卷子答案网-一个不只有答案的网站4.1数列 练习
一、单选题
1．在数列中，，则（ ）
A．2 B． C． D．
2．对于函数，部分与的对应关系如下表：
1 2 3 4 5 6 7 8 9
7 4 5 8 1 3 5 2 6
数列满足，且对任意，点都在函数的图象上，则的值为（ ）
A．9400 B．9408 C．9410 D．9414
3．数列的通项公式为，已知其为单调递增数列，则的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
4．记数列的前n项积，已知，则（ ）
A．4 B．5 C．7 D．8
5．若数列满足，若恒成立，则的最大值（ ）
A． B． C． D．3
6．下列说法正确的是（ ）
①数列1，3，5，7与数列7，3，5，1是同一数列；②数列0，1，2，3...的一个通项公式为；
③数列0，1，0，1…没有通项公式；④数列是递增数列
A．①③ B．②④ C．②③ D．②③④
7．已知数列中，（e为自然对数的底数），当其前项和最小时，n是（ ）
A．4 B．5 C．5或6 D．4或5
8．数列满足若，则（ ）
A． B． C． D．
二、多选题
9．若数列满足，，则称该数列为斐波那契数列．如图所示的“黄金螺旋线”是根据斐波那契数列画出来的曲线．图中的长方形由以斐波那契数为边长的正方形拼接而成，在每个正方形中作圆心角为的扇形，连接起来的曲线就是“黄金螺旋线”．记以为边长的正方形中的扇形面积为，数列的前项和为．下列结论正确的是（ ）
A． B．是奇数
C． D．
10． 已知数列中，，则（ ）
A．
B．
C．
D．
11．已知数列中，，，（，），则下列说法正确的是（ ）
A． B．
C． D．
12．对于数列，满足性质“对任意的正整数n，都成立”的数列是（ ）
A． B． C． D．
三、填空题
13．数列满足，若，则数列的前项的和是 ．
14．已知数列满足，则 ．
15．已知数列的前项和为，且，则数列的通项公式为 ．
16．数列满足，且对任意的都有，则 .
四、解答题
17．写出下列数列的前5项：
(1)，；
(2)，；
(3)，．
18．已知正项数列，其前项和满足.
(1)求的通项公式；
(2)证明：.
19．在数列中，，当时，其前项和满足．设，数列的前项和为．
（1）求；
（2）求满足的最小正整数．
20．已知无穷数列，满足.
（1）若，求数列前10项和；
（2）若，且数列前2017项中恰有100项是0，求的可能值；
（3）求证：在数列中，存在，使得.
21．已知数列满足.
(1)求数列的通项公式
(2)若，数列的前n项和为，证明：.
22．已知数列满足，求数列的通项公式.
参考答案：
1．D
【分析】根据递推关系，代入数据，逐步计算，即可得答案.
【详解】由题意得，令，可得，
令，可得，
令，可得，
令，可得.
故选：D
2．B
【详解】试题分析：∵数列满足，且对任意，点都在函数的图象上，
∴，则，∴数列是周期数列，且周期为，一个周期内的和为，∴，故选B.
考点：1、函数的表示方法；2、数列的性质；3、数列求和.
【易错点睛】本题主要考查函数的表示方法、数列的性质、数列求和，属难题.本题先根据函数，部分与的对应关系表求得，从而得出数列为周期数列，且周期为，一个周期内的和为，所求数列的和为个周期的和，从而求得数列的和.做题时注意①根据函数求得对应的的值；②根据数据观察出数列为周期数列；③将除以是否有余数，否则容易出错.
3．B
【分析】利用数列的单调性的定义及不等式恒成立的解决方法即可求解.
【详解】因为，
所以.
因为数列为单调递增数列，
所以在恒成立，
所以，即可.
令，，则，
由一次函数知，当时，取得最大值为,即.
所以的取值范围为.
故选：B.
4．B
【分析】根据题设及递推式求项，然后求即可.
【详解】由题设，即，，即，
，即，，即，
所以.
故选：B
5．C
【分析】由已知数列的递推式，可得，将换为，两式相减求得，再由数列的单调性和不等式恒成立思想，可得所求最大值.
【详解】解：由于，
当时，，即，
当时，，
又，
以上两式相减可得，得，上式对也成立，
所以恒成立即为恒成立，
由为递增数列，得的最小值为，
所以，即的最大值为.
故选：C.
6．B
【分析】根据数列的概念即可判断A项；代入可判断B项；根据数列中前几项的特点写出通项可说明C项错误；作差法求与0的关系可判断D项.
【详解】数列有顺序，①错误；逐个代入检验，可知数列前几项满足通项公式，②正确；
就是③的一个通项公式，③错误；
设，则，
所以，，所以④正确.
故选：B.
7．D
【分析】根据已知分析数列中当时，，且，即可根据数列前项和的定义得出答案.
【详解】，在时，，且时，，
则数列中当时，，且，
，
则当其前项和最小时，n是4或5，
故选：D.
8．D
【分析】由已知的递推式计算可得数列具有周期性，且周期为4，然后利用周期可求得结果.
【详解】通过计算得到，，，，，，……，
所以数列具有周期性，且周期为4，所以，
故选：D
9．ABD
【分析】根据数列递推关系以及特征，即可判断选项AB，利用累加法即可判断选项C，利用定义直接求解，表示出，即可判断选项D.
【详解】该数列为，所以，A正确；
由斐波那契数列得每三个数中，前两个为奇数后一个为偶数，
且是奇数，B正确；
由，得：，
，，
累加得，C错；
由，
得：
，
所以，
，D对.
