卷子答案网-一个不只有答案的网站2015-2016学年河南省南阳一中高二下学期开学数学试卷（理科）
一、选择题
1．（2016高三上·安徽期中）公差不为零的等差数列{an}的前n项和为Sn．若a4是a3与a7的等比中项，S8=32，则S10等于（ ）
A．18 B．24 C．60 D．90
2．（2016高二下·南阳开学考）在△ABC中，已知B=60°，C=45°，BC=8，AD⊥BC于D，则AD长为（ ）
A．4（ ﹣1） B．4（ +1） C．4（ +3） D．4（3﹣ ）
3．（2016高二下·南阳开学考）若椭圆过抛物线y2=8x的焦点，且与双曲线x2﹣y2=1有相同的焦点，则该椭圆的方程为（ ）
A． B． C． D．
4．（2016高二下·南阳开学考）下列命题正确的个数是（ ）
A．“在三角形ABC中，若sinA＞sinB，则A＞B”的逆命题是真命题；
B．命题p：x≠2或y≠3，命题q：x+y≠5则p是q的必要不充分条件；
C．“ x∈R，x3﹣x2+1≤0”的否定是“ x∈R，x3﹣x2+1＞0”；
D．“若a＞b，则2a＞2b﹣1”的否命题为“若a≤b，则2a≤2b﹣1”．
A．1 B．2 C．3 D．4
5．（2016高二下·南阳开学考）已知 ，则以 为邻边的平行四边形的面积为（ ）
A． B． C．4 D．8
6．（2015高二下·九江期中）已知直线y=﹣x+m是曲线y=x2﹣3lnx的一条切线，则m的值为（ ）
A．0 B．2 C．1 D．3
7．（2016高二下·南阳开学考）等比数列{an}共有奇数项，所有奇数项和S奇=255，所有偶数项和S偶=﹣126，末项是192，则首项a1=（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
8．（2016高二下·南阳开学考）在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若 （acosB+bcosA）=2csinC，a+b=4，且△ABC的面积的最大值为 ，则此时△ABC的形状为（ ）
A．锐角三角形 B．直线三角形 C．等腰三角形 D．正三角形
9．（2016高二下·南阳开学考）若x，y满足 且z=y﹣x的最小值为﹣4，则k的值为（ ）
A．2 B．﹣2 C． D．﹣
10．（2016高二下·南阳开学考）若正数x，y满足x+3y=5xy，则3x+4y的最小值是（ ）
A． B． C．6 D．5
11．（2016高二下·南阳开学考）已知双曲线 ﹣ =1（a＞0，b＞0）的一条渐近线与圆（x﹣3）2+y2=9相交于A，B两点，若|AB|=2，则该双曲线曲离心率为（ ）
A．8 B． C．3 D．
12．（2016高二下·广州期中）在数列{an}中，an=1﹣ + ﹣ +…+ ﹣ ，则ak+1=（ ）
A．ak+ B．ak+ ﹣
C．ak+ D．ak+ ﹣
二、填空题
13．（2016高二下·南阳开学考）观察下面的算式：
，
，
，
则12+22+…+n2= （其中n∈N*）．
14．（2016高二下·南阳开学考）已知抛物线C：y2=8x与点M（﹣2，2），过C的焦点，且斜率为k的直线与C交于A，B两点，若 =0，则k= ．
15．（2016高二下·泗水期中）已知f（x）=x2+2xf′（1），则f′（0）= ．
16．（2016高二上·黄石期中）长方体ABCD﹣A1B1C1D1中，底面ABCD是边长为2的正方形，高为4，则顶点A1到截面AB1D1的距离为 ．
三、解答题
17．（2016高二下·南阳开学考）设命题p：实数x满足x2﹣4ax+3a2＜0，其中a＞0；命题q：实数x满足x2﹣5x+6≤0
（1）若a=1，且q∧p为真，求实数x的取值范围；
（2）若p是q必要不充分条件，求实数a的取值范围．
18．（2016高二上·开鲁期中）在△ABC中，角A，B，C对应的边分别是a，b，c，已知cos2A﹣3cos（B+C）=1．
（Ⅰ）求角A的大小；
（Ⅱ）若△ABC的面积S=5 ，b=5，求sinBsinC的值．
19．（2016高二下·南阳开学考）已知等差数列{an}的公差为2，前n项和为Sn，且S1、S2、S4成等比数列．
（1）求数列{an}的通项公式；
（2）令bn=（﹣1）n﹣1 ，求数列{bn}的前n项和Tn．
20．（2016高二下·南阳开学考）在雅安发生地震灾害之后，救灾指挥部决定建造一批简易房，供灾区群众临时居住，房形为长方体，高2.5米，前后墙用2.5米高的彩色钢板，两侧用2.5米高的复合钢板，两种钢板的价格都用长度来计算（即钢板的高均为2.5米，用长度乘以单价就是这块钢板的价格），每米单价：彩色钢板为450元，复合钢板为200元，房顶用其他材料建造，每平方米材料费为200元，每套房材料费控制在32000元以内．
（1）设房前面墙的长为x，两侧墙的长为y，一套简易房所用材料费为p，试用x，y表示p；
（2）一套简易房面积S的最大值是多少？当S最大时，前面墙的长度是多少？
21．（2016高二下·南阳开学考）如图，在四棱锥P﹣ABCD中，PA⊥平面ABCD，AD∥BC，PB⊥AC，AD⊥CD，且AD=CD=2 ，PA=2，点M在线段PD上．
（Ⅰ）求证：AB⊥平面PAC；
（Ⅱ）若二面角M﹣AC﹣D的大小为45°，试确定点M的位置．
22．（2016高二下·南阳开学考）已知椭圆 的右焦点到直线 的距离为 ，离心率 ，A，B是椭圆上的两动点，动点P满足 ，（其中λ为常数）．
