卷子答案网-一个不只有答案的网站高埂中学学区2023—2024学年上期八年级第一次统考试题
数 学
（全卷总分：150分 考试时间：120分钟 ）
A卷（共100分）
第I卷
一、选择题（本大题共8个小题，每小题4分，共32分，每小题均有四个选项，其中只有一项符合题目要求）
1．下列实数中，无理数是（ ）
A．3.1415926 B．﹣0.202002000
C． D．
2．如图，以直角三角形的三边为边向外作正方形，根据图中数据，可得出正方形A的面积是（ ）
A．12 B．24
C．30 D．10
3．下列说法正确的是（ ）
A．的算术平方根是2 B．9的立方根是3 C．的平方根是 D．是的一个平方根
4．已知，则的值是（ ）
A． B． C． D．
5．若的整数部分为x，小数部分为y，则（x+）y的值是（ ）
A． B．3 C． D．﹣3
6．下列命题中，假命题是（ ）
A．实数和数轴上的点是一一对应的 B．是一组勾股数
C．有公共顶点且相等的两个角是对顶角 D．函数中自变量的取值范围是
7．如图，在中，，和均为等腰直角三角形，且面积之和为，则（ ）
A． B．25 C． D．10
8．在△ABC中，三边长分别为a、b、c，且a+c＝2b，c﹣a＝b，则△ABC是（ ）
A．直角三角形 B．等边三角形
C．等腰三角形 D．等腰直角三角形
第Ⅱ卷
二．填空题（本大题共5个小题，每小题4分，共20分）
9．的平方根 ；的立方根 ．
10．如图，有一个水池，水面是一个边长为14尺的正方形，在水池正中央有一根芦苇，它高出水面1尺，如果把这根芦苇拉向水池一边的中点，它的顶端恰好到达池边的水面．则水的深度是 尺
11．已知Rt△ABC中，∠C＝90°，a＋b＝14cm，c＝10cm，则Rt△ABC的面积等于 cm2．
12．比较大小：2 ， ．
13．如图，圆柱形容器中，高为1.2m，底面周长为1m，在容器内壁离容器底部0.3m的点B处有一蚊子，此时一只壁虎正好在容器外壁，离容器上沿0.3m与蚊子相对的点A处，则壁虎捕捉蚊子的最短距离为 m（容器厚度忽略不计）．
三．解答题（本大题共5个小题，共48分，其中14题12分，15-16题每题8分，17-18题每题10分）
14．计算：
(1) (2)
(3) (4)
15．聊城市在创建“全国文明城市”期间，某小区在临街的拐角清理出了一块可以绿化的空地．如图，经技术人员的测量，已知AB＝9m，BC＝12m，CD＝17m，AD＝8m，∠ABC＝90°．若平均每平方米空地的绿化费用为150元，试计算绿化这片空地共需花费多少元？
16．已知的平方根是，的立方根是，是的整数部分；
(1)直接写出的值；
(2)若是的小数部分，求的算术平方根．
17．对于整数n，定义[ ]为不大于的最大整数，例如：[]＝1，[]＝2，[]＝2．
(1)直接写出[]的值；
(2)显然，当[]＝1时，n＝1，2或3．
①当[]＝2时，直接写出满足条件的n的值；
②当[]＝10时，求满足条件的n的个数；
(3)对72进行如下操作：72[]＝8[]＝2[]＝1，即对72进行3次操作后变为1，类似地：①对25进行 次操作后变为2；
②对整数m进行3次操作后变为2，直接写出m的最大值．
18．阅读材料，解决问题：
我们可以在网格纸中通过构造三角形的方法来比较无理数的大小，例如在图1中，正方形网格纸中，每个小正方形的边长都是1，线段AB的长度为，线段BC的长度为，显然，．
(1)试比较与的大小，并说明理由；
(2)请在图2中尝试用构造图形的方法比较与的大小，在图3中尝试用构造图形的方法比较与的大小；
(3)请运用以上的构图思想，在图4中构图，并求出的最小值．
B卷（共50分）
一、填空题（本大题共5个小题，每小题4分，共20分）
19．据说，我国著名数学家华罗庚在一次出国访问途中，看到飞机上邻座的乘客阅读的杂志上有一道智力题：一个数是59319，希望求它的立方根．华罗庚脱口而出：39．邻座的乘客十分惊奇，忙问计算的奥秘．华罗庚给出了如下方法：（1）由，，确定是两位数；（2）由59319个位上的数是9，确定个位上的数是9；（3）划去59319后面的三位319得到59，而，，由此确定十位上的数是3．请你类比上述过程，确定21952的立方根是______．
