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浙教版数学九年级上册期中精选真卷.温州卷（九）
一、选择题（本题有10小题，每小题4分，共40分.每小题只有一个选项是正确的，不选、多选、错选，均不给分）
1．（4分）已知⊙O的半径为5，若点P到圆心O的距离为6，则点P在（ ）
A．⊙O内 B．⊙O上
C．⊙O外 D．⊙O上或⊙O内
2．（4分）抛物线y＝3x2向上平移2个单位长度后的函数表达式为（ ）
A．y＝3x2﹣2 B．y＝3x2+2 C．y＝3（x﹣2）2 D．y＝3（x+2）2
3．（4分）如图，直线l1∥l2∥l3，直线AC分别交l1，l2，l3于点A，B，C，直线DF分别交于点D，E，F．已知AB＝4，BC＝8，DE＝3，则EF的长为（ ）
A．16 B．12 C．9 D．6
4．（4分）利用圆的等分，在半径为3的圆中作出如图的图案，则相邻两等分点之间的距离为（ ）
A．3 B．3 C．4 D．6
5．（4分）抛物线y＝x2﹣3x+4与x轴的交点个数为（ ）
A．0个 B．1个 C．2个 D．3个
6．（4分）如图，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，∠BAC＝25°，将△ABC绕点B逆时针旋转90°得到△A'BC'，连结AA'，则∠AA'C′的度数为（ ）
A．15° B．20° C．25° D．30°
7．（4分）某水果销售商有100千克苹果，当苹果单价为15元/千克时，能全部销售完，市场调查表明苹果单价每提高1元，销售量减少6千克，若苹果单价提高x元，则苹果销售额y关于x的函数表达式为（ ）
A．y＝x（100﹣x） B．y＝x（100﹣6x）
C．y＝（100﹣x）（15+x） D．y＝（100﹣6x）（15+x）
8．（4分）如图，Rt△AOB的顶点A（2，1），B（﹣2，n）分别在第一、二象限内，∠AOB＝90°，则n的值为（ ）
A．6 B．5 C．4 D．3
9．（4分）如图，在⊙O中，四边形ABCD是“婆氏四边形“，对角线AC，BD相交于点E，过点E作EH⊥DC于点H，延长HE交AB于点F，则的值为（ ）
A． B． C． D．
10．（4分）已知点A（a，2），B（b，6），C（c，d）都在抛物线y＝（x﹣1）2﹣2上，d＜1．下列选项正确的是（ ）
A．若a＜0，b＜0，则b＜c＜a B．若a＞0，b＜0．则b＜a＜c
C．若a＜0，b＞0，则a＜c＜b D．若a＞0，b＞0，则c＜b＜a
二、填空题（本题有6小题，每小题5分，共30分）
11．（5分）二次函数y＝﹣2（x+1）2+3的最大值为 ．
12．（5分）若扇形的圆心角为80°，半径为9，则扇形的弧长为 ．
13．（5分）如图，四边形ABCD是⊙O的内接四边形，连结OB，OD，若∠BOD＝108°，则∠BCD＝ 度．
（5分）如图，在△ABC中，中线AD，BE相交于点F，FG∥AC，交BC于点G．若△FDG的面积为2，则△ADC的面积为 ．
15．（5分）如图，抛物线y＝ax2﹣2ax+c（a＞0）交x轴于点A，B， ABCD的顶点C在该抛物线上，顶点D在抛物线的对称轴上，若点C的纵坐标为2，∠DAB＝60°，则a的值为 ．
16．（5分）图1是一款展示架，由展示板AF，支撑板BE和连接板CD组成．点B，D是AF上的定点，CD是定长，改变架脚EF的长度可使点C在BE上滑动，从而控制展示板的倾斜程度、已知BD＝14cm，DF＝82cm．BE＝84cm．初始状态如图2，此时∠CEF+∠CDF＝180°．EF＝126cm，则CD＝ cm．现要改变EF长使得∠CEF＝∠CDF（如图3），则EF的长应调整为 ．
三、解答题（本题有8小题，共80分.解答需写出必要的文字说明、演算步骤或证明过程）
17．（8分）（1）已知线段a＝2，b＝6，求线段a，b的比例中项线段c的长．
（2）已知x：y＝3：2，求的值．
18．（8分）如图，已知点D在△ABC边BC上，点E在△ABC外，∠BAD＝∠CAE＝∠EDC．
（1）求证：△ABC∽△ADE．
（2）若AD＝5，AB＝6，BC＝9，求DE的长．
