卷子答案网-一个不只有答案的网站成都市武侯区2023-2024学年高二上学期期中考试
数学试卷
考试时间：120分钟 满分：150分
本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分．第Ⅰ卷第1页至第2页，第Ⅱ卷第3页至第4页．
注意事项：
1．答题前，务必将自己的姓名、考籍号填写在答题卡规定的位置上．
2．答选择题时，必须使用铅笔将答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦擦干净后，再选涂其他答案标号．
3．答非选择题时，必须使用0.5毫米黑色墨迹签字笔，将答案书写在答题卡规定的位置上．
4．所有题目必须在答题卡上作答，在试卷上作答无效．
5．考试结束后，只将答题卡收回．
第Ⅰ卷（选择题，共60分）
一．单选题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．已知向量，若，则的值为（ ）
A．1 B． C．4 D．
2．已知直线与，则与之间的距离是（ ）
A． B． C． D．
3．已知圆与圆，则圆与圆的位置关系为（ ）
A．相交 B．外切 C．内切 D．内含
4．若直线与垂直，则的值为（ ）
A．2 B． C． D．4
5．已知事件相互独立，且，则（ ）
A．1 B．0.79 C．0.7 D．0.21
6．如图，三棱锥中，，点为中点，点在侧棱上，且，则（ ）
A． B． C． D．
7．已知椭圆方程为，长轴为，过椭圆上一点向轴作垂线，垂足为，若，则该椭圆的离心率为（ ）
A． B． C． D．
8．现有一组数据不知道其具体个数，只知道该组数据平方后的数据的平均值是，该组数据扩大倍后的数据的平均值是，则原数据的方差、平方后的数据的方差、扩大倍后的数据的方差三个量中，能用表示的量的个数是（ ）
A．0 B．1 C．2 D．3
二．多选题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的四个选项中，至少有两个是符合题目要求的，全选对得5分，部分选对得2分，有错选得0分．
9．我校举行党史知识竞赛，对全校参赛的1000名学生的得分情况进行了统计，把得分数据按照分成5组，绘制了如图所示的频率分布直方图．根据图中信息，下列说法正确的是（ ）
A．图中的值为0.020 B．这组数据的极差为50
C．得分在80分及以上的人数为400 D．这组数据的众数的估计值为82
10．下列说法正确的是（ ）
A．对任意向量，都有
B．若且，则
C．对任意向量，都有
D．对任意向量，都有
11．已知两支田径队队员的体重（单位：）信息如下：队体重的平均数为60，方差为，队体重的平均数为68，方差为300．又已知两队的队员人数之比为，则关于两队全部队员的体重的平均数和方差的说法，正确的是（ ）
A．平均数为67 B．平均数为66 C．方差为296 D．方差为287
12．已知四面体中三组对棱的中点间的距离都相等，则下列说法正确的是（ ）
A．该四面体相对的棱两两垂直
B．该四面体四个顶点在对面三角形的射影是对面三角形的外心
C．该四面体的四条高线交于同一点（四面体的高线即为过顶点作底面的垂线）
D．该四面体三组对棱平方和相等
第Ⅱ卷（非选择题，共90分）
三．填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．
13．经过两点的直线的方向向量为，则______．
14．在一次篮球比赛中，某支球队共进行了8场比赛，得分分别为25，29，30，32，37，38，40，42，那么这组数据的第65百分位数为______．
15．写出一条与圆和圆都相切的直线方程：______．
16．已知为直线上一动点，过点作圆的两条切线，切点分别为，则点到直线的距离的最大值为______．
四．解答题：．本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
17．（本大题满分10分）
已知的周长为．
（1）求点的轨迹方程；
（2）若，求的面积．
18．（本大题满分12分）
如图，四面体的所有棱长都为分别是的中点，连接．
（1）求的长；
（2）求点到平面的距离．
19．（本大题满分12分）
现从学校的800名男生中随机抽取50名测量身高，被测学生身高全部介于和之间，将测量结果按如下方式分成八组：第一组，第二组，第八组．右图是按上述分组方法得到的频率分布直方图的一部分，已知第一组与第八组人数相同，第六组的人数为4人．
