卷子答案网-一个不只有答案的网站2023-2024 学年辽宁省盘锦市双台子八年级（上）月考数学试卷
（10 月份）
一、选择题（下列各题的备选答案中，只有一个是正确的，请将正确答案填在答题纸的表
格中（每小题 3 分，共 30 分）
1 ．（3 分）下列各组线段，能组成三角形的是( )
A ．2cm ，3cm ，5cm B ．5cm ，6cm ，10cm
C ．1cm ，1cm ，3cm D ．3cm ，4cm ，8cm
2 ．（3 分）多边形每一个内角都等于 150 ° , 则从此多边形一个顶点发出的对角线有( )
A ．7 条 B ．8 条 C ．9 条 D ．10 条
3 ．（3 分）两本书按如图所示方式叠放在一起，则图中相等的角是( )
A . ∠1 与∠2 B . ∠2 与∠3
C . ∠1 与∠3 D ．三个角都相等
4 ．（3 分）如图，点 D ，E 分别在线段 AB ，CD 与 BE 相交于 O 点，已知 AB ＝AC( )
A . ∠B = ∠C B ．AD ＝AE C ．BD ＝CE D ．BE ＝CD
5 ．（3 分）如图为 6 个边长相等的正方形的组合图形，则∠1+∠2+∠3 的度数是( )
A ．75 ° B ．90 ° C ．105 ° D ．135 °
6 ．（3 分）下列图标中是轴对称图形的是( )
A ． B ． C ． D .
7 ．（3 分）平面直角坐标系中，点(﹣2 ，4）关于 x 轴的对称点在( )
A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限 D ．第四象限
8 ．（3 分）等腰三角形一个角为 50 ° , 则这个等腰三角形的顶角可能为( )
A ．50 ° B ．65 ° C ．80 ° D ．50 °或 80 °
9 ．（3 分）如图：等边三角形 ABC 中，BD ＝CE ，AD 与 BE 相交于点 P( )
A ．45 ° B ．55 ° C ．60 ° D ．75 °
10 ．（3 分）如图，△ABC 中， ∠BAC 的平分线交 BC 于点 D ，DF⊥AB ，垂足分别为 E ，F；
②AD 垂直平分 EF； ③EF 一定平行 BC； ④ = ( )
A . ①②④ B . ①②③ C . ①③④ D . ①②③④
二．填空题（每小题 3 分，共 24 分）
11 ．（3 分） 如图， ∠ABD 、 ∠ACD 的角平分线交于点 P ，若∠A ＝50 ° , 则∠P 的度数
为 .
12 ．（3 分）三角形的三边长分别为 5 ，8 ，x ，则最长边 x 的取值范围是 .
13．（3 分）如图所示，△ABC 的面积为 1cm2，AP 垂直∠ABC 的平分线 BP 于点 P，则△PBC
的面积是 .
14．（3 分）如图，在 Rt△ABC 中，∠C ＝90 ° , 点 D 到 AB 的距离为 6，则 BC 的长是 .
15 ．（3 分） 在平面直角坐标系中，将点 A (﹣5 ， ﹣3） 向右平移 8 个单位长度得到点
B .
16．（3 分）如图，CE 平分∠ACB，且 CE⊥DB，又知 AC ＝18，△CDB 的周长为 28 .
17 ．（3 分） 将一副三角尺如图所示叠放在一起 ，若 AB ＝4cm ，则阴影部分的面积是
2
cm .
18 ．（3 分）如图，点 B 的坐标为（4 ，4），作 BA⊥x 轴，垂足分别为 A ，C ，点 D 为线段
OA 的中点，在线段 AB 、BC 上沿 A →B →C 运动，当 OP ＝CD 时 .
三．计算与证明（共 ‘‘ 分）
19 ．（8 分）如图，已知 A（0 ，4），B(﹣2 ，2），C（3 ，0）.
（1）作△ABC 关于 x 轴对称的△A1B1C1；
（2）写出点A1、B1、C1 的坐标：A1（ ），B1（ ），C1( );
（3） △A1B1C1 的面积为 .
20 ．（8 分）如图，经测量，B 处在 A 处的南偏西 57 ° 的方向，C 处在 B 处的北偏东 82 °方
向，求∠C 的度数.
