卷子答案网-一个不只有答案的网站第6章 计数原理 检测卷
一、单选题
1．已知，其中，那么p的值为（ ）
A．1 B． C． D．
2．的展开式中的系数为（ ）
A． B． C． D．
3．小王 小李等9名同学相约去游玩，在某景点排成一排拍照留念，则小王不在两端，且小李不在正中间位置的概率是（ ）
A． B． C． D．
4．已知的展开式中的系数为，则实数的值为（ ）
A． B． C． D．
5．展开式中项的系数为160，则（ ）
A．2 B．4 C．－2 D．
6．从3名语文老师、4名数学老师和5名英语老师中选派5人组成一个支教小组，则语文、数学和英语老师都至少有1人的选派方法种数是（ ）
A．590 B．570 C．360 D．210
7．在的展开式中，含项的系数为（ ）
A． B．480 C． D．240
8．若把单词“error”的字母顺序写错了，则可能出现的错误写法的种数为（ ）
A．9 B．18 C．19 D．20
二、多选题
9．设，则结论正确的是（ ）
A． B．
C． D．，，，，，，中最小的是
10．从4名男生和3名女生中选4人参加一项创新大赛，以下选项正确的是（ ）
A．4人中男生女生各2人，有18种选法
B．男生甲和女生乙至少有一个在内，有18种选法
C．4人中必须既有男生又有女生，有34种选法
D．男生甲和女生乙不能同时入选，有34种选法
11．目前，全国多数省份已经开始了新高考改革，改革后，考生的高考总成绩由语文、数学、外语3门全国统一考试科目成绩和3门选择性科目成绩组成.选择性科目是由学生从思想政治、历史、地理、物理、化学、生物6门科目中任选3门，则（ ）
A．不同的选科方案有20种
B．若某考生计划在物理和生物中至少选一科，则不同的选科方案有12种
C．若某考生确定不选物理，则不同的选科方案有10种
D．若某考生在物理和历史中选择一科，则不同的选科方案有12种
12．在的展开式中，系数最大的项是第（ ）项.
A．8 B．9 C．10 D．11
三、填空题
13．在8所高水平的高校代表队中，选择5所高校进行航模表演.如果、为必选的高校，并且在航模表演过程中必须按先后的次序（、两高校的次序可以不相邻），则可选择的不同航模表演顺序有 .
14．已知的展开式中第6项的二项式系数最大，请写出一个符合条件的的值 .
15．设计师为新年音乐会设计了5款不同风格的节目单给3名导演审核，若每位导演至少审核1款，每款节目单有且仅有1人审核，则不同的审核分配方案有 .种.（用数字表示）
16．若一个三位数的百位数字、十位数字、个位数字恰好构成等差数列，则称之为“等差三位数”，例如：147，642，777，420等.等差三位数的总个数为 .
四、解答题
17．将2个不同的红球和2个不同的黑球放入3个不同的盒子中（可以有盒子不放球）.
(1)若2个红球放入同一个盒子中，则不同的放法有多少种？
(2)若每个盒子最多只能装3个球，则不同的放法有多少种？
18．用0，1，2，…，9这十个数字，可以排成多少个没有重复数字的四位偶数？
19．用这六个数字，可以组成多少个满足下列条件的整数？
(1)可以组成多少个无重复数字的四位数？
(2)可以组成多少个恰有两个相同数字的四位数？
20．已知4名学生和2名教师站在一排照相，求：
（1）两名教师必须排中间，有多少种排法？
（2）两名教师必须相邻且不能排在两端，有多少种排法？
21．若甲、乙、丙、丁4个公司承包8项工程，其中甲公司承包3项，乙公司承包1项，丙、丁公司各承包2项，共有多少种承包方式？
22．高二（1）班共有35名同学，其中男生20名，女生15名，今从中选出3名同学参加活动．
(1)其中某一女生不能在内，不同的选法有多少种？
(2)恰有2名女生在内，不同的选法有多少种？
(3)至少有2名女生在内，不同的选法有多少种？
(4)至多有2名女生在内，不同的选法有多少种？
参考答案
1．C
【分析】利用通项公式可求出一次项与二次项的系数，从而构建的方程组，从而求出.
【详解】,
的第通项公式,
令可得,
令可得,
可得解得
故选：C.
2．C
【分析】用乘以展开式中的项，再用乘以展开式中的常数项，合同同类项即得所求
【详解】的第项
令，则，
令，则，
则的展开式中的系数为
故选：C
3．A
【分析】分小王在正中间和不在正中间两种情况讨论，求出小王不在两端，且小李不在正中间位置的事件数，再根据古典概型的概率公式计算可得.
