卷子答案网-一个不只有答案的网站定安县2023-2024学年高二上学期期中考试
数学试题
第一卷（选择题，共60分）
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．已知，则该圆的圆心坐标和半径分别为（ ）
A． B． C． D．
2．双曲线的两条渐近线的夹角为（ ）
A． B． C． D．
3．直线与直线垂直，则等于（ ）
A．2 B． C．1 D．
4．魏晋时期数学家刘徽为研究球体的体积公式，创造了一个独特的立体图形“牟合方盖”，它由完全相同的四个曲面构成，相对的两个曲面在同一圆柱的侧面上。如图，将两个底面半径为1的圆柱分别从纵横两个方向嵌入棱长为2的正方体时（如图a），两圆柱公共部分形成的几何体（如图b）即得一个“牟合方盖”，图c是该“牟合方盖”的直观图（图中标出的各点，，，，，均在原正方体的表面上）。
由“牟合方盖”产生的过程可知，图ｃ中的曲线为一个椭圆，则此椭圆的离心率为（ ）
A． B． C． D．
5．已知直线与直线平行，则它们之间的距离是（ ）
A． B． C． D．
6．过点的直线与连接的线段总有公共点（不包含端点），则直线的斜率的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
7．设直线上存在点到点的距离之比为2．则实数的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
8．设双曲线的顶点分别为、为双曲线上一点，直线交双曲线的一条渐近线于点，直线和的斜率分别为、，若且，则双曲线离心率为（ ）
A．2 B． C． D．4
二、多选题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．
9．已知曲线有（ ）
A．若，则是焦点在轴上的椭圆
B．若，则是半径为的圆
C．若，则是双曲线，且渐近线的方程为
D．若，则是两条直线
10．已知椭圆的左、右焦点分别为、，点在上，且的最大值为3，最小值为1，则（ ）
A．椭圆的离心率为
B．的周长为4
C．椭圆上存在点，使得
D．若，则
11．已知为坐标原点，为抛物线，的焦点，过点的直线交于、两点，直线、分别交于、，则（ ）
A．的准线方程为 B．
C．的最小值为4 D．的最小值为
12．如图，为坐标原点，、分别为双曲线的左、右焦点，过双曲线右支上一点作双曲线的切线分别交两渐近线于、两点，交轴于点，则下列结论正确的是（ ）
A．
B．
C．
D．若存在点，使得，且，则双曲线的离心率为2或
第二卷（非选择题，共90分）
三、填空题；本题共4小题，每小题5分，共20分．
13．已知圆与圆只有一条公切线，则______．
14．设是抛物线上的一个动点，为抛物线的焦点，点，则的最小值为______．
15．直线与曲线有两个公共点，则的取值范围是______．
16．已知椭圆的左、右焦点分别为，以为圆心，为半径的圆与轴交于两点（两点均在外），连接，与交于点，若，则______；椭圆的离心率为______．
四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明．证明过程或演算步骤．
17．（10分）已知圆经过点且圆心在直线上．
（1）求圆方程：
（2）若点为圆上任意一点，且点，求线段的中点的轨迹方程．
18．（12分）已知双曲线的中心在原点，焦点在坐标轴上，，且过点．
（1）求双曲线的方程；
（2）求的面积．
19．（12分）已知椭圆与椭圆有相同的焦点，过椭圆的右焦点且垂直于轴的弦长度为1．
（1）求椭圆的方程；
（2）直线：与椭圆C交于、两点，若，求实数的值．
20．（12分）已知直线；和圆．
（1）判断直线与圆的位置关系；若相交，求直线被圆截得的弦长；
（2）求过点且与圆相切的直线方程．
21．（12分）如图，过点和点的两条平行线和分别交抛物线于点、和、（其中在轴的上方），交轴于点．