（1）求椭圆标准方程；
（2）当λ=1且直线AB与OP斜率均存在时，求|kAB|+|kOP|的最小值；
（3）若G是线段AB的中点，且kOA kOB=kOG kAB，问是否存在常数λ和平面内两定点M，N，使得动点P满足PM+PN=18，若存在，求出λ的值和定点M，N；若不存在，请说明理由．
答案解析部分
1．【答案】C
【知识点】等差数列的通项公式；等差数列的前n项和
【解析】【解答】解：∵a4是a3与a7的等比中项，
∴a42=a3a7，
即（a1+3d）2=（a1+2d）（a1+6d），
整理得2a1+3d=0，①
又∵，
整理得2a1+7d=8，②
由①②联立，解得d=2，a1=﹣3，
∴，
故答案为：C．
【分析】由等比中项的定义可得a42=a3a7，根据等差数列的通项公式及前n项和公式，列方程解出a1和d，进而求出s10．
2．【答案】D
【知识点】解三角形的实际应用
【解析】【解答】解：由题意，∵B=60°，C=45°，
∴A=75°，
∴在△ABC中， ，
∴AB=8 ﹣8，
∴AD=ABsin60°=4（3﹣ ）．
故选：D．
【分析】由已知A=75°，再由正弦定理易求AB的长，在Rt△ABD中，AD=ABsin60°可得AD长．
3．【答案】A
【知识点】圆与圆锥曲线的综合
【解析】【解答】解：抛物线y2=8x的焦点为（2，0），双曲线 x2﹣y2=1的焦点坐标为（，0），（﹣，0），
所以椭圆过（2，0），且椭圆的焦距2c=2 ，即c=，则a2﹣b2=c2=2，即a2=b2+2，
所以设椭圆的方程为：=1，把（2，0）代入得：=1即b2=2，
则该椭圆的方程是：．
故选A
【分析】求出抛物线的焦点坐标，求出双曲线的两焦点坐标，即为椭圆的焦点坐标，即可得到c的值，然后根据椭圆的基本性质得到a与b的关系，设出关于b的椭圆方程，把抛物线的焦点坐标代入即可求出b的值，得到椭圆方程．
4．【答案】C
【知识点】命题的真假判断与应用
【解析】【解答】解：对于A项“在△ABC中，若sinA＞sinB，则A＞B”的逆命题为“在△ABC中，若A＞B，则sinA＞sinB”，
若A＞B，则a＞b，根据正弦定理可知sinA＞sinB，∴逆命题是真命题，∴A正确；
对于B项，由x≠2，或y≠3，得不到x+y≠5，比如x=1，y=4，x+y=5，∴p不是q的充分条件；
若x+y≠5，则一定有x≠2且y≠3，即能得到x≠2，或y≠3，∴p是q的必要条件；
∴p是q的必要不充分条件，所以B正确；
对于C项，“ x∈R，x3﹣x2+1≤0”的否定是“ x∈R，x3﹣x2+1＞0”；所以C不对．
对于D项，“若a＞b，则2a＞2b﹣1”的否命题为“若a≤b，则2a≤2b﹣1”．所以D正确．
故选：C．
【分析】A项根据正弦定理以及四种命题之间的关系即可判断；
B项根据必要不充分条件的概念即可判断该命题是否正确；
C项根据全称命题和存在性命题的否定的判断；
D项写出一个命题的否命题的关键是正确找出原命题的条件和结论．
5．【答案】A
【知识点】数量积表示两个向量的夹角；正弦定理
【解析】【解答】解：设向量 和 的夹角是θ，则由向量的数量积和题意得，
cosθ= = = ，
∴sinθ= = ，
∴以 和 为邻边的平行四边形的面积S=2× ×| |×| |× = ．
故选A．
【分析】由题意和数量积坐标运算求出两个向量的夹角余弦值，利用平方关系求出sinθ，由三角形面积公式求出平行四边形的面积．
6．【答案】B
【知识点】利用导数研究曲线上某点切线方程
【解析】【解答】解：曲线y=x2﹣3lnx（x＞0）的导数为：y′=2x﹣ ，
由题意直线y=﹣x+m是曲线y=x2﹣3lnx的一条切线，可知2x﹣ =﹣1，
所以x=1，所以切点坐标为（1，1），
切点在直线上，所以m=1+1=2．
故选：B．
【分析】求出曲线的导数，利用导数为﹣1，求出切点坐标，然后求出m的值．
7．【答案】C
【知识点】等比数列的性质
【解析】【解答】解：设等比数列有2n+1项，则奇数项有n+1项，偶数项有n项，设公比为q，
得到奇数项为奇数项为a1（1+q2+q4+…+q2n）=255，偶数项为a1（q+q3+q5+…+q2n﹣1）=﹣126，
所以qa1（1+q2+q4+…+q2n）=255q，即a1（q+q3+q5+…+q2n﹣1）+qa2n+1=255q，
可得：﹣126+192q=255q，解得q=﹣2．
所以所有奇数项和S奇=255，末项是192， = =255，即：
解得n=3．是共有7项，a7=a1（﹣ ）6，解得a1=3．
故选：C．
【分析】根据等比数列的性质得到奇数项为a1（1+q2+q4+…+q2n）= a1（q+q3+q5+…+q2n﹣1）+a2n+1，求出公比，代入数据求出项数，然后求解首项．
8．【答案】C
【知识点】三角函数中的恒等变换应用；正弦定理
【解析】【解答】解：∵ （acosB+bcosA）=2csinC，
∴ （sinAcosB+sinBcosA）=2sin2C，
∴ sinC=2sin2C，且sinC＞0，
∴sinC= ，
∵a+b=4，可得：4≥2 ，解得：ab≤4，（当且仅当a=b=2成立）
∵△ABC的面积的最大值S△ABC= absinC≤ ×4× = ，
∴a=b=2，
∴则此时△ABC的形状为等腰三角形．
故选：C．