【详解】第一种情况：小王在正中间，排法数为；
第二种情况：小王不在正中间，先排小王有种排法，再排小李有种排法，剩下的同学有种排法．
记“小王不在两端，且小李不在正中间位置”为事件，则．
故选：A．
4．A
【分析】根据展开式通项，分别令和可表示出的系数，由此可构造方程求得的值.
【详解】展开式的通项，
当时，；当时，；
，解得：.
故选：A.
5．C
【分析】在展开式的通项公式中，令得项的系数，令其等于160即可求出的值.
【详解】展开式的通项公式为，
令，得项的系数为，
依题意，得.
故选：C
6．A
【分析】根据题设确定选派5人的所有组合情况，再应用组合数求不同情况下选派方法数即可.
【详解】由题意，各科人数有以下几种情况：，
选派方法种数为.
故选：A.
7．A
【分析】将看成是6个相乘，要得到分析每个因式中所取的项情况.
【详解】看成是6个相乘，要得到.分以下情况:
6个因式中，2个因式取，1个因式取，3个因式取，此时的系数，所以的系数为.
故选：A
8．C
【分析】先排字母“e”和“o”，在5个位置中任选2个，再排3个“r”， 结合分步计数原理即可求出所有的排法，减去正确的1种顺序即可求出结果.
【详解】单词“error”中有5个字母，其中3个“r”，先排字母“e”和“o”，在5个位置中任选2个，放置字母“e”和“o”，则共有种，再排3个“r”，直接放进剩余的3个位置即可，有1种，结合分步计数原理可得，这5个字母共有种放法，其中正确的有1种，故可能出现的错误写法的种数为种，
故选：C.
9．ABD
【分析】赋值法可判断A，B；求出的通项可判断C，D.
【详解】对于A，令，则①，故A正确；
对于B，令，则②，
则②减①可得：，则，故B正确；
对于C，的通项为，
令，则，
令，则，所以，故C错误；
对于D，的通项为，
所以当时，即，而，
又，
故，，，，，，中最小的是，故D正确.
故选：ABD.
10．AC
【分析】分别求出选择男生、女生的方法数，根据分步乘法计数原理，即可得出A项；间接法：求出男生甲和女生乙都不在的选法，以及7人中选择4人的方法数，作差即可判断B；间接法：求出只有男生的选法数，即可得出C项；间接法：求出男生甲和女生乙同时入选的方法，即可判断D项.
【详解】对于A项，男生选择2人的选法有种；
女生选择2人的选法有种.
根据分步乘法计数原理可得，不同的选法有，故A正确；
对于B项，男生甲和女生乙都不在的选法有种，
从7人中任选4人的选法有，
所以，男生甲和女生乙至少有一个在内的选法为种，故B错误；
对于C项，4人中只有男生的选法有，
所以，4人中必须既有男生又有女生的选法为种，故C项正确；
对于D项，男生甲和女生乙同时入选的方法有种，
所以，男生甲和女生乙不能同时入选的选法为种，故D项错误.
故选：AC.
11．ACD
【分析】利用分类计数原理、分步计数原理即可.
【详解】从思想政治、历史、地理、物理、化学、生物6门科目中任选3门，不同的选科方案有种，则A正确；若某考生计划在物理和生物中至少选一科，则不同的选科方案有种，则B错误；若某考生确定不选物理，则不同的选科方案有种，则C正确；若某考生在物理和历史中选择一科，则不同的选科方案有种，则D正确.
故选：ACD.
12．BD
【解析】写出二项展开式的通项，由通项可知第9项和第11项的二项式系数即系数相等且最大.
【详解】的二项展开式的通项为，展开式共19项，其中第10项的二项式系数最大，但展开式的系数为负数，第9项和第11项的二项式系数即系数相等且最大，
故选：BD
【点睛】本题考查二项展开式的通项的应用，考查展开式中系数最大问题，属于基础题.
13．1200.
【分析】首先从从8所高校中选出5所，除去、还需要选3所，再分、两高校不相邻和、两高校相邻两种情况即可求出结果.
【详解】从8所高校中选出5所，除去、还需要选3所，选法是种，当、两高校不相邻时，不同的表演顺序有，当、两高校相邻时，不同的表演顺序有，因此可选择的不同航模表演顺序有种.
故答案为：1200.
14．或或都可以
【分析】根据二项式展开式中间项的二项式系数最大求解即可
【详解】因为的展开式中第6项的二项式系数最大，
所以的展开式共有10项或11项或12项，
即或或，
解得或或，
故答案为：或或都可以
15．150
【分析】由题可知先分组再排列，分为1,1,3和2,2,1两种情况即得.
【详解】由题可把节目单先分组再分配给3名导演审核，
当分组为1,1,3时，不同的审核分配方案为种，
当分组为2,2,1时，不同的审核分配方案为种，
所以不同的审核分配方案有+种.
