卷子答案网-一个不只有答案的网站北京西城师大附中2016-2017学年八年级下学期数学期中考试试卷
一、单选题
1．（2017八下·西城期中）下列图形中，即是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ）．
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】轴对称图形；中心对称及中心对称图形
【解析】【解答】A、是轴对称图形，是中心对称图形，故本选项正确；B是轴对称图形，不是中心对称图形，故本选项错误；C不是轴对称图形，不是中心对称图形，故本选项错误；D不是轴对称图形，也不是中心对称图形，故本选项错误；故答案为：A.
【分析】如果一个图形沿着一条直线对折后两部分完全重合，这样的图形叫做轴对称图形；在平面内，把一个图形绕着某个点旋转180°，如果旋转后的图形能与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形。根据定义可求解。
2．（2017八下·西城期中）如图，在平行四边形 中， ， ， 的平分线交 于点 ，则 的长为（ ）．
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】等腰三角形的性质；平行四边形的性质；角平分线的定义
【解析】【解答】∵ 的平行线为 ，
∴ ．
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ．故答案为：D.
【分析】由角平分线的性质可得∠ABE = ∠CBE ，由平行四边形的性质可得AD∥BC，所以∠AEB = ∠CBE，即∠ABE= ∠AEB，根据等角对等边可得AB=AE，所以DE=AD-AE.
3．（2015八下·宜昌期中）已知一个菱形的周长是20cm，两条对角线的比是4：3，则这个菱形的面积是（ ）
A．12cm2 B．24cm2 C．48cm2 D．96cm2
【答案】B
【知识点】菱形的性质
【解析】【解答】解：设菱形的对角线分别为8x和6x，
已知菱形的周长为20cm，故菱形的边长为5cm，
根据菱形的性质可知，菱形的对角线互相垂直平分，
即可知（4x）2+（3x）2=25，
解得x=1，
故菱形的对角线分别为8cm和6cm，
所以菱形的面积= ×8×6=24cm2，
故选B．
【分析】设菱形的对角线分别为8x和6x，首先求出菱形的边长，然后根据勾股定理求出x的值，最后根据菱形的面积公式求出面积的值．
4．（2017八下·西城期中）如图，将平行四边形ABCD沿 翻折，使点 恰好落在 上的点 处，则下列结论不一定成立的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】平行线的判定；平行四边形的性质；翻折变换（折叠问题）
【解析】【解答】根据题意可得：四边形ABEF为平行四边形，则AB=EF，AF=BE，根据折叠的性质可得：AF=AB=EF，故本题选C．
【分析】由折叠的性质可得AB=AF，BE=EF，∠BAE=∠EAF，∠BEA=∠AEF，由平行四边形ABCD可得AD BC，所以根据平行线的性质可得∠BAE=∠EAF=∠BEA=∠AEF，所以AB=BE=EF=AF。
5．（2017八下·西城期中）如图， 是由 绕着某点旋转得到的，则这点的坐标是（ ）．
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】旋转的性质
【解析】【解答】旋转对称的性质，对应点连线的垂直平分线交于一点，这一点即为旋转中心，通过作图， 为旋转中心．故答案为：B.
【分析】根据旋转的性质可知，对应点连线的垂直平分线交于一点，这一点即为旋转中心，所以旋转中心的坐标为( 0 ， 1 )。
6．（2017八下·西城期中）如图，每个小正方形的边长为 ，在 中，点 为 的中点，则线段 的长为（ ）．
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】勾股定理；勾股定理的逆定理
【解析】【解答】∵ 为直角三角形且D为AB中点，
∴ ．
根据勾股定理得，
，
∴ ．
故答案为：D．
【分析】由勾股定理可得=26，=8，=18，所以+=，根据勾股定理的逆定理可得△ACB是直角三角形。根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半可得 CD=AB．由勾股定理可得AB=，所以CD=.
7．（2017八下·西城期中）如图，在四边形 中， ， ， ，若 ，则 的长等于（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】含30°角的直角三角形；平行四边形的判定与性质
【解析】【解答】过 作 交 于 ．
∴ ．
∵ ，
∴四边形 为平行四边形，
∴ ，
．
在 中，
∵ ， ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ．故答案为：D.
【分析】过C作CE∥AD交AB于E，可将梯形分成一个平行四边形和一个有30°角的直角三角形，根据平行四边形的定义可得四边形AECD为平行四边形，由平行四边形的性质可得 CE=AD=6，AE=CD=6．在 △CEB中，因为∠CEB=60°，∠B=30°，∠ECB=90°，根据30°角所对的直角边等于斜边的一半可得 CE=BE，则BE=12，所以AB=12+6=18。
8．（2017八下·西城期中）如图，一次函数 与 轴交于点 ，与 轴交于点 ，过点 作 的垂线交 轴于点 ，连接 ，以 为边向上作正方形 （如图所示），则点 的坐标为（ ）．
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】正方形的性质；一次函数图象与坐标轴交点问题
【解析】【解答】过D作DF⊥x轴交于F，
∵正方形 ，
∴ ， ，
∴ ．
∵ ，
∴ ．
又∵ ，
∴ ≌ ，
∴ ．
∵直线 与 轴交于 ．
∴ ，
∴ ，
∴ ．
∴ ．
代入 得 ，
∴ ．
故答案为：C.
