卷子答案网-一个不只有答案的网站昆明市五华区2023-2024学年高二上学期11月期中考试
数学
本试卷分第I卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分.第I卷第1页至第2页，第Ⅱ卷第3页至第4页.考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回.满分150分，考试用时120分钟.
第I卷（选择题，共60分）
注意事项：
1.答题前，考生务必用黑色碳素笔将自己的姓名、准考证号、考场号、座位号在答题卡上填写清楚.
2.每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.在试题卷上作答无效.
一、单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）
1.已知集合，，则（ ）
A. B. C. D.
2.复数的虚部是实部的2倍，则实数（ ）
A.1 B.3 C.5 D.7
3.已知椭圆的焦点在y轴上，若焦距为4，则该椭圆的离心率为（ ）
A. B. C. D.
4.经过点，并且在两坐标轴上的截距相等的直线有（ ）条.
A.0 B.1 C.2 D.3
5.“”是“直线与圆相交”的（ ）
A.充分不必要条件 B.必要不充分条件
C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件
6.已知空间三点，，，若，且，则点的坐标为（ ）
A. B.
C. 或 D. 或
7.已知函数在时有最大值，且在区间上单调递增，则的最大值是（ ）
A. B. C. D.
8.如图，某同学用两根木条钉成十字架，制成一个椭圆仪.木条中间挖一道槽，在另一活动木条的P处钻一个小孔，可以容纳笔尖，A，B各在一条槽内移动，可以放松移动以保证与的长度不变，当A，B各在一条槽内移动时，P处笔尖就画出一个椭圆E.已知，且P在右顶点时，B恰好在点，则E的离心率为（ ）
A. B. C. D.
二、多项选择题（本大题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项是符合题目要求的.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分）
9.某机床生产一种零件，在8天中每天生产的次品数分别为2，6，8，3，3，4，6，8，关于该组数据，下列说法正确的是（ ）
A.中位数为3 B.极差为6
C.第40百分位数为4 D.方差为4.75
10.下列说法正确的是（ ）
A.直线的倾斜角的取值范围是
B.点关于直线的对称点为
C.过点（1，2），且在两坐标轴上截距互为相反数的直线的方程为
D.直线的方向向量为，则该直线的倾斜角为120°
11.已知，，两直线：，：，且，则下列说法正确的是（ ）
A. B.
C. 的最小值为 D. 的最小值为9
12.已知为坐标原点，椭圆：的左、右焦点分别为、，椭圆的上顶点和右顶点分别为A、B，点P、Q都在C上，且，则下列说法正确的是（ ）
A. 周长的最小值为14 B.四边形可能是矩形
C.直线，的斜率之积为定值 D. 的面积最大值为
第Ⅱ卷（非选择题，共90分）
注意事项：
第Ⅱ卷用黑色碳素笔在答题卡上各题的答题区域内作答，在试题卷上作答无效.
三、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）
13.已知函数是奇函数，__________.
14.若直线过点且与平行，则直线的一般方程为__________.
15.已知椭圆，过点的直线与椭圆相交于A，B两点，且弦被点P平分，则直线的方程为__________.
16.点在曲线上，则的取值范围为___________.
四、解答题（共70分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
17.（本小题满分10分）
在中，设A，B，C所对的边分别为a，b，c，且满足.
（I）求角B；
（II）若，，求的面积.
18.（本小题满分12分）
某市在创建国家级卫生城（简称“创卫”）的过程中，相关部门需了解市民对“创卫”工作的满意程度，若市民满意指数（满意指数= ）不低于0.8，“创卫”工作按原方案继续实施，否则需进一步整改.为此该部门随机调查了100名市民，根据这100名市民对“创卫”工作满意程度给出的评分，分成，，，，，六组，得到如图所示的频率分布直方图.
（I）求直方图中的值；
（Ⅱ）为了解部分市民给“创卫”工作评分较低的原因，该部门从评分低于70分的市民中用分层抽样的方法随机选取8人进行座谈，求应选取评分在的市民人数；
（Ⅲ）假设同组中的每个数据用该组的中点值代替，频率组距根据你所学的统计知识，判断该市“创卫”工作是否需要进一步整改，并说明理由.
19.（本小题满分12分）
已知圆过点，圆心在直线上，且圆与x轴相切.
（I）求圆的标准方程；
（Ⅱ）过点的直线与圆相交于A、B两点，若为直角三角形，求直线的方程.
20.（本小题满分12分）
与学生安全有关的问题越来越受到社会的关注和重视，为了普及学生安全教育，某社区举办学生安全知识竞赛活动，某场比赛中，甲、乙、丙三个家庭同时回答一道有关学生安全知识的问题.已知甲家庭回答正确这道题的概率是，甲、丙两个家庭都回答错误的概率是.乙、丙两个家庭都回答正确的概率是，各家庭是否回答正确互不影响.
（I）分别求乙、丙两个家庭各自回答正确这道题的概率；
（Ⅱ）求甲、乙、丙三个家庭中不少于2个家庭回答正确这道题的概率.
21.（本小题满分12分）
如图3甲，在直角梯形中，，，，，是的中点，是与的交点.将沿折起到的位置，如图乙.
（I）证明：平面；
（Ⅱ）若二面角为直二面角，求直线与平面所成角的正弦值.
22.（本小题满分12分）
已知椭圆：上任意一点P到两个焦点的距离之和为8，且离心率为.
（I）求椭圆的标准方程；
（Ⅱ）过点作直线交椭圆于A，B两点，点M为线段的中点，求直线的方程.
昆明市五华区2023-2024学年高二上学期11月期中考试
数学参考答案
第Ⅰ卷（选择题，共60分）
一、单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分）
题号 1 2 3 4 5 6 7 8
答案 C D B C B C C D
【解析】
1.由不等式，分解因式可得，解得，则，所以，故选C.
