方数含分母，故A错误；
B、被开方数含分母，故B错误；
C、被开方数含能开得尽方的因数，故C错误；
D、被开方数不含分母；被开方数不含能开得尽方的因数或因式，故D正确；
故选：D．
【分析】判定一个二次根式是不是最简二次根式的方法，就是逐个检查最简二次根式的两个条件是否同时满足，同时满足的就是最简二次根式，否则就不是．
2．（2015八下·大同期中）若代数式 有意义，则实数x的取值范围是（ ）
A．x≠1 B．x≥0 C．x＞0 D．x≥0且x≠1
【答案】B
【知识点】二次根式有意义的条件
【解析】【解答】解：由题意得，x≥0，
故选：B．
【分析】根据二次根式有意义的条件列出不等式，解不等式即可．
3．（2015八下·大同期中）满足下列条件的三角形中，不是直角三角形的是（ ）
A．三内角之比为1：2：3 B．三边长分别为5，12，14
C．三边长之比为3：4：5 D．三边长分别为1， ，
【答案】B
【知识点】勾股定理的逆定理
【解析】【解答】解：A、180°× =90°，是直角三角形，故此选项不合题意；
B、52+122≠142，不能作为直角三角形的三边长，故本选项符合题意；
C、32+42=52，能作为直角三角形的三边长，故本选项不符合题意；
D、12+（ ）2=（ ）2，能作为直角三角形的三边长，故本选项不符合题意；
故选：B．
【分析】根据勾股定理的逆定理对各选项进行逐一分析即可．
4．（2015八下·大同期中）如图，在平行四边形ABCD中，AB=3cm，BC=5cm，对角线AC，BD相交于点O，则OA的取值范围是（ ）
A．2cm＜OA＜5cm B．2cm＜OA＜8cm
C．1cm＜OA＜4cm D．3cm＜OA＜8cm
【答案】C
【知识点】三角形三边关系；平行四边形的性质
【解析】【解答】解：∵平行四边形ABCD中，AB=3cm，BC=5cm，
∴OA=OC= AC，2cm＜AC＜8cm，
∴1cm＜OA＜4cm．
故选：C．
【分析】由在平行四边形ABCD中，AB=3cm，BC=5cm，根据平行四边形对角线互相平分与三角形三边关系，即可求得OA=OC= AC，2cm＜AC＜8cm，继而求得OA的取值范围．
5．（2015八下·大同期中）在一组对边平行的四边形中，增加下列条件中的哪一个条件，这个四边形是矩形（ ）
A．另一组对边相等，对角线相等
B．另一组对边相等，对角线互相垂直
C．另一组对边平行，对角线相等
D．另一组对边平行，对角线互相垂直
【答案】C
【知识点】平行四边形的性质；矩形的判定
【解析】【解答】解：A、另一组对边相等，对角线相等，等腰梯形有此性质，故此选项不正确；
B、另一组对边相等，对角线互相垂直，菱形有此性质，故此选项不正确；
C、另一组对边平行，对角线相等，符合矩形的性质，故此选项正确；
D：另一组对边平行，对角线互相垂直，菱形有此性质，故此选项不正确．
故选：C．
【分析】根据矩形的判定及平行四边形的性质对每个选项论证得出正确选项．
6．（2015八下·大同期中）如图，以Rt△ABC的三边为斜边分别向外作等腰直角三角形．若斜边AB= ，则图中阴影部分的面积为（ ）
A．1 B． C． D．
【答案】A
【知识点】勾股定理
【解析】【解答】解：在Rt△ADC中，AC2=AD2+DC2，AD=DC，
∴AC2=2AD2，
∴DC=AD= AC，
同理；CF=BF= BC，BE=AE= AB，
在Rt△ABC中，AB2=AC2+BC2，AB= ，
S阴影=S△ADC+S△BFC+S△AEB= DC AD+ CF BF+ AE BE，
= （AC2+BC2+AB2）
= （AB2+AB2）
= ×2AB2
= AB2
= ×2
=1；
故选：A．
【分析】根据勾股定理和等腰直角三角形的面积公式，可以证明：以直角三角形的两条直角边为斜边的等腰直角三角形的面积和等于以斜边为斜边的等腰直角三角形的面积．则阴影部分的面积即为以斜边为斜边的等腰直角三角形的面积的2倍．
