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(总课时23)§3.4圆周角和圆心角的关系(1)
【学习目标】了解圆周角的概念；理解圆周角定理的证明．
【学习重难点】圆周角定理的三种情况证明，圆周角定理的应用.
【导学过程】
一.知识回顾
1.顶点在圆心的角叫______,圆心角的度数______它所对弧的度数
2.下列命题是真命题的是( )
①垂直弦的直径平分这条弦②相等的圆心角所对的弧相等③圆既是轴对称图形,又是中心对称图形
④平分弦的直径垂直这条弦.
A.①② B.①③ C.②③④ D.①②③
二.探究新知
探究1：圆周角
定义：顶点在圆上,两边分别与圆还有另一个交点的角叫圆周角.如图1.
特征：①角的顶点在圆上.②角的两边都与圆有另外一交点.
辨析：以下各图中是圆周角的有（ ）
探究2:圆周角和圆心角的关系
1.当圆心在圆周角的一边上时如图2,圆周角∠ACB与圆心角∠AOB的关系.
解:∵∠AOB是△ACO的外角，∴∠AOB=______.
∵OA=OC，∴∠A=∠C.∴∠AOB=2______.即∠ACB=____∠AOB.
结论：一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的______.
2.当圆心在圆周角的内部时如图3,圆周角∠ACB与圆心角∠AOB的关系.
解:过点C作直径CD.由1可得:∠ACD=0.5______,∠BCD=0.5______,
∴∠ACB=∠ACD+∠BCD=0.5______.
结论：一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半.
3.当圆心在圆周角的外部时如图4,圆周角∠ACB与圆心角∠AOB的关系.
解：过点C作直径CD.由1可得:∠ACD=0.5______,∠BCD=0.5______,
∴∠ACB=∠ACD-∠BCD=0.5______.
结论：一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的______.
圆周角定理:圆周角的度数等于它所对弧上的圆心角度数的______.
探究3:圆周角定理推论1
同弧或等弧所对的圆周角相等；相等的圆周角所对的弧也相等.
三.典例与练习
例1.如图5,点A，B，C都在⊙O上,如果∠AOB＋∠ACB＝84°,那么∠ACB的大小是______．
练习1.如图6，⊙O是△ABC的外接圆，∠OCB＝40°则∠A的度数等于( )
A． 60° B． 50° C． 40° D． 30°
例2.如图7，⊙O的直径CD过弦EF的中点G，∠DCF=20°，则∠EOD等于______.
练习2.如图8，已知A、B、C、D、E均在⊙O上，AC为⊙O直径，则∠A+∠B+∠C+∠D+∠E=______度
例3.如图9，OA、OB、OC都是半径，∠AOB=2∠BOC，∠ACB与∠BAC的大小有什么关系？为什么？
练习4.如图10，在△ABC中，AB＝AC，∠C＝70°，以AB为直径的半圆分别交AC，
BC于D，E，O为圆心，求∠DOE的度数．
四.课堂小结
五.分层过关
1.如图1，四个边长为1的小正方形拼成一个大正方形，A、B、O是小正方形的顶点，⊙O的半径为1，P是⊙O上的点，位于右上方的小正方形内，则∠APB（ ）
A．30° B．45° C．60° D．90°
2.在同圆中，同弦所对的圆周角( )
A. 相等 B. 互补 C. 相等或互补 D. 互余
3.如图2所示，在⊙O中，∠AOB＝100°，C为优弧ACB的中点，则∠CAB＝______．
4.如图3，AB为⊙O的直径，AB＝6，∠CAD＝30°，则弦DC＝______．
5.如图4，AB是⊙O的直径，∠BOC＝120°，CD⊥AB，则∠ABD的度数____．
6.如图5，∠BAC是⊙O圆周角，且∠BAC=45°，BC=2，试求⊙O的半径大小．
思考题：
7.如图6，在⊙O中，弦AB与DC相交于点E，AB＝CD.
