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5.3 一元一次方程的解法 题型全面过关
题型1 合并同类项与移项解一元一次方程
例1（2022上·浙江金华·七年级校联考阶段练习）若方程和方程的解相同，则 ．
举一反三1（2023上·浙江台州·七年级校考期中）用等式的性质解下列方程：
(1)； (2)．
举一反三2（2022上·浙江金华·七年级校联考阶段练习）定义：对于任意两个不相等的有理数a，b，计算：，，所得结果的最小值称为a，b的“关联差”．例如：，2．因为，，所以，2的“关联差”为．
(1)3，的“关联差”为______；
(2)，8的“关联差”与8，的“关联差”有何关系，请说明理由；
(3)当2，的“关联差”为时，求x的值．
题型2 去括号解一元一次方程
例2（2022上·浙江台州·七年级校考期中）若方程的解与关于x的方程的解相同，求k的值．
举一反三1（2022上·浙江台州·七年级校考期中）解方程：
(1)； (2)．
举一反三2（2023上·浙江金华·七年级统考期末）解方程：
(1)； (2)．
题型3 去分母解一元一次方程
例3（2019上·黑龙江哈尔滨·七年级哈尔滨市第四十九中学校校考阶段练习）解方程，去分母正确的是（ ）
A． B．
C． D．
举一反三1（2022上·浙江绍兴·七年级统考期末）解方程时，去分母后正确的是（ ）
A． B．
C．3 D．3
举一反三2（2023下·浙江杭州·七年级校考阶段练习）已知关于的方程的解与方程的解相同，则的值 ．
题型4 绝对值方程
例4（2022上·浙江绍兴·七年级统考期末）设，，当时，的取值范围是 ．
举一反三1（2023上·广西河池·七年级统考期末）若，，则 ．
举一反三2（2023上·江西南昌·七年级统考期中）同学们都知道，表示5与之差的绝对值，实际上也可理解为5与两数在数轴上所对的两点之间的距离．试探索：
(1)求__________．
(2)找出所有符合条件的整数，使得这样的整数是__________．
(3)由以上探索猜想对于任何有理数，是否有最小值？如果有写出取小值，如果没有说明理由．
(4)由以上探索是否存在，使，如果有写出的值，如果没有说明理由．
(5)由以上探索是否存在，使，如果有写出的值，如果没有说明理由．
举一反三3（2022·浙江金华·七年级义乌市绣湖中学教育集团校考期中）我们知道，若点A、B在数轴上分别表示数x，y，则A、B两点间距离可表示为．下面给出如下定义：对于实数a，b，n，d，若，则称a和b关于n的“相对关系值”为d，例如： 则2和3关于1的“相对关系值”为3．
(1) 3和5关于1的“相对关系值”为_________：
(2)若a和2关于1的“相对关系值”为4，求a的值．
(3)若2和4关于x的“相对关系值”为10，求x的值．
题型5 整数解问题
例5（2023下·浙江杭州·七年级校考阶段练习）已知整数a使关于x的方程有整数解，则符合条件的所有a值的和为（ ）
A．﹣8 B．﹣4 C．﹣7 D．﹣1
举一反三1若关于x的方程9x－3＝kx＋14有正整数解，则k的值为 ．
举一反三2（2019上·北京石景山·七年级校联考期末）已知关于的一元一次方程，其中为整数
(1)当时，求方程的解
(2)若该方程有整数解，求的值
题型6 将错就错回代方程的解问题
例6（2015下·四川巴中·九年级阶段练习）小李在解方程（x为末知数）时，误将看做，得出方程的解为，则原方程的解为（ ）．
A． B． C． D．
举一反三1（2020下·浙江·七年级期中）某同学在解关于x的方程时，误将看成了，得到方程的解为，则a的值为（ ）
A．3 B． C．2 D．1
举一反三2（2020·浙江·七年级期末）小明在解关于x的一元一次方程 时，误将看成了，得到的解是x＝1，则原方程的解是（ ）
A． B． C． D．x＝1
题型7 定义新运算
例7（2022上·湖南长沙·七年级校联考期中）定义新运算，如；
若，则称a与b互为“望一”数；
若，则称a与b互为“望外”数；
(1)计算： ．
(2)下列互为“望一”数的是 ．互为“望外”数的是 ．
①；②；③；④；⑤；
(3)若，则x可以取哪些整数？
(4)若，则x的值为多少？
举一反三1（2022上·辽宁沈阳·七年级沈阳市沈东初级中学校考阶段练习）定义一种新运算：