21 ．（8 分）如图所示，已知点 A ，F，E ，C 在同一直线上， ∠ABE = ∠CDF，AF＝CE ．求
证：BE ＝DF.
22 ．（8 分） 已知： ∠AOB ＝90 ° , OM 是∠AOB 的平分线，将三角板的直角顶点 P 在射线
OM 上滑动，证明你的结论.
23 ．（10 分）如图，在△ABC 中， ∠ACB ＝90 ° , 过点 D 作 AC 的垂线，垂足为 F ，连接
CE .
（1）求证：CE ＝BE .
（2）若 AB ＝15cm ，P 是直线 DE 上的一点．则当 P 在何处时，PB+PC 最小？并求出此
时 PB+PC 的值.
24 ．（12 分）如图，CA ＝CB ，CD ＝CE ，AD 、BE 交于点 H，连接 CH.
（1）求证：AD ＝BE；
（2）求证：CH 平分∠AHE；
（3）求∠CHE 的度数．（用含“ 的式子表示）
25 ．（12 分） 已知，△ABC 是等腰直角三角形，BC ＝AB ，直角顶点 B 在y 轴上，点 C 在 x
轴上方.
（1）如图 1 所示，若 A 的坐标是(﹣3 ，0），点 B 的坐标是（0 ，1）；
（2）如图 2 ，过点 C 作 CD⊥y 轴于 D ，请直接写出线段 OA ，CD 之间等量关系；
（3）如图 3 ，若 x 轴恰好平分∠BAC ，BC 与 x 轴交于点 E ， 问 CF 与 AE 有怎样的数量
关系？并说明理由.
参考答案与试题解析
一、选择题（下列各题的备选答案中，只有一个是正确的，请将正确答案填在答题纸的表
格中（每小题 3 分，共 30 分）
1 ．【分析】根据三角形的三边关系定理即可进行判断.
【解答】解：A 、3+2 ＝2；
B 、5+6＞10；
C、2+1＜3；
D 、7+3＜8 .
故选：B .
【点评】考查了三角形的三边关系，验证三角形的三边关系定理：任意两边之和大于第
三边．只要验证两条较短的边的和大于最长的边即可.
2．【分析】多边形的每一个内角都等于 150 ° , 多边形的内角与外角互为邻补角，则每个外 角是 30 度，而任何多边形的外角是 360 ° , 则求得多边形的边数；再根据不相邻的两个 顶点之间的连线就是对角线，则此多边形从一个顶点出发的对角线共有（n﹣3）条，即
可求得对角线的条数.
【解答】解： ∵多边形的每一个内角都等于 150 ° ,
∴每个外角是 30 ° ,
∴多边形边数是 360 ° ÷30 ° = 12，
则此多边形从一个顶点出发的对角线共有 12﹣3 ＝9（条）.
故选：C .
【点评】本题主要考查了多边形的外角和定理，已知外角求边数的这种方法是需要熟记
的内容．多边形从一个顶点出发的对角线共有（n﹣3）条.
3．【分析】书本的两组对边是两组平行线，根据对顶角相等，邻补角互补，以及三角形内角
和定理即可求解.
【解答】解：在直角△DEF 与直角△FMP 中， ∠E = ∠M＝90 ° ,
∴∠4 = ∠FPM，
∴∠2 = ∠7；
同理易证∠ANB = ∠CAE ，而∠CAE 与∠4 不一定相等.
因而∠1 与∠8 不一定相等.
故图中相等的角是∠2 与∠3 .
故选：B .
【点评】本题主要考查了三角形内角和定理及对顶角、邻补角的性质.
4 ．【分析】欲使△ABE≌△ACD ，已知 AB ＝AC ，可根据全等三角形判定定理 AAS、SAS、
ASA 添加条件，逐一证明即可.
【解答】解： ∵AB ＝AC， ∠A 为公共角，
A 、如添加∠B = ∠C；
B 、如添 AD ＝AE；
C、如添 BD ＝CE ，利用 SAS 即可证明△ABE≌△ACD；
D 、如添 BE ＝CD ，不能证明△ABE≌△ACD .
故选：D .