【分析】过D作DF⊥x轴交于F，由正方形的性质可得AB=AD，∠BAD=90°，根据同角的余角相等可得 ∠DAF=∠OBA，用角角边可证得△DAF≌△ABO，所以
AO=DF ，由直线与x 轴交于A可得A( 2 ， 0 )，则OA=DF=2 ，所以D的纵坐标为2，而D在直线 y=2x 4上，所以把纵坐标代入可得x=3 ，所以D(3，2)．
9．（2017八下·西城期中）甲、乙两位运动员在一段 米的比值公路上进行跑步比赛，比赛开始时甲在起点，乙在甲的前面 米，他们的同时同向发出匀速前进，甲的速度是 米/秒，乙的速度是 米/秒，先到终点者在终点原地等待，设甲、乙两人之间的距离是 米，比赛时间是 秒，当两人都到达终点计时结束，整个过程中 与 之间的函数图象是（ ）．
A． B．
C． D．
【答案】B
【知识点】分段函数
【解析】【解答】当甲跑到终点时所用的时间为：2000÷8=250（秒），
此时甲乙间的距离为：2000﹣200﹣6×250=300（米），
乙到达终点时所用的时间为：÷6=300（秒），
∴最高点坐标为．
设y关于x的函数解析式为y=kx+b，
当0≤x≤100时，有 ，解得： ，
此时y=﹣2x+200；
当100＜x≤250时，有 ，解得： ，
此时y=2x﹣200；
当250＜x≤300时，有 ，解得： ，
此时y=﹣6x+1800．
∴y关于x的函数解析式为 ．
∴整个过程中y与之间的函数图象是B．
故答案为：B．
【分析】根据题意可得当甲跑到终点时所用的时间为=2000÷8=250（秒），此时甲乙间的距离=2000﹣200﹣6×250=300（米），乙到达终点时所用的时间为=（2000-200）÷6=300（秒），所以最高点坐标为（250，300）；设y关于x的函数解析式为y=kx+b，当0≤x≤100时，可得y=﹣2x+200；当100＜x≤250时，可得y=2x﹣200；当250＜x≤300时，可得y=﹣6x+1800．
10．（2017八下·西城期中）如图，在平面直角坐标系中， ， ，连接 ，点 是 轴上的一个动点，连接 、 ，当 的周长最小时，对应的点 的坐标和 的最小周长分别为（ ）．
A． ， B． ，
C． ， D． ，
【答案】D
【知识点】轴对称的性质；关于坐标轴对称的点的坐标特征
【解析】【解答】作 关于 轴的对称点 ，
连接 与 轴的交点即为 点．
∵ ， ，
∴ 轴，
∴ ．
∵ 与 关于 轴对称，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ 为等腰三角形．
∴ ，
∴ ．
在 中， ，
∴ ，
∴ 的周长为 ．
故答案为：D．
【分析】要让△ABP 的周长最小，只需PA+PB的和最小即可，所以作A关于x轴的对称点A′( 1 ， 2 )，连接 A′B与x轴的交点即为P点．在 Rt △AMP中用勾股定理可求得AP===.
二、填空题
11．（2017八下·西城期中）函数 中，自变量x的取值范围为 ．
【答案】
【知识点】分式有意义的条件
【解析】【解答】求函数自变量的取值范围，就是求函数解析式有意义的条件，根据分式分母不为0的条件，要使 在实数范围内有意义，必须 .
【分析】根据分式有意义的条件可得x 2 ≠ 0 解得 x ≠ 2。
12．（2017八下·西城期中）一次函数y=2x﹣1的图象经过点（a，3），则a= ．
【答案】2
【知识点】一次函数的性质
【解析】【解答】解，将点（a，3）代入一次函数y=2x－1得，3=2a-1，解得a=2
【分析】因为一次函数y=2x﹣1的图象经过点（a，3），所以将点（a，3）代入一次函数y=2x－1得，3=2a-1，解得a=2。
13．（2017八下·西城期中）一个直角三角形的两边长分别为 与 ，则第三边长为 ．
【答案】 或
【知识点】三角形三边关系；勾股定理
【解析】【解答】设第三边为长为 ．
①当斜边长为 时，
，
， （舍）．
②当 和 为直角边长时，
．
∵
∴ ．
综合①②，x= 或5．故答案为： 或5.
【分析】设第三边为长为 x ( x > 0 ) ，根据题意可知分两种情况；①当斜边长为 5 时，由勾股定理可得+= ，解得x = 3 ， x = 3 （舍）；
②当 4 和 5 为直角边长时，=+，解得x=±，根据边长不为负数可得x=。
14．（2017八下·西城期中）如图，小明将一张长为 ，宽为 的长方形纸剪去了一角，量得 ， ，则剪去的直角三角形的斜边长为 ．
【答案】
【知识点】勾股定理
【解析】【解答】如图，
．
在Rt△OBC中， ，
∴ ．
故答案为：20cm.
【分析】根据题意可得BO=15-AB=12，OC=20-CD=16，
在Rt△OBC中，由勾股定理可得BC==20.
15．（2017八下·西城期中）如图，在平行四边形 中， ， ， 于 ，则 ．
【答案】
【知识点】三角形内角和定理；平行四边形的性质
【解析】【解答】∵平行四边形 ，
∴ ．
∵ ，
∴ ．
∵ ，
∴ ．故答案为：25°.
【分析】根据平行四边形的性质可得 ∠DCB=∠A= 65 °，而DC=DB，由等边对等角可得∠EBC=∠DCB=65 ° ，根据直角三角形两锐角互余可得∠BCE= 90° ∠EBC=25°.
16．（2017八下·西城期中）如图，三个边长均为 的正方形重叠在一起， ， 是其中两个正方形的中心，则阴影部分的面积是 ．
【答案】2
【知识点】正方形的性质；几何图形的面积计算-割补法
【解析】【解答】过 分别作正方形边长的垂线 A和 B．
∴四边形 为正方形．
∵ ， ，
∴ ，
∴ ≌ ．
∴ ．同理 ．∴ ． 故答案为：2.
【分析】过 分别作正方形边长的垂线 A 和B，由割补法可得 =ABE的面积 = S=1，同理 = 1，所以阴影部分的面积=2.
17．（2017八下·西城期中）如图，已知 、 分别是正方形 的边 、 上的点， 、 分别与对角线 相交于 、 ，若 ，则 ．
【答案】
【知识点】多边形内角与外角；正方形的性质
【解析】【解答】连接AC，
则AC所在直线为BD的垂直平分线，
∴AM=AN=CM=CN，
在△AMN和△CMN中， ，
∴△AMN≌△CMN，即∠EAF=∠MCN=50°
∴∠AMC+∠ANC=360°-50°-50°=260°，
∵∠CNF=180°-∠ANC，
∠CME=180°-∠CMA，
∴∠CME+∠CNF=180°-∠CMA+180°-∠ANC=100°
故答案为 100．
【分析】 根据正方形是轴对称图形可得AM=CM，AN=CN，而MN=MN，所以△AMN≌△CMN，所以∠EAF=∠MCN=50°，由四边形的内角和为360°可求得∠AMC+∠ANC=360°-50°-50°=260°，根据邻补角的意义可得，∠CNF=180°-∠ANC，∠CME=180°-∠CMA，所以∠CME+∠CNF=180°-∠CMA+180°-∠ANC=100°。
三、解答题
18．（2017八下·西城期中）在数学课上，老师提出如下问题：
尺规作图：作对角线等于已知线段的菱形．
已知：两条线段 、 ．
求作：菱形 ，使得其对角线分别等于 和 ．
小军的作法如下：
如图
⑴画一条线段 等于 ．
⑵分别以 、 为圆心，大于 的长为半径，在线段 的上下各作两条弧，两弧相交于 、 两点．
⑶作直线 交 于 点．
⑷以 点为圆心，线段 的长为半径作两条弧，交直线 于 、 两点，连接 、 、 、 ．
所以四边形 就是所求的菱形．
老师说：“小军的作法正确”．
该作图的依据是 和 ．
【答案】到线段两端点距离相等的点在线段的垂直平分线上；对角线互相垂直平分的四边形为菱形
【知识点】线段垂直平分线的性质；菱形的判定；线段垂直平分线的判定；作图-线段垂直平分线
【解析】【解答】根据对角线互相垂直平分的四边形是菱形可得出结论.