【分析】由 （acosB+bcosA）=2csinC及正弦定理可得 （sinAcosB+sinBcosA）=2sin2C，结合sinC＞0，化简可得sinC= ，由a+b=4，利用基本不等式可得ab≤4，（当且仅当a=b=2成立），由△ABC的面积的最大值S△ABC= absinC≤ ×4× = ，即可解得a=b=2，从而得解△ABC的形状为等腰三角形．
9．【答案】D
【知识点】简单线性规划
【解析】【解答】解：对不等式组中的kx﹣y+2≥0讨论，可知直线kx﹣y+2=0与x轴的交点在x+y﹣2=0与x轴的交点的右边，
故由约束条件 作出可行域如图，
由kx﹣y+2=0，得x= ，
∴B（﹣ ）．
由z=y﹣x得y=x+z．
由图可知，当直线y=x+z过B（﹣ ）时直线在y轴上的截距最小，即z最小．
此时 ，解得：k=﹣ ．
故选：D．
【分析】对不等式组中的kx﹣y+2≥0讨论，当k≥0时，可行域内没有使目标函数z=y﹣x取得最小值的最优解，k＜0时，若直线kx﹣y+2=0与x轴的交点在x+y﹣2=0与x轴的交点的左边，z=y﹣x的最小值为﹣2，不合题意，由此结合约束条件作出可行域，化目标函数为直线方程的斜截式，由图得到最优解，联立方程组求出最优解的坐标，代入目标函数得答案．
10．【答案】D
【知识点】基本不等式
【解析】【解答】解：∵正数x，y满足x+3y=5xy，
∴ =1，即 =1，
∴3x+4y=（3x+4y）（ ）
= + + ≥ +2 =5
当且仅当 = 即x=1且y= 时取等号，
∴3x+4y的最小值为：5
故选：D
【分析】已知式子可化为 =1，进而可得3x+4y=（3x+4y）（ ） + + ，由基本不等式可得．
11．【答案】C
【知识点】双曲线的简单性质
【解析】【解答】解：依题意可知双曲线的一渐近线方程为bx﹣ay=0，
∵|AB|=2，圆的半径为3
∴圆心到渐近线的距离为2 ，
即 =2 ，解得b= a
∴c=3a，
∴双曲线的离心率为e= =3．
故选：C．
【分析】先根据双曲线方程求得其中一条渐近线方程，根据题意可知圆心到渐近线的距离为2 ，进而表示出圆心到渐近线的距离，求得a，b的关系，即可求出双曲线的离心率．
12．【答案】D
【知识点】数列的概念及简单表示法
【解析】【解答】解：∵an=1﹣ + ﹣ +…+ ﹣ ，
∴a1=1﹣ ，
a2=1﹣ + ﹣ ，
…，
an=1﹣ + ﹣ +…+ ﹣ ，
ak=1﹣ + ﹣ +…+ ﹣ ，
所以，ak+1=ak+ ﹣ ．
故选：D．
【分析】由已知中an=1﹣ + ﹣ +…+ ﹣ ，我们依次给出a1，a2，…，an，ak的表达式，分析变化规律，即可得到ak+1的表达式．
13．【答案】 n（n+1）（2n+1）
【知识点】归纳推理
【解析】【解答】解：由于所给的等式的左边，是非0自然数的平方和，右边是 倍的连续的两个自然数n，（n+1）与一个2n+1的积，
所以，猜想：12+22+32+…+n2= n（n+1）（2n+1），
故答案为： n（n+1）（2n+1）
【分析】根据所给的规律，即可写出正确的答案．
14．【答案】2
【知识点】抛物线的简单性质
【解析】【解答】解：由抛物线C：y2=8x得焦点（2，0），
由题意可知：斜率k存在，设直线AB为y=k（x﹣2），
代入抛物线方程，得到k2x2﹣（4k2+8）x+4k2=0，△＞0，
设A（x1，y1），B（x2，y2）．
∴x1+x2=4+ ，x1x2=4．
∴y1+y2= ，y1y2=﹣16
又 =0，
∴ =（x1+2，y1﹣2） （x2+2，y2﹣2）=
∴k=2．
故答案为：2．
【分析】斜率k存在，设直线AB为y=k（x﹣2），代入抛物线方程，利用 =（x1+2，y1﹣2） （x2+2，y2﹣2）=0，即可求出k的值．
15．【答案】-4
【知识点】导数的四则运算
【解析】【解答】解：由f（x）=x2+2xf′（1），
得：f′（x）=2x+2f′（1），
取x=1得：f′（1）=2×1+2f′（1），
所以，f′（1）=﹣2．
故f′（0）=2f′（1）=﹣4，
故答案为：﹣4．
【分析】把给出的函数求导得其导函数，在导函数解析式中取x=1可求f′（1）的值，再代入即可求出f′（0）的值．
16．【答案】
【知识点】点、线、面间的距离计算
【解析】【解答】解：如图，设A1C1∩B1D1=O1，∵B1D1⊥A1O1，B1D1⊥AA1，
∴B1D1⊥平面AA1O1，
∴平面AA1O1⊥面AB1D1，交线为AO1，
在面AA1O1内过A1作A1H⊥AO1于H，连接A1H，则A1H的长即是点A1到截面AB1D1的距离，
在Rt△A1O1A中，A1O1= ，AO1=3 ，
由A1O1 A1A=h AO1，可得A1H=
故答案为：
【分析】分析：设A1C1∩B1D1=O1，根据线面垂直的判定定理可知B1D1⊥平面AA1O1，再根据面面垂直的判定定理可知故平面AA1O1⊥面AB1D1，交线为AO1，在面AA1O1内过A1作A1H⊥AO1于H，则A1H的长即是点A1到截面AB1D1的距离，在Rt△A1O1A中，利用等面积法求出A1H即可．
17．【答案】（1）解：p：实数x满足x2﹣4ax+3a2＜0，其中a＞0
（x﹣3a）（x﹣a）＜0，∵a＞0为，所以a＜x＜3a；
当a=1时，p：1＜x＜3；
命题q：实数x满足x2﹣5x+6≤0 2≤x≤3；若p∧q为真，则p真且q真，∴2≤x＜3；
故x的取值范围是[2，3）
（2）解：p是q的必要不充分条件，即由p得不到q，而由q能得到p；