【点评】此题主要考查学生对全等三角形判定定理的理解和掌握，此类添加条件题，要
求学生应熟练掌握全等三角形的判定定理.
5 ．【分析】标注字母，利用“边角边 ”判断出△ABC 和△DEA 全等，根据全等三角形对应 角相等可得∠1 = ∠4 ，然后求出∠1+∠3 ＝90 ° , 再判断出∠2 ＝45 ° , 然后计算即可得
解.
【解答】解：如图，
在△ABC 和△DEA 中，
, ∴△ABC≌△DEA（SAS），
∴∠1 = ∠4，
∵∠4+∠4 ＝90 ° ,
∴∠1+∠8 ＝90 ° ,
又∵∠2 ＝45 ° ,
∴∠1+∠2+∠3 ＝90 °+45 ° = 135 ° .
故选：D .
【点评】本题考查了全等图形，网格结构，准确识图判断出全等的三角形是解题的关键.
6 ．【分析】根据轴对称图形的概念求解.
如果一个图形沿着一条直线对折后两部分完全重合，这样的图形叫做轴对称图形，这条
直线叫做对称轴.
【解答】解：A 、不是轴对称图形；
B 、不是轴对称图形；
C、不是轴对称图形；
D 、是轴对称图形；
故选：D .
【点评】本题考查了轴对称图形的概念．轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分
折叠后可重合.
7 ．【分析】利用关于 x 轴对称点的坐标特点：横坐标不变，纵坐标互为相反数．即点 P（x，
y）关于 x 轴的对称点 P ′ 的坐标是（x ，﹣y），进而得出答案.
【解答】解：点(﹣2 ，4）关于 x 轴的对称点为，﹣3），
故(﹣2 ，﹣4）在第三象限.
故选：C .
【点评】此题主要考查了关于 x 轴对称点的性质，正确记忆横纵坐标的关系是解题关键. 8 ．【分析】分两种情况：当 50 °角为等腰三角形的顶角时，可得出顶角的度数；当 50 °角
为等腰三角形的底角时，可得两底角的度数，根据三角形的内角和定理可求出此时等腰
三角形的顶角，综上，得到等腰三角形顶角的所有可能值.
【解答】解：分两种情况：
当 50 °角为等腰三角形的顶角时，此时等腰三角形的顶角 50 ° ;
当 50 °角为等腰三角形的底角时，此时等腰三角形的顶角为：180 °﹣50 ° ×2 ＝80 ° ,
综上，等腰三角形的顶角为 50 °或 80 ° .
故选：D .
【点评】此题考查了等腰三角形的性质， 以及三角形的内角和定理，利用了分类讨论的
数学思想，是一道易错题．本题有两解，学生做题时注意不要漏解.
9．【分析】根据题目已知条件可证△ABD≌△BCE ，再利用全等三角形的性质及三角形外角
和定理求解.
【解答】解： ∵等边△ABC，
∴∠ABD = ∠C，AB ＝BC，
在△ABD 与△BCE 中，，
∴△ABD≌△BCE（SAS），
∴∠BAD = ∠CBE，
∵∠ABE+∠EBC ＝60 ° ,
∴∠ABE+∠BAD ＝60 ° ,
∴∠APE = ∠ABE+∠BAD ＝60 ° ,
∴∠APE ＝60 ° .
故选：C .
【点评】本题考查等边三角形的性质，关键是利用等边三角形的性质来为三角形全等的
判定创造条件，是中考的热点.
10 ．【分析】设 AD 与 EF 相交于点 G ，先利用角平分线的性质可得 DF ＝DE ，从而可得∠ DFE = ∠DEF，再根据等式的性质可得∠AFE = ∠AEF，从而可得 AF＝AE，进而可得 AD
是 EF 的垂直平分线，然后根据∠ADC≠∠AGF，可得 EF 不一定平行 BC ，再根据三角
形的面积公式可得 ＝ ，即可解答.