(1)求证：△AEC≌△DEB；
(2)连接BC，判断直线OE与BC的位置关系，并说明理由．
图1
图2
D
图3
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图4
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图6
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图10
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图5
图6
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(总课时23)§3.4圆周角和圆心角的关系(1)
一.选择题：
1.如图1，线段AB、CD都是⊙O的弦，弦CD丄AB，∠CDB=62°，则∠ACD等于（ ）
A. 28° B. 31° C. 38° D. 62°
2.如图2，⊙O是△ABC的外接圆，若∠ABC=40°，则∠AOC的度数为（ ）
A. 20° B. 40° C. 60° D. 80°
3.下列命题中，正确的命题个数是（ ）
①顶点在圆周上的角是圆周角；②圆周角度数等于圆心角度数的一半；
③同弧或等弧所对的圆周角相等；④圆周角相等，则它们所对的弦也相等。
A、1个 B、2个 C、3个 D、4个
4.如图3，⊙O中，弦AB、CD相交于点P，若∠A=30°，∠APD=70°，则∠B等于（ ）
A．30°B．35°C．40°D．50°
5.如图4，A，B，C是⊙O上的三点，若∠A＋∠C＝75°，则∠AOC的度数为( )
A．150° B．140° C．130° D．120°
二.填空题：
6.如图5，点B，A，C，D在⊙O上，OA⊥BC，∠AOB＝60°，则∠ADC＝____.
7.如图6，△ABC内接于⊙O，∠ABC=70°，∠CAB=50°，点D在⊙O上，则∠ADB的大小为____.
8.如图7，AB是⊙O的直径，点C是半径OA的中点，过点C作DE⊥AB，交⊙O于D，E两点，过点D作直径DF，连结AF，则∠DFA＝______°.
9.如图8，A.B.C.D四点在⊙O上，OC⊥AB，∠AOC=40°，则∠BDC的度数是______
10.如图9，在⊙O中，已知∠BAC＝∠CDA＝20°，则∠ABO的度数为______．
三.解答题：
11.如图10，⊙O的弦AB，CD的延长线相交于点P，且AB＝CD.求证：PA＝PC.
12.如图11，四边形ABCD内接于⊙O，点E对角线AC上，EC=BC=DC
（1）若∠CBD=39°，求∠BAD的度数
（2）求证：∠1=∠2
四.提高题：
13.（1）如图1，PA、PB是⊙O的两条弦，AB为直径，∠ACB=90°，C为的中点，弦CD⊥PA于点E，直接写出AB与AC的数量关系；（1）____________.
（2）如图2，PA、PB是⊙O的两条弦，AB为弦，C为劣弧的中点，弦CD⊥PA于E，写出AE、PE与PB的数量关系，并证明．
图3
图4
图5
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图10
图11
E
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(总课时23)§3.4圆周角和圆心角的关系(1)
【学习目标】了解圆周角的概念；理解圆周角定理的证明．
【学习重难点】圆周角定理的三种情况证明，圆周角定理的应用.
【导学过程】
一.知识回顾
1.顶点在圆心的角叫圆心角,圆心角的度数等于它所对弧的度数
2.下列命题是真命题的是( D )
①垂直弦的直径平分这条弦②相等的圆心角所对的弧相等③圆既是轴对称图形,又是中心对称图形
④平分弦的直径垂直这条弦.
A.①② B.①③ C.②③④ D.①②③
二.探究新知
探究1：圆周角
定义：顶点在圆上,两边分别与圆还有另一个交点的角叫圆周角.如图1.
特征：①角的顶点在圆上.②角的两边都与圆有另外一交点.
辨析：以下各图中是圆周角的有（ B ）
探究2:圆周角和圆心角的关系
1.当圆心在圆周角的一边上时如图2,圆周角∠ACB与圆心角∠AOB的关系.
解:∵∠AOB是△ACO的外角，∴∠AOB=∠C+∠A.
∵OA=OC，∴∠A=∠C.∴∠AOB=2∠C.即∠ACB=0.5∠AOB.