∴（a，3a） [2，3] ，1≤a≤2
∴实数a的取值范围是[1，2]
【知识点】必要条件、充分条件与充要条件的判断
【解析】【分析】（1）利用一元二次不等式的解法可化简命题p，若p∧q为真，则p真且q真，即可得出；（2）若p是q的必要不充分条件
18．【答案】解：（Ⅰ）由cos2A﹣3cos（B+C）=1，得2cos2A+3cosA﹣2=0，
即（2cosA﹣1）（cosA+2）=0，解得 （舍去）．
因为0＜A＜π，所以 ．
（Ⅱ）由S= = =5 ，得到bc=20．又b=5，解得c=4．
由余弦定理得a2=b2+c2﹣2bccosA=25+16﹣20=21，故 ．
又由正弦定理得
【知识点】正弦定理；余弦定理
【解析】【分析】（I）利用倍角公式和诱导公式即可得出；（II）由三角形的面积公式 即可得到bc=20．又b=5，解得c=4．由余弦定理得a2=b2+c2﹣2bccosA=25+16﹣20=21，即可得出a．又由正弦定理得即可得到 即可得出．
19．【答案】（1）解：∵等差数列{an}的公差为2，前n项和为Sn，且S1、S2、S4成等比数列．
∴Sn=na1+n（n﹣1）
（2a1+2）2=a1（4a1+12），a1=1，
∴an=2n﹣1
（2）解：∵由（Ⅰ）可得bn=（﹣1）n﹣1 =（﹣1）n﹣1 =（﹣1）n﹣1（ + ）．
∴Tn=（1+ ）﹣（ + ）+（ + ）+…+（﹣1）n﹣1（ + ）．
当n为偶数时，Tn=1+ ）﹣（ + ）+（ + ）+…+（ + ）﹣（ + ）=1﹣ = ．
当n为奇数时，Tn=1+ ）﹣（ + ）+（ + ）+…﹣（ + ）+（ + ）=1+ = ．
∴Tn= ．
【知识点】数列的求和；等差数列与等比数列的综合
【解析】【分析】（1）根据等差数列的性质得出（2a1+2）2=a1（4a1+12），a1=1，运用通项公式求解即可．（2）由（Ⅰ）可得bn=（﹣1）n﹣1（ + ）．对n分类讨论“裂项求和”即可得出
20．【答案】（1）解：依题得，p=2x×450+2y×200+xy×200=900x+400y+200xy
即p=900x+400y+200xy
（2）解：∵S=xy，∴
又因为 ，
解得 ，∴0＜S≤100，当且仅当 时S取得
最大值．
答：每套简易房面积S的最大值是100平方米，当S最大时前面墙的长度是 米
【知识点】函数模型的选择与应用
【解析】【分析】（1）根据题意可分别求得前面墙，两侧墙和房顶的费用，三者相加即可求得P．（2）利用P的表达式和基本不等式求得关于 的不等式关系，求得 的范围，以及等号成立条件求得x的值．
21．【答案】（Ⅰ）证明：因为PA⊥平面ABCD，AC，AB 平面ABCD，
所以 PA⊥AC，PA⊥AB，
又因为PB⊥AC，PA⊥AC，PA，PB 平面PAB，PA∩PB=P，
所以AC⊥平面PAB，
又因为AC⊥平面PAB，AB 平面PAB，
所以AC⊥AB，
因为AC⊥AB，PA⊥AB，PA，AC 平面PAC，PA∩AC=A，
所以AB⊥平面PAC．
（Ⅱ）因为PA⊥平面ABCD，又由（Ⅰ）知BA⊥AC，
建立如图所示的空间直角坐标系A﹣xyz．
则A（0，0，0），C（0，4，0），D（﹣2，2，0），P（0，0，2）， ， ，
设M（x，y，z）， ，则（x，y，z﹣2）=t（﹣2，2，﹣2），
故点M坐标为（﹣2t，2t，2﹣2t）， ，
设平面MAC的法向量为 =（x，y，z），则 ，
所以 ，
令z=1，则 =（ ）．
又平面ACD的法向量 =（0，0，1），
所以cos45°= = ，解得t= ，
故点M为线段PD的中点．
【知识点】直线与平面垂直的判定；与二面角有关的立体几何综合题
【解析】【分析】（Ⅰ）由已知条件推导出PA⊥AC，PA⊥AB，从而得到AC⊥平面PAB，由此能证明AB⊥平面PAC．（Ⅱ）建立空间直角坐标系A﹣xyz，利用向量法能证明点M为线段PD的中点．
22．【答案】（1）解：由题设可知： ，解得 ，b=2．
∴椭圆标准方程为
（2）解：设A（x1，y1），B（x2，y2）则由 ，得P（x1+x2，y1+y2）．
∴ ．
由|kAB|∈（0，+∞）得， ，
当且仅当 时取等号
（3）解：∵ = ．
∴ ．∴4x1x2+9y1y2=0．
设P（x，y），则由 ，
得（x，y）=（x1，y1）+λ（x2，y2）=（x1+λx2，y1+λy2），
即x=x1+λx2，y=y1+λy2．
∵点A、B在椭圆4x2+9y2=36上，
∴4x2+9y2=36+36λ2+2λ（4x1x2+9y1y2）．
∴4x2+9y2=36+36λ2．
即 ，
∴P点是椭圆 上的点，
设该椭圆的左、右焦点为M、N，
则由椭圆的定义PM+PN=18，得18= ，
∴ ， ， ．
∴存在常数λ= ，和平面内两定点M（ ，0），N（ ，0），使得动点P满足PM+PN=18
【知识点】椭圆的简单性质
【解析】【分析】（1）由已知列关于a，b，c的方程组，求解方程组可得椭圆标准方程；（2）设出A，B的坐标，把λ=1代入 ，求得P的坐标，求出AB、OP的斜率并作积，结合绝对值的不等式求解|kAB|+|kOP|的最小值；（3）设P（x，y），则由 ，得x=x1+λx2，y=y1+λy2．再由点A、B在椭圆4x2+9y2=36上，得到 ，说明P点是椭圆 上的点，设该椭圆的左、右焦点为M、N，则由椭圆的定义PM+PN=18，得18= ，由此求得λ值．