由作图可得AB与CD互相垂直平分，所以四边形ACBD为菱形，则小军的作图依据为：到线段两端点距离相等的点在线段的垂直平分线上，对角线互相垂直平分的四边形为菱形.
【分析】依据是线段的垂直平分线的判定定理：到线段两端点距离相等的点在线段的垂直平分线上。菱形的判定定理：对角线互相垂直平分的四边形是菱形。
19．（2017八下·西城期中）如图，已知 和点 ．将 绕点 顺时针旋转 得到 ．
（1）在网格中画出 ．
（2）若 ， 直接写出平行四边形 的顶点 的坐标．
【答案】（1）解：如图 即为所求．
（2）解：
【知识点】平行四边形的性质；旋转的性质
【解析】【分析】（1）根据旋转的性质即可画出图形；
（2）根据平行四边形的对边平行且相等可得顶点 D 的坐标为（1，1）.
20．（2017八下·西城期中）已知：在 中， ， ， ，将 绕点顺时针旋转得到 ，且满足 ，求 的长．
【答案】解：∵ ≌ ，∴ ， ， ．∵ ，∴ ，∴ ．∵ ，∴ ．∴在 中，
【知识点】勾股定理；旋转的性质
【解析】【分析】根据旋转的性质可得∠BED=∠A=90°，BA=BE，∠EBD=∠ABC=30°，根据锐角三角函数可得AB=BE=2，根据平行线的性质可得∠CBE=∠BED=90°，在 Rt△CBE中，用勾股定理可得CE==.
21．（2017八下·西城期中）如图，在平面直角坐标系 ，一次函数 的图象经过点 且与函数 的图象交于点 ．
（1）求正比例函数的解析式及一次函数解析式．
（2）设一次函数 的图象与 轴交于点 ，求 的面积．
【答案】（1）解：∵一次函数 过点 ， ，
∴
解得
∴一次函数解析式为
（2）解：∵一次函数 与 轴交于 ∴
作 交于点 ．
∴ ．
∵ ，
∴ ，
∴ ．
【知识点】待定系数法求一次函数解析式；一次函数图象与坐标轴交点问题
【解析】【分析】（1）因为函数 y = m x 的图象过点 B ( 2 ， 1 ) ，所以-1=-2m，解得m=，y=x；
因为一次函数y=kx+b的图象经过点A(2， 3)和B( 2， 1) ，所以可得关于k、b的方程组，解得k=-，b=-2，所以一次函数解析式为y= x-2；
（2）因为一次函数y= x-2 的图象与 y 轴交于点 C，所以C ( 0 ， 2 )，作BD⊥OC交于点D，由题意可得OD=DC=1，BD=2 ，所以△BOC的面积=BD×OC=2 。
22．（2017八下·西城期中）如图，在 中， ， 为 边上的中线，过点 作 上 于 ，过点 作 的平行线与 的延长线交于点 ，连接 ， ．
（1）求证：四边形 为菱形；
（2）若四边形 的面积为 ， ，求 的长．
【答案】（1）证明：∵ ， 为 边上中线，
∴ ．
∵ ，
∴ 平分 ， ，
∴ ．
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴四边形 为菱形
（2）解：综合（ ）的结论可知菱形 的面积为 ，∴ ， ．∵ 为 的中点， 为 的中点，∴ ，∴ ．
∴
即
又 ．
∴ ，
∴ ．
∵ ，
∴ ．
∵
∵ ， ，
∴四边形 为菱形．
∵ 且 ，∴ ，
∴ ，
．
【知识点】菱形的性质；菱形的判定；三角形的中位线定理；直角三角形斜边上的中线
【解析】【分析】1）根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半可得CD=BD=AB，根据等腰三角形的三线合一可得DE 平分 BC ， ∠BDE = ∠CDE，所以根据线段的垂直平分线的性质可得FC=FB，由平行线的性质可得 ∠BDF=∠CFD，所以∠CDF=∠CFD，CD=CF=BF=BD，根据菱形的判定可得四边形 BDCF 为菱形；
（2）由题意可知菱形 BDCF 的面积为 24 ，所以DF BC = 24 ，则DF BC = 48 ，根据三角形的中位线定理可得DE∥AC ，DE=AC，DF∥AC，DF=AC， CE ： AC =BC ： DF=2：3，即BC ： DF= 4 ： 3，代入DF BC = 48 可得DF = 6 ， BC = 8，所以AC=DF=6 ，用勾股定理可得AB=10，由（1）可得CD=BD=AB=5，而DF∥AC ，DF=AC， DF=DA ，所以由菱形的判定可得四边形ACFD为菱形，根据菱形的面积等于两对角线乘积的一半可得CD AF=24 ，解得AF=.