（1）求第七组的频率并估计该校的800名男生的身高的中位数；
（2）若从身高属于第六组和第八组的所有男生中随机抽取两名男生，记事件表示随机抽取的两名男生不在同一组，求．
20．（本大题满分12分）
已知圆经过点，且直线平分圆的周长．
（1）求圆的方程；
（2）若，点是圆上的点且满足，求点的坐标．
21．（本大题满分12分）
如图，在直三棱柱中，是的中点，是的中点，是与的交点，点在线段上．
（1）若平面，请确定点的位置；
（2）请在下列条件中任选一个，求的值；
①平面与平面的夹角余弦值为；
②直线与平面所成角的正弦值为．
22．（本大题满分12分）
已知的内角平分线与轴相交于点．
（1）求的外接圆的方程；
（2）求点的坐标；
（3）若为的外接圆劣弧上一动点，的内角平分线与直线相交于点，记直线的斜率为，直线的斜率为，当时，判断点与经过三点的圆的位置关系，并说明理由．
成都市武侯区2023-2024学年高二上学期期中考试
数学参考答案与评分标准
第Ⅰ卷（选择题，共60分）
一．单选题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1 2 3 4 5 6 7 8
C A B D D A B C
二．多选题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的四个选项中，至少有两个是符合题目要求的，全选对得5分，部分选对得2分，有错选得0分．
9 10 11 12
AC AD BD ACD
第Ⅱ卷（非选择题，共90分）
三．填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．
13．2 14．38
15．或或或（任写一条即可） 16．．
四．解答题：．本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
17．（本大题满分10分）
【解】 （1）的周长为14且，
根据椭圆的定义可知，点的轨迹是以为焦点，以8为长轴长的椭圆，
故顶点的轨迹方程为，
又为三角形的顶点，故所求的轨迹方程为．
（2）．①
点在椭圆上，且为焦点，
，故．②
由①②可得，，故．
的面积为7．
18．（本大题满分12分）
【解】 （1）因为四面体的所有棱长都是1，所以该四面体为正四面体，，
而且，
所以，
即，所以的长为．
（2）因为四面体为正四面体，所以点在平面的射影为的中心，
的外接圆半径为，
所以点到平面的距离为，
由于点为线段的中点，所以点到平面的距离为．
19．（本大题满分12分）
【解】 （1）由直方图的性质，易知第七组的频率为0.06．
由于，
设学校的800名男生的身高中位数为，则，
由得，
所以学校的800名男生的身高的中位数为．
（2）第六组的抽取人数为4，设所抽取的人为，
第八组的抽取人数为，设所抽取的人为，
则从中随机抽取两名男生有共15种情况．
事件表示随机抽取的两名男生不在同一组，所以事件包含的基本事件为，共8种情况．
所以．
20．（本大题满分12分）
【解】 （1）由题意可知，圆心在直线上，设圆心，
已知圆经过点，则由，
得
解得，所以圆心为，半径，
所以圆的方程为；
（2）设在圆上，，
又，
由可得：，
化简得，
联立，解得或．
21．（本大题满分12分）
【解】 （1）分别以所在直线为轴，建立空间直角坐标系，
，
则．
设面的法向量，则，即．
令，得．
因为平面，所以，即．
所以，得，所以．
因为，
所以为靠近三等分点处时，有平面．
（2）设，则．
所以．
设平面的法向量为，则，即．
令，得．
注意到平面的法向量为，直线的方向向量为，
若选择①平面与平面的夹角余弦值为，
则．
即．
．
若选择②直线与平面所成角的正弦值为，
则．
即．．
22．（本大题满分12分）
【解】 （1）易知为直角三角形，故外接圆的圆心为斜边边的中点，半径为，所以外接圆的方程为．
（2）设的内角平分线交于点，根据角平分线性质定理，可知，
由结合，所以
所以，的内角平分线方程为，令，即可得点坐标．
（3）点在经过三点的圆上，理由如下：
设直线的直线方程为，联立直线与圆的方程，
可得
注意到两点是直线与圆的交点，所以
，故．
联立直线与的内角平分线方程，可得
．
此时，
．
此时，点，点点满足在劣弧上．
设经过三点的圆的方程为，
则，解得．
所以，经过三点的圆的方程为．
将点代入圆的方程成立，所以点在经过三点的圆上
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