卷子答案网-一个不只有答案的网站上海市实验学校2023-2024学年高二上学期期中考试
数学
2023.11
一 填空题（共40分，每小题4分，答案正确得4分，否则不得分）
1 若，且，则____（用集合符号表示）.
2. 已知圆锥底面半径为2，母线长为3，则圆锥的表面积为___________.
3. 设是两个不同的平面，是直线且.“”是“”的__________条件.（填“充分不必要” “必要不充分” “充要” “不充分不必要”）
4. 设，向量，，，且，，则的值为______________.
5. 如图的四面体中，所有棱长均相等，每个面都是全等的正三角形，分别是棱的中点，则直线与平面所成角的大小为______.
6. 把长和宽分别为6和3的矩形卷成一个圆柱的侧面，则该圆柱的体积为________.
7. 如图，已知四边形是矩形，平面且，中点，则异面直线与所成角的余弦值为__________.
8. 在棱长为6的正方体中，E是棱AB的中点，过作正方体的截面，则该截面的面积是___________．
9. 已知两平行平面间的距离为，点，点，且，若异面直线与所成角为60°，则四面体的体积为__________．
10. 如图，在棱长为2的正四面体中，分别为直线上的动点，且.若记中点的轨迹为，则等于____________.（注：表示的测度，在本题，为曲线、平面图形、空间几何体时，分别对应长度、面积、体积.）
二 选择题（共16分，每小题4分）
11. 直线与直线相交，直线也与直线相交，则直线与直线的位置关系是（ ）
A. 相交 B. 平行
C. 异面 D. 以上都有可能
12. 已知互不重合的直线，，互不重合的平面，，，给出下列四个命题，错误的命题是（ ）
A. 若，，，则
B. 若，，，则
C. 若，，，则
D. 若，，则
13. 下列四个正方体图形中，，为正方体的两个顶点，，，分别为其所在棱的中点，能得出平面的图形的序号是（ ）
A ①③ B. ②③ C. ①④ D. ②④
14. 如图，矩形ABCD中，AB＝2AD，E为边AB的中点，将△ADE沿直线DE翻转成△A1DE(A1 平面ABCD)，若M，O分别为线段A1C，DE的中点，则在△ADE翻转过程中，下列说法错误的是（ ）
A. 与平面A1DE垂直的直线必与直线MB垂直
B. 异面直线BM与A1E所成角是定值
C. 一定存在某个位置，使DE⊥MO
D. 三棱锥A1 ADE外接球半径与棱AD的长之比为定值
三 解答题（共44分，要求写出必要的解答或证明步骤）
15. 如图，三棱柱中，M，N分别是上点，且．设，，．
（1）试用，，表示向量；
（2）若，求MN的长．
16. 如图，四棱锥中，，，，，.
（1）求证：平面；
（2）求异面直线与所成角的余弦值.
17. 如图，多面体中，底面是菱形，，四边形是正方形且平面.
（1）求证：平面；
（2）若，求多面体的体积.
18. 如图，在四棱锥中，底面正方形，平面平面，点在线段上，平面，，．
（1）求证：为的中点；
（2）求二面角的大小；
（3）求直线与平面所成角的正弦值．
四 附加题（共20分，要求写出必要的解答或证明步骤）
19. 如图，直线平面，直线平行四边形，四棱锥的顶点在平面上，，，，，分别是与的中点.
（1）求证：平面；
（2）求二面角的余弦值.
20. 蜂房是自然界最神奇的“建筑”之一，如图1所示.蜂房结构是由正六棱柱截去三个相等的三棱锥，，，再分别以，，为轴将，，分别向上翻转，使，，三点重合为点所围成的曲顶多面体（下底面开口），如图2所示.蜂房曲顶空间的弯曲度可用曲率来刻画，定义其度量值等于蜂房顶端三个菱形的各个顶点的曲率之和，而每一顶点的曲率规定等于减去蜂房多面体在该点的各个面角之和（多面体的面角是多面体的面的内角，用弧度制表示）.例如：正四面体在每个顶点有3个面角，每个面角是，所以正四面体在各顶点的曲率为.
（1）求蜂房曲顶空间的弯曲度；
（2）若正六棱柱底面边长为1，侧棱长为2，设
（i）用表示蜂房（图2右侧多面体）的表面积；
（ii）当蜂房表面积最小时，求其顶点的曲率的余弦值.
上海市实验学校2023-2024学年高二上学期期中考试
数学 答案
2023.11
一 填空题（共40分，每小题4分，答案正确得4分，否则不得分）
【1题答案】
【答案】
【2题答案】
【答案】10π
【3题答案】
【答案】必要不充分
【4题答案】
【答案】
【5题答案】
【答案】
【6题答案】
【答案】或
【7题答案】
【答案】
【8题答案】
【答案】
【9题答案】
【答案】6
【10题答案】
【答案】
二 选择题（共16分，每小题4分）
【11题答案】
【答案】D
【12题答案】
【答案】D
【13题答案】
【答案】C
【14题答案】
【答案】C
三 解答题（共44分，要求写出必要的解答或证明步骤）
【15题答案】
【答案】（1）
（2）
【16题答案】
【答案】（1）证明略；（2）.
【17题答案】
【答案】（1）证明详略；（2）.
【18题答案】
【答案】（1）证明略；（2）；（3）．
四 附加题（共20分，要求写出必要的解答或证明步骤）
【19题答案】
【答案】（1）略；（2）
【20题答案】
【答案】（1）
（2）（i）；（ii）
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