【解答】解：设 AD 与 EF 相交于点 G，
∵AD 平分∠EAF，DE⊥AC，
∴DF＝DE，
∴∠DFE = ∠DEF，
∵∠DFA = ∠DEA ＝90 ° ,
∴∠DFA = ∠DEA ＝90 ° ,
∴∠DFA﹣∠DFE = ∠DEA﹣∠DEF，
∴∠AFE = ∠AEF，
∴AF＝AE，
∴AD 是 EF 的垂直平分线，
∴∠AGF＝90 ° ,
∵∠ADC≠∠AGF，
∴EF 不一定平行 BC，
∵△BFD 的面积＝BF DFCE DE，
∴ = ,
∴上面四个结论，其中正确的是①②④ ,
故选：A .
【点评】本题考查了等腰三角形的判定与性质，三角形的面积，线段垂直平分线的性质， 平行线的判定，熟练掌握等腰三角形的判定与性质， 以及线段垂直平分线的性质是解题
的关键.
二．填空题（每小题 3 分，共 24 分）
11 ．【分析】延长 PC 交 BD 于 E ，设 AC、PB 交于 F，根据三角形的内角和定理得到∠A+ ∠ABF+∠AFB = ∠P+∠PCF+∠PFC ＝180 °推出∠P+∠PCF= ∠A+∠ABF，根据三角形 的外角性质得到∠P+∠PBE = ∠PED，推出∠P+∠PBE = ∠PCD﹣∠D，根据 PB、PC 是 角平分线得到∠PCF= ∠PCD ， ∠ABF = ∠PBE ，推出 2∠P = ∠A﹣∠D ，代入即可求出
∠P .
【解答】解：延长 PC 交 BD 于 E ，设 AC，
∵∠A+∠ABF+∠AFB = ∠P+∠PCF+∠PFC ＝180 ° ,
∵∠AFB = ∠PFC，
∴∠P+∠PCF= ∠A+∠ABF，
∵∠P+∠PBE = ∠PED ， ∠PED = ∠PCD﹣∠D，
∴∠P+∠PBE = ∠PCD﹣∠D，
∴2∠P+∠PCF+∠PBE = ∠A﹣∠D+∠ABF+∠PCD，
∵PB 、PC 是角平分线
∴∠PCF= ∠PCD ， ∠ABF= ∠PBE，
∴2∠P = ∠A﹣∠D
∵∠A ＝50 ° , ∠D ＝10 ° ,
∴∠P ＝20 ° .
故答案为：20 ° .
【点评】本题主要考查对三角形的内角和定理，三角形的外角性质，对顶角的性质，角
平分线的性质等知识点的理解和掌握，能熟练地运用这些性质进行计算是解此题的关键.
12 ．【分析】根据两边之和大于第三边进行求解即可.
【解答】解： 由题意得：x＜5+8 ＝13，
∵x 为最长边，
∴6≤x＜13；
故答案为：8≤x＜13 .
【点评】本题考查是三角形的三边关系，熟练掌握三角形的三边关系是解题的关键.
13 ．【分析】延长 AP 交 BC 于点 E ， 由角平分线的定义可知∠ABP = ∠EBP ，结合 BP ＝BP
以及∠APB = ∠EPB ＝90 ° 即可证出△ABP≌△EBP（ASA），进而可得出 AP ＝EP ，根据
三角形的面积即可得出 S△APC ＝S△EPC ，再根据 S△PBC ＝S△BPE+S△EPC ＝S△ABC 即可得出
结论.
【解答】解：延长 AP 交 BC 于点 E ，如图所示.
∵AP 垂直∠ABC 的平分线 BP 于点 P，
∴∠ABP = ∠EBP .
在△ABP 和△EBP 中，
, ∴△ABP≌△EBP（ASA），
∴AP ＝EP .
∵△APC 和△EPC 等底同高，
∴S△APC ＝S△CPE，
(
（
cm
2
），
)∴S△PBC ＝S△BPE+S△CPE ＝S△ABC =
故答案为：cm2 .
【点评】本题考查了等腰三角形的判定和性质，全等三角形的判定与性质、角平分线的
定义以及三角形的面积，找出 S△PBC ＝S△ABC 是解题的关键.
14．【分析】作 DE⊥AB 于 E ，如图，则 DE ＝6 ，根据角平分线定理得到 DC ＝DE ＝6 ，再由
BD：DC ＝3：2 可计算出 BD ＝9 ，然后利用 BC ＝BD+DC 进行计算即可.