结论：一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半.
2.当圆心在圆周角的内部时如图3,圆周角∠ACB与圆心角∠AOB的关系.
解:过点C作直径CD.由1可得:∠ACD=0.5∠AOD,∠BCD=0.5∠BOD,
∴∠ACB=∠ACD+∠BCD=0.5∠AOB.
结论：一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半.
3.当圆心在圆周角的外部时如图4,圆周角∠ACB与圆心角∠AOB的关系.
解：过点C作直径CD.由1可得:∠ACD=0.5∠AOD,∠BCD=0.5∠BOD,
∴∠ACB=∠ACD-∠BCD=0.5∠AOB.
结论：一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半.
圆周角定理:圆周角的度数等于它所对弧上的圆心角度数的一半.
探究3:圆周角定理推论1
同弧或等弧所对的圆周角相等；相等的圆周角所对的弧也相等.
三.典例与练习
例1.如图5,点A，B，C都在⊙O上,如果∠AOB＋∠ACB＝84°,那么∠ACB的大小是28°．
练习1.如图6，⊙O是△ABC的外接圆，∠OCB＝40°则∠A的度数等于( B )
A． 60° B． 50° C． 40° D． 30°
例2.如图7，⊙O的直径CD过弦EF的中点G，∠DCF=20°，则∠EOD等于40°.
练习3.如图8，已知A、B、C、D、E均在⊙O上，AC为⊙O直径，则∠A+∠B+∠C+∠D+∠E=180度
例3.如图9，OA、OB、OC都是半径，∠AOB=2∠BOC，∠ACB与∠BAC的大小有什么关系？为什么？
证明：∵∠ACB=0.5∠AOB，∠BAC=0.5∠BOC；
又∵∠AOB=2∠BOC，
∴∠ACB=2∠BAC．
练习4.如图10，在△ABC中，AB＝AC，∠C＝70°，以AB为直径的半圆分别交AC，
BC于D，E，O为圆心，求∠DOE的度数．
解：∵AB=AC，∴∠ABC=∠C=70°，∴∠A=180°-∠ABC-∠C=40°
∴∠BOD=2∠A=80°在△OBE中，∵OB=OE，∴∠ABC=∠OEB=70°
∠BOE=180°-2∠ABC=40°，∴∠DOE=∠BOD-∠BOE=80°-40°=40°
四.课堂小结
五.分层过关
1.如图1，四个边长为1的小正方形拼成一个大正方形，A、B、O是小正方形的顶点，⊙O的半径为1，P是⊙O上的点，位于右上方的小正方形内，则∠APB（ B ）
A．30° B．45° C．60° D．90°
2.在同圆中，同弦所对的圆周角( C )
A. 相等 B. 互补 C. 相等或互补 D. 互余
3.如图2所示，在⊙O中，∠AOB＝100°，C为优弧ACB的中点，则∠CAB＝65°．
4.如图3，AB为⊙O的直径，AB＝6，∠CAD＝30°，则弦DC＝3．
5.如图4，AB是⊙O的直径，∠BOC＝120°，CD⊥AB，则∠ABD的度数30°．
6.如图5，∠BAC是⊙O的圆周角，且∠BAC=45°，BC=2，试求⊙O的半径大小．
解：∵∠BAC=45°，∴∠BOC=90°，∵OB=OC，∴∠OCB=45°，
∵BC=2，∴sin45°===∴OB=2．
即⊙O的半径为2．
思考题：
7.如图6，在⊙O中，弦AB与DC相交于点E，AB＝CD.
(1)求证：△AEC≌△DEB；
(2)连接BC，判断直线OE与BC的位置关系，并说明理由．
(1)证明：∵AB＝CD，∴＝.∴－＝－.∴＝.∴BD＝CA.
在△AEC与△DEB中，∠ACE＝∠DBE，∠AEC＝∠DEB，CA＝BD，∴△AEC≌△DEB(AAS)
(2)解：直线OE垂直平分线段BC，理由如下：
连接OB，OC.由(1)得BE＝CE.∴点E在线段BC的垂直平分线上．
∵BO＝CO，∴点O在线段BC的垂直平分线上．∴直线EO垂直平分线段BC.
