卷子答案网-一个不只有答案的网站2.6双曲线及其方程同步练习
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、单选题
1．已知焦点在轴上的双曲线的渐近线方程为，且双曲线的一个焦点在直线上，则双曲线的实轴长为（ ）
A．4 B．3
C．2 D．1
2．双曲线的焦点坐标为（ ）
A．， B．，
C．， D．，
3．已知椭圆和双曲线，则的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
4．已知动圆C与圆外切，与圆内切，则动圆圆心C的轨迹方程为（ ）
A．圆 B．椭圆 C．双曲线 D．双曲线一支
5．双曲线：的离心率为，则双曲线的渐近线方程为（ ）
A． B． C． D．
6．若方程所表示的曲线为，则下面四个命题中正确的是（ ）
A．若为椭圆，则
B．若为双曲线，则或
C．曲线不可能是圆
D．若为椭圆，且长轴在轴上，则
7．双曲线的左、右焦点分别为F 、F ，A为双曲线C左支上一点，直线与双曲线C的右支交于点B，且，则（ ）
A． B．26 C．25 D．23
8．已知双曲线（，）的左焦点为F，M，N，P是双曲线C上的点，其中线段MN的中点恰为坐标原点O，且点M在第一象限，若，，则双曲线的离心率为（ ）
A． B． C． D．
二、多选题
9．在直角坐标系中，已知双曲线的焦点到渐近线的距离不大于，点分别在的左、右两支上，则（ ）
A．的离心率为定值
B．是的一条渐近线
C．的两条渐近线的夹角的正切值为
D．的最小值为2
10．变化时，方程表示的曲线的形状可以是（ ）
A．两条平行直线 B．圆
C．焦点在x轴上的椭圆 D．焦点在x轴上的双曲线
11．已知分别是双曲线的上、下焦点，以线段为直径的圆M与双曲线C的渐近线的一个交点为P，则（ ）
A．圆M的方程为 B．双曲线C的离心率为
C．双曲线C的渐近线方程为 D．的面积为
12．已知关于，的方程表示的曲线是，则曲线可以是（ ）
A．圆 B．椭圆 C．双曲线 D．抛物线
三、填空题
13．在中，，，以，为焦点且经过点的椭圆离心率记为，以，为焦点且经过点的双曲线离心率记为，则 .
14．已知某双曲线的渐近线方程为，且该双曲线过点，则该双曲线的标准方程为 ．
15．已知双曲线的左、右焦点分别为，过点作直线分别交双曲线左支和一条渐近线于点（在同一象限内），且满足． 联结，满足． 若该双曲线的离心率为，求的值 ．
16．设，分别是双曲线的左、右焦点，则该双曲线的渐近线方程为 ；若点P在双曲线上，且，则 ．
四、解答题
17．根据下列条件，求曲线的方程．
(1)若圆与轴相切，且圆心为关于直线的对称点，求圆的标准方程．
(2)双曲线的焦点在轴上，焦点为，，焦距为，双曲线的右焦点到一条渐近线的距离为，求双曲线的标准方程．
18．已知双曲线的左右焦点分别为，，左顶点的坐标为，离心率为.
(1)求双曲线的方程；
(2)分别是双曲线的左右顶点，是双曲线上异于，的一个动点，直线分别于直线交于两点，问以为直径的圆是否过定点，若是，求出此定点；若不是，请说明理由.
19．已知双曲线的左、右焦点分别为，，点在双曲线上．
(1)求的方程；
(2)过作两条相互垂直的直线和，与的右支分别交，两点和，两点，求四边形面积的最小值．
20．某苗圃有两个入口A、B，，欲在苗圃内开辟一块区域种植观赏植物，现有150株树苗放在P处，已知，，以AB所在直线为x轴，AB中点为原点建立直角坐标系．计划将树苗种在以，，，为顶点的矩形内呈15列10行等距排列．
(1)种在点处的树苗应通过哪个入口运输路程较短？
(2)能否在苗圃内确定一条界线，使位于界线一侧的树苗沿PA运输较近，而另一侧的树苗沿PB运输较近？若能，求出这条界线；若不能，说明理由．
(3)有多少株树苗沿PB运输较近？
21．已知双曲线.