【解答】解：作 DE⊥AB 于 E ，如图，则 DE ＝6，
∵AD 平分∠BAC，
∴DC ＝DE ＝6，
∵BD：DC ＝5：2，
∴BD = ×6 ＝9，
∴BC ＝BD+DC ＝4+6 ＝15 .
故答案为 15 .
【点评】本题考查了角平分线的性质：角的平分线上的点到角的两边的距离相等.
15．【分析】根据点的平移规律可得点 B 的坐标，然后再根据关于y 轴的对称点的坐标特点：
横坐标互为相反数，纵坐标不变可得答案.
【解答】解：根据题意知点 B 的坐标为(﹣5+8 ，﹣5），﹣3），
所以点 B 关于y 轴的对称点 C 的坐标是(﹣3 ，﹣2），
故答案为：(﹣3 ，﹣3）.
【点评】此题主要考查了点的平移和关于y 轴的对称点的坐标特点，关键是掌握点的坐
标的变化规律.
16．【分析】由已知易得 CD ＝BC，AD ＝BD ，则 AC ＝CD+BD ＝18 ，所以 BC ＝28﹣18 ＝10，
则 CD ＝10 ，即可求得 BD .
【解答】解： ∵CE 平分∠ACB ，且 CE⊥DB，
∴CD ＝BC，
∵∠DAB = ∠DBA，
∴AD ＝BD，
∵AC ＝CD+AD ＝18，
∴AC ＝CD+BD ＝18，
∴BC = △BCD 的周长﹣AC ＝28﹣18 ＝10，
∴CD ＝10，
∴BD ＝18﹣10 ＝8 .
故答案为：8 .
【点评】此题主要考查等腰三角形的判定和性质，注意认真观察图中各边之间的关系.
17 ．【分析】 由于 BC∥DE ，那么△ACF 也是等腰直角三角形，欲求其面积，必须先求出直
角边 AC 的长；Rt△ABC 中，已知斜边 AB 及∠B 的度数，易求得 AC 的长，进而可根据
三角形面积的计算方法求出阴影部分的面积.
【解答】解： ∵∠B ＝30 ° , ∠ACB ＝90 ° ,
∴AC ＝2cm .
由题意可知 BC∥ED，
∴∠AFC = ∠ADE ＝45 ° ,
∴AC ＝CF＝2cm .
故 S△ACF = ×2×8 ＝2（cm2）.
故答案为：5 .
【点评】本题考查了相似三角形的判定和性质以及解直角三角形，发现△ACF 是等腰直
角三角形，并能根据直角三角形的性质求出直角边 AC 的长，是解答此题的关键.
18 ．【分析】分两种情况①当点 P 在正方形的边 AB 上时，根据正方形的性质用 HL 判断出 Rt△OCD≌Rt△OAP，得出 AP ＝2，得出点 P 的坐标，②当点 P 在正方形的边 BC 上时，
同①的方法即可.
【解答】解： ①当点 P 在正方形的边 AB 上时，
在 Rt△OCD 和 Rt△OAP 中，
∴Rt△OCD≌Rt△OAP，
∴OD ＝AP，
∵点 D 是 OA 中点，
∴OD ＝AD ＝OA，
∴AP ＝AB ＝2，
∴P（2 ，2），
②当点 P 在正方形的边 BC 上时，
同①的方法，得出 CP = ,
∴P（2 ，4）
∴P（5 ，4）或（4
故答案为（4 ，4）或（4
【点评】此题是全等三角形的判定和性质，主要考查了正方形的性质，全等三角形的判
定和性质，解本题的关键是判断出 Rt△OCD≌Rt△OAP .
三．计算与证明（共 ‘‘ 分）
19 ．【分析】（1）（2）利用关于 x 轴对称的点的坐标特征写出点 A1 、B1 、C1 的坐标，然后描
点即可；
（3）用一个矩形的面积分别减去三个直角三角形的面积去计算△A1B1C1的面积.
【解答】解：（1）如图， △A1B1C4 为所作；
（2）A1（0 ，﹣2），B1 (﹣2 ，﹣3），C1（3 ，8）；
故答案为 0 ，﹣4 ，﹣4；3 ，0；
（3） △A2B1C1 的面积＝8×4﹣×2×2﹣贵×2×5 ＝6 .