23．（2017八下·西城期中）阅读下列材料：
五个边长为1的小正方形如图①放置，要求用两条线段将它们分割成三部分后把它们拼接成一个新的正方形．
小辰是这样思考的：图①中五个边长为1的小正方形的面积的和为5，拼接后的正方形的面积也应该是5，故而拼接后的正方形的边长为 ，因此想到了依据勾股定理，构造长为 的线段，即： ，因此想到了两直角边分别为1和2的直角三角形的斜边正好是 ，如图②，进而拼接成了一个便长为 的正方形．
参考上面的材料和小辰的思考方法，解决问题：
（1）五个边长为1的小正方形如图④放置，类似图③，在图④中画出分割线和拼接后的正方形（只要画出一种即可）．
（2）十个边长为1的小正方形如图⑤放置，类似图③，在图⑤中画出两条分割线将它们分割成三部分，并画出拼接后的正方形（只要画出一种即可）．
（3）五个边长为1的小正方形如图⑥放置，类似图③，在图⑥中画出两条分割线将它们分割成三部分，并画出拼接后的正方形（只要画出一种即可）．
【答案】（1）解：如图，
（2）解：如图，
（3）解：如图，
【知识点】几何图形的面积计算-割补法
24．（2017八下·西城期中）已知， 中， ， ，点 是线段 的中点，连接 ，将 绕点 逆时针旋转 度得到 ，连接 ，点 是线段 的中点，连接 ， ．
（1）如图 ，当 时，直接写出线段 和 之间的位置关系和数量关系．
（2）如图 ，当 时，探究线段 和 之间的位置关系和数量关系，并给出完整的证明过程．
（3）如图 ，直接写出当 在绕点 逆时针旋转的过程中，线段 的最大值和最小值．
【答案】（1）解： ，
（2）证明：连接 ，∵ ，∴ ．
∵ ，
∴ ．
∵ ≌ ，
∴ ， ，
∴ ，又∵
∴四边形 为正方形．
∵ 为 中点， 为 中点，
∴ ，
∴ ， ，
∴ ．
∵ ，
∴ ．
≌ ，
∴ ， ．
∵ ，∴ ，∴ ．
（3）解：连接 ．∵ ， 为 ， 中点，∴ ．
在 中
∵ ， ，
∴ ．
．
∵ ，
∴ ．
【知识点】三角形三边关系；全等三角形的判定与性质；正方形的判定与性质；三角形的中位线定理；直角三角形斜边上的中线
【解析】【分析】（1）由旋转的性质可得∠CNM=∠ABC=90°，AM=AC，因为点 P 是线段 C M 的中点，根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半可得PN=CM，PB=CM，所以PN=PB；因为AB=BC，所以∠ACB=∠CAB=45°，所以∠AMC=∠ACM=∠CAB= 225°，所以∠MPN=∠CPB=45°，则∠BPN=180°-45°-45°=90°，即PN⊥PB。
（2）连接 PO ，因为α = 90 ° ，所以 ∠MAB=90° ，已知∠ABC=90° ，所以AM∥BC ，由旋转的性质可得AB=AM，OB=MN，根据一组对边平行且相等的四边形是平行四边形可得四边形ABCM是平行四边形，再由有一个角是直角且有一组邻边相等的平行四边形是正方形形可得四边形ABCM为正方形，根据三角形的中位线定理可得OP∥AM ，OP=AM ，OP=PM，∠POC=∠MAC=45°，根据三角形外角的性质可得∠BOP=∠BOC+∠POC=135°，由角的构成可得 ∠PMN=90 ° + 45 ° = 135 ° ，所以∠PMN=∠POB， ≌△ ， PN=PB，∠MPN=∠OPB．而 ，所以 ，即 ；
（3）连接OP，由三角形的中位线定理可得OP=AM=AB=1，在 Rt△AOB中，由勾股定理可得 OB=，所以根据三角形三边关系定理可BO OP≤PB≤BO+PO （在旋转过程中，当BO=OP时，有"="号），而PB=PN，所以-1≤PN≤+1.
25．（2017八下·西城期中）定义：把函数 和函数 （其中 ， 是常数，且 ， ）称为一对交换函数，其中一个函数是另一个函数的交换函数．比如，函数 是函数 的交换函数，等等．
（1）直接写出函数 的交换函数： ；并直接写出这对交换函数和 轴所围图形的面积为 ．
（2）若一次函数 和其交换函数与 轴所围图形的面积为 ，求 的值．
（3）如图，在平面直角坐标 中，矩形 中，点 ， ， 分别是线段 、 的中点，将 沿着折痕 翻折，使点 的落点 恰好落在线段 的中点，点 是线段 的中
点，连接 ，若一次函数 和 与线段 始终都有交点，则 的取值范围为 ．
【答案】（1）；
（2）解： 其交换函数为 ，与 轴交点分别为 ， ，
解之得 ，
∴ ，
（3） ．
【知识点】两一次函数图象相交或平行问题；一次函数图象与坐标轴交点问题；定义新运算
【解析】【解答】解：（ ） ；
（ ）连接
由翻折可得 ．
∵ ， 分别为 ， 中点，
∴直线 为矩形 的对称轴，
∴ ，
∴ 为等边三角形，
∴ ，
∴ ．
在 中，
，
∴ ， ．
∵ 和 与 线段始终有交点
当 时， ，
∴
．
【分析】（1）根据交换函数的定义可得函数 y = 2 x + 1 的交换函数是y=x+2；求出 y=2x+1与y=x+2的交点坐标为（1，3），再求出 y=2x+1与x轴的交点坐标为（-，0），y=x+2与x轴的交点坐标为（-2，0），所以x轴上两交点间的距离为--（-2）=，所以这对交换函数和 x 轴所围图形的面积=3=；
（2）方法同（1）。y=ax+2a 其交换函数为 y=2ax+a，与 x 轴交点分别为 ( 2 ， 0 ) ， ( ， 0 )，两函数的交点坐标为（1，3a），所以根据题意可得S==3，解得a=；
（3）连接 BE，由翻折的性质可得 AB=AE ，根据线段中点和对称轴的意义可得直线 MN 为矩形 OABC 的对称轴，所以EA = EB = AB = OC=，
△EAB 为等边三角形，由等边三角形的性质可得∠EBA = 60°，∠EBF=30° ， 在 Rt △EFB中，根据30°角所对的直角边等于斜边的一半可得EF=BC=，则FB=1，所以F ( 1 ， ) ， E ( 1 ， )，根据题意两直线与E F 线段始终有交点，当 x = 1 时， y 1 = y 2 = + m ，所以可得，解得.