7．（2016八下·微山期中）如图，在矩形ABCD中，AB=8，BC=4，将矩形沿AC折叠，点D落在点D′处，则重叠部分△AFC的面积为（ ）
A．6 B．8 C．10 D．12
【答案】C
【知识点】翻折变换（折叠问题）
【解析】【解答】解：易证△AFD′≌△CFB，
∴D′F=BF，
设D′F=x，则AF=8﹣x，
在Rt△AFD′中，（8﹣x）2=x2+42，
解之得：x=3，
∴AF=AB﹣FB=8﹣3=5，
∴S△AFC= AF BC=10．
故选C．
【分析】因为BC为AF边上的高，要求△AFC的面积，求得AF即可，求证△AFD′≌△CFB，得BF=D′F，设D′F=x，则在Rt△AFD′中，根据勾股定理求x，于是得到AF=AB﹣BF，即可得到结果．
8．（2015八下·大同期中）直角三角形斜边的平方等于两直角边乘积的2倍，这个三角形有一个锐角是（ ）
A．15度 B．30度 C．60度 D．45度
【答案】D
【知识点】勾股定理；等腰直角三角形
【解析】【解答】解：设直角三角形的两直角边是a、b，斜边是c．
根据斜边的平方等于两条直角边乘积的2倍得到：2ab=c2，
根据勾股定理得到：a2+b2=c2，因而a2+b2=2ab，
即：a2+b2﹣2ab=0，（a﹣b）2=0，
所以a=b，则这个三角形是等腰直角三角形，
因而这个三角形的锐角是45°．
故选D．
【分析】根据斜边的平方等于两条直角边乘积的2倍，以及勾股定理可以列出两个关系式，直接解答即可．
9．（2015八下·大同期中）如图，在四边形ABCD中，点P是对角线BD的中点，点E、F分别是AB、CD的中点，AD=BC，∠PEF=30°，则∠PFE的度数是（ ）
A．15° B．20° C．25° D．30°
【答案】D
【知识点】三角形的中位线定理
【解析】【解答】解：∵在四边形ABCD中，P是对角线BD的中点，E，F分别是AB，CD的中点，
∴FP，PE分别是△CDB与△DAB的中位线，
∴PF=BC，PE=AD，
∵AD=BC，
∴PF=PE，
故△EPF是等腰三角形．
∵∠PEF=30°，
∴∠PEF=∠PFE=30
故选D．
【分析】根据中位线定理和已知，易证明△EPF是等腰三角形，由此可得出结论．
10．（2015八下·大同期中）如图，正方形ABCD的对角线AC与BD相交于点O，∠ACB的角平分线分别交AB，BD于M，N两点．若AM=2，则线段ON的长为（ ）
A． B． C．1 D．
【答案】C
【知识点】角平分线的性质；正方形的性质；相似三角形的判定与性质
【解析】【解答】解：作MH⊥AC于H，如图，
∵四边形ABCD为正方形，
∴∠MAH=45°，
∴△AMH为等腰直角三角形，
∴AH=MH= AM= ×2= ，
∵CM平分∠ACB，
∴BM=MH= ，
∴AB=2+ ，
∴AC= AB= （2+ ）=2 +2，
∴OC= AC= +1，CH=AC﹣AH=2 +2﹣ =2+ ，
∵BD⊥AC，
∴ON∥MH，
∴△CON∽△CHM，
∴ = ，即 = ，
∴ON=1．
故选C．
【分析】作MH⊥AC于H，如图，根据正方形的性质得∠MAH=45°，则△AMH为等腰直角三角形，所以AH=MH= AM= ，再根据角平分线性质得BM=MH= ，则AB=2+ ，于是利用正方形的性质得到AC= AB=2 +2
OC= AC= +1，所以CH=AC﹣AH=2+ ，然后证明△CON∽△CHM，再利用相似比可计算出ON的长．
二、填空题
11．（2015八下·大同期中）在实数范围内因式分解：x2﹣2= ．
【答案】（x﹣ ）（x+ ）
【知识点】实数范围内分解因式
【解析】【解答】解：x2﹣2=（x﹣ ）（x+ ）．
故答案是：（x﹣ ）（x+ ）．
【分析】利用平方差公式即可分解．
12．（2016八上·靖远期中）边长为2的正三角形的面积是
【答案】