故答案为 7 .
【点评】本题考查了作图﹣轴对称变换：几何图形都可看作是由点组成，我们在画一个
图形的轴对称图形时，也是先从确定一些特殊的对称点开始的.
20 ．【分析】根据平行线的性质，可得内错角相等，根据角的和差，可得∠ABC、 ∠BAC，
根据三角形的内角和公式，可得答案.
【解答】解：因为 BD∥AE，
所以∠DBA = ∠BAE ＝57 ° .
所以∠ABC = ∠DBC﹣∠DBA ＝82 °﹣57 ° =25 ° .
在△ABC 中， ∠BAC = ∠BAE+∠CAE ＝57 °+15 ° =72 ° ,
所以∠C ＝180 °﹣∠ABC﹣∠BAC ＝180 °﹣25 °﹣72 ° = 83 ° .
【点评】本题考查了方向角，方向角是相互的，先求出∠ABC、 ∠BAC ，再求出答案.
21 ．【分析】先根据 AF ＝CE 利用等式的性质得：AE ＝FC ， 由 AB∥CD 得内错角相等，则
△ABE≌△CDF，得出结论.
【解答】证明： ∵AF＝CE，
∴AF+EF＝CE+EF，
即 AE ＝CF，
∵AB∥CD，
∴∠BAC = ∠DCA，
∵∠ABE = ∠CDF，
∴△ABE≌△CDF（AAS），
∴BE ＝DF.
【点评】本题考查了全等三角形的性质和判定，是常考题型，比较简单；熟练掌握全等
三角形的性质和判定是做好本题的关键.
22．【分析】过 P 分别作 PE⊥OB 于 E，PF⊥OA 于 F，由角平分线的性质易得 PE ＝PF，然
后由同角的余角相等证明∠1 = ∠2 ，即可由 ASA 证明△CFP≌△DEP ，从而得证.
【解答】答：PC ＝PD .
证明：过 P 分别作 PE⊥OB 于 E ，PF⊥OA 于 F，
∴∠CFP = ∠DEP ＝90 ° ,
∵OM 是∠AOB 的平分线，
∴PE ＝PF，
∵∠1+∠FPD ＝90 ° , ∠AOB ＝90 ° ,
∴∠FPE ＝90 ° ,
∴∠2+∠FPD ＝90 ° ,
∴∠5 = ∠2，
在△CFP 和△DEP 中，
,
∴△CFP≌△DEP（ASA），
∴PC ＝PD .
【点评】此题考查了角平分线的性质以及全等三角形的判定与性质．此题难度适中，注
意掌握数形结合思想的应用.
23．【分析】（1）先证明 DE 是 AC 的垂直平分线，再证明 DE∥BC，最后由∠ECB = ∠EBC，
即可证得 CE ＝BE；
（2）连接 PA，PC，由垂直平分线的性质可得 PC ＝PA，再由两点之间线段最短即可得到
所求 PA+PB 最小为 AB 的长.
【解答】解：（1） ∵△ACD 为等边三角形，DE⊥AC，
∴DE 垂直平分 AC，
∴∠AEF= ∠FEC，
∵∠ACB = ∠AFE ＝90 ° ,
∴DE∥BC，
∴∠AEF= ∠EBC， ∠FEC = ∠ECB，
∴∠ECB = ∠EBC，
∴CE ＝BE；
（2）连接 PA ，PC，
∵DE 垂直平分 AC，P 在 DE 上，
∴PC ＝PA，
∵两点之间线段最短，
∴当 P 与 E 重合时 PA+PB 最小为 15 cm，
∴PB+PC 最小为 15 cm .
【点评】本题考查轴对称求最短距离，熟练掌握线段垂直平分线的性质、等边三角形的
性质是解题的关键.
24 ．【分析】（1） 由条件根据 SAS 可证明△ACD≌△BCE ，则结论得证；
（2）过点 C 作 CM⊥AD 于 M，CN⊥BE 于 N，可证明△ACM≌△BCN，可证得 CM=
CN，利用角平分线的判定可证明结论；
（3） 由（1）可得∠CAD = ∠CBE ，再利用三角形内角及外角的性质可求得∠AHE .