北京西城师大附中2016-2017学年八年级下学期数学期中考试试卷
一、单选题
1．（2017八下·西城期中）下列图形中，即是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ）．
A． B． C． D．
2．（2017八下·西城期中）如图，在平行四边形 中， ， ， 的平分线交 于点 ，则 的长为（ ）．
A． B． C． D．
3．（2015八下·宜昌期中）已知一个菱形的周长是20cm，两条对角线的比是4：3，则这个菱形的面积是（ ）
A．12cm2 B．24cm2 C．48cm2 D．96cm2
4．（2017八下·西城期中）如图，将平行四边形ABCD沿 翻折，使点 恰好落在 上的点 处，则下列结论不一定成立的是（ ）
A． B． C． D．
5．（2017八下·西城期中）如图， 是由 绕着某点旋转得到的，则这点的坐标是（ ）．
A． B． C． D．
6．（2017八下·西城期中）如图，每个小正方形的边长为 ，在 中，点 为 的中点，则线段 的长为（ ）．
A． B． C． D．
7．（2017八下·西城期中）如图，在四边形 中， ， ， ，若 ，则 的长等于（ ）
A． B． C． D．
8．（2017八下·西城期中）如图，一次函数 与 轴交于点 ，与 轴交于点 ，过点 作 的垂线交 轴于点 ，连接 ，以 为边向上作正方形 （如图所示），则点 的坐标为（ ）．
A． B． C． D．
9．（2017八下·西城期中）甲、乙两位运动员在一段 米的比值公路上进行跑步比赛，比赛开始时甲在起点，乙在甲的前面 米，他们的同时同向发出匀速前进，甲的速度是 米/秒，乙的速度是 米/秒，先到终点者在终点原地等待，设甲、乙两人之间的距离是 米，比赛时间是 秒，当两人都到达终点计时结束，整个过程中 与 之间的函数图象是（ ）．
A． B．
C． D．
10．（2017八下·西城期中）如图，在平面直角坐标系中， ， ，连接 ，点 是 轴上的一个动点，连接 、 ，当 的周长最小时，对应的点 的坐标和 的最小周长分别为（ ）．
A． ， B． ，
C． ， D． ，
二、填空题
11．（2017八下·西城期中）函数 中，自变量x的取值范围为 ．
12．（2017八下·西城期中）一次函数y=2x﹣1的图象经过点（a，3），则a= ．
13．（2017八下·西城期中）一个直角三角形的两边长分别为 与 ，则第三边长为 ．
14．（2017八下·西城期中）如图，小明将一张长为 ，宽为 的长方形纸剪去了一角，量得 ， ，则剪去的直角三角形的斜边长为 ．
15．（2017八下·西城期中）如图，在平行四边形 中， ， ， 于 ，则 ．
16．（2017八下·西城期中）如图，三个边长均为 的正方形重叠在一起， ， 是其中两个正方形的中心，则阴影部分的面积是 ．
17．（2017八下·西城期中）如图，已知 、 分别是正方形 的边 、 上的点， 、 分别与对角线 相交于 、 ，若 ，则 ．
三、解答题
18．（2017八下·西城期中）在数学课上，老师提出如下问题：
尺规作图：作对角线等于已知线段的菱形．
已知：两条线段 、 ．
求作：菱形 ，使得其对角线分别等于 和 ．
小军的作法如下：
如图
⑴画一条线段 等于 ．
⑵分别以 、 为圆心，大于 的长为半径，在线段 的上下各作两条弧，两弧相交于 、 两点．
⑶作直线 交 于 点．
⑷以 点为圆心，线段 的长为半径作两条弧，交直线 于 、 两点，连接 、 、 、 ．
所以四边形 就是所求的菱形．
老师说：“小军的作法正确”．
该作图的依据是 和 ．
19．（2017八下·西城期中）如图，已知 和点 ．将 绕点 顺时针旋转 得到 ．
（1）在网格中画出 ．
（2）若 ， 直接写出平行四边形 的顶点 的坐标．
20．（2017八下·西城期中）已知：在 中， ， ， ，将 绕点顺时针旋转得到 ，且满足 ，求 的长．
21．（2017八下·西城期中）如图，在平面直角坐标系 ，一次函数 的图象经过点 且与函数 的图象交于点 ．
（1）求正比例函数的解析式及一次函数解析式．
（2）设一次函数 的图象与 轴交于点 ，求 的面积．
22．（2017八下·西城期中）如图，在 中， ， 为 边上的中线，过点 作 上 于 ，过点 作 的平行线与 的延长线交于点 ，连接 ， ．
（1）求证：四边形 为菱形；
（2）若四边形 的面积为 ， ，求 的长．
23．（2017八下·西城期中）阅读下列材料：
五个边长为1的小正方形如图①放置，要求用两条线段将它们分割成三部分后把它们拼接成一个新的正方形．
小辰是这样思考的：图①中五个边长为1的小正方形的面积的和为5，拼接后的正方形的面积也应该是5，故而拼接后的正方形的边长为 ，因此想到了依据勾股定理，构造长为 的线段，即： ，因此想到了两直角边分别为1和2的直角三角形的斜边正好是 ，如图②，进而拼接成了一个便长为 的正方形．
参考上面的材料和小辰的思考方法，解决问题：
（1）五个边长为1的小正方形如图④放置，类似图③，在图④中画出分割线和拼接后的正方形（只要画出一种即可）．
（2）十个边长为1的小正方形如图⑤放置，类似图③，在图⑤中画出两条分割线将它们分割成三部分，并画出拼接后的正方形（只要画出一种即可）．
（3）五个边长为1的小正方形如图⑥放置，类似图③，在图⑥中画出两条分割线将它们分割成三部分，并画出拼接后的正方形（只要画出一种即可）．
24．（2017八下·西城期中）已知， 中， ， ，点 是线段 的中点，连接 ，将 绕点 逆时针旋转 度得到 ，连接 ，点 是线段 的中点，连接 ， ．
（1）如图 ，当 时，直接写出线段 和 之间的位置关系和数量关系．
（2）如图 ，当 时，探究线段 和 之间的位置关系和数量关系，并给出完整的证明过程．
（3）如图 ，直接写出当 在绕点 逆时针旋转的过程中，线段 的最大值和最小值．
25．（2017八下·西城期中）定义：把函数 和函数 （其中 ， 是常数，且 ， ）称为一对交换函数，其中一个函数是另一个函数的交换函数．比如，函数 是函数 的交换函数，等等．
（1）直接写出函数 的交换函数： ；并直接写出这对交换函数和 轴所围图形的面积为 ．
（2）若一次函数 和其交换函数与 轴所围图形的面积为 ，求 的值．
（3）如图，在平面直角坐标 中，矩形 中，点 ， ， 分别是线段 、 的中点，将 沿着折痕 翻折，使点 的落点 恰好落在线段 的中点，点 是线段 的中
点，连接 ，若一次函数 和 与线段 始终都有交点，则 的取值范围为 ．
答案解析部分
1．【答案】A
【知识点】轴对称图形；中心对称及中心对称图形
【解析】【解答】A、是轴对称图形，是中心对称图形，故本选项正确；B是轴对称图形，不是中心对称图形，故本选项错误；C不是轴对称图形，不是中心对称图形，故本选项错误；D不是轴对称图形，也不是中心对称图形，故本选项错误；故答案为：A.