故选：ABD
10．BD
【分析】判断出数列的周期性，由此对选项进行分析，从而确定正确答案.
【详解】由题意，，
∴数列是以为周期的周期数列．
对于A，，A错误；
对于B，，B正确；
对于C，，C错误；
对于D，由递推关系式知，
∴
，D正确．
故选：BD
11．BC
【分析】由递推关系求出数列的前几项判断A，利用已知递推关系把改为，向靠拢可证明B，把已知递推关系变形为差的形式，然后对CD进行变形可化简和式，判断CD．
【详解】对于选项A，由，，（，）可得，，，，则，选项A错误；
对于选项B，，选项B正确；
对于选项C，由题可知，，选项C正确；
对于选项D，，选项D错误．
故选：BC．
12．BCD
【分析】利用 做差可判断ABD；对于C， ，然后可判断C.
【详解】对于A，对任意的正整数n，，
，
所以，故A错误；
对于B，对任意的正整数n，，，所以，故B正确；
对于C，对任意的正整数n，，，
因为，
所以，故C正确；
对于D，对任意的正整数n，，，所以，故D正确；
故选：BCD.
13．
【分析】由已知条件依次计算出的值，可得此数列从第12项起为周期数列，且周期为3，每个周期内的3个数的和为7，从而可求出前100项的和.
【详解】因为，，
所以，，，
，，，，
，，，，
，，，，
，，……，
可得此数列从第12项起为周期数列，且周期为3，每个周期内的3个数的和为7，
从第项至第项共计项为个周期，还余两项，故和为，
所以数列的前项的和为
，
故答案为：.
14．
【分析】找到数列的规律，由此求得.
【详解】依题意，
，
，
所以数列是以为周期的周期数列，
.
故答案为：
15．
【分析】利用“退一作差”法求得.
【详解】由题意，①，
当时，，∴，
当时，②，
①－②得，∴．
当时，满足上式，∴．
故答案为：
16．
【分析】令得：，再通过累加法可求得答案.
【详解】解：令得：，
通过累加法得：
相加得：，
故答案为：.
17．(1)，，，，
(2)，，，，
(3)，，， ，
【分析】直接代入计算即可.
【详解】（1）由题意, ，，，
，.
（2）由题意, ，，，
，.
（3）由题意，，，，，.
18．(1)，
(2)证明见解析
【分析】（1）已知求通项公式，先算再计算，作差公式为：；（2）将的表达式代入然后运用裂项相消法求和后可证.
【详解】（1）当时，可得.
当时，由题意可得，即，
所以，
又，
经检验，当时符合，所以，；
所以当时，，
经检验，当时符合，所以，；
（2）由（1）可得，所以
，命题得证.
19．（1） ；（2） 10．
【分析】（1）先利用，得到是以1为首项，1为公差的等差数列，进而求出.（2）再将（1）的结果代入求出的通项以及前项和为，解不等式即可．
【详解】（1）由，
可得，即，且，
所以数列是等差数列，其首项为1，公差为1，
所以，所以．
（2）由（1），可得，
所以
．
由可得，
即，即．
令，
可得函数在上单调递增，
又，，
所以，故满足的最小正整数是10．
20．（1）9（2）或或或（3）证明见解析
【分析】（1）由条件分别计算前10项，即可得到所求和；
（2）讨论x=1，2，3，…，和，计算得到数列进入循环，求得数列中0的个数，即可得到所求值
（3）利用从开始，数列中每一项都比它前面相邻两项的最大值小进行求解．
【详解】（1）因为数列，满足，，
则，
数列前10项和.
（2）当时，数列各项为
因为，所以在前2017项中恰好含有672项为0，
当x=1时，数列各项为，
因为，所以在前2017项中恰好含有672项为0；
当x=2时，数列各项为，
因为，所以在前2015项中恰好含有671项为0；
当x=3时，数列各项为，
因为，所以在前2017项中恰好含有671项为0；
当x=4时，数列各项为，
因为，所以在前2017项中恰好含有670项；
当x=5时，数列各项为，
因为，所以在前2017项中恰好含有670项为0；
由上面可以得到当x=1144或x=1145时，在前2017项中恰好含有100项为0.
当时，数列各项为
因为，所以在前2017项中恰好含有670项为0，
当时，数列各项为，
因为，所以在前2017项中恰好含有669项为0，
当时，数列各项为
因为，所以在前2017项中恰好含有669项为0，
当时，数列各项为
因为，所以在前2017项中恰好含有668项为0，
当时，数列各项为
因为，所以在前2017项中恰好含有668项为0，
，
由上面可以得到当或时，在前2017项中恰好含有100项为0，
综上所述：或或或.
（3）证明：因为，所以时，，
对于给定的和，从开始，数列中每一项都比它前面相邻两项的最大值小，所以
当趋近于无穷大时，数列中总存在项趋近于，
故在数列中，存在，使得.
【点睛】关键点点睛：（3）利用从开始，数列中每一项都比它前面相邻两项的最大值小进行求解是关键.
21．(1)
(2)证明见解析
【分析】（1）利用求出（），求出通项公式，检验也满足；
（2）裂项相消法求和后得到答案.
【详解】（1）∵①，
当时，，故，
时，②
①②得（），而也满足上式，
∴.
（2），
∴.
22．
【分析】根据题意得到当时，，从而得到，即：，再验证即可.
【详解】∵，①
∴当时，，②
①-②得，
则．
当时，由①得，不满足上式，
∴.
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