（1）求证：点、点的纵坐标乘积为定值；
（2）分别记和的面积为和，当时，求直线的方程．
22．（12分）已知椭圆：的左、右焦点分别为、，长轴长为、是上关于原点对称的两个动点，当垂直于轴时，的周长为．
（1）求的方程：
（2）已知的离心率，直线与交于点（异于点），直线与交于点（异于点），证明：直线过定点．
数学期中考试答案
1．A 2．C 3．A
4．【详解】由“牟合方盖”产生的过程可知，将图中正方体的前面的面旋转至上面．可得图中标出的各点，，，，在原正方体中相对对应的位置为如图所示．故图中的曲线所对应的椭圆的长轴长，短轴长，于是可得此椭圆的半焦距，因此离心率．
故选：A
5．C． 6．B 7．D
8．【解析】利用双曲线过中心弦结论，即答案：B
9．AD
10．【详解】对A，由题意，故，故A正确；
对B，的周长为，故B错误；
对C，，，当且仅当时，等号成立，
因为在上递减，所以此时最大，又．所以．的最大值为，不成立，故C错误；
对D，由余弦定理
，即，
解得，故，故D正确；故选：AD
11.【详解】对于A选项，对于抛物线:，可得，所以，抛物线的准线方程为，A对；对于B选项，若直线与轴重合，此时，直线与抛物线只有一个公共点，不合乎题意，
设直线的方程为，设点、，
联立，可得，所以，，则，则，B对：对于C选项，，当且仅当时，即当时，等号成立，故的最小值为．C错；对于D选项，设点、．
设直线的方程为，联立可得，
判别式为，由韦达定理可得，同理可得，
，同理可得，，所以，
当且仅当时，即当时，等号成立，所以，的最小值为，D对．故选：ABD．
12．【详解】对于选项A，先求双曲线上一点的切线方程，
不妨先探究双曲线在第一象限的部分（其他象限由对称性同理可得），由得：，所以，则在点的切线斜率为，所以在点的切线方程为：．又因为，所以在点的切线方程为：，当为右顶点时，切线方程为，易得也满足，
不失一般性，设点是双曲线在第一象限的一点或双曲线的右顶点，是切线与渐近线在第一象限的交点，是切线与渐近线在第四象限的交点，双曲线的渐近线方程为，
联立，所以点，
同理可得：，
则，又因为，所以，即：．故A项正确；对于选项B，由A项知，
，
所以点是线段的中点，所以，故B项正确；
对于选项C，因为在点的切线方程为：，令得，所以点，则，当点在顶点时，仍然满足，故C项错误；对于选项D，因为，所以，
又因为．所以，解得：，即：，代入得，所以
因为，所以，所以
，
解得：或6，所以离心率为或，故D项错误．故选：AB
13．16 14．5 15．
16．【详解】在中，，则．因为关于轴对称，所以，得，又在中，互相垂直平分，所以四边形为菱形，得，又，则，得，由且，得，由椭圆的定义知，所以椭圆的离心率为故答案为：；．
17．【详解】圆的标准方程为，（2）轨迹方程为．
18．双曲线的方程为．（2）的面积为．
19．【答案】（1）（2）
20．（1）弦长为．（2）过点且与圆相切的直线方程为或．
21．解：（1）设，设直线，由可得，所以，所以点、的纵坐标乘积为定值．
（2）由（1）直线，联立方程组，可得，所以，可得，即．
因为且代入上式，整理得．．又由，联立可得，又因为，代入可得，又由，代入可得，即，所以，可得直线的方程为，即．
22．【详解】（1）由题意可知：，又因为是上关于原点对称的两个动点，所以，则的周长为．因为，即．又因为，所以或，故的方程为或．
（2）由题，的方程为，当为椭圆的左右顶点时，直线与轴重合，
当为椭圆的上下顶点时，则，所以直线的方程为．，与椭圆方程联立可得点，同理可得点，此时直线的方程为；
当不是顶点时，设直线的方程为，
由，整理可得：
，设直线的方程为；，其中，
由，整理可得：，所以设直线的方程为，其中，
由，整理可得：，
所以，所以，整理可得：，
所以，因为
，则，
整理可得：，将代入上式可得：，也即，因为，所以，所以直线的方程为，恒过定点，综上：直线恒过定点．