19．（8分）如图，以△ABC的边AB为直径作半圆，分别交边AC，BC于点D，E，点O为圆心，连结AE，OE．已知点E是弧DB的中点，∠C＝75°．
（1）求∠EOB的度数．
（2）若直径AB＝8，求阴影部分的面积．
20．（8分）我们把顶点都在格点上的三角形叫做格点三角形．如图，在8×8的方格纸中，△ABC的顶点均在格点上，请按照以下要求画图．
（1）在图1中画格点△DEF，使△DEF与△ABC相似且周长比为2：1．
（2）在图2中画格点△BGC，使∠BGC＝∠ACB．
21．（10分）已知抛物线由y＝﹣x2平移得到，对称轴为直线x＝3且经过点（4，5）．
（1）求该抛物线的函数表达式和顶点A的坐标．
（2）点B是对称轴上一点，过点B作x轴平行线交抛物线于点C，D（点C在点D的左侧），若CD＝4，求AB的长度．
22．（12分）如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB于点H，点F为圆上一点，＝，连结AD，过点C作CE∥AF交AB于点G，交AD于点E．
（1）求证：CE＝CD．
（2）若CG＝2EG，AF＝6，求⊙O的直径．
23．（12分）根据以下素材，探索完成任务．
如何设计花边绘制的方案？
素材 某中学美工社团计划用一“抛物线型”模具设计花边，图1为模具的形状，其高度为16cm．现将该模具完全放入长、宽分别为80cm，16cm的矩形纸片中（如图2），发现恰好能绘制出一幅有5个连续花边组成的图案．
问题解决
任务1 确定模具形状 在图2中建立合适的直角坐标系，求出最中间花边的函数表达式．
任务2 设计过程一 如图3，将模具的一部分放入纸片，恰好绘制出一排含有20个连续花边的图案（花边高度一致），求花边高度h的值．
设计过程二 为了环保，将原矩形纸片四等分，得到80cm×4cm的矩形纸片，并在该纸片上进行绘制：为了增加美观性，要求绘制时满足以下条件：①花边高度h＝4cm．②每两个相邻花边之间需要有2.2cm的间隔．③要求在符合条件处均进行绘制，且绘制后的花边图案成轴对称分布．给出一种符合所有绘制条件的花边数量，并求出花边图案的左端与纸片左边缘的水平距离．
24．（14分）如图1，在矩形ABCD中，E是BC上的一点，且AE＝AD，DF⊥AE于点F．
（1）求证；EF＝CE．
（2）如图2，点P是射线EC上一点，连结AP交线段DF，射线DC于点M，N．
①若AD＝3，AB＝，当△DMN为等腰三角形时，求CP的长．
②连结DP，当DP∥AE时，△DMN和△NCP的面积恰好相等，则＝ ．
精品试卷·第 2 页 （共 2 页）
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浙教版数学九年级上册期中精选真卷.温州卷（九）
参考答案与试题解析
一、选择题（本题有10小题，每小题4分，共40分.每小题只有一个选项是正确的，不选、多选、错选，均不给分）
1．（4分）已知⊙O的半径为5，若点P到圆心O的距离为6，则点P在（ ）
A．⊙O内 B．⊙O上
C．⊙O外 D．⊙O上或⊙O内
【分析】直接根据点与圆的位置关系的判定方法进行判断．
【解答】解：∵⊙O的半径为5，点P到圆心O的距离为6，
∴点P到圆心O的距离大于圆的半径，
∴点P在⊙O外．
故选：C．
【点评】本题考查了点与圆的位置关系：点与圆的位置关系有3种．设⊙O的半径为r，点P到圆心的距离OP＝d，则有：点P在圆外 d＞r；点P在圆上 d＝r；点P在圆内 d＜r．
2．（4分）抛物线y＝3x2向上平移2个单位长度后的函数表达式为（ ）
A．y＝3x2﹣2 B．y＝3x2+2 C．y＝3（x﹣2）2 D．y＝3（x+2）2
【分析】平移前函数的顶点坐标（0，0），向上平移2个单位长度后顶点坐标为（0，2），由此可得平移后函数解析式．
【解答】解：∵y＝3x2向上平移2个单位长度，
∴y＝3x2+2，
故选：B．
【点评】本题考查二次函数图象与几何变换，熟练掌握二次函数的平移变换特点是解题的关键．
3．（4分）如图，直线l1∥l2∥l3，直线AC分别交l1，l2，l3于点A，B，C，直线DF分别交于点D，E，F．已知AB＝4，BC＝8，DE＝3，则EF的长为（ ）
A．16 B．12 C．9 D．6
