卷子答案网-一个不只有答案的网站皇姑区2023-2024学年高一上学期11月初阶段性检测
数学试卷
命题：高一数学组 时间：120分钟 满分：150分 班级：___________姓名：___________
一、单选题（每题5分，共40分）
1．如图，已知全集，集合，，则图中阴影部分表示的集合的真子集个数为（ ）
A．3 B．4 C．7 D．8
2．已知，，，则的大小关系为（ ）
A． B． C． D．
3．当且时，函数与的图象可以是（ ）
A． B． C． D．
4．已知函数的一个零点附近的函数值的参考数据如下表：
x 0 0.5 0.53125 0.5625 0.625 0.75 1
0.066 0.215 0.512 1.099
由二分法，方程的近似解（精确度为0.05）可能是（ ）
A．0.625 B． C．0.5625 D．0.066
5．中国共产党第二十次全国代表大会于2022年10月16日在北京召开，这次会议是我们党带领全国人民全面建设社会主义现代化国家，向第二个百年奋斗目标进军新征程的重要时刻召开的一次十分重要的代表大会，相信中国共产党一定会继续带领中国人民实现经济发展和社会进步.假设在2022年以后，我国每年的GDP（国内生产总值）比上一年平均增加8%，那么最有可能实现GDP翻两番的目标的年份为（参考数据：，）（ ）
A．2032 B．2035 C．2038 D．2040
6．已知在R上是减函数，那么a的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
7．已知函数，且，则实数a的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
8．若函数在上的最大值为M，最小值为N，且M＋N＝2024，则实数t的值为（ ）
A．－506 B．506 C．2022 D．2024
二、多选题（每题5分，多选不得分，少选得2分，共20分）
9．已知函数，则使的可以是（ ）
A． B． C． D．
10．若正实数满足，则下列说法正确的是（ ）
A．的最大值为 B．.
C．的最小值为1 D．的最小值为
11．给出以下四个结论，其中正确结论是（ ）
A．若函数在上为减函数，则的取值范围是
B．函数的图象上关于原点对称的点共有1对
C．若都是正数，且，则
D．设，其中，则，
12．已知函数，有4个零点，，，，则（ ）
A．实数的取值范围是 B．函数的图象关于原点对称
C． D．的取值范围是
三、填空题（每题5分，共20分）
13．函数且过定点 ．
14．设；．若是的必要而不充分条件，则实数a的取值范围是_____________________．
15．已知中有且仅有一个元素，则的最小值为 ．
16．若实数满足，，则 .
四、解答题（第17题10分，其余每题12分，共70分）
17．计算：
(1)；
(2).
18．设集合U=R，；
（1）求：，；
（2）设集合，若，求a的取值范围．
19．对于题目：已知，，且，求最小值．
甲同学的解法：因为，，所以，，从而，所以的最小值为．
乙同学的解法：因为，，所以．所以的最小值为．
丙同学的解法：因为，，所以．
(1)请对三位同学的解法正确性作出评价（需评价同学错误原因）；
(2)为巩固学习效果，老师布置了另外两道题，请你解决：
（i）已知，，且，求的最小值；
（ii）设，，都是正数，求证：．
20．已知函数，．
(1)若函数在区间上的最小值为，求实数m的值；
(2)对于任意实数，存在实数，不等式恒成立，求实数m的取值范围．
21．已知函数且是偶函数，函数且.
(1)求实数的值.
(2)当时，
①求的值域.
②若，使得恒成立，求实数的取值范围.
22．已知函数在时有最大值和最小值，设.
(1)求实数的值；
(2)若不等式在上恒成立，求实数的取值范围；
(3)若关于的方程有三个不同的实数解，求实数的取值范围.
参考答案：
1．C
【分析】先解分式不等式化简集合B，然后利用集合运算表示阴影部分，最后写出所有的真子集即可求解.
【详解】因为，所以或，
又，
而图中阴影部分表示的集合为或，
所以的真子集为，，，，，，，共7个.
故选：C.
2．A
【分析】根据指数函数及对数函数的单调性求解.
【详解】∵，，，
∴.
故选：A.
3．A
【分析】讨论或，首先判断的图像，再判断的图像即可得出结果.
【详解】当时，的图像在时下降，在时上升，的图像的图像在时下降，在时上升，A选项符合；
当时，的图像在时上升，在时下降，的图像的图像在时上升，在时下降，以上图像都不符合.
故选：A
4．C
【分析】按照二分法的方法流程进行计算，根据的符号确定根所在的区间，当区间长度小于或等于0.05时，只需从该区间上任取一个数即可．
【详解】由题意得在区间上单调递增，
设方程的解的近似值为，
由表格得，
所以,
因为，
所以方程的近似解可取为0.5625．
故选：C.
5．D
【分析】由题意，建立方程，根据对数运算性质，可得答案.