2015-2016学年河南省南阳一中高二下学期开学数学试卷（理科）
一、选择题
1．（2016高三上·安徽期中）公差不为零的等差数列{an}的前n项和为Sn．若a4是a3与a7的等比中项，S8=32，则S10等于（ ）
A．18 B．24 C．60 D．90
【答案】C
【知识点】等差数列的通项公式；等差数列的前n项和
【解析】【解答】解：∵a4是a3与a7的等比中项，
∴a42=a3a7，
即（a1+3d）2=（a1+2d）（a1+6d），
整理得2a1+3d=0，①
又∵，
整理得2a1+7d=8，②
由①②联立，解得d=2，a1=﹣3，
∴，
故答案为：C．
【分析】由等比中项的定义可得a42=a3a7，根据等差数列的通项公式及前n项和公式，列方程解出a1和d，进而求出s10．
2．（2016高二下·南阳开学考）在△ABC中，已知B=60°，C=45°，BC=8，AD⊥BC于D，则AD长为（ ）
A．4（ ﹣1） B．4（ +1） C．4（ +3） D．4（3﹣ ）
【答案】D
【知识点】解三角形的实际应用
【解析】【解答】解：由题意，∵B=60°，C=45°，
∴A=75°，
∴在△ABC中， ，
∴AB=8 ﹣8，
∴AD=ABsin60°=4（3﹣ ）．
故选：D．
【分析】由已知A=75°，再由正弦定理易求AB的长，在Rt△ABD中，AD=ABsin60°可得AD长．
3．（2016高二下·南阳开学考）若椭圆过抛物线y2=8x的焦点，且与双曲线x2﹣y2=1有相同的焦点，则该椭圆的方程为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】圆与圆锥曲线的综合
【解析】【解答】解：抛物线y2=8x的焦点为（2，0），双曲线 x2﹣y2=1的焦点坐标为（，0），（﹣，0），
所以椭圆过（2，0），且椭圆的焦距2c=2 ，即c=，则a2﹣b2=c2=2，即a2=b2+2，
所以设椭圆的方程为：=1，把（2，0）代入得：=1即b2=2，
则该椭圆的方程是：．
故选A
【分析】求出抛物线的焦点坐标，求出双曲线的两焦点坐标，即为椭圆的焦点坐标，即可得到c的值，然后根据椭圆的基本性质得到a与b的关系，设出关于b的椭圆方程，把抛物线的焦点坐标代入即可求出b的值，得到椭圆方程．
4．（2016高二下·南阳开学考）下列命题正确的个数是（ ）
A．“在三角形ABC中，若sinA＞sinB，则A＞B”的逆命题是真命题；
B．命题p：x≠2或y≠3，命题q：x+y≠5则p是q的必要不充分条件；
C．“ x∈R，x3﹣x2+1≤0”的否定是“ x∈R，x3﹣x2+1＞0”；
D．“若a＞b，则2a＞2b﹣1”的否命题为“若a≤b，则2a≤2b﹣1”．
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】C
【知识点】命题的真假判断与应用
【解析】【解答】解：对于A项“在△ABC中，若sinA＞sinB，则A＞B”的逆命题为“在△ABC中，若A＞B，则sinA＞sinB”，
若A＞B，则a＞b，根据正弦定理可知sinA＞sinB，∴逆命题是真命题，∴A正确；
对于B项，由x≠2，或y≠3，得不到x+y≠5，比如x=1，y=4，x+y=5，∴p不是q的充分条件；
若x+y≠5，则一定有x≠2且y≠3，即能得到x≠2，或y≠3，∴p是q的必要条件；
∴p是q的必要不充分条件，所以B正确；
对于C项，“ x∈R，x3﹣x2+1≤0”的否定是“ x∈R，x3﹣x2+1＞0”；所以C不对．
对于D项，“若a＞b，则2a＞2b﹣1”的否命题为“若a≤b，则2a≤2b﹣1”．所以D正确．
故选：C．
【分析】A项根据正弦定理以及四种命题之间的关系即可判断；
B项根据必要不充分条件的概念即可判断该命题是否正确；
C项根据全称命题和存在性命题的否定的判断；
D项写出一个命题的否命题的关键是正确找出原命题的条件和结论．
5．（2016高二下·南阳开学考）已知 ，则以 为邻边的平行四边形的面积为（ ）
A． B． C．4 D．8
【答案】A
【知识点】数量积表示两个向量的夹角；正弦定理
【解析】【解答】解：设向量 和 的夹角是θ，则由向量的数量积和题意得，
cosθ= = = ，
∴sinθ= = ，
∴以 和 为邻边的平行四边形的面积S=2× ×| |×| |× = ．
故选A．
【分析】由题意和数量积坐标运算求出两个向量的夹角余弦值，利用平方关系求出sinθ，由三角形面积公式求出平行四边形的面积．
6．（2015高二下·九江期中）已知直线y=﹣x+m是曲线y=x2﹣3lnx的一条切线，则m的值为（ ）
A．0 B．2 C．1 D．3
【答案】B
【知识点】利用导数研究曲线上某点切线方程
【解析】【解答】解：曲线y=x2﹣3lnx（x＞0）的导数为：y′=2x﹣ ，
由题意直线y=﹣x+m是曲线y=x2﹣3lnx的一条切线，可知2x﹣ =﹣1，
所以x=1，所以切点坐标为（1，1），
切点在直线上，所以m=1+1=2．
故选：B．
【分析】求出曲线的导数，利用导数为﹣1，求出切点坐标，然后求出m的值．
7．（2016高二下·南阳开学考）等比数列{an}共有奇数项，所有奇数项和S奇=255，所有偶数项和S偶=﹣126，末项是192，则首项a1=（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】C