【分析】根据平行线分线段成比例定理列出比例式，把已知数据代入计算即可．
【解答】解：∵l1∥l2∥l3，
∴＝，
∵AB＝4，BC＝8，DE＝3，
∴＝，
解得：EF＝6，
故选：D．
【点评】本题考查的是平行线分线段成比例定理，灵活运用定理、找准对应关系是解题的关键．
4．（4分）利用圆的等分，在半径为3的圆中作出如图的图案，则相邻两等分点之间的距离为（ ）
A．3 B．3 C．4 D．6
【分析】如图，连接OA，OB，根据等边三角形的判定和性质定理即可得到结论．
【解答】解：如图，连接OA，OB，
∵∠AOB＝＝60°，OA＝OB，
∴△AOB是等边三角形，
∴AB＝OA＝3，
∴相邻两等分点之间的距离为3，
故选：A．
【点评】本题考查了正多边形与圆，等边三角形的判定和性质，熟练掌握正六边形的性质是解题的关键．
5．（4分）抛物线y＝x2﹣3x+4与x轴的交点个数为（ ）
A．0个 B．1个 C．2个 D．3个
【分析】令y＝0，用判别式Δ确定方程解的个数．
【解答】解：当y＝0时，x2﹣3x+4＝0，
∵Δ＝（﹣3）2﹣4×1×4＝9﹣16＝﹣7＜0，
∴方程x2﹣3x+4＝0无实数根，
∴抛物线y＝x2﹣3x+4与x轴没有交点，
故选：A．
【点评】本题考查抛物线与x轴的交点，解答本题的关键是利用判别式Δ来判定方程解的个数．
6．（4分）如图，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，∠BAC＝25°，将△ABC绕点B逆时针旋转90°得到△A'BC'，连结AA'，则∠AA'C′的度数为（ ）
A．15° B．20° C．25° D．30°
【分析】由旋转的性质得出AB＝A'B，∠ABC＝∠ABA'＝90°，∠BAC＝∠BA'C'，由等腰三角形的性质得出∠BA'A＝∠A'AB＝45°，求出∠BA'C'＝25°，则可得出答案．
【解答】解：∵将△ABC绕点B逆时针旋转90°得到△A'BC'，
∴AB＝A'B，∠ABC＝∠ABA'＝90°，∠BAC＝∠BA'C'，
∴∠BA'A＝∠A'AB＝45°，
∵∠BAC＝25°，
∴∠BA'C'＝25°，
∴∠AA'C'＝∠BA'A﹣∠BA'C'＝45°﹣25°＝20°，
故选：B．
【点评】本题考查了旋转的性质，等腰三角形的性质，直角三角形的性质，解决本题的关键是掌握旋转的性质．
7．（4分）某水果销售商有100千克苹果，当苹果单价为15元/千克时，能全部销售完，市场调查表明苹果单价每提高1元，销售量减少6千克，若苹果单价提高x元，则苹果销售额y关于x的函数表达式为（ ）
A．y＝x（100﹣x） B．y＝x（100﹣6x）
C．y＝（100﹣x）（15+x） D．y＝（100﹣6x）（15+x）
【分析】根据单价每提高1元，销售量减少6千克，即可得到y关于x的函数表达式；
【解答】解：根据题意得，y＝（100﹣6x）（15+x），
故选：D．
【点评】本题考查二次函数的应用，解答本题的关键是明确题意，写出相应的函数关系式．
8．（4分）如图，Rt△AOB的顶点A（2，1），B（﹣2，n）分别在第一、二象限内，∠AOB＝90°，则n的值为（ ）
A．6 B．5 C．4 D．3
【分析】过点A作AH⊥x轴于点H，过点B作BD⊥x轴于点D，则∠AHO＝∠BDO＝90°，进一步可证△AHO∽△ODB，根据相似三角形的性质可得AH：OD＝OH：BD，进一步可得n的值．
【解答】解：过点A作AH⊥x轴于点H，过点B作BD⊥x轴于点D，如图所示：
则∠AHO＝∠BDO＝90°，
∴∠OAH+∠AOH＝90°，
∵∠AOB＝90°，
∴∠AOH+∠BOD＝90°，
∴∠OAH＝∠BOD，
∴△AHO∽△ODB，
∴AH：OD＝OH：BD，
∵Rt△AOB的顶点A（2，1），B（﹣2，n）分别在第一、二象限内，
∴AH＝1，OH＝2，OD＝2，BD＝n，
∴1：2＝2：n，
解得n＝4，
故选：C．
【点评】本题考查了相似三角形的判定和性质，添加合适的辅助线构造相似三角形是解题的关键．