【知识点】等边三角形的性质
【解析】【解答】解：过A作AD⊥BC，
∵AB=AB=BC=2，
∴BD=CD= BC=1，
在Rt△ABD中，根据勾股定理得：AD= = ，
则S△ABC= BC AD= ，
故答案为： ．
【分析】求出等边三角形一边上的高，即可确定出三角形面积．
13．（2015八下·大同期中）如图， ABCD的周长为16cm，AC、BD相交于点O，OE⊥AC交AD于E，则△DCE的周长为 cm．
【答案】8
【知识点】线段垂直平分线的性质；平行四边形的性质
【解析】【解答】解：∵平行四边形ABCD，
∴AD=BC，AB=CD，OA=OC，
∵EO⊥AC，
∴AE=EC，
∵AB+BC+CD+AD=16，
∴AD+DC=8，
∴△DCE的周长是：CD+DE+CE=AE+DE+CD=AD+CD=8，
故答案为：8．
【分析】根据平行四边形性质得出AD=BC，AB=CD，OA=OC，根据线段垂直平分线得出AE=CE，求出CD+DE+EC=AD+CD，代入求出即可．
14．（2015八下·临河期中）如图，正方形ABCD的边长为4，点P在DC边上且DP=1，点Q是AC上一动点，则DQ+PQ的最小值为 ．
【答案】5
【知识点】正方形的性质；轴对称的应用-最短距离问题
【解析】【解答】解：如图，连接BP，
∵点B和点D关于直线AC对称，
∴QB=QD，
则BP就是DQ+PQ的最小值，
∵正方形ABCD的边长是4，DP=1，
∴CP=3，
∴BP= =5，
∴DQ+PQ的最小值是5．
故答案为：5．
【分析】要求DQ+PQ的最小值，DQ，PQ不能直接求，可考虑通过作辅助线转化DQ，PQ的值，从而找出其最小值求解．
15．（2015八下·大同期中）如图，在平面直角坐标系中，点A，B的坐标分别为（﹣6，0）、（0，8）．以点A为圆心，以AB长为半径画弧，交x正半轴于点C，则点C的坐标为 ．
【答案】（4，0）
【知识点】坐标与图形性质；勾股定理
【解析】【解答】解：∵点A，B的坐标分别为（﹣6，0）、（0，8），
∴AO=6，BO=8，
∴AB= =10，
∵以点A为圆心，以AB长为半径画弧，
∴AB=AC=10，
∴OC=AC﹣AO=4，
∵交x正半轴于点C，
∴点C的坐标为（4，0），
故答案为：（4，0）．
【分析】首先利用勾股定理求出AB的长，进而得到AC的长，因为OC=AC﹣AO，所以OC求出，继而求出点C的坐标．
16．（2015八下·大同期中）已知在△ABC中，AB=13cm，AC=15cm，高AD=12cm．则△ABC的周长为 ．
【答案】42cm或32cm
【知识点】勾股定理
【解析】【解答】32cm或42cm解：分两种情况说明：（1）当△ABC为锐角三角形时，在Rt△ABD中，
BD= = =5，
在Rt△ACD中，
CD= = =9，
∴BC=5+9=14，
∴△ABC的周长为：15+13+14=42（cm）；（2）当△ABC为钝角三角形时，
BC=BD﹣CD=9﹣5=4．
∴△ABC的周长为：15+13+4=32（cm）；
故答案为：42cm或32cm．
【分析】分两种情况进行讨论：（1）当△ABC为锐角三角形时，在Rt△ABD和Rt△ACD中，运用勾股定理可将BD和CD的长求出，两者相加即为BC的长，从而可将△ABC的周长求出；（2）当△ABC为钝角三角形时，求出BC的长，从而可将△ABC的周长求出．
三、解答题
17．（2015八下·大同期中）计算：
（1）（ ﹣ ）﹣（ + ）
（2）（﹣3）0﹣ +|1﹣2 |．
【答案】（1）解：原式=2 ﹣ ﹣2 ﹣ = ﹣3
（2）解：原式=1﹣2 +2 ﹣1=0
【知识点】实数的运算；零指数幂
【解析】【分析】（1）原式去括号合并即可得到结果；（2）原式利用零指数幂法则，二次根式性质，以及绝对值的代数意义化简，计算即可得到结果．
18．（2015八下·大同期中）化简求值
已知x=2﹣ ，y=2+ ，求下列各式的值．