【分析】如果一个图形沿着一条直线对折后两部分完全重合，这样的图形叫做轴对称图形；在平面内，把一个图形绕着某个点旋转180°，如果旋转后的图形能与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形。根据定义可求解。
2．【答案】D
【知识点】等腰三角形的性质；平行四边形的性质；角平分线的定义
【解析】【解答】∵ 的平行线为 ，
∴ ．
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ．故答案为：D.
【分析】由角平分线的性质可得∠ABE = ∠CBE ，由平行四边形的性质可得AD∥BC，所以∠AEB = ∠CBE，即∠ABE= ∠AEB，根据等角对等边可得AB=AE，所以DE=AD-AE.
3．【答案】B
【知识点】菱形的性质
【解析】【解答】解：设菱形的对角线分别为8x和6x，
已知菱形的周长为20cm，故菱形的边长为5cm，
根据菱形的性质可知，菱形的对角线互相垂直平分，
即可知（4x）2+（3x）2=25，
解得x=1，
故菱形的对角线分别为8cm和6cm，
所以菱形的面积= ×8×6=24cm2，
故选B．
【分析】设菱形的对角线分别为8x和6x，首先求出菱形的边长，然后根据勾股定理求出x的值，最后根据菱形的面积公式求出面积的值．
4．【答案】C
【知识点】平行线的判定；平行四边形的性质；翻折变换（折叠问题）
【解析】【解答】根据题意可得：四边形ABEF为平行四边形，则AB=EF，AF=BE，根据折叠的性质可得：AF=AB=EF，故本题选C．
【分析】由折叠的性质可得AB=AF，BE=EF，∠BAE=∠EAF，∠BEA=∠AEF，由平行四边形ABCD可得AD BC，所以根据平行线的性质可得∠BAE=∠EAF=∠BEA=∠AEF，所以AB=BE=EF=AF。
5．【答案】B
【知识点】旋转的性质
【解析】【解答】旋转对称的性质，对应点连线的垂直平分线交于一点，这一点即为旋转中心，通过作图， 为旋转中心．故答案为：B.
【分析】根据旋转的性质可知，对应点连线的垂直平分线交于一点，这一点即为旋转中心，所以旋转中心的坐标为( 0 ， 1 )。
6．【答案】D
【知识点】勾股定理；勾股定理的逆定理
【解析】【解答】∵ 为直角三角形且D为AB中点，
∴ ．
根据勾股定理得，
，
∴ ．
故答案为：D．
【分析】由勾股定理可得=26，=8，=18，所以+=，根据勾股定理的逆定理可得△ACB是直角三角形。根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半可得 CD=AB．由勾股定理可得AB=，所以CD=.
7．【答案】D
【知识点】含30°角的直角三角形；平行四边形的判定与性质
【解析】【解答】过 作 交 于 ．
∴ ．
∵ ，
∴四边形 为平行四边形，
∴ ，
．
在 中，
∵ ， ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ．故答案为：D.
【分析】过C作CE∥AD交AB于E，可将梯形分成一个平行四边形和一个有30°角的直角三角形，根据平行四边形的定义可得四边形AECD为平行四边形，由平行四边形的性质可得 CE=AD=6，AE=CD=6．在 △CEB中，因为∠CEB=60°，∠B=30°，∠ECB=90°，根据30°角所对的直角边等于斜边的一半可得 CE=BE，则BE=12，所以AB=12+6=18。
8．【答案】C
【知识点】正方形的性质；一次函数图象与坐标轴交点问题
【解析】【解答】过D作DF⊥x轴交于F，
∵正方形 ，
∴ ， ，
∴ ．
∵ ，
∴ ．
又∵ ，
∴ ≌ ，
∴ ．
∵直线 与 轴交于 ．
∴ ，
∴ ，
∴ ．
∴ ．
代入 得 ，
∴ ．
故答案为：C.
【分析】过D作DF⊥x轴交于F，由正方形的性质可得AB=AD，∠BAD=90°，根据同角的余角相等可得 ∠DAF=∠OBA，用角角边可证得△DAF≌△ABO，所以
AO=DF ，由直线与x 轴交于A可得A( 2 ， 0 )，则OA=DF=2 ，所以D的纵坐标为2，而D在直线 y=2x 4上，所以把纵坐标代入可得x=3 ，所以D(3，2)．
9．【答案】B
【知识点】分段函数
【解析】【解答】当甲跑到终点时所用的时间为：2000÷8=250（秒），
此时甲乙间的距离为：2000﹣200﹣6×250=300（米），
乙到达终点时所用的时间为：÷6=300（秒），
∴最高点坐标为．
设y关于x的函数解析式为y=kx+b，
当0≤x≤100时，有 ，解得： ，
此时y=﹣2x+200；
当100＜x≤250时，有 ，解得： ，
此时y=2x﹣200；
当250＜x≤300时，有 ，解得： ，
此时y=﹣6x+1800．
∴y关于x的函数解析式为 ．
∴整个过程中y与之间的函数图象是B．
故答案为：B．
【分析】根据题意可得当甲跑到终点时所用的时间为=2000÷8=250（秒），此时甲乙间的距离=2000﹣200﹣6×250=300（米），乙到达终点时所用的时间为=（2000-200）÷6=300（秒），所以最高点坐标为（250，300）；设y关于x的函数解析式为y=kx+b，当0≤x≤100时，可得y=﹣2x+200；当100＜x≤250时，可得y=2x﹣200；当250＜x≤300时，可得y=﹣6x+1800．
10．【答案】D
【知识点】轴对称的性质；关于坐标轴对称的点的坐标特征
【解析】【解答】作 关于 轴的对称点 ，
连接 与 轴的交点即为 点．
∵ ， ，
∴ 轴，
∴ ．
∵ 与 关于 轴对称，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ 为等腰三角形．
∴ ，
∴ ．
在 中， ，
∴ ，
∴ 的周长为 ．
故答案为：D．
【分析】要让△ABP 的周长最小，只需PA+PB的和最小即可，所以作A关于x轴的对称点A′( 1 ， 2 )，连接 A′B与x轴的交点即为P点．在 Rt △AMP中用勾股定理可求得AP===.