(1)若，求双曲线的焦点坐标，顶点坐标和渐近线方程；
(2)若双曲线的离心率，求实数的取值范围.
22．已知与两边上中线长的差的绝对值为．
(1)求三角形重心的轨迹方程；
(2)若，点在直线上，连结，与轨迹的轴右侧部分交于两点，求点到直线距离的最大值．
第1页 共4页 ◎ 第2页 共4页
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参考答案：
1．C
【分析】先根据渐近线方程设出双曲线方程，然后根据焦点坐标可得双曲线方程，进而可得双曲线的实轴长.
【详解】由双曲线的渐近线方程为可设双曲线方程为，
即，则，
即双曲线的焦点为，
又与的交点为，
，
，
双曲线的实轴长.
故选：C.
2．A
【分析】根据双曲线方程可得实半轴长a，虚半轴长b，再由关系式求解即得.
【详解】因为，，所以，得，
所以焦点坐标为和.
故选：A.
3．C
【分析】根据椭圆和双曲线的标准方程列出不等式组求解即可.
【详解】由题意可得，解得且，
故选：C
4．D
【分析】结合圆与圆的位置关系利用双曲线的定义即可求解.
【详解】设动圆C的圆心，半径为，圆的圆心为，半径为；
圆的圆心为，半径为2，
由题意可得，或，所以或，
又因为，所以，
由知不合题意，
所以，
根据双曲线的定义知，可得点C的轨迹为以为焦点的靠近的一支.
故选：D.
5．D
【分析】根据双曲线的离心率的定义求出与的关系，从而得出与的关系，再根据渐近线方程定义即得.
【详解】由可得：又因故有而双曲线：
的渐近线方程为即：
故选：D.
6．B
【分析】A选项，根据方程表示椭圆得到不等式，求出取值范围；B选项，根据方程表示双曲线得到不等式，求出取值范围；C选项，当时，方程表示圆；D选项，根据方程为焦点在轴上的椭圆得到不等式，求出取值范围.
【详解】A选项，若为椭圆，则，
解得或，A错误；
B选项，若为双曲线，则，解得或，B正确；
C选项，当，即时，方程为，为圆，C错误；
D选项，若为椭圆，且长轴在轴上，则，
解得，D错误.
故选：B
7．B
【分析】由双曲线定义有，设易得，，在中应用余弦定理求参数，即可求.
【详解】由题设知：，
令，则，，
中，，则，
所以，则，故，则，
所以.
故选：B
8．B
【分析】易证得四边形为矩形，设，结合双曲线定义可表示出，，，，在，中，利用勾股定理可构造方程求得，由此可得渐近线方程．
【详解】设双曲线的右焦点为，连接，，，
，，，
又为中点，四边形为矩形；
设，则，，，，
，，解得：，
又，，得，即，
所以双曲线的离心率为.
故选：B.
9．ACD
【分析】利用焦点到渐近线的距离不大于，求出，即可判断A选项；利用双曲线的方程求出渐近线方程即可判断B选项；利用正切的二倍角公式即可判断C选项；利用双曲线的性质即可判断D选项.
【详解】选项A：双曲线的右焦点为，
一条渐近线的方程为，
焦点到渐近线的距离，故.
,故离心率,故A正确；
选项B：由A知，，
渐近线方程为，故B错误；
选项C：渐近线方程为，
一条渐近线的斜率，则,
且两直线的夹角的取值范围为
所以两条渐近线的夹角的正切值,故C正确；
选项D：点分别在的左、右两支上， ，故D正确.
故选：ACD
10．ABD
【分析】根据cos 符号, 对角分五类进行讨论, 由圆、椭圆和双曲线的标准方程判断对应曲线的具体形状即可.