9．（4分）婆罗摩芨多是公元7世纪古印度伟大的数学家，他研究过对角线互相垂直的圆内接四边形，我们把这类四边形称为“婆氏四边形“．如图，在⊙O中，四边形ABCD是“婆氏四边形“，对角线AC，BD相交于点E，过点E作EH⊥DC于点H，延长HE交AB于点F，则的值为（ ）
A． B． C． D．
【分析】证明FA＝EF，FB＝EF，可得结论．
【解答】解：∵AC⊥BD，EH⊥CD，
∴∠CED＝∠CHE＝90°，
∴∠CEH+∠ECH＝90°，∠EDC+∠ECH＝90°，
∴∠CEH＝∠EDC，
∵∠BAC＝∠EDC，∠AEF＝∠CEH，
∴∠FAE＝∠FEA，
∴AF＝EF，
∵∠AEB＝90°，
∴∠FAE+∠ABE＝90°，∠AEF+∠BEF＝90°，
∴∠ABE＝∠BEF，
∴BF＝EF，
∴AB＝2EF，
∴＝．
故选：A．
【点评】本题考查圆周角定理，等腰三角形的判定，同角或等角的余角相等等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．
10．（4分）已知点A（a，2），B（b，6），C（c，d）都在抛物线y＝（x﹣1）2﹣2上，d＜1．下列选项正确的是（ ）
A．若a＜0，b＜0，则b＜c＜a B．若a＞0，b＜0．则b＜a＜c
C．若a＜0，b＞0，则a＜c＜b D．若a＞0，b＞0，则c＜b＜a
【分析】根据题目中的抛物线和二次函数的性质即可判断．
【解答】解：∵抛物线y＝（x﹣1）2﹣2，
∴该抛物线的对称轴为直线x＝1，抛物线开口向上，当x＞1时，y随x的增大而增大，当x＜1时，y随x的增大而减小，
A、若a＜0，b＜0，则b＜a＜c，故A不合题意；
B、若a＞0，b＜0．则b＜c＜a，故B不合题意；
C、若a＜0，b＞0，则a＜c＜b，故C符合题意；
D、若a＞0，b＞0，则c＜a＜b，故D不合题意；
故选：C．
【点评】本题考查二次函数图象上点的坐标特征，解答本题的关键是明确题意，利用二次函数的性质解答．
二、填空题（本题有6小题，每小题5分，共30分）
11．（5分）二次函数y＝﹣2（x+1）2+3的最大值为 3 ．
【分析】利用二次函数的顶点式，易知其顶点坐标是（﹣1，3），由a＝﹣2＜0可知：当x＝﹣1时，函数有最大值3．
【解答】解：∵y＝﹣2（x+1）2+3中a＝﹣2＜0，
∴此函数的顶点坐标是（﹣1，3），有最大值3，
即当x＝﹣1时，函数有最大值3．
故答案为：3．
【点评】本题考查了二次函数的最值，解题关键是掌握二次函数顶点式，并会根据顶点式求最值．
12．（5分）若扇形的圆心角为80°，半径为9，则扇形的弧长为 4π ．
【分析】应用弧长计算公式进行计算即可得出答案．
【解答】解：l＝＝＝4π．
故答案为：4π．
【点评】本题主要考查了弧长的计算，熟练掌握弧长计算公式进行求解是解决本题的关键．
13．（5分）如图，四边形ABCD是⊙O的内接四边形，连结OB，OD，若∠BOD＝108°，则∠BCD＝ 126 度．
【分析】先根据圆周角定理求出∠A的度数，再由圆内接四边形的性质即可得出结论．
【解答】解：∵∠BOD＝108°，
∴∠A＝54°．
∵四边形ABCD是圆内接四边形，
∴∠BCD＝180°﹣54°＝126°．
故答案为：126．
【点评】本题考查的是圆内接四边形的性质，熟知圆内接四边形对角互补是解答此题的关键．
14．（5分）如图，在△ABC中，中线AD，BE相交于点F，FG∥AC，交BC于点G．若△FDG的面积为2，则△ADC的面积为 18 ．
【分析】由三角形的重心定理得DF：DA＝1：3，再由FG∥AC得△DGF∽△DCA，由相似三角形的面积比等于相似比的平方求得结果．
【解答】解：∵在△ABC中，中线AD，BE相交于点F，
∴AF＝2DF，
∴，
∵FG∥AC，
∴△DGF∽△DCA，
∴，
∵△FDG的面积为2，
△ADC的面积为：2×9＝18，
故答案为：18．
【点评】本题考查了三角形的重心、相似三角形的判定与性质，解题的关键是熟知三角形的重心性质．
15．（5分）如图，抛物线y＝ax2﹣2ax+c（a＞0）交x轴于点A，B， ABCD的顶点C在该抛物线上，顶点D在抛物线的对称轴上，若点C的纵坐标为2，∠DAB＝60°，则a的值为 ．