（1）x2﹣y2；
（2）x2+xy+y2．
【答案】（1）解：∵x=2﹣ ，y=2+ ，
∴x+y=4，x﹣y=﹣2 ，xy=4﹣3=1
x2﹣y2=（x+y）（x﹣y）=4×（﹣2 ）=﹣8
（2）解：x2+xy+y2=（x+y）2﹣xy=42﹣1=15
【知识点】二次根式的化简求值
【解析】【分析】（1）求出x+y=4，x﹣y=﹣2 ，xy=4﹣3=1，再根据平方差公式变形后代入求出即可；（2）根据完全平方公式变形，代入求出即可．
19．（2017八下·蚌埠期中）已知如图，四边形ABCD中，∠B=90°，AB=4，BC=3，CD=12，AD=13，求这个四边形的面积．
【答案】解：连接AC，如图所示：
∵∠B=90°，∴△ABC为直角三角形，
又AB=4，BC=3，
∴根据勾股定理得：AC= =5，
又AD=13，CD=12，
∴AD2=132=169，CD2+AC2=122+52=144+25=169，
∴CD2+AC2=AD2，
∴△ACD为直角三角形，∠ACD=90°，
则S四边形ABCD=S△ABC+S△ACD= AB BC+ AC CD= ×3×4+ ×12×5=36．
【知识点】勾股定理；勾股定理的逆定理
【解析】【分析】连接AC，在直角三角形ABC中，由AB及BC的长，利用勾股定理求出AC的长，再由AD及CD的长，利用勾股定理的逆定理得到三角形ACD为直角三角形，根据四边形ABCD的面积=直角三角形ABC的面积+直角三角形ACD的面积，即可求出四边形的面积．
20．（2015八下·大同期中）如图，在正方形ABCD中，E是AB上一点，F是AD延长线上一点，且DF=BE．
（1）求证：CE=CF；
（2）若点G在AD上，且∠GCE=45°，则GE=BE+GD成立吗？为什么？
【答案】（1）证明：在正方形ABCD中，
∵ ，
∴△CBE≌△CDF（SAS）．
∴CE=CF
（2）解：GE=BE+GD成立．
理由是：∵由（1）得：△CBE≌△CDF，
∴∠BCE=∠DCF，
∴∠BCE+∠ECD=∠DCF+∠ECD，即∠ECF=∠BCD=90°，
又∵∠GCE=45°，∴∠GCF=∠GCE=45°．
∵ ，
∴△ECG≌△FCG（SAS）．
∴GE=GF．
∴GE=DF+GD=BE+GD．
【知识点】全等三角形的判定与性质；正方形的性质
【解析】【分析】（1）由DF=BE，四边形ABCD为正方形可证△CEB≌△CFD，从而证出CE=CF．（2）由（1）得，CE=CF，∠BCE+∠ECD=∠DCF+∠ECD即∠ECF=∠BCD=90°又∠GCE=45°所以可得∠GCE=∠GCF，故可证得△ECG≌△FCG，即EG=FG=GD+DF．又因为DF=BE，所以可证出GE=BE+GD成立．
21．（2016八下·费县期中）如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，以AC为一边向外作等边三角形ACD，点E为AB的中点，连结DE．
（1）证明DE∥CB；
（2）探索AC与AB满足怎样的数量关系时，四边形DCBE是平行四边形．
【答案】（1）证明：连结CE．
∵点E为Rt△ACB的斜边AB的中点，
∴CE= AB=AE．
∵△ACD是等边三角形，
∴AD=CD．
在△ADE与△CDE中， ，
∴△ADE≌△CDE（SSS），
∴∠ADE=∠CDE=30°．
∵∠DCB=150°，
∴∠EDC+∠DCB=180°．
∴DE∥CB．
（2）解：当AC= AB或AB=2AC时，四边形DCBE是平行四边形，
理由：∵AC= AB，∠ACB=90°，
∴∠B=30°，
∵∠DCB=150°，
∴∠DCB+∠B=180°，
∴DC∥BE，又∵DE∥BC，
∴四边形DCBE是平行四边形．
【知识点】全等三角形的判定与性质；等边三角形的性质；平行四边形的判定