【详解】当 时, , 方程 ,得 表示与 轴平行的两条直线;故A正确；
当 时, , 方程 表示圆心在原点的单位圆;故B正确；
当 时, , 方程 表示中心在原点, 焦点在 轴上的椭圆;故C错误；
当 时, , 方程 表示焦点在 轴上的双曲线;故D正确；
当 时, , 方程 表示焦点在 轴上的等轴双曲线.
故选：ABD.
11．ABD
【分析】由给定方程求出双曲线的实虚半轴长及半焦距，再逐项计算判断得解.
【详解】由双曲线方程，得实半轴长，虚半轴长，半焦距，
圆M的圆心为，半径为，方程为，A正确；
双曲线C的离心率，B正确；
双曲线的渐近线方程为，C错误；
由，解得，则点横坐标满足，
而，于是，D正确.
故选：ABD
12．ABC
【分析】根据圆以及双曲线，以及椭圆的性质即可分类讨论求解.
【详解】当时，，方程可以化简为，曲线是圆；
当，且时，或，曲线是椭圆；
当时，或，曲线是双曲线．
故选:ABC．
13．
【分析】根据题意，结合椭圆与双曲线的定义，再由离心率的计算公式，代入计算，即可得到结果.
【详解】由题意可设,，，以为焦点且经过点的椭圆为，以为焦点且经过点的双曲线为，
由椭圆的定义可知，，，
则；
由双曲线的定义可知，，，
则，所以.
故答案为：
14．
【分析】设双曲线方程为：，然后将点代入即可求解.
【详解】因为双曲线的渐近线方程为，所以该双曲线的方程可设为，
将点代入双曲线方程得，，所以：该双曲线的标准方程为．
故答案为：.
15．
【分析】设点，由，在双曲线上，得到的坐标，然后根据在渐近线上列方程，解方程得到，然后求离心率即可.
【详解】
不妨设，
由得，化简得（1），
在双曲线上，∴，即， 代入（1）解得，
，，
又在渐近线上，
，即．
两边平方得（2），
将和代入（2）得，
化简得，解得或（舍去），
即，化简得.
故答案为：.
16．
【分析】根据垂直关系，结合向量的加法法则，即可求解.
【详解】由双曲线方程，知，，．
该双曲线的渐近线方程为．
由，分别是双曲线的左、右焦点，
点P在双曲线上，且（O为坐标原点），所以为直角三角形，故,
得．
故答案为：,
17．(1)
(2)
【分析】（1）根据点关于直线对称，可求出圆心坐标，由圆与轴相切，即可求出半径，进而求圆的方程；
（2）由题意，设双曲线方程，利用右焦点到渐近线距离求出，，进而确定双曲线方程.
【详解】（1）设关于直线的对称点为，
因为关于直线对称，
故的中点在直线上，
所以，
又由对称可得与直线垂直，
故，即，
联立解得，
又因为圆与轴相切，故圆的半径，
所以圆的标准方程为.
（2）因为双曲线的焦点轴上，
设双曲线的方程为（），焦距设为，
因为焦距为，所以，故，
所以双曲线的右焦点，双曲线的渐近线方程为
因为双曲线的右焦点到渐近线的距离为，
即，所以，，
所以双曲线的标准方程为.
18．(1)
(2)过定点，定点为、
【分析】（1）根据顶点坐标以及离心率即可求得，即可求得出双曲线的方程；
（2）由（1）可得，设并写出直线的方程，易知，利用向量可表示出圆Q的方程为，可得定点坐标.
【详解】（1）由题意得，
易知，所以可得，
即双曲线的方程为；
（2）如下图所示：
由题意知，
设双曲线上的动点的坐标为且，则.
易知直线的斜率存在，且，其方程为，
同理可得直线的方程为，
所以，
设以线段为直径的圆Q上的任意一点为，
则，
那么由得圆Q的方程为，
即
由可得，所以圆Q的方程为；
因此若，此时圆方程与无关，代入上述圆方程得，
解得或.