【分析】过点D作DE⊥AB于E，根据四边形ABCD是平行四边形，D在抛物线的对称轴上，若点C的纵坐标为2，∠DAB＝60°，可以求出AE＝2，从而求出A（﹣1，0），再根据A，B是抛物线与x轴的交点，可以求出点B（3，0），再根据AB＝CD求出点C（5，2），然后用待定系数法求函数解析式即可．
【解答】解：过点D作DE⊥AB于E，如图所示：
∵抛物线y＝ax2﹣2ax+c，
∴对称轴为直线x＝﹣＝1，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴CD∥AB，CD＝AB，
∵点C的纵坐标为2，
∴点D的纵坐标为2，
∴DE＝2，
∵∠DAB＝60°，
∴AE＝＝2，
∴OA＝AE﹣OE＝2﹣1＝1，
∴A（﹣1，0），
∵A，B是抛物线与x轴的交点，
∴B（3，0），
∴AB＝4，
∴CD＝4，
∴C（5，2），
把A，C坐标代入y＝ax2﹣2ax+c得：
，
解得，
故答案为：．
【点评】本题考查抛物线与x轴的交点，平行四边形的性质，解直角三角形，关键是求出点A，B，C的坐标．
16．（5分）图1是一款展示架，由展示板AF，支撑板BE和连接板CD组成．点B，D是AF上的定点，CD是定长，改变架脚EF的长度可使点C在BE上滑动，从而控制展示板的倾斜程度、已知BD＝14cm，DF＝82cm．BE＝84cm．初始状态如图2，此时∠CEF+∠CDF＝180°．EF＝126cm，则CD＝ 21 cm．现要改变EF长使得∠CEF＝∠CDF（如图3），则EF的长应调整为 72cm ．
【分析】先证∠CEF＝∠CDB，进而得△CBD∽△FBE，然后根据相似三角形的性质可求出CD的长；在BF上取一点G，使CB＝CG，过点C作CH⊥BF于H，设CB＝CG＝x，先证△CDG∽△FEB得CD：EF＝CG：BF＝DG：BE，即21：EF＝x：96＝DG：84，则EF＝，DG＝x，再求出BH＝HG＝G＝x+7，DH＝x﹣7，由勾股定理得CD2﹣DH2＝CG2﹣HG2，则，由此解出x＝28，进而可得EF的长．
【解答】解：∵∠CEF+∠CDF＝180°，∠CDB+∠CDF＝180°，
∴∠CEF＝∠CDB，
又∠CDB＝∠FBE，
∴△CBD∽△FBE，
∴CD：EF＝BD：BE，
∵EF＝126cm，BD＝14cm，BE＝84cm，
∴CD：126＝14：84，
∴CD＝21cm；
在BF上取一点G，使CB＝CG，过点C作CH⊥BF于H，如图：
设CB＝CG＝x，
∵CB＝CG，
∴∠CBG＝∠CGB，
∵∠CEF＝∠CDF，
∴△CDG∽△FEB，
∴CD：EF＝CG：BF＝DG：BE，
∵EF＝126cm，BD＝14cm，BE＝84cm，CD＝21cm，
∴BF＝BD+DF＝14+82＝96（cm），
∴21：EF＝x：96＝DG：84，
∴EF＝，DG＝x，
∴BG＝DG+BD＝x+14，
∵CB＝CG，CH⊥BF，
∴BH＝HG＝BG＝＝x+7，
∴DH＝BH﹣BD＝x+7﹣14＝x﹣7，
在Rt△CDH中，由勾股定理得：CH2＝CD2﹣DH2，
在Rt△CGH中，由勾股定理得：CH2＝CG2﹣HG2，
∴CD2﹣DH2＝CG2﹣HG2，
即：，
整理得：4x2﹣49x﹣1764＝0，
∴（4x+63）（x﹣28）＝0，
∵x＞0，
∴4x+63≠0，
∴x﹣28＝0，
∴x＝28，
∴EF＝＝72（cm）．
故答案为：21，72cm．
【点评】此题主要考查了相似三角形的判定和性质，勾股定理，熟练掌握相似三角形的判定方法，灵活运用相似三角形的性质及勾股定理构造方程进行计算是解答此题的关键．
三、解答题（本题有8小题，共80分.解答需写出必要的文字说明、演算步骤或证明过程）
17．（8分）（1）已知线段a＝2，b＝6，求线段a，b的比例中项线段c的长．
（2）已知x：y＝3：2，求的值．
【分析】（1）根据比例中项的定义求解即可；
（2）设x＝3k，y＝2k，代入求解即可．
【解答】解：（1）由题意c2＝ab，
∴c2＝12，
∵c＞0，
∴c＝2；
（2）∵x：y＝3：2．
∴可以假设x＝3k，y＝2k，
∴原式＝＝．
【点评】本题考查比例线段，解题的关键是掌握比例中项的定义，学会利用参数解决问题．
18．（8分）如图，已知点D在△ABC边BC上，点E在△ABC外，∠BAD＝∠CAE＝∠EDC．