【知识点】等比数列的性质
【解析】【解答】解：设等比数列有2n+1项，则奇数项有n+1项，偶数项有n项，设公比为q，
得到奇数项为奇数项为a1（1+q2+q4+…+q2n）=255，偶数项为a1（q+q3+q5+…+q2n﹣1）=﹣126，
所以qa1（1+q2+q4+…+q2n）=255q，即a1（q+q3+q5+…+q2n﹣1）+qa2n+1=255q，
可得：﹣126+192q=255q，解得q=﹣2．
所以所有奇数项和S奇=255，末项是192， = =255，即：
解得n=3．是共有7项，a7=a1（﹣ ）6，解得a1=3．
故选：C．
【分析】根据等比数列的性质得到奇数项为a1（1+q2+q4+…+q2n）= a1（q+q3+q5+…+q2n﹣1）+a2n+1，求出公比，代入数据求出项数，然后求解首项．
8．（2016高二下·南阳开学考）在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若 （acosB+bcosA）=2csinC，a+b=4，且△ABC的面积的最大值为 ，则此时△ABC的形状为（ ）
A．锐角三角形 B．直线三角形 C．等腰三角形 D．正三角形
【答案】C
【知识点】三角函数中的恒等变换应用；正弦定理
【解析】【解答】解：∵ （acosB+bcosA）=2csinC，
∴ （sinAcosB+sinBcosA）=2sin2C，
∴ sinC=2sin2C，且sinC＞0，
∴sinC= ，
∵a+b=4，可得：4≥2 ，解得：ab≤4，（当且仅当a=b=2成立）
∵△ABC的面积的最大值S△ABC= absinC≤ ×4× = ，
∴a=b=2，
∴则此时△ABC的形状为等腰三角形．
故选：C．
【分析】由 （acosB+bcosA）=2csinC及正弦定理可得 （sinAcosB+sinBcosA）=2sin2C，结合sinC＞0，化简可得sinC= ，由a+b=4，利用基本不等式可得ab≤4，（当且仅当a=b=2成立），由△ABC的面积的最大值S△ABC= absinC≤ ×4× = ，即可解得a=b=2，从而得解△ABC的形状为等腰三角形．
9．（2016高二下·南阳开学考）若x，y满足 且z=y﹣x的最小值为﹣4，则k的值为（ ）
A．2 B．﹣2 C． D．﹣
【答案】D
【知识点】简单线性规划
【解析】【解答】解：对不等式组中的kx﹣y+2≥0讨论，可知直线kx﹣y+2=0与x轴的交点在x+y﹣2=0与x轴的交点的右边，
故由约束条件 作出可行域如图，
由kx﹣y+2=0，得x= ，
∴B（﹣ ）．
由z=y﹣x得y=x+z．
由图可知，当直线y=x+z过B（﹣ ）时直线在y轴上的截距最小，即z最小．
此时 ，解得：k=﹣ ．
故选：D．
【分析】对不等式组中的kx﹣y+2≥0讨论，当k≥0时，可行域内没有使目标函数z=y﹣x取得最小值的最优解，k＜0时，若直线kx﹣y+2=0与x轴的交点在x+y﹣2=0与x轴的交点的左边，z=y﹣x的最小值为﹣2，不合题意，由此结合约束条件作出可行域，化目标函数为直线方程的斜截式，由图得到最优解，联立方程组求出最优解的坐标，代入目标函数得答案．
10．（2016高二下·南阳开学考）若正数x，y满足x+3y=5xy，则3x+4y的最小值是（ ）
A． B． C．6 D．5
【答案】D
【知识点】基本不等式
【解析】【解答】解：∵正数x，y满足x+3y=5xy，
∴ =1，即 =1，
∴3x+4y=（3x+4y）（ ）
= + + ≥ +2 =5
当且仅当 = 即x=1且y= 时取等号，
∴3x+4y的最小值为：5
故选：D
【分析】已知式子可化为 =1，进而可得3x+4y=（3x+4y）（ ） + + ，由基本不等式可得．
11．（2016高二下·南阳开学考）已知双曲线 ﹣ =1（a＞0，b＞0）的一条渐近线与圆（x﹣3）2+y2=9相交于A，B两点，若|AB|=2，则该双曲线曲离心率为（ ）
A．8 B． C．3 D．
【答案】C
【知识点】双曲线的简单性质
【解析】【解答】解：依题意可知双曲线的一渐近线方程为bx﹣ay=0，
∵|AB|=2，圆的半径为3
∴圆心到渐近线的距离为2 ，
即 =2 ，解得b= a
∴c=3a，
∴双曲线的离心率为e= =3．
故选：C．
【分析】先根据双曲线方程求得其中一条渐近线方程，根据题意可知圆心到渐近线的距离为2 ，进而表示出圆心到渐近线的距离，求得a，b的关系，即可求出双曲线的离心率．
12．（2016高二下·广州期中）在数列{an}中，an=1﹣ + ﹣ +…+ ﹣ ，则ak+1=（ ）
A．ak+ B．ak+ ﹣
C．ak+ D．ak+ ﹣
【答案】D
【知识点】数列的概念及简单表示法
【解析】【解答】解：∵an=1﹣ + ﹣ +…+ ﹣ ，
∴a1=1﹣ ，
a2=1﹣ + ﹣ ，
…，
an=1﹣ + ﹣ +…+ ﹣ ，
ak=1﹣ + ﹣ +…+ ﹣ ，
所以，ak+1=ak+ ﹣ ．
故选：D．
【分析】由已知中an=1﹣ + ﹣ +…+ ﹣ ，我们依次给出a1，a2，…，an，ak的表达式，分析变化规律，即可得到ak+1的表达式．
二、填空题
13．（2016高二下·南阳开学考）观察下面的算式：
，
，
，
则12+22+…+n2= （其中n∈N*）．
【答案】 n（n+1）（2n+1）
【知识点】归纳推理