20．已知a、b为非零实数，且，则 ．
21．（2023·湖北武汉·校联考模拟预测）如图，在直角三角形纸片中，，，，点在边上，以为折痕将折叠得到，与边交于点，当时，的长是 ．
22．如图，、、、为四个全等的直角三角形，与、、分别交于点、、，且满足，则两个阴影部分的面积和与四边形面积的比值为 ．
23．如图，点P是矩形内任意一点，连结，记，则下列各结论一定成立的有 （填序号）
①；②若，则；
③；④，则P在对角线上
二、解答题（本小题共3个小题，共30分，其中24题8分，25题10分，26题12分）
24．台风是一种自然灾害，它以台风中心为圆心，在周围数十千米范围内形气旋风暴，有极强的破坏力，此时某台风中心在海域B处，在沿海城市A的正南方向240千米，其中心风力为12级，每远离台风中心25千米，台风就会减弱一级，如图所示，该台风中心正以20千米/时的速度沿北偏东30°方向向C移动，且台风中心的风力不变，若城市所受风力达到或超过4级，则称受台风影响．试问：
（1）A城市是否会受到台风影响？请说明理由．
（2）若会受到台风影响，那么台风影响该城市的持续时间有多长？
（3）该城市受到台风影响的最大风力为几级？
25．先阅读下列解答过程，然后再解答：小芳同学在研究化简中发现：首先把化为﹐由于，，即：， ，所以，
问题:（1）填空：__________，____________﹔
（2）进一步研究发现：形如的化简，只要我们找到两个正数a，b（），使，，即，﹐那么便有： __________．
（3）化简：（请写出化简过程）
26．如图１，在△ABC和△ADE中，∠DAE=∠BAC，AD=AE，AB=AC．
（1）求证：△ABD≌△ACE；
（2）如图2，在△ABC和△ADE中，∠DAE=∠BAC，AD=AE，AB=AC，∠ADB=90°，点E在△ABC内，延长DE交BC于点F，求证：点F是BC中点；
（3）△ABC为等腰三角形，∠BAC=120°，AB=AC，点P为△ABC所在平面内一点，∠APB=120°，AP=2，BP=4，请直接写出 CP的长．
高埂中学学区2023—20243学年上学期
八年级数学学科试题答案
1．【答案】D
2.【答案】B
3．
【答案】D
【详解】解：A、，2的算术平方根是，选项错误，不符合题意；
B、9的立方根是，选项错误，不符合题意；
C、的平方根是，选项错误，不符合题意；
D、，所以是的一个平方根，选项正确，符合题意；故选：D
【点睛】此题考查了平方根和立方根的定义与性质，解题的关键是掌握平方根和立方根的定义，如果一个数的平方等于a，那么这个数叫做a的平方根（或二次方根），正数有两个平方根，它们互为相反数；算术平方根：如果一个正数的平方等于a，那么这个正数叫做a的算术平方根；立方根：如果一个数的立方等于a，那么这个数叫做a的立方根（或三次方根）．
4．
【答案】D
【详解】∵，∴故选：D．
【点睛】本题考查了被开方数的变化与立方根的值的变化之间的变化规律．当被开方数的小数点每向右(或向左)移动3位，它的立方根的小数点就相应的向右(或向左)移动1位．
5．【答案】B
6．【答案】C
7．【答案】A
【详解】解：设和的腰分别为a，b，
∵和均为等腰直角三角形，且面积之和为，
∴，，，
∴，∴，∴．故选：A．
【点睛】本题考查了勾股定理，等腰直角三角形的性质等知识，正确运用以上知识解答是解题的关键．
8．【答案】A
9．【答案】 ±3
【详解】解：∵，9的平方根为±3，∴的平方根为±3，
的立方根为，故答案为：±3，
【点睛】本题考查了立方根与平方根的定义，是基础概念题，熟记定义是解题的关键．
10．（
【答案】24
【详解】解：依题意画出图形，
设芦苇长尺，则水深尺，因为尺，所以尺，
在Rt△AB'C中，∵，∴，解得：，
∴水深为：尺，故填：24．
【点睛】本题考查了勾股定理的应用，正方形的性质等知识，熟悉数形结合的解题思想是解题关键．
11．
【答案】24
【详解】解：∵∠C＝90°，∴a2+b2＝c2＝100，
∴（a+b）2﹣2ab＝100，∴196﹣2ab＝100，∴ab＝48，∴S△ABC＝＝24cm2；故答案为：24．
【点睛】本题考查勾股定理、完全平方公式的变形求值、三角形面积计算的运用，熟知勾股定理是解题的关键．