（1）求证：△ABC∽△ADE．
（2）若AD＝5，AB＝6，BC＝9，求DE的长．
【分析】（1）根据两角相等的两个三角形相似来证明即可解答；
（2）利用相似三角形的对应边成比例进行计算即可解答．
【解答】（1）证明：∵∠BAD＝∠CAE＝∠EDC，∠ADC＝∠ADE+∠CDE＝∠B+∠BAD，
∴∠ADE＝∠B，
∴△ABC∽△ADE；
（2）解：由（1）得：△ABC∽△ADE，
∴，
∵AD＝5，AB＝6，BC＝9，
∴，
∴DE＝．
【点评】本题考查了相似三角形的判定与性质，熟练掌握相似三角形的判定与性质是解题的关键．
19．（8分）如图，以△ABC的边AB为直径作半圆，分别交边AC，BC于点D，E，点O为圆心，连结AE，OE．已知点E是弧DB的中点，∠C＝75°．
（1）求∠EOB的度数．
（2）若直径AB＝8，求阴影部分的面积．
【分析】（1）连接OE，证明AC＝CB，求出∠CAB＝30°，再证明OE∥AC，可得结论；
（2）连接OD，过点O作OT⊥AD于点T，过点E作EJ⊥OB于点J，根据S阴＝S△ABC﹣S△AOD﹣S扇形ODE﹣S△OEB，求解即可．
【解答】解：（1）如图，连接EO．
∵E是的中点，
∴∠DAE＝∠EAB，
∵AB是直径，
∴∠AEB＝∠AEC＝90°，
∴∠C+∠DAE＝90°，∠B+∠EAB＝90°，
∴∠C＝∠B＝75°，
∴AC＝AB，
∴EC＝EB，
∵AO＝OE，
∴∠OAE＝∠OEB＝∠EAC，
∴EO∥AC，
∴∠EOB＝∠CAB＝180°﹣2×75°＝30°；
（2）连接OD，过点O作OT⊥AD于点T，过点E作EJ⊥OB于点J，
∵OT⊥AD，OT经过圆心O，
∴AT＝TD＝AO cos30°＝2，OT＝OA＝2，
∵EJ⊥OB，
∴EJ＝OE sin30°＝2，
∴S阴＝S△ABC﹣S△AOD﹣S扇形ODE﹣S△OEB
＝2××8×2﹣××2﹣﹣×4×2
＝12﹣4﹣．
【点评】本题考查扇形的面积，垂径定理，解直角三角形，等腰三角形的判定和性质等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造直角三角形解决问题．
20．（8分）我们把顶点都在格点上的三角形叫做格点三角形．如图，在8×8的方格纸中，△ABC的顶点均在格点上，请按照以下要求画图．
（1）在图1中画格点△DEF，使△DEF与△ABC相似且周长比为2：1．
（2）在图2中画格点△BGC，使∠BGC＝∠ACB．
【分析】（1）利用相似比求出△DEF的三边，画出三角形即可；
（2）根据tanG＝，构造三角形即可．
【解答】解：（1）如图1中，△DEF即为所求；
（2）如图2中，△BCG即为所求．
【点评】本题考查作图﹣相似变换，解题的关键是掌握相似三角形的性质，学会利用数形结合的思想解决问题．
21．（10分）已知抛物线由y＝﹣x2平移得到，对称轴为直线x＝3且经过点（4，5）．
（1）求该抛物线的函数表达式和顶点A的坐标．
（2）点B是对称轴上一点，过点B作x轴平行线交抛物线于点C，D（点C在点D的左侧），若CD＝4，求AB的长度．
【分析】（1）根据平移的规律平移后的抛物线为y＝﹣（x﹣3）2+k，代入点（4，5），即可求出解析式；
（2）由题意可知C点的横坐标为1，D点的横坐标为5，代入抛物线解析式求得纵坐标为2，进而即可求得AB＝4．
【解答】解：（1）设所求抛物线为y＝﹣（x﹣3）2+k，
∵抛物线y＝﹣（x﹣3）2+k过点（4，5），
则5＝﹣（4﹣3）2+k，
解得k＝6，
∴所求抛物线为y＝﹣（x﹣3）2+6；
∴顶点A的坐标是（3，6）．
（2）∵抛物线的对称轴为直线x＝3，CD＝4，
∴C点的横坐标为1，D点的横坐标为5，
把x＝1代入y＝﹣（x﹣3）2+6得，y＝﹣4+6＝2，
∵A（3，6），
∴AB＝6﹣2＝4．
【点评】此题考查了待定系数法求二次函数解析式及图象的平移，二次函数图象上点的坐标特征，求得抛物线的解析式是解题的关键．
22．（12分）如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB于点H，点F为圆上一点，＝，连结AD，过点C作CE∥AF交AB于点G，交AD于点E．