11．【答案】
【知识点】分式有意义的条件
【解析】【解答】求函数自变量的取值范围，就是求函数解析式有意义的条件，根据分式分母不为0的条件，要使 在实数范围内有意义，必须 .
【分析】根据分式有意义的条件可得x 2 ≠ 0 解得 x ≠ 2。
12．【答案】2
【知识点】一次函数的性质
【解析】【解答】解，将点（a，3）代入一次函数y=2x－1得，3=2a-1，解得a=2
【分析】因为一次函数y=2x﹣1的图象经过点（a，3），所以将点（a，3）代入一次函数y=2x－1得，3=2a-1，解得a=2。
13．【答案】 或
【知识点】三角形三边关系；勾股定理
【解析】【解答】设第三边为长为 ．
①当斜边长为 时，
，
， （舍）．
②当 和 为直角边长时，
．
∵
∴ ．
综合①②，x= 或5．故答案为： 或5.
【分析】设第三边为长为 x ( x > 0 ) ，根据题意可知分两种情况；①当斜边长为 5 时，由勾股定理可得+= ，解得x = 3 ， x = 3 （舍）；
②当 4 和 5 为直角边长时，=+，解得x=±，根据边长不为负数可得x=。
14．【答案】
【知识点】勾股定理
【解析】【解答】如图，
．
在Rt△OBC中， ，
∴ ．
故答案为：20cm.
【分析】根据题意可得BO=15-AB=12，OC=20-CD=16，
在Rt△OBC中，由勾股定理可得BC==20.
15．【答案】
【知识点】三角形内角和定理；平行四边形的性质
【解析】【解答】∵平行四边形 ，
∴ ．
∵ ，
∴ ．
∵ ，
∴ ．故答案为：25°.
【分析】根据平行四边形的性质可得 ∠DCB=∠A= 65 °，而DC=DB，由等边对等角可得∠EBC=∠DCB=65 ° ，根据直角三角形两锐角互余可得∠BCE= 90° ∠EBC=25°.
16．【答案】2
【知识点】正方形的性质；几何图形的面积计算-割补法
【解析】【解答】过 分别作正方形边长的垂线 A和 B．
∴四边形 为正方形．
∵ ， ，
∴ ，
∴ ≌ ．
∴ ．同理 ．∴ ． 故答案为：2.
【分析】过 分别作正方形边长的垂线 A 和B，由割补法可得 =ABE的面积 = S=1，同理 = 1，所以阴影部分的面积=2.
17．【答案】
【知识点】多边形内角与外角；正方形的性质
【解析】【解答】连接AC，
则AC所在直线为BD的垂直平分线，
∴AM=AN=CM=CN，
在△AMN和△CMN中， ，
∴△AMN≌△CMN，即∠EAF=∠MCN=50°
∴∠AMC+∠ANC=360°-50°-50°=260°，
∵∠CNF=180°-∠ANC，
∠CME=180°-∠CMA，
∴∠CME+∠CNF=180°-∠CMA+180°-∠ANC=100°
故答案为 100．
【分析】 根据正方形是轴对称图形可得AM=CM，AN=CN，而MN=MN，所以△AMN≌△CMN，所以∠EAF=∠MCN=50°，由四边形的内角和为360°可求得∠AMC+∠ANC=360°-50°-50°=260°，根据邻补角的意义可得，∠CNF=180°-∠ANC，∠CME=180°-∠CMA，所以∠CME+∠CNF=180°-∠CMA+180°-∠ANC=100°。
18．【答案】到线段两端点距离相等的点在线段的垂直平分线上；对角线互相垂直平分的四边形为菱形
【知识点】线段垂直平分线的性质；菱形的判定；线段垂直平分线的判定；作图-线段垂直平分线
【解析】【解答】根据对角线互相垂直平分的四边形是菱形可得出结论.
由作图可得AB与CD互相垂直平分，所以四边形ACBD为菱形，则小军的作图依据为：到线段两端点距离相等的点在线段的垂直平分线上，对角线互相垂直平分的四边形为菱形.
【分析】依据是线段的垂直平分线的判定定理：到线段两端点距离相等的点在线段的垂直平分线上。菱形的判定定理：对角线互相垂直平分的四边形是菱形。
19．【答案】（1）解：如图 即为所求．
（2）解：
【知识点】平行四边形的性质；旋转的性质
【解析】【分析】（1）根据旋转的性质即可画出图形；
（2）根据平行四边形的对边平行且相等可得顶点 D 的坐标为（1，1）.
20．【答案】解：∵ ≌ ，∴ ， ， ．∵ ，∴ ，∴ ．∵ ，∴ ．∴在 中，
【知识点】勾股定理；旋转的性质
【解析】【分析】根据旋转的性质可得∠BED=∠A=90°，BA=BE，∠EBD=∠ABC=30°，根据锐角三角函数可得AB=BE=2，根据平行线的性质可得∠CBE=∠BED=90°，在 Rt△CBE中，用勾股定理可得CE==.
