卷子答案网-一个不只有答案的网站福建省五校协作体2023-2024学年高三上学期11月联考
数学参考答案
选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1-4．CBCC 5-8.ADBD
8．【解析】正三棱锥中，，，∴平面，
又平面∴，，
又三棱锥为正三棱锥，所以三条侧棱两两相互垂直，
设可得正三棱锥的表面积为．设外接球的
半径为，则，
，则外接球的表面积
所以两表面积的比为，故选：D．
二.多选题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.
9．BC 10.ACD 11.AD 12.ABD
12．【解析】,且当时,.两边同时取倒数可得:,
即,且,数列是等差数列,其公差为2,首项为2,所以A正确.
,可得,
当时,,所以;
所以是先递减再递增的数列，当 时，，所以最大，最小.B正确，C错误..
对于D.当时,,又时,,对于上式也成立.,
时,,
，D正确
故选ABD
三.填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.
13．31 14．120 15． 16．
16．【解析】设函数上的切点坐标为，且，函数上的切点坐标为，且又，
则公切线的斜率，则所以，
则公切线方程为，即
代入得：，则，整理得，
若总存在两条不同的直线与函数图象均相切，则方程有两个不同的实根，设，则
令得，当时，单调递增，时， 单调递减，
又可得，则时，时，
，则函数的大致图象如右：
所以，解得故实数的取值范围为.
四.解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
17．解：（1）由已知：， ……1分
得， ……2分
所以或（舍去）， ……3分
即 ……4分
若，则； ……5分
（2）由题意得
， ……7分
而，所以， ……8分
故，即. ……10分
18．解：（1）由题意可得，设函数的最小正周期为，则，得，，此时，. ……2分
因为函数的图象关于直线对称，则，
，，，，则……4分
令，得
，∴取， ……6分
因此，函数在区间上的递增区间为. ……7分
（2）又因为，所以函数图象的对称中心为，…8分
则，所以， ……10分
解得， ……11分
当时，取到了最小正值为. ……12分
19．解: （1）设等差数列的公差为，则等差数列通项公式为，
所以，
所以，所以，所以， ……3分
又因为，所以当时，，
两式相减可得，即，
令，则，解得，
所以数列是以3为首项，3为公比的等比数列，所以. ……6分
法二、由可得，，
所以，解得，（其他同上）
法三、由可得
解得，（其他同上）
（2）由（1）可知，
所以数列的前项为数列的前52项去除 ……10分
所以数列的前50项和
. ……12分
20．解:（1）证明：连接，，在中，
，，，
，
……2分
可得，即，同时，可得， ……3分
同理可得， ……4分
因为，，且平面，平面，，
所以平面； ……5分
又因为平面，所以. ……6分
（2）解：在中，易得，且，
所以，同时，，
以所在直线为轴，以所在直线为轴，以所在直线为轴，如图所示，
建立空间直角坐标系 .……7分
其中，，，，
，，， ……8分
设向量为平面的法向量，
满足，不妨取， ……10分
直线与平面所成角的正弦值为：
. ……12分
21．解:（1）一人投掷两颗骰子，向上的点数之和为4的倍数的概为． ……1分
（ⅰ）因为第1次从小明开始，所以前4次投掷中小明恰好投掷2次的概率，
． ……2分
（ⅱ）设游戏的前4次中，小芳投掷的次数为，依题意，可取0，1，2，3，
所以，，
，．所以的分布列为
0 1 2 3
…5分
所以． ……6分
（2）若第1次从小芳开始，则第次由小芳投掷骰子有两种情况：
①第次由小芳投掷，第次继续由小芳投掷，其概率为；
②第次由小明投掷，第次由小芳投掷，其概率为
． ……8分
因为①②两种情形是互斥的，所以
， ……10分
所以．
因为，所以是以为首项， ……11分
为公比的等比数列，所以，即. ……12分
22．（1）解：因为，所以， ……1分
因为在处取得极值，所以，解得． ……2分
验证：当时，，
易得在处取得极大值． ……3分
（2）解：因为，
所以． ……4分
①若，则当时，，所以函数在上单调递增；
当时，，函数在上单调递减．
②若，，
当时，函数在和上单调递增，在上单调递减；
当时，恒成立，所以函数在上单调递增；
当时，函数在和上单调递增，在上单调递减……8分
（3）证明：当时，，
因为，所以，
即，
所以. ……9分
令，，则，
当时，，所以函数在上单调递减；
当时，，所以函数在上单调递增．