【详解】设2022年我国GDP（国内生产总值）为a，在2022年以后，每年的GDP（国内生产总值）比上一年平均增加8%，则经过n年以后的GDP（国内生产总值）为，
由题意，经过n年以后的GDP（国内生产总值）实现翻两番的目标，则，
所以，
所以到2040年GDP基本实现翻两番的目标.
故选：D.
6．A
【分析】根据各段上的单调性和分段处的高低可得关于的不等式组，求出其解后可得正确的选项.
【详解】因为为上的减函数，所以，解得，
故选：A.
7．B
【分析】设（），即，结合条件得到：，
再由的奇偶性和单调性得到：，即可求解.
【详解】由题意得，函数，
设（），则，
由，得，
又因为，
所以是上的奇函数，即，
又有，
因为是上的增函数，是上的增函数，
所以是上的增函数；
则，即，
整理得：，解得：或，
所以实数a的取值范围为，
故选：B.
8．B
【分析】先对函数变形得，令，可判断出为奇函数，则的最大值为，最小值为，从而得，再由M＋N＝2024，可求出的值.
【详解】函数，
令，
因为，
所以为奇函数，
又在上的最大值为M，最小值为N，且M＋N＝2024，
所以的最大值为，最小值为，
所以，则t＝506．
故选：B
9．BCD
【分析】分、两种情况讨论，求出的值，然后结合函数的解析式可求得的值.
【详解】①当时，由，可得，
若时，则，此时无解，
若时，由，解得；
②当时，由，可得或.
若时，则，由可得，方程无解，
若时，由可得或，由可得或.
综上所述，满足的的取值集合为.
故选：BCD.
10．BD
【分析】对于ABC：利用基本不等式分析判断；对于D：根据进行代换，结合二次函数分析判断.
【详解】因为为正实数，且，
对于选项A：因为，当且仅当时，等号成立，
所以的最大值为1，故A错误；
对于选项B：因为，
当且仅当，即时，等号成立，
且，可得，故B正确；
对于选项C：因为，当且仅当时，等号成立，
所以的最小值为2，故C错误；
对于选项D：因为，则，可得，
则，当且仅当时，等号成立，
所以的最小值为，故D正确；
故选：BD.
11．AC
【分析】对于A，利用复合函数的单调性与对数函数的定义域即可判断；对于B，利用奇函数的性质结合图象即可得解；对于C，利用指对数互换与作差法即可判断；对于D，利用对数函数的图像判断即可.
【详解】对于A，因为在上为减函数，
当时，在上单调递减，在上调递减，
所以在其定义域内单调递增，不满足题意；
当时，在上单调递增，在上调递减，
所以在其定义域内单调递减，满足题意；
又在上恒有，
显然当时，不等式恒成立；
当时，可化为，
又，所以，
综上：，故A正确；
对于B，因为，
当时，令，
从而的图象上关于原点对称的点的对数转化为和的图象在上的交点个数，
作出和在上的函数图象，
如图所示:
由图象可知两函数图象有两个交点，
所以的图象上关于原点对称的点共有2对，故B错误；
对于C，令，则，
所以，，，
所以，则，
，则，
所以，故C正确；
对于D，如图，由于是上凸函数，
故应为点对应纵坐标，应为点对应纵坐标，
故，当时，等号成立，故D错误.
故选：AC.
【点睛】关键点睛：本题D选项解决的关键是作出的图象，结合图形得到与的几何意义，从而得解.
12．ACD
【分析】根据分段函数的性质，以及二次函数零点与方程的根的关系，即可分析零点，进而判断正误.
【详解】解：由题可知，当时，有2个零点，故，解得，
当时，此时，而，易知，也有2个零点，故，A正确；
，B错误；
的4个零点满足：，则，是方程的两个根，
则有，且，，
于是得，C正确；
由C选项知，，
由，得：，
而函数在上单调递减，从而得，D正确.
故选：ACD.
13．
【分析】令，求得的值，再代入函数的解析式可求得定点的坐标.
【详解】令，可得，
.
因此，函数的图象过定点.
故答案为：.
14．
【分析】若是的必要而不充分条件，可得是的必要而不充分条件，分别解不等式利用集合间的真包含关系即可求解.
【详解】由题意得，命题，解得，记
命题，即，
解得：，记，
又因为是的必要而不充分条件，
即是的必要而不充分条件，所以真包含于，
所以（等号不同时成立），解得，所以实数的取值范围为.
故答案为：
15．/
【分析】根据已知求出，化简，再换元利用基本不等式求解.
【详解】由于有且仅有一个元素，
所以. 所以.
所以,
设，
所以.
当且仅当时等号成立.
所以的最小值为.
故答案为：
16．1
【分析】令，易知为单调递增函数，函数边形同构可得，进而求解即可.