21．【答案】（1）解：∵一次函数 过点 ， ，
∴
解得
∴一次函数解析式为
（2）解：∵一次函数 与 轴交于 ∴
作 交于点 ．
∴ ．
∵ ，
∴ ，
∴ ．
【知识点】待定系数法求一次函数解析式；一次函数图象与坐标轴交点问题
【解析】【分析】（1）因为函数 y = m x 的图象过点 B ( 2 ， 1 ) ，所以-1=-2m，解得m=，y=x；
因为一次函数y=kx+b的图象经过点A(2， 3)和B( 2， 1) ，所以可得关于k、b的方程组，解得k=-，b=-2，所以一次函数解析式为y= x-2；
（2）因为一次函数y= x-2 的图象与 y 轴交于点 C，所以C ( 0 ， 2 )，作BD⊥OC交于点D，由题意可得OD=DC=1，BD=2 ，所以△BOC的面积=BD×OC=2 。
22．【答案】（1）证明：∵ ， 为 边上中线，
∴ ．
∵ ，
∴ 平分 ， ，
∴ ．
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴四边形 为菱形
（2）解：综合（ ）的结论可知菱形 的面积为 ，∴ ， ．∵ 为 的中点， 为 的中点，∴ ，∴ ．
∴
即
又 ．
∴ ，
∴ ．
∵ ，
∴ ．
∵
∵ ， ，
∴四边形 为菱形．
∵ 且 ，∴ ，
∴ ，
．
【知识点】菱形的性质；菱形的判定；三角形的中位线定理；直角三角形斜边上的中线
【解析】【分析】1）根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半可得CD=BD=AB，根据等腰三角形的三线合一可得DE 平分 BC ， ∠BDE = ∠CDE，所以根据线段的垂直平分线的性质可得FC=FB，由平行线的性质可得 ∠BDF=∠CFD，所以∠CDF=∠CFD，CD=CF=BF=BD，根据菱形的判定可得四边形 BDCF 为菱形；
（2）由题意可知菱形 BDCF 的面积为 24 ，所以DF BC = 24 ，则DF BC = 48 ，根据三角形的中位线定理可得DE∥AC ，DE=AC，DF∥AC，DF=AC， CE ： AC =BC ： DF=2：3，即BC ： DF= 4 ： 3，代入DF BC = 48 可得DF = 6 ， BC = 8，所以AC=DF=6 ，用勾股定理可得AB=10，由（1）可得CD=BD=AB=5，而DF∥AC ，DF=AC， DF=DA ，所以由菱形的判定可得四边形ACFD为菱形，根据菱形的面积等于两对角线乘积的一半可得CD AF=24 ，解得AF=.
23．【答案】（1）解：如图，
（2）解：如图，
（3）解：如图，
【知识点】几何图形的面积计算-割补法
24．【答案】（1）解： ，
（2）证明：连接 ，∵ ，∴ ．
∵ ，
∴ ．
∵ ≌ ，
∴ ， ，
∴ ，又∵
∴四边形 为正方形．
∵ 为 中点， 为 中点，
∴ ，
∴ ， ，
∴ ．
∵ ，
∴ ．
≌ ，
∴ ， ．
∵ ，∴ ，∴ ．
（3）解：连接 ．∵ ， 为 ， 中点，∴ ．
在 中
∵ ， ，
∴ ．
．
∵ ，
∴ ．
【知识点】三角形三边关系；全等三角形的判定与性质；正方形的判定与性质；三角形的中位线定理；直角三角形斜边上的中线
【解析】【分析】（1）由旋转的性质可得∠CNM=∠ABC=90°，AM=AC，因为点 P 是线段 C M 的中点，根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半可得PN=CM，PB=CM，所以PN=PB；因为AB=BC，所以∠ACB=∠CAB=45°，所以∠AMC=∠ACM=∠CAB= 225°，所以∠MPN=∠CPB=45°，则∠BPN=180°-45°-45°=90°，即PN⊥PB。
（2）连接 PO ，因为α = 90 ° ，所以 ∠MAB=90° ，已知∠ABC=90° ，所以AM∥BC ，由旋转的性质可得AB=AM，OB=MN，根据一组对边平行且相等的四边形是平行四边形可得四边形ABCM是平行四边形，再由有一个角是直角且有一组邻边相等的平行四边形是正方形形可得四边形ABCM为正方形，根据三角形的中位线定理可得OP∥AM ，OP=AM ，OP=PM，∠POC=∠MAC=45°，根据三角形外角的性质可得∠BOP=∠BOC+∠POC=135°，由角的构成可得 ∠PMN=90 ° + 45 ° = 135 ° ，所以∠PMN=∠POB， ≌△ ， PN=PB，∠MPN=∠OPB．而 ，所以 ，即 ；
（3）连接OP，由三角形的中位线定理可得OP=AM=AB=1，在 Rt△AOB中，由勾股定理可得 OB=，所以根据三角形三边关系定理可BO OP≤PB≤BO+PO （在旋转过程中，当BO=OP时，有"="号），而PB=PN，所以-1≤PN≤+1.
25．【答案】（1）；
（2）解： 其交换函数为 ，与 轴交点分别为 ， ，
解之得 ，
∴ ，
（3） ．
【知识点】两一次函数图象相交或平行问题；一次函数图象与坐标轴交点问题；定义新运算
【解析】【解答】解：（ ） ；
（ ）连接
由翻折可得 ．
∵ ， 分别为 ， 中点，
∴直线 为矩形 的对称轴，
∴ ，
∴ 为等边三角形，
∴ ，
∴ ．
在 中，
，
∴ ， ．
∵ 和 与 线段始终有交点
当 时， ，
∴
．
【分析】（1）根据交换函数的定义可得函数 y = 2 x + 1 的交换函数是y=x+2；求出 y=2x+1与y=x+2的交点坐标为（1，3），再求出 y=2x+1与x轴的交点坐标为（-，0），y=x+2与x轴的交点坐标为（-2，0），所以x轴上两交点间的距离为--（-2）=，所以这对交换函数和 x 轴所围图形的面积=3=；
（2）方法同（1）。y=ax+2a 其交换函数为 y=2ax+a，与 x 轴交点分别为 ( 2 ， 0 ) ， ( ， 0 )，两函数的交点坐标为（1，3a），所以根据题意可得S==3，解得a=；
（3）连接 BE，由翻折的性质可得 AB=AE ，根据线段中点和对称轴的意义可得直线 MN 为矩形 OABC 的对称轴，所以EA = EB = AB = OC=，
△EAB 为等边三角形，由等边三角形的性质可得∠EBA = 60°，∠EBF=30° ， 在 Rt △EFB中，根据30°角所对的直角边等于斜边的一半可得EF=BC=，则FB=1，所以F ( 1 ， ) ， E ( 1 ， )，根据题意两直线与E F 线段始终有交点，当 x = 1 时， y 1 = y 2 = + m ，所以可得，解得.