所以函数在时，取得最小值，最小值为． ……10分
所以，
即，所以或． ……11分
因为为正实数，所以．
当时，，此时不存在满足条件，
所以． ……12分福建省五校协作体2023-2024学年高三上学期11月联考
数学试题
（考试时间：120分钟 总分150分）
试卷分第I卷（选择题）和第II卷（非选择题）两部分
第I卷（选择题，共60分）
一.选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1．设全集，若集合满足，则（ ）
A． B． C． D．
2．复数，则（ ）
A． B． C． D．
3．已知向量,满足，，，则与的夹角为（ ）
A． B． C． D．
4．若偶函数满足，当时，，则（ ）
A． B． C． D．
5．“中国剩余定理”又称“孙子定理”，1852年英国来华传教士伟烈亚利将《孙子算法》中“物不知数”问题的解法传至欧洲．1874年，英国数学家马西森指出此法符合1801年由高斯得出的关于同余式解法的一般性定理，因而西方称之为“中国剩余定理”，“中国剩余定理”讲的是一个关于整除的问题，现有这样一个整除问题：将1至2022这2022个数中，能被5除余1且被7除余1的数按由小到大的顺序排成一列，构成数列，则此数列的项数为（ ）
A．58 B．57 C．56 D．55
6．下列说法正确的是（ ）
A．随机变量，则
B．若随机变量，，则
C．从装有2个红球和2个黑球的口袋内任取2个球，至少有一个黑球与至少有一个红球是两个互斥而不对立的事件
D．从除颜色外完全相同的个红球和个白球中，一次摸出个球，则摸到红球的个数服从超几何分布；
7．已知函数，则在上不单调的一个充分不必要条件是（ ）
A． B． C． D．
8．已知在正三棱锥中，为的中点，，则正三棱锥的表面积与该三棱锥的外接球的表面积的比为（ ）
A． B． C． D．
二.多选题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.
9．在平面直角坐标系中，角的顶点为坐标原点，始边与轴的非负半轴重合，终边经过点，且，则的值可以是（ ）
A. B. 1 C. 0 D. 2
10．一副三角板由两个直角三角形组成，如图所示，且，现将两块三角板拼接在一起，得到三棱锥，取和中点、，则下列判断中正确的是（ ）
A．直线面
B．三棱锥体积为定值.
C．与面所成的角为定值
D．设面面，则∥
11．已知，则实数满足（ ）
A． B． C． D．
12．数列的前n项和为，，且当时，.则下列结论正确的是（ ）
A. 是等差数列 B．既有最大值也有最小值.
C. D. 若,则.
第II卷（非选择题，共90分）
三.填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.
13．等比数列的前项和，若，，，，则___ ．
14．楼道里有12盏灯，为了节约用电，需关掉3盏，关掉的灯不能相邻，则关灯方案有___ 种．
15．已知函数，则不等式的解集是___ __．
16．已知函数和，若总存在两条不同的直线与函数和图象都相切，则实数的取值范围为___ __．
四.解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
17．（本小题满分10分）
在中，角所对的边分别是.已知.
（1）若，求；
（2）求的取值范围.
18．（本小题满分12分）
已知函数的最大值为，其相邻两个零点之间的距离为，且的图象关于直线对称.
（1）当时，求函数的递增区间.
（2）若对任意的恒成立，求实数的最小正值.
19．（本小题满分12分）
等差数列满足，.数列的前n项和满足.
（1）求数列和的通项公式；
（2）对于集合，，定义集合且.设数列和中的所有项分别构成集合A，B，将集合的所有元素按从小到大依次排列构成一个新数列，求数列的前项和.
20．（本小题满分12分）
在多面体中，，且，
，
（1）证明:；
（2）若，求直线与平面所成角的正弦值.
21．（本小题满分12分）
小芳、小明两人各拿两颗质地均匀的骰子做游戏，规则如下：若掷出的点数之和为的倍数，则由原投掷人继续投掷；若掷出的点数之和不是的倍数，则由对方接着投掷．
（1）规定第次从小明开始．
（ⅰ）求前次投掷中小明恰好投掷次的概率；
（ⅱ）设游戏的前次中，小芳投掷的次数为，求随机变量的分布列与期望．
（2）若第次从小芳开始，求第次由小芳投掷的概率．
22．（本小题满分12分）
已知函数，．
（1）若在处取得极值，求的值；
（2）设，讨论函数的单调性；
（3）当时，若存在正实数，满足，求证：
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