图1
图2
D
图3
D
图4
图9
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图5
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图8
图10
图3
图2
图1
图4
图5
图6
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(总课时23)§3.4圆周角和圆心角的关系(1)
一.选择题：
1.如图1，线段AB、CD都是⊙O的弦，弦CD丄AB，∠CDB=62°，则∠ACD等于（A）
A. 28° B. 31° C. 38° D. 62°
2.如图2，⊙O是△ABC的外接圆，若∠ABC=40°，则∠AOC的度数为（ D）
A. 20° B. 40° C. 60° D. 80°
3.下列命题中，正确的命题个数是（ A ）
①顶点在圆周上的角是圆周角；②圆周角度数等于圆心角度数的一半；
③同弧或等弧所对的圆周角相等；④圆周角相等，则它们所对的弦也相等。
A、1个 B、2个 C、3个 D、4个
4.如图3，⊙O中，弦AB、CD相交于点P，若∠A=30°，∠APD=70°，则∠B等于（C）
A．30°B．35°C．40°D．50°
5.如图4，A，B，C是⊙O上的三点，若∠A＋∠C＝75°，则∠AOC的度数为( A )
A．150° B．140° C．130° D．120°
二.填空题：
6.如图5，点B，A，C，D在⊙O上，OA⊥BC，∠AOB＝60°，则∠ADC＝30°_.
7.如图6，△ABC内接于⊙O，∠ABC=70°，∠CAB=50°，点D在⊙O上，则∠ADB的大小为_60°.
8.如图7，AB是⊙O的直径，点C是半径OA的中点，过点C作DE⊥AB，交⊙O于D，E两点，过点D作直径DF，连结AF，则∠DFA＝30°.
9.如图8，A.B.C.D四点在⊙O上，OC⊥AB，∠AOC=40°，则∠BDC的度数是20°
10.如图9，在⊙O中，已知∠BAC＝∠CDA＝20°，则∠ABO的度数为50°．
三.解答题：
11.如图10，⊙O的弦AB，CD的延长线相交于点P，且AB＝CD.求证：PA＝PC.
证明：连接AC.∵AB＝CD，∴＝.
∴＋＝＋，即＝.
∴∠C＝∠A. ∴PA＝PC.
12.如图11，四边形ABCD内接于⊙O，点E对角线AC上，EC=BC=DC
（1）若∠CBD=39°，求∠BAD的度数
（2）求证：∠1=∠2
（1）解：∵BC=DC，∴∠CBD=∠CDB=39°，
∵∠BAC=∠CDB=39°，∠CAD=∠CBD=39°，∴∠BAD=∠BAC+∠CAD=39°+39°=78°；
（2）证明：∵EC=BC，∴∠CEB=∠CBE，而∠CEB=∠2+∠BAE，∠CBE=∠1+∠CBD，
∴∠2+∠BAE=∠1+∠CBD，∵∠BAE=∠BDC=∠CBD，∴∠1=∠2．
四.提高题：
13.（1）如图1，PA、PB是⊙O的两条弦，AB为直径，∠ACB=90°，C为的中点，弦CD⊥PA于点E，直接写出AB与AC的数量关系；（1）AB＝AC
（2）如图2，PA、PB是⊙O的两条弦，AB为弦，C为劣弧的中点，弦CD⊥PA于E，写出AE、PE与PB的数量关系，并证明．
（2）AE＝PB＋PE．
证明：在AE上截取AF＝BP，连接AC、BC、FC、PC．
∵C为劣弧的中点，即，∴AC＝BC．
在△CAF和△CBP中，
∵AC=BC，∠CAF=∠CBP，AF=BP，∴△CAF≌△CBP．∴CF＝CP．
∵CD⊥PA于E，∴EF＝EP．∴AE＝AF＋EF＝PB＋PE．
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