2. ，∵的虚部是实部的2倍，∴，解得，故选D.
3.由题得，可得，因为焦距为4，所以，解得，所以椭圆的离心率为，故选B.
4.若直线经过原点，则，在坐标轴上的截距均为0，符合题意，若截距均不为0，则设直线方程为，将代入得，此时直线方程为，故选C.
5.直线与圆相交，显然，推不出，而可推出，故是必要不充分条件，故选B.
6.∵，，∴，∵，∴可设，∵，∴，解得，∴或，∴设点的坐标为，则，∴或解得或故点的坐标为或，故选C.
7. 在时取得最大值，即，可得，，所以，，又因为在上单调递增，所以且，解得，当时，，所以的最大值为，故选C.
8.由题意知与的长度不变，已知，设，则，当A滑动到O位置处时，P点在上顶点或下顶点，则短半轴长，当P在右顶点时，B恰好在O点，则长半轴长，故离心率为，故选D.
二、多项选择题（本大题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项是符合题目要求的.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分）
题号 9 10 11 12
答案 BCD ABD AC ACD
【解析】
9.将这组数据从小到大排列为2，3，3，4，6，6，8，8，所以中位数为，故A错误；极差为，故B正确；因为数据共有8个，所以，所以第40百分位数是4，故C正确；设平均数为，方差为，则，，故D正确，故选BCD.
10.对A：直线的倾斜角为，则，因为，所以，故A正确；对B：点和的中点在直线上，且连线的斜率为，可得与直线垂直，所以点关于直线的对称点为，故B正确；对C：设直线与轴交点为，则与轴交点为，当时，直线过原点，斜率为，故方程为；当时，直线的斜率，故直线方程为，即，故C错误；对D：设直线的倾斜角为，则，故，故D正确，故选ABD.
11.∵，，两直线：，：，且，∴，即，所以，当且仅当，即时取等号，则的最小值为，故选AC.
12.由，可知P，Q关于原点对称，对于A，根据椭圆的对称性，，当为椭圆的短轴时，有最小值6，所以周长的最小值为14，故A正确；对于B，因为，所以，则，故椭圆上不存在点P，使得，又四边形是平行四边形，所以四边形不可能是矩形，故B不正确；对于C，由题意得，设，则，所以，故C正确；对于D，设的面积为，所以当为椭圆的短轴时，最大，所以，故D正确，故选ACD.
第Ⅱ卷（非选择题，共90分）
三、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）
题号 13 14 15 16
答案 1
【解析】
13.因为，故，因为为奇函数，故，时，，整理得到，故.
14.因为直线的斜率是：，且直线与平行，∴直线的斜率也为-2，故直线的方程是：，整理得.
15.已知椭圆：，过点的直线与椭圆相交于A，B两点，设，，则两式相减：，∵是A、B的中点，由中点坐标公式可知：，，∴，则直线的方程为，整理得：.
16.如图1，曲线为圆的上半圆，圆心，半径为2，，表示点到直线距离的5倍.由点到直线的距离公式得，，所以直线与圆相离，的最小值为，的最大值为，则的取值范围为.
四、解答题（共70分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
17.（本小题满分10分）
解：（Ⅰ）因为，
由余弦定理得，
即，
所以.
又，
所以.
（Ⅱ）由余弦定理得：，则，
∵，解得，
所以.
18.（本小题满分12分）
解：（Ⅰ）依题意得：，得.
（Ⅱ）由频率分布直方图知，评分在的市民人数为；
评分在的市民人数为；
评分在的市民人数，
故应选取评分在的市民人数为.
（Ⅲ）由频率分布直方图可得满意程度平均分为，
则满意指数，故该市“创卫”工作需要进一步整改.
19.（本小题满分12分）
解：（Ⅰ）由题意，设圆心，由于圆C与x轴相切，
∴半径，∴，
又圆C过点，∴，解得，
∴圆C方程为.
（Ⅱ）由圆C方程易知直线的斜率存在，
故设：，即：，
设C到的距离为d，
则，
∵为直角三角形，∴，∴，
∴或，
故直线的方程为或.
20.（本小题满分12分）
解：（Ⅰ）记“甲家庭回答正确这道题”，“乙家庭回答正确这道题”，“丙家庭回答正确这道题”分别为事件A，B，C，
则，，，
即，，
所以，，
所以乙、丙两个家庭各自回答正确这道题的概率分别为，.
（Ⅱ）有3个家庭回答正确的概率为
，
有2个家庭回答正确的概率为
，
所以不少于2个家庭回答正确这道题的概率.
21.（本小题满分12分）
（Ⅰ）证明：在图2甲中，因为，，，E是的中点，，
故四边形为正方形，所以，
即在图2乙中，，，
又，平面，
所以平面.
又，，所以四边形是平行四边形，
所以，所以平面.
（Ⅱ）解：由已知，平面平面，
又由（Ⅰ）知，，，
所以为二面角的平面角，
所以，
如图3所示，
以O为原点，分别以，，所在直线为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系，
，，，，
设平面的一个法向量为，
因为，，
∴，
令，∴，，
故平面的一个法向量为，
又，
设直线与平面所成角的平面角为，
从而，
故直线与平面所成角的正弦值为.
22.（本小题满分12分）
解：（Ⅰ）由椭圆的定义知，，∴，
又∵椭圆的离心率，∴，
∴，
∴椭圆的标准方程为.
（Ⅱ）∵为椭圆内一点，
∴直线与椭圆必交于A，B两点，
设，，当时，不合题意，故，
∵，为线段的中点，∴，∴
又∵A，B均在椭圆上，∴，
两式相减，得，
即，
∴，∴，即，
∴直线的方程为，即.
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