故答案为：150.
16．45
【分析】由题意分公差为九种情况，分别得出各三位数的个数，运用加法原理即得.
【详解】由题意得若百位数字、十位数字、个位数字构成公差为0的“等差三位数”，则只要各位数字不为零即可，有9个；
若百位数字、十位数字个位数字构成公差为1的“等差三位数”，则百位数字不大于7，有7个；
若百位数字、十位数字、个位数字构成公差为2的“等差三位数”，则百位数字不大于5，有5个；
若百位数字十位数字个位数字构成公差为3的“等差三位数”，则百位数字不大于3，有3个；
若百位数字、十位数字、个位数字构成公差为4的“等差三位数”，则百位数字只能为1，有1个；
若百位数字、十位数字、个位数字构成公差为的“等差三位数，则百位数字不小于2，有8个；
若百位数字、十位数字、个位数字构成公差为的“等差三位数”，则百位数字不小于4，有6个；
若百位数字、十位数字、个位数字构成公差为的“等差三位数”，则百位数字不小于6，有4个；
若百位数字、十位数字个位数字构成公差为的“等差三位数”，则百位数字不小于8有2个.
综上所述，“等差三位数”的总数为个.
故答案为：45.
17．(1)27
(2)78
【分析】（1）根据题意可得，2个红球放入同一个盒子中，可看成将3个不同的球放入3个不同的盒子中，即可得到结果；
（2）根据题意，由总情况数，减去不符合要求的情况，即可得到结果.
【详解】（1）若2个红球放入同一个盒子中，可看成将3个不同的球放入3个不同的盒子中.
不同的放法有种.
（2）不考虑每个盒子最多只能装3个球，有种放法.
若4个球放入同一个盒子中，有3种放法.
故不同的放法有种.
18．2296
【分析】分当个位上是0和当个位上是2，4，6，8中的一个时两种情况，分别求出排列数即可.
【详解】满足条件的四位数可以分为两类：
第一类的末位数字是0，有个，
第二类的末位数字不是0，要排成这样的四位数，可以分成三个步骤来完成：
第一步，确定末位数字，因为只能是2，4，6或8，所以有种方法；
第二步，确定首位数字，因为数字不能重复，所以有种方法；
第三步，确定中间两位数字，有种方法，
由分步乘法计数原理可知，这样的数字有个，
由分类加法计数原理可知，满足条件的四位数个数为
.
19．(1)300
(2)600
【分析】（1）由乘法原理可得可以组成300个无重复数字的四位数
（2）分类讨论，数字0重复和其他数字重复可得可以组成600个恰有两个相同数字的四位数．
【详解】（1）首位不能为，有种选法；再从其余的五个数字中任选三个排在其余三个位置，
有种方法；由分步乘法计数原理得可以组成的四位数有个．
（2）分两种情况进行讨论；
第一种：数字重复：，第二种：其它数字重复：
①有时：个，
②无时：个，∴共有（个）．
20．（1）48种；（2）144种.
【分析】（1）先排教师有种方法，再排学生有种方法，再根据分布计数原理求得结果；
（2）采用插空法即可求得.
【详解】解：（1）先排教师有种方法，再排学生有种方法，
则，
答：两名教师必须排中间，共有48种排法.
（2），
答：两名教师必须相邻且不能排在两端，共有144种排法.
21．1680.
【分析】依次分析甲、乙、丙、丁的选法种数，再利用乘法原理即得.
【详解】甲公司承包8项工程中的3项有种，
乙公司承包甲公司承包剩下的5项中的1项有种，
丙公司承包剩下的4项中的2项有种，
丁公司承包剩下的2项中的2项有种，
∴共有承包方式为：（种），
即共有1680种承包方式.
22．(1)5984；
(2)2100；
(3)2555；
(4)6090.
【分析】（1）从除指定女生外的34名同学中任取3名同学即可作答.
（2）从20名男生中取1名，从15名女生中取2名，再利用分步乘法计数原理计算作答.
（3）按选取2名女生和3名女生分类即可计算作答.
（4）从35名同学中任选3名，去掉选取3名女生的情况作答.
【详解】（1）从除指定女生外的34名同学中任取3名同学，有（种），
所以某一女生不能在内，不同的选法有5984种.
（2）从20名男生中取1名，从15名女生中取2名，有（种），
所以恰有2名女生在内，不同的选法有2100种.
（3）选取2名女生有种，选取3名女生有种，
所以至少有2名女生在内，不同的选法有（种）.
（4）从35名同学中任选3名有种，选取3名女生有种，
所以至多有2名女生在内，不同的选法有（种）.
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