【解析】【分析】（1）首先连接CE，根据直角三角形的性质可得CE= AB=AE，再根据等边三角形的性质可得AD=CD，然后证明△ADE≌△CDE，进而得到∠ADE=∠CDE=30°，再有∠DCB=150°可证明DE∥CB；（2）当AC= AB或AB=2AC时，四边形DCBE是平行四边形．根据（1）中所求得出DC∥BE，进而得到四边形DCBE是平行四边形．
22．（2015八下·大同期中）阅读理解，我们把依次连接任意一个四边形各边中点得到的四边形叫中点四边形，如图1，在四边形ABCD中，E，F，G，H分别是边AB，BC，CD，DA的中点，依次连接各边中点得到中点四边形EFGH．
（1）这个中点四边形EFGH的形状是 ；
（2）如图2，在四边形ABCD中，点M在AB上且△AMD和△MCB为等边三角形，E、F、G、H分别为AB、BC、CD、AD的中点，试判断四边形EFGH的形状并证明．
【答案】（1）平行四边形
（2）解：四边形EFGH为菱形．理由如下：
连接AC与BD，如图2所示：
∵△AMD和△MCB为等边三角形，
∴AM=DM，∠AMD=∠CMB=60°，CM=BM，
∴∠AMC=∠DMB，
在△AMC和△DMB中，
，
∴△AMC≌△DMB（SAS），
∴AC=DB，
∵∵E，F，G，H分别是边AB，BC，CD，DA的中点，
∴EF是△ABC的中位线，GH是△ACD的中位线，HE是△ABD的中位线，
∴EF∥AC，EF= AC，GH∥AC，GH= AC，HE= DB，
∴EF∥GH，EF=GH，
∴四边形EFGH是平行四边形；
∵AC=DB，
∴EF=HE，
∴四边形EFGH为菱形．
【知识点】中点四边形
【解析】【解答】解：（1）中点四边形EFGH是平行四边形；
理由如下：连接AC，如图1所示：
∵E，F，G，H分别是边AB，BC，CD，DA的中点，
∴EF是△ABC的中位线，GH是△ACD的中位线，
∴EF∥AC，EF= AC，GH∥AC，GH= AC，
∴EF∥GH，EF=GH，
∴四边形EFGH是平行四边形；
故答案为：平行四边形；
【分析】（1）连接AC，由三角形中位线定理得出EF∥AC，EF= AC，GH∥AC，GH= AC，得出EF∥GH，EF=GH，即可得出结论；（2）连接AC、DB，由等边三角形的性质得出AM=DM，∠AMD=∠CMB=60°，CM=BM，证出∠AMC=∠DMB，由SAS证明△AMC≌△DMB，得出AC=DB，由三角形中位线定理得出EF∥AC，EF= AC，GH∥AC，GH= AC，HE= DB，得出EF∥GH，EF=GH，证出四边形EFGH是平行四边形；再得出EF=HE，即可得出结论．
23．（2015八下·大同期中）已知点P是Rt△ABC斜边AB上一动点（不与A，B重合），分别过A，B向直线CP作垂线，垂足分别为E，F．
（1）如图1，当点P为AB的中点时，连接AF，BE．求证：四边形AEBF是平行四边形；
（2）如图2，当点P不是AB的中点，取AB的中点Q，连接EQ，FQ．试判断△QEF的形状，并加以证明．
【答案】（1）证明：如图1，
∵点Q为AB中点，∴AQ=BQ．
∵BF⊥CP，AE⊥CP，
∴BF∥AE，∠BFQ=∠AEQ．
在△BFQ和△AEQ中，
，
∴△BFQ≌△AEQ（AAS）．
∴QE=QF．
∴四边形AEBF是平行四边形
（2）证明：△QEF是等腰三角形，如图2，
延长FQ交AE于点D，
由（1）知AE∥BF，
∴∠QAD=∠FBQ．
在△FBQ和△DAQ中，
，
∴△FBQ≌△DAQ（ASA），
∴QF=QD．
∵AE⊥CP，
∴EQ是直角三角形DEF斜边上的中线，
∴QE=QF=QD，即QE=QF，
∴△QEF是等腰三角形
【知识点】全等三角形的判定与性质
【解析】【分析】（1）结合已知证明△BFQ≌△AEQ，进一步得到对角线互相平分即可；（2）延长FQ交AE于点D，证明△FBQ≌△DAQ，结合直角三角形斜边中线等于斜边的一半即可．