【详解】令，易知为单调递增函数，，
即有且仅有一个零点，
又由题可知，即，
所以，
所以，即，
又，得，
所以.
故答案为：1.
17．(1)甲错误，乙、丙正确
(2)（i）；（ii）证明见解析
【分析】（1）说明甲同学多次运用基本不等式时未保证同时取等号即可；
（2）（i）先将待求式分式通分再运用题中所给等式化简、配凑后运用基本不等式计算即可.
（ii）利用基本不等式证明即可.
【详解】（1）甲错误，乙、丙正确，
同学甲的解法中，取等号时，，此时，不符合题目要求，故甲错误.
乙恒等变换后，直接用基本不等式，满足基本不等式的使用条件“一正”“二定”“三相等”解法正确.
丙用了两次基本不等式，两次等能同时取得，解法正确；
（2）（i），，
，
当且仅当即时等号成立.
（ii）因为，，为正数，
由基本不等式可得，，当且仅当取等号，
，当且仅当取等号，
，当且仅当取等号，
以上三式相加有，
即，当且仅当时取等号.
18．(1)6
(2)
【分析】利用对数与指数幂运算法则及对数的换底公式求解即可.
【详解】（1）原式
；
（2）原式.
19．（1），；（2）.
【解析】（1）首先解指数不等式和对数不等式得集合A，B，然后由集合运算法则计算；
（2）求出，由是的子集，按是否为空集分类讨论．
【详解】（1），
，
，，，
（2），
（i） 时，；
（ii）时， ，解得.
综上：．
【点睛】本题考查集合的运算，考查集合的包含关系．掌握集合的运算法则是解题关键，在解决集合包含关系时，要注意空集是任何集合的子集，因此可能要分类讨论．
20．(1)
(2)
【分析】（1）对进行分类讨论，结合二次函数的性质求得值.
（2）对进行分类讨论，根据在区间上的“最大值”以及在区间上的最大值求得的取值范围.
【详解】（1）函数的开口向上，对称轴，
当时，在区间上的最小值为：
，符合.
当时，在区间上的最小值为：
，，不符合.
综上所述，的值为.
（2）依题意，对于任意实数，存在实数，不等式恒成立，
所以在区间上的“最大值”小于在区间上的最大值，
对于，任取，
，
由于，
所以，
所以在区间上递增，最大值为.
函数的开口向上，对称轴，
当时，，
则，所以.
当时，，
则，所以.
综上所述，的取值范围是.
【点睛】含参数的二次函数最值问题，要对参数进行分类讨论，分类标准的制定是关键，分类标准要做到不重不漏，可以考虑二次函数的开口方程、对称轴等方面来制定分类讨论.
21．(1)
(2)①；②
【分析】（1）利用函数的奇偶性得到，从而求得的值；
（2）①利用换元法，结合指数函数与对勾函数的单调性求得，从而由对数函数的单调性求得，据此得解；
②将问题转化为恒成立，从而得到在上恒成立，利用换元法再次将问题转化为恒成立，从而得解.
【详解】（1）由题意得，即，
所以，
则，由于不恒为，所以，故，
经检验，当时，的定义域为，关于原点对称，，所以是偶函数，满足题意，
所以.
（2）①由（1）及得，
由于指数函数在上单调递增，对勾函数在上单调递减，上单调递增，
所以当时，取得最小值，即，
又在上单调递增，所以，
故的值域为；
②由题意得，
因为，使得恒成立，
所以，恒成立，则恒成立，
由①易得当时，，，所以恒成立，
因为，所以在上恒成立，
令，因为，所以，则在上恒成立，即在上恒成立，
令，易知在上单调递减，所以，
所以，即.
22．(1)(2)(3)
【分析】（1）根据已知条件列方程组，由此求得的值.
（2）结合换元法、分离常数法化简不等式，结合二次函数的性质求得的取值范围.
（3）利用换元法化简方程为一元二次方程的形式，结合指数型函数的图象、一元二次方程根的分布的知识求得的取值范围.
【详解】（1）函数时不合题意，
所以为，所以在区间上是增函数，
故，解得.
（2）由已知可得，则，
所以不等式，
转化为在上恒成立，
设，则，即，在上恒成立，
即，
当时，取得最小值，最小值为，则，即.
所以的取值范围是.
（3）方程可化为：，，令，则方程化为，，
∵方程有三个不同的实数解，
∴画出的图象如下图所示，
所以，，有两个根 ，且或，.
记，
则，即，此时，
或得，此时无解，
综上.
【点睛】研究复杂的方程的根、函数的零点问题，主要考虑化归与转化的数学思想方法，将不熟悉、陌生的问题，转化为熟悉的问题来进行求解.如本题中，将方程有三个解的问，转化为指数型函数、二次型函数的知识来进行求解.
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