【解析】【解答】解：由于所给的等式的左边，是非0自然数的平方和，右边是 倍的连续的两个自然数n，（n+1）与一个2n+1的积，
所以，猜想：12+22+32+…+n2= n（n+1）（2n+1），
故答案为： n（n+1）（2n+1）
【分析】根据所给的规律，即可写出正确的答案．
14．（2016高二下·南阳开学考）已知抛物线C：y2=8x与点M（﹣2，2），过C的焦点，且斜率为k的直线与C交于A，B两点，若 =0，则k= ．
【答案】2
【知识点】抛物线的简单性质
【解析】【解答】解：由抛物线C：y2=8x得焦点（2，0），
由题意可知：斜率k存在，设直线AB为y=k（x﹣2），
代入抛物线方程，得到k2x2﹣（4k2+8）x+4k2=0，△＞0，
设A（x1，y1），B（x2，y2）．
∴x1+x2=4+ ，x1x2=4．
∴y1+y2= ，y1y2=﹣16
又 =0，
∴ =（x1+2，y1﹣2） （x2+2，y2﹣2）=
∴k=2．
故答案为：2．
【分析】斜率k存在，设直线AB为y=k（x﹣2），代入抛物线方程，利用 =（x1+2，y1﹣2） （x2+2，y2﹣2）=0，即可求出k的值．
15．（2016高二下·泗水期中）已知f（x）=x2+2xf′（1），则f′（0）= ．
【答案】-4
【知识点】导数的四则运算
【解析】【解答】解：由f（x）=x2+2xf′（1），
得：f′（x）=2x+2f′（1），
取x=1得：f′（1）=2×1+2f′（1），
所以，f′（1）=﹣2．
故f′（0）=2f′（1）=﹣4，
故答案为：﹣4．
【分析】把给出的函数求导得其导函数，在导函数解析式中取x=1可求f′（1）的值，再代入即可求出f′（0）的值．
16．（2016高二上·黄石期中）长方体ABCD﹣A1B1C1D1中，底面ABCD是边长为2的正方形，高为4，则顶点A1到截面AB1D1的距离为 ．
【答案】
【知识点】点、线、面间的距离计算
【解析】【解答】解：如图，设A1C1∩B1D1=O1，∵B1D1⊥A1O1，B1D1⊥AA1，
∴B1D1⊥平面AA1O1，
∴平面AA1O1⊥面AB1D1，交线为AO1，
在面AA1O1内过A1作A1H⊥AO1于H，连接A1H，则A1H的长即是点A1到截面AB1D1的距离，
在Rt△A1O1A中，A1O1= ，AO1=3 ，
由A1O1 A1A=h AO1，可得A1H=
故答案为：
【分析】分析：设A1C1∩B1D1=O1，根据线面垂直的判定定理可知B1D1⊥平面AA1O1，再根据面面垂直的判定定理可知故平面AA1O1⊥面AB1D1，交线为AO1，在面AA1O1内过A1作A1H⊥AO1于H，则A1H的长即是点A1到截面AB1D1的距离，在Rt△A1O1A中，利用等面积法求出A1H即可．
三、解答题
17．（2016高二下·南阳开学考）设命题p：实数x满足x2﹣4ax+3a2＜0，其中a＞0；命题q：实数x满足x2﹣5x+6≤0
（1）若a=1，且q∧p为真，求实数x的取值范围；
（2）若p是q必要不充分条件，求实数a的取值范围．
【答案】（1）解：p：实数x满足x2﹣4ax+3a2＜0，其中a＞0
（x﹣3a）（x﹣a）＜0，∵a＞0为，所以a＜x＜3a；
当a=1时，p：1＜x＜3；
命题q：实数x满足x2﹣5x+6≤0 2≤x≤3；若p∧q为真，则p真且q真，∴2≤x＜3；
故x的取值范围是[2，3）
（2）解：p是q的必要不充分条件，即由p得不到q，而由q能得到p；
∴（a，3a） [2，3] ，1≤a≤2
∴实数a的取值范围是[1，2]
【知识点】必要条件、充分条件与充要条件的判断
【解析】【分析】（1）利用一元二次不等式的解法可化简命题p，若p∧q为真，则p真且q真，即可得出；（2）若p是q的必要不充分条件
18．（2016高二上·开鲁期中）在△ABC中，角A，B，C对应的边分别是a，b，c，已知cos2A﹣3cos（B+C）=1．
（Ⅰ）求角A的大小；
（Ⅱ）若△ABC的面积S=5 ，b=5，求sinBsinC的值．
【答案】解：（Ⅰ）由cos2A﹣3cos（B+C）=1，得2cos2A+3cosA﹣2=0，
即（2cosA﹣1）（cosA+2）=0，解得 （舍去）．
因为0＜A＜π，所以 ．
（Ⅱ）由S= = =5 ，得到bc=20．又b=5，解得c=4．
由余弦定理得a2=b2+c2﹣2bccosA=25+16﹣20=21，故 ．
又由正弦定理得
【知识点】正弦定理；余弦定理
【解析】【分析】（I）利用倍角公式和诱导公式即可得出；（II）由三角形的面积公式 即可得到bc=20．又b=5，解得c=4．由余弦定理得a2=b2+c2﹣2bccosA=25+16﹣20=21，即可得出a．又由正弦定理得即可得到 即可得出．
19．（2016高二下·南阳开学考）已知等差数列{an}的公差为2，前n项和为Sn，且S1、S2、S4成等比数列．
（1）求数列{an}的通项公式；
（2）令bn=（﹣1）n﹣1 ，求数列{bn}的前n项和Tn．
【答案】（1）解：∵等差数列{an}的公差为2，前n项和为Sn，且S1、S2、S4成等比数列．
∴Sn=na1+n（n﹣1）
（2a1+2）2=a1（4a1+12），a1=1，
∴an=2n﹣1
（2）解：∵由（Ⅰ）可得bn=（﹣1）n﹣1 =（﹣1）n﹣1 =（﹣1）n﹣1（ + ）．
∴Tn=（1+ ）﹣（ + ）+（ + ）+…+（﹣1）n﹣1（ + ）．