12．
【答案】 < >
【详解】①，，，，，
②，∴，∴，故答案为：①<；②>．
【点睛】本题考查实数的大小比较问题，掌握实数比较大小的方法和不等式的性质，还会用不等式的性质解题是关键．
13．【答案】1.3．
【详解】因为壁虎与蚊子在相对的位置，则壁虎在圆柱展开图矩形两边中点的连线上，如图所示
要求壁虎捉蚊子的最短距离，实际上是求在EF上找一点P，使PA+PB最短，过A作EF的对称点，连接，则与EF的交点就是所求的点P．过B作于点M，在中，，，
∴．∵，∴壁虎捉蚊子的最短距离为1.3m．
14．
【答案】(1)(2)(3)(4)
【详解】（1）解：
=
=；
（2）解：
=
=；
（3）解：
=
=
=；
（4）解：
=
=
=．
【点睛】本题主要考查了二次根式的运算以及实数的运算，熟练掌握运算法则是解答本题的关键．
15．
【答案】绿化这片空地共需花费17100元
【详解】解：连接AC，如图
∵∠ABC＝90°，AB＝9m，BC＝12m，∴AC＝＝15（m），
∵CD＝17m，AD＝8m，∴AD2＋AC2＝DC2，∴∠DAC＝90°，
∴S△DAC＝×AD AC＝×8×15＝60（m2），S△ACB＝AB AC＝×9×12＝54（m2），
∴S四边形ABCD＝60＋54＝114（m2），∴150×114＝17100（元），
答：绿化这片空地共需花费17100元．
【点睛】此题主要考查了勾股定理的应用，正确应用勾股定理以及勾股定理逆定理是解题关键．
16．
【答案】(1)(2)
【详解】（1）解：的平方根是，，解得，
又的立方根是，；
又是的整数部分，而，；．
（2）∵，x是的小数部分，，
，的算术平方根为．
【点睛】本题考查了无理数的估算，无理数的小数部分，平方根，立方根，算术平方根的计算，熟练掌握估算思想，会求一个数的算术平方根是解题的关键．
17．
【答案】(1)3(2)①4，5，6，7，8；②21(3)①2；②6560
【详解】（1）解：∵，即，∴[]＝3；
（2）①当[]＝2时，可得，∴n＝4，5，6，7，8；
②当[]＝10时，可得，
∴n＝100，101，102，103，104，105，106，107，108，109，110，111，112，113，114，115，116，117，118，119，120；∴满足条件的n的个数为21；
（3）①25[]＝5[]＝2，故对25进行2次操作后变为2，故答案为：2；
②设第三次操作为：[]＝2，则，∴，
∴设第二次操作为：[]＝8，则，∴，
∴设第一次操作为：[]＝80，则，∴，
∴只需进行3次操作后变为2的所有正整数中，最大的是6560，∴m的最大值为6560．
【点睛】本题考查无理数估算的应用，理解[]的定义，估算出无理数在哪两个整数之间是解决此题关键．
18．
【答案】(1)，理由见解析
(2)，构图见解析；，构图见解析 (3)，构图见解析
（1）解：由图1可知：，在中，
（2）解：如图2可知：如图3可知：
（3）如图4，取线段BD=10，分别过B、D作AB⊥BD，ED⊥BD，且AB=2，DE=4，连接AE，则AE为（x≥0）的最小值，过点A作AF⊥ED交ED的延长线于F．则四边形ABDF是矩形，
∴AF=BD=10，AB=DF=2，∵DE=4，∴EF=6，∴AE=．
【点睛】本题属于三角形综合题，考查了三角形三边的关系、勾股定理，最值问题等知识，解题的关键是学会利用数形结合的思想解决问题，会用转化的思想解决问题，属于中考压轴题．
19．
【答案】28
【详解】解：∵∴∴是两位数
又∵只有个位上是8的数的立方的个位上的数是2∴的个位上的数是8
∵划去21952后面的三位952得到21，而，
∴十位上的数是2∴的值为28故答案为：28
【点睛】本题考查了数的立方根，理解一个数的立方根的个位数就是这个数的个位数的立方的个位数是解本题的关键．
20．
【答案】/
【详解】解：如图，作于．
在中，，，，
，，
，，，
，，，，
，，，
．故答案为：．
【点睛】本题考查翻折变换、勾股定理、等腰直角三角形的判定和性质等知识，解题的关键是添加辅助线，构造直角三角形．
22．
【答案】
【详解】解：∵、、、为四个全等的直角三角形，
∴，，四边形是正方形，，，
又，∴，又，∴，∴，
设，，则，
∴，