（1）求证：CE＝CD．
（2）若CG＝2EG，AF＝6，求⊙O的直径．
【分析】（1）由圆周角定理的推论，垂径定理即可证明；
（2）由相似三角形的判定和性质，勾股定理可以求解．
【解答】（1）证明：∵AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB，
∴＝，
∵＝，
∴＝，
∴∠ADC＝∠FAD，
∵CE∥AF，
∴∠CED＝∠FAD，
∴∠ADC＝∠CED，
∴CE＝CD．
（2）解：作EM⊥DH于M，连接OC，设⊙O的半径是r，
∵＝，
∴＝，
∴AF＝DC，
∴CE＝DC＝6，
∴CH＝DH＝3，
∵CG＝2EG，
∴EG＝2，CG＝4，
∴GH＝＝，
∵GH∥EM，
∴CH：MH＝CG：GE＝2：1，
∴MH＝1.5，
∴M是DH的中点，
∴E是AD中点，
∴EM是△DAH中位线，
∴AH＝2EM，
∵△CGH∽△CEM，
∴GH：EM＝CG：CE，
∴：EM＝4：6，
∴EM＝，
∴AH＝2EM＝3，
设⊙O的半径是r，
∵OC2＝OH2+CH2，
∴r2＝（3﹣r）2+32，
∴r＝，
∴⊙O直径长是．
【点评】本题考查圆的有关知识，关键是掌握圆周角定理的推论，垂径定理，勾股定理，相似三角形的判定和性质．
23．（12分）根据以下素材，探索完成任务．
如何设计花边绘制的方案？
素材 某中学美工社团计划用一“抛物线型”模具设计花边，图1为模具的形状，其高度为16cm．现将该模具完全放入长、宽分别为80cm，16cm的矩形纸片中（如图2），发现恰好能绘制出一幅有5个连续花边组成的图案．
问题解决
任务1 确定模具形状 在图2中建立合适的直角坐标系，求出最中间花边的函数表达式．
任务2 设计过程一 如图3，将模具的一部分放入纸片，恰好绘制出一排含有20个连续花边的图案（花边高度一致），求花边高度h的值．
设计过程二 为了环保，将原矩形纸片四等分，得到80cm×4cm的矩形纸片，并在该纸片上进行绘制：为了增加美观性，要求绘制时满足以下条件：①花边高度h＝4cm．②每两个相邻花边之间需要有2.2cm的间隔．③要求在符合条件处均进行绘制，且绘制后的花边图案成轴对称分布．给出一种符合所有绘制条件的花边数量，并求出花边图案的左端与纸片左边缘的水平距离．
【分析】【任务1】以矩形长边中点为原点O，建立如图所示的平面直角坐标系，根据题意可知，最中间过点A（8，16），代入抛物线即可；
【任务2】将图3中的花边与图2中对比起来，找到对应位置，求出B，C的坐标即可得出结论；
【任务3】根据题意，需要分两种情况，分别求出对应的值即可．
【解答】【任务1】以矩形长边中点为原点O，建立如图所示的平面直角坐标系，
∴可设抛物线的解析式为：y＝ax2，
由抛物线和矩形的对称性可知，A（8，16）．
将A（8，16）代入上述抛物线可得，a＝．
∴在上述坐标系下，抛物线的解析式为：y＝x2．
【任务2】如图3，根据题意可知，图3中的B，C两点分别对应图2中的B，C，h即为所求．
由题意可知，BC＝80÷20＝4，
∴图2中点B的横坐标为﹣2，点C的横坐标为2，
∴y＝×22＝1．即h＝1．
【任务3】如图2，若花边高度h＝4cm，
令y＝x2＝4，解得x＝4或x＝﹣4．
∴C（4，4），即BC＝8．
要求每两个相邻花边之间需要有2.2cm的间隔，需要分两种情况：
①点B在数轴上对应点﹣4，点C对应点4，则4+（8+2.2）×3＝34.6＜40，
故此时，能放3×2+1＝7（个）花边；
此时左端与纸片左边缘的水平距离为：40﹣34.6＝5.4（cm）；
②若点B对应的是1.1，则有1.1+（8+2.2）×3+8＝39.7＜40，且1.1+（2.2+8）×4+8＞40，
∴此时，能放8个花边，
此时左端与纸片左边缘的水平距离为：40﹣39.7＝0.3（cm）．
【点评】本题考查了二次函数的应用，熟练掌握不同坐标系中求解析式，能把实际问题转化为抛物线是解题的关键．
24．（14分）如图1，在矩形ABCD中，E是BC上的一点，且AE＝AD，DF⊥AE于点F．
（1）求证；EF＝CE．
（2）如图2，点P是射线EC上一点，连结AP交线段DF，射线DC于点M，N．