当n为偶数时，Tn=1+ ）﹣（ + ）+（ + ）+…+（ + ）﹣（ + ）=1﹣ = ．
当n为奇数时，Tn=1+ ）﹣（ + ）+（ + ）+…﹣（ + ）+（ + ）=1+ = ．
∴Tn= ．
【知识点】数列的求和；等差数列与等比数列的综合
【解析】【分析】（1）根据等差数列的性质得出（2a1+2）2=a1（4a1+12），a1=1，运用通项公式求解即可．（2）由（Ⅰ）可得bn=（﹣1）n﹣1（ + ）．对n分类讨论“裂项求和”即可得出
20．（2016高二下·南阳开学考）在雅安发生地震灾害之后，救灾指挥部决定建造一批简易房，供灾区群众临时居住，房形为长方体，高2.5米，前后墙用2.5米高的彩色钢板，两侧用2.5米高的复合钢板，两种钢板的价格都用长度来计算（即钢板的高均为2.5米，用长度乘以单价就是这块钢板的价格），每米单价：彩色钢板为450元，复合钢板为200元，房顶用其他材料建造，每平方米材料费为200元，每套房材料费控制在32000元以内．
（1）设房前面墙的长为x，两侧墙的长为y，一套简易房所用材料费为p，试用x，y表示p；
（2）一套简易房面积S的最大值是多少？当S最大时，前面墙的长度是多少？
【答案】（1）解：依题得，p=2x×450+2y×200+xy×200=900x+400y+200xy
即p=900x+400y+200xy
（2）解：∵S=xy，∴
又因为 ，
解得 ，∴0＜S≤100，当且仅当 时S取得
最大值．
答：每套简易房面积S的最大值是100平方米，当S最大时前面墙的长度是 米
【知识点】函数模型的选择与应用
【解析】【分析】（1）根据题意可分别求得前面墙，两侧墙和房顶的费用，三者相加即可求得P．（2）利用P的表达式和基本不等式求得关于 的不等式关系，求得 的范围，以及等号成立条件求得x的值．
21．（2016高二下·南阳开学考）如图，在四棱锥P﹣ABCD中，PA⊥平面ABCD，AD∥BC，PB⊥AC，AD⊥CD，且AD=CD=2 ，PA=2，点M在线段PD上．
（Ⅰ）求证：AB⊥平面PAC；
（Ⅱ）若二面角M﹣AC﹣D的大小为45°，试确定点M的位置．
【答案】（Ⅰ）证明：因为PA⊥平面ABCD，AC，AB 平面ABCD，
所以 PA⊥AC，PA⊥AB，
又因为PB⊥AC，PA⊥AC，PA，PB 平面PAB，PA∩PB=P，
所以AC⊥平面PAB，
又因为AC⊥平面PAB，AB 平面PAB，
所以AC⊥AB，
因为AC⊥AB，PA⊥AB，PA，AC 平面PAC，PA∩AC=A，
所以AB⊥平面PAC．
（Ⅱ）因为PA⊥平面ABCD，又由（Ⅰ）知BA⊥AC，
建立如图所示的空间直角坐标系A﹣xyz．
则A（0，0，0），C（0，4，0），D（﹣2，2，0），P（0，0，2）， ， ，
设M（x，y，z）， ，则（x，y，z﹣2）=t（﹣2，2，﹣2），
故点M坐标为（﹣2t，2t，2﹣2t）， ，
设平面MAC的法向量为 =（x，y，z），则 ，
所以 ，
令z=1，则 =（ ）．
又平面ACD的法向量 =（0，0，1），
所以cos45°= = ，解得t= ，
故点M为线段PD的中点．
【知识点】直线与平面垂直的判定；与二面角有关的立体几何综合题
【解析】【分析】（Ⅰ）由已知条件推导出PA⊥AC，PA⊥AB，从而得到AC⊥平面PAB，由此能证明AB⊥平面PAC．（Ⅱ）建立空间直角坐标系A﹣xyz，利用向量法能证明点M为线段PD的中点．
22．（2016高二下·南阳开学考）已知椭圆 的右焦点到直线 的距离为 ，离心率 ，A，B是椭圆上的两动点，动点P满足 ，（其中λ为常数）．
（1）求椭圆标准方程；
（2）当λ=1且直线AB与OP斜率均存在时，求|kAB|+|kOP|的最小值；
（3）若G是线段AB的中点，且kOA kOB=kOG kAB，问是否存在常数λ和平面内两定点M，N，使得动点P满足PM+PN=18，若存在，求出λ的值和定点M，N；若不存在，请说明理由．
【答案】（1）解：由题设可知： ，解得 ，b=2．
∴椭圆标准方程为
（2）解：设A（x1，y1），B（x2，y2）则由 ，得P（x1+x2，y1+y2）．
∴ ．
由|kAB|∈（0，+∞）得， ，
当且仅当 时取等号
（3）解：∵ = ．
∴ ．∴4x1x2+9y1y2=0．
设P（x，y），则由 ，
得（x，y）=（x1，y1）+λ（x2，y2）=（x1+λx2，y1+λy2），
即x=x1+λx2，y=y1+λy2．
∵点A、B在椭圆4x2+9y2=36上，
∴4x2+9y2=36+36λ2+2λ（4x1x2+9y1y2）．
∴4x2+9y2=36+36λ2．
即 ，
∴P点是椭圆 上的点，
设该椭圆的左、右焦点为M、N，
则由椭圆的定义PM+PN=18，得18= ，
∴ ， ， ．
∴存在常数λ= ，和平面内两定点M（ ，0），N（ ，0），使得动点P满足PM+PN=18
【知识点】椭圆的简单性质
【解析】【分析】（1）由已知列关于a，b，c的方程组，求解方程组可得椭圆标准方程；（2）设出A，B的坐标，把λ=1代入 ，求得P的坐标，求出AB、OP的斜率并作积，结合绝对值的不等式求解|kAB|+|kOP|的最小值；（3）设P（x，y），则由 ，得x=x1+λx2，y=y1+λy2．再由点A、B在椭圆4x2+9y2=36上，得到 ，说明P点是椭圆 上的点，设该椭圆的左、右焦点为M、N，则由椭圆的定义PM+PN=18，得18= ，由此求得λ值．