【解答】（1）证明： ∵∠ACB = ∠DCE = ,
∴∠ACD = ∠BCE，
在△ACD 和△BCE 中，
, ∴△ACD≌△BCE（SAS），
∴AD ＝BE；
（2）证明：过点 C 作 CM⊥AD 于 M，CN⊥BE 于 N，
∵△ACD≌△BCE，
∴∠CAM= ∠CBN，
在△ACM 和△BCN 中，
, ∴△ACM≌△BCN（AAS），
∴CM＝CN，
∵CM⊥AD 于 M，CN⊥BE 于 N，
∴CH 平分∠AHE；
（3）解： ∵△ACD≌△BCE，
∴∠CAD = ∠CBE，
∵∠AMC = ∠AMC，
∴∠AHB = ∠ACB = ,
∴∠AHE ＝180 °﹣“ ,
由（2）得 CH 平分∠AHE，
∴∠CHE = ∠AHE ＝180 °﹣“ ,
即∠CHE ＝180 °﹣“ .
【点评】本题主要考查全等三角形的判定和性质，角平分线的判定，正确作出辅助线是
解题的关键.
25 ．【分析】（1）作 CH⊥y 轴于 H，如图 1 ，易得 OA ＝3 ，OB ＝1 根据等腰直角三角形的性 质得 BA ＝BC ， ∠ABC ＝90 ° , 再利用等角的余角相等得到∠CBH= ∠BAO ，则可根据
“AAS ”证明△ABO≌△BCH，得到 OB ＝CH＝1 ，OA ＝BH＝3 ，所以 C(﹣1 ，4）；
（2）与（1）一样的方法可证明△ABO≌△BCD ，得到 OB ＝CD ，OA ＝BD ，易得 OA =
CD+OD；
（3）如图 3 ，CF 和 AB 的延长线相交于点 D ，先证明△ABE≌△CBD 得到 AE ＝CD ，再
利用对称性质得 CF＝DF，所以 CF＝AE .
【解答】解：（1）作 CH⊥y 轴于 H，如图 1，
∵点 A 的坐标是(﹣3 ，2），1），
∴OA ＝3 ，OB ＝3，
∵△ABC 是等腰直角三角形，
∴BA ＝BC， ∠ABC ＝90 ° ,
∴∠ABO+∠CBH＝90 ° ,
∵∠ABO+∠BAO ＝90 ° ,
∴∠CBH= ∠BAO，
在△ABO 和△BCH 中
,
∴△ABO≌△BCH（AAS），
∴OB ＝CH＝1 ，OA ＝BH＝3，
∴OH＝OB+BH＝6+3 ＝4，
∴C(﹣4 ，4）；
（2）OA ＝CD+OD ．理由如下：如图 2，
∵△ABC 是等腰直角三角形，
∴BA ＝BC， ∠ABC ＝90 ° ,
∴∠ABO+∠CBD ＝90 ° ,
∵∠ABO+∠BAO ＝90 ° ,
∴∠CBD = ∠BAO，
在△ABO 和△BCD 中
,
∴△ABO≌△BCD（AAS），
∴OB ＝CD ，OA ＝BD，
而 BD ＝OB+OD ＝CD+OD，
∴OA ＝CD+OD；
（3）CF＝AE
如图 3 ，CF 和 AB 的延长线相交于点 D，
∴∠CBD ＝90 ° ,
∵CF⊥x，
∴∠BCD+∠D ＝90 ° ,
而∠DAF+∠D ＝90 ° ,
∴∠BCD = ∠DAF，
在△ABE 和△CBD 中，
,
∴△ABE≌△CBD（ASA），
∴AE ＝CD，
∵x 轴平分∠BAC，CF⊥x 轴，
∴CF＝DF，
∴CF＝CD = .
【点评】本题考查了全等三角形的判定与性质：全等三角形的判定是结合全等三角形的性质 证明线段和角相等的重要工具．也考查了坐标与图形性质和等腰直角三角形的性质．本题的
关键是利用等腰直角三角形的性质添加辅助线构建全等三角形.
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