①若AD＝3，AB＝，当△DMN为等腰三角形时，求CP的长．
②连结DP，当DP∥AE时，△DMN和△NCP的面积恰好相等，则＝ ．
【分析】（1）如图1中，连接DE．由题意可知，AD∥CB，所以∠ADE＝∠DEC，因为AD＝AE，所以∠AED＝∠ADE＝∠DEC，易证△DFE≌△DCE（AAS），所以EF＝CE；
（2）根据题意可知，需要分三种情况讨论：当MD＝MN时，当DM＝DN时，当ND＝MN时，分别求解即可得出结论；
②连接DE交AP于点O，连接CM．易证四边形四边形AEPD是菱形，所以DA＝DP，DE⊥AP，AO＝OP，由△DFE≌△DCE，可得∠EDF＝∠EDC，因为∠DMN+∠EDF＝90°，∠DNM+∠EDC＝90°，所以∠DMN＝∠DNM，所以DM＝DN，设AM＝PN＝b，OM＝ON＝a，所以AD＝AE＝BC＝PE，则＝，由S△DMN＝S△PCN，可知S△CMD＝S△CMP，易证＝，＝＝，所以＝，即＝，解之即可得出结论．
【解答】（1）证明：如图1中，连接DE．
∵四边形ABCD是矩形，
∴AD∥CB，
∴∠ADE＝∠DEC，
∵AD＝AE，
∴∠AED＝∠ADE＝∠DEC，
在△DFE和△DCE中，
，
∴△DFE≌△DCE（AAS），
∴EF＝CE；
（2）解：①如图3﹣1中，当MD＝MN时，
∵∠B＝90°，AE＝AD＝3，AB＝，
∴BE＝＝＝2，
∵四边形ABCD是矩形，
∴AD∥CB，
∴∠AEB＝∠DAF，
∵∠DAF+∠ADF＝90°，∠ADF+∠MDN＝90°，
∴∠DAF＝∠MDN，
∴MD＝MN，
∴∠MDN＝∠MND＝∠PNC，
∴∠AEB＝∠PNC，
∵CD∥AB，
∴∠PNC＝∠PAB，
∴∠AEB＝∠BAP，
∵∠B＝∠B＝90°，
∴△ABE∽△PBA，
∴＝，
∴BP＝，
∴PC＝BC﹣PB＝3﹣＝．
当DM＝DN时，
∵△DFE≌△DCE，
∴∠EDF＝∠EDC，
∴DE⊥AP，
∵AD＝AE，
∴AP垂直平分线段DE，
∴PD＝PE，
∴∠APD＝∠APE，
∵AD∥CP，
∴∠DAC＝∠APE，
∴∠DAC＝∠DPA，
∴DA＝DP＝AE＝PE＝3，
∴PB＝BE+EP＝5，
∴PC＝PB﹣BC＝5﹣3＝2．
当ND＝MN时，过点F作FK⊥AD于点K，取AD的中点J，连接FJ．
∵∠AFD＝90°，AJ＝JD，
∴FJ＝AJ＝JD，
∴∠JAF＝∠JFA，
∵ND＝NM，
∴∠NDM＝∠NMD，
∵∠JAF＝∠NDM，
∴∠AJF＝∠DNM，
∵AB∥CD，
∠PAB＝∠DNM，
∴∠FJK＝∠PAB，
∵∠FKJ＝∠B＝90°，
∴△PBA∽△FKJ，
∴＝，
∵ AF DF＝ FK AD，
∴FK＝＝，
∴AK＝＝＝，
∴KJ＝﹣＝，
∴＝，
∴PB＝20，
∴PC＝20﹣3＝17．
综上所述，满足条件的PC的值为或2或17；
②连接DE交AP于点O，连接CM．
∵DP∥AE，AD∥PE，
∴四边形AEPD是平行四边形，
∵AD＝AE，
∴四边形AEPD是菱形，
∴DA＝DP，DE⊥AP，AO＝OP，
∵△DFE≌△DCE，
∴∠EDF＝∠EDC，
∵∠DMN+∠EDF＝90°，∠DNM+∠EDC＝90°，
∴∠DMN＝∠DNM，
∴DM＝DN，
∴OM＝ON，
∴AM＝PN，
设AM＝PN＝b，OM＝ON＝a，
∵AD＝AE＝BC＝PE，
∴BE＝PC，
∴＝，
∵S△DMN＝S△PCN，
∴S△CMD＝S△CMP，
∴CM∥PD∥AE，
∵EA＝EP，
∴∠EAP＝∠EPA，
∵∠CMP＝∠EAP，
∴∠CMP＝∠CPM，
∴CM＝CP，
∵＝，＝＝，
∴＝，
∴＝，
∴b2﹣2ab﹣4a2＝0，
∴b＝（1+）a或b＝（1﹣）a（舍去），
∴＝＝＝＝．
故答案为：．
【点评】本题属于四边形综合题，考查了矩形的性质，菱形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质等知识，解题的关键是正确寻找相似三角形或全等三角形解决问题，学会利用参数解决问题，属于中考压轴题．
精品试卷·第 2 页 （共 2 页）
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