所以以线段为直径的圆必经过两定点，.
【点睛】方法点睛：在求解圆锥曲线过定点问题时，一般情况下是写出点的轨迹方程表达式，进行整理变形并令与变量有关的系数为0，即可求出定点坐标.
19．(1)
(2)
【分析】（1）设双曲线，依题意可得，解得即可；
（2）设直线，，求得，联立方程组，利用弦长公式，求得，，得到，令，结合二次函数的性质，即可求解.
【详解】（1）设双曲线，则，解得，
所以双曲线的方程为.
（2）根据题意，直线，的斜率都存在且不为0，
设直线，，其中，
双曲线的渐近线为，
因为，均与的右支有两个交点，所以，，所以，
将的方程与联立，可得，
设，则，，
所以
，
用替换，可得，
所以．
令，所以，
则，
当，即时，等号成立，
故四边形面积的最小值为．
【点睛】解答圆锥曲线的最值问题的方法与策略：
（1）几何转化代数法：若题目的条件和结论能明显体现几何特征和意义，则考虑利用圆锥曲线的定义、图形、几何性质来解决；
（2）函数取值法：若题目的条件和结论的几何特征不明显，则可以建立目标函数，再求这个函数的最值（或值域），常用方法：（1）配方法；（2）基本不等式法；（3）单调性法；（4）三角换元法；（5）导数法等，要特别注意自变量的取值范围.
20．(1)应通过入口运输路程较短.
(2)能，界线的方程为：.
(3)一共有30株树苗沿PB运输较近.
【分析】（1）通过与的比较，可以确定树苗应从哪个入口运输路程最短.
（2）在以，，，为顶点的矩形内的点，可以分为三类，第一类沿PA运输较近，第二类沿PB运输较近，第三类沿PA、PB运输一样近,由题可知，界线应该是第三类点的轨迹.设界线上的点为，则满足关系式，带入坐标即可求出对应边界线.
（3）通过点带入，判断其位于边界线上的位置，确定沿PB运输较近的点.
【详解】（1）由题可知，因为，，，
所以，，.
则与.
所以从应通过入口运输路程较短.
（2）存在这样一条界线，使得从两边运输的距离一样.
设点在界线上，有，整理，
根据双曲线的定义可知，这条界线是以为、为焦点的双曲线的右支.
则，即，又因为，
所以界线的方程为：.
（3）判断在双曲线中的位置，，在双曲线的右侧，所以一共有30株树苗沿PB运输较近.
21．(1)焦点坐标为，；顶点坐标为，；渐近线方程为
(2)
【分析】（1）代入，求出的值以及双曲线焦点的位置，即可得出答案；
（2）根据已知求出的值，得出，根据的取值范围，即可得出答案.
【详解】（1）由已知可得，双曲线的方程为，
所以，双曲线的焦点在轴上，且，，，
所以，，，，
所以，双曲线的焦点坐标为，；
顶点坐标为，；
渐近线方程为
（2）由已知可得，，，，
所以，，，，
，
因为，
所以有，即，
整理可得，，
解得.
22．(1)
(2)
【分析】（1）根据双曲线的定义求解即可；
（2）求出动直线的方程，再求的所过定点，即可知与定点间的距离为最大值.
【详解】（1）设与的中点为，则由题意可得，
由重心性质得，
由双曲线的定义可知的轨迹为双曲线，易得，
，
（2）如图，
设，
令，得，同理由可得：
，
两边同时平方可得 ①
又由，可得，同理，
代入①式得
两边交叉相乘化简可得 ②
当斜率存在时，可设直线为，
与联立可得，
由根与系数关系可得：，
代入②式，得
解得或，
当时，直线过定点
当时，直线过定点，
由显然不成立，舍去，
若当斜率不存在时，则直线，过点．
综上，直线恒过定点
所以点到直线距离．
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