在中，，∴，
∴，∴，∴，即，
∴或（不符合题意，舍去），
∴，，
∴两个阴影部分的面积和与四边形面积的比值为．
故答案为：．
【点睛】本题考查了勾股定理的应用、全等三角形的判定与性质等知识，根据等积法求出是解题的关键．
23．
【答案】①②③④
【详解】解： ∵△PAB以AB为底边，△PCD以CD为底边，
∴此时两三角形的高的和为BC，∴=，
同理：=，∴=，故①正确；
∵∠APB=80°，∠DPC=50°，∴∠PAB+∠PBA=100°，∠PCD+∠PDC=130°，
∴∠PAB-∠PBC=∠PAB-（90°-∠PBA）=∠PAB+∠PBA-90°=，
∠PCD-∠PDA=∠PCD-（90°-∠PDC）=∠PCD+∠PDC-90°=，
∴=∠PAB+∠PBA-90°+∠PCD+∠PDC-90°=100°-90°+130°-90°=50°，故②正确；
过点P作EF∥BC，交AB于E，交CD于F，
∵四边形ABCD是矩形，∴AB⊥BC，DC⊥BC，
∴AB⊥EF，DC⊥EF，∴在Rt△APE中，PA2=AE2+PE2，
同理，PC2=CF2+PF2，PB2=BE2+PE2，PD2=DF2+PF2，
则PA2+PC2=AE2+PE2+CF2+PF2，PB2+PD2=BE2+PE2+DF2+PF2，
∵AB⊥EF，DC⊥EF，AD⊥AB，可证得四边形ADFE是矩形，
∴AE=DF，同理CF=BE，∴AE2=DF2，CF2=BE2，∴PA2+PC2= PB2+PD2，故③正确；
∵，=，∴=，
∴==，∴点P在对角线AC上，故④正确；故答案为：①②③④．
【点睛】本题主要考查矩形的性质和判定，三角形的面积，勾股定理，三角形内角和等知识，掌握并熟练运用矩形的判定定理和性质定理是解题的关键．
24．
【答案】（1）该城市会受到这次台风的影响；（2）16；（3）7.2.
【详解】解：（1）该城市会受到这次台风的影响．理由如下：
如图，过A作AD⊥BC于D．在Rt△ABD中，
∵∠ABD=30°，AB=240，∴AD= AB=120，
∵城市受到的风力达到或超过四级，则称受台风影响，
∴受台风影响范围的半径为25×（12﹣4）=200,
∵120＜200，∴该城市会受到这次台风的影响．
（2）如图以A为圆心，200为半径作⊙A交BC于E、F，则AE=AF=200,
∴台风影响该市持续的路程为：EF=2DE= =320,
∴台风影响该市的持续时间t=320÷20=16（小时）．
（3）∵AD距台风中心最近， ∴该城市受到这次台风最大风力为：12﹣（120÷25）=7.2（级）．
25．
【答案】（1），；（2）；（3）
【详解】解：（1）；
；
（2）；
（3）==．
【点睛】本题考查二次根式的计算和化简，解题的关键是掌握二次根式的运算法则
26．
【答案】（1）证明见详解；（2）证明见详解；（3）或2．
【详解】解：（1）证明：∵∠DAE=∠BAC∴∠DAB=∠EAC
∵AD=AE，AB=AC∴△ABD≌△ACE
（2）证明：连接CE，延长EF至点H，取CF=CH，连接CH，如图所示：
∵△ADB≌△AEC∴BD=EC，∠ADB=∠AEC=90°∵AD=AE∴∠ADE=∠AED
∵∠ADE+∠EDB=∠AED+∠CEH=90°∴∠EDB=∠CEH∵CF=CH∴∠CFH=∠CHF∴∠DFB=∠H
∵CE=BD∴△DBF≌△ECH∴BF=CH∴BF=CF∴点F是BC的中点
（3）当点P在△ABC内部，如图所示，将△ABP逆时针旋转120°，得到，连接和PC
∵将△ABP旋转120°得到
∴∠=120°，AP==2，BP==4∴=2，
∵∠=120°，∠=30°，∴∠=90°，∴PC=．
当点P在△ABC外部，如图所示，
将△APB绕点A逆时针旋转120到△，过点P作PD⊥于点D，连接PD，
∵将△ABP旋转120°得到
∴∠=120°，AP==2，BP==4，∴=2，
∵∠=120°,∠=30°，∴∠=150°，∴∠=30°，
在Rt中，，，
， ．
综上所述，
【点睛】本题主要考查了全等三角形以及旋转，合理的作出辅助线以及熟练旋转的性质是解决本题的关键．
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