(1)填空：___________；
(2)求的值；
(3)若，求的值．
举一反三2（2023下·江苏淮安·七年级统考开学考试）定义一种新的运算“”： 例如： ．
(1)求的值；
(2)若，求的值．
题型8 相同解求参数或代数式问题
例8（2022上·全国·七年级专题练习）若关于的方程的解与方程的解相同，则的值为 ．
举一反三1（2016上·河北保定·七年级统考期末）若方程3x﹣6=0与关于x的方程2x﹣5k=11的解相同，则k的值为 ．
举一反三2（2022上·浙江金华·七年级校联考期末）已知关于的方程：与有相同的解．
(1)求的值
(2)求以为未知数的方程的解．
题型9 已知一个方程的解求另一个方程的解或参数问题
例9（2020·浙江·七年级期末）若关于x的方程的解是x=2，则关于y的方程的解y＝ ．
举一反三1（2022下·贵州安顺·九年级统考阶段练习）若关于x的一元一次方程的解为，则关于y的一元一次方程的解为（ ）
A． B． C． D．
举一反三2（2022上·浙江·七年级专题练习）已知关于x的方程的解是，那么关于y的一元一次方程的解是 ．
题型10 解一元一次方程分类讨论问题
例10已知方程的解满足，则 ．
举一反三1（2020上·浙江杭州·七年级统考期末）对于三个互不相等的有理数a，b，c，我们规定符号表示a，b，c三个数中较大的数，例如.按照这个规定则方程的解为 ．
举一反三2（2022下·上海·八年级校考阶段练习）解关于x的方程：．
举一反三3（2022上·浙江湖州·七年级统考期末）定义一种对正整数的“”运算：．以表示对正整数进行次“”运算．例如，表示对2进行2次“”运算，由于2是偶数，因此，第一次运算的结果为，由于第一次运算的结果1是奇数，故第二次运算的结果为，所以的运算结果是6．据此回答：
(1)求的运算结果；
(2)若为偶数，且的运算结果为8，求的值；
(3)求的运算结果．
题型11 新概念问题
例11（2022上·浙江金华·七年级校考阶段练习）我们规定：若关于x的一元一次方程的解为，则称该方程为“和解方程”．例如：方程的解为，而，则方程为“和解方程”．
请根据上述规定解答下列问题：
(1)下列关于x的一元一次方程是“和解方程”的有 ．
①；②；③．
(2)已知关于x的一元一次方程是“和解方程”，求m的值；
(3)若关于x的一元一次方程和都是“和解方程”，求代数式的值．
举一反三1（2022上·浙江·七年级专题练习）我们规定：若关于的一元一次方程的解满足，则称该方程为“差解方程”，例如：的解为满足，所以方程是“差解方程”．
请根据上边规定解答下列问题：
(1)判断是否是“差解方程”，说明理由；
(2)若关于的一元一次方程是“差解方程”，求的值．
举一反三2（2022上·浙江·七年级专题练习）定义：若整数的值使关于的方程的解为整数，则称为此方程的“友好系数”．
(1)判断，是否为方程的“友好系数”，写出判断过程；
(2)方程 “友好系数”的个数是有限个，还是无穷多？如果是有限个，求出此方程的所有“友好系数“；如果是无穷多，说明理由．
举一反三3（2022下·湖南长沙·七年级校考阶段练习）方程的解的定义：使方程两边相等的未知数的值．如果一个方程的解都是整数，那么这个方程叫做“立信方程”．
(1)若“立信方程”的解也是关于x的方程的解，则m=_____；
(2)若关于x的方程的解也是“立信方程”的解，则n=_______；
(3)若关于x的方程的解也是关于x的方程的解，且这两个方程都是“立信方程”，求符合要求的正整数a和正整数k的值．
题型12 小数方程化为整数方程问题
例12方程中小数化为整数，可变形为（ ）
A． B．
C． D．
举一反三 把方程中的小数化为整数得 .
题型13 循环小数转化成分数问题
例13（2022上·云南红河·七年级统考期末）我们知道分数写为小数形式即，反过来，无限循环小数写为分数形式即．一般地，任何一个无限循环小数都可以写成分数形式．设，由可知，，所以，解方程，得，于是，可得．想一想，把无限循环小数化为分数得： ．
举一反三1阅读理解题：
你知道为什么任何无限循环小数都可以写成分数形式吗？下面的解答过程会告诉你原因和方法．
阅读下列材料：
问题：利用一元一次方程将化成分数．
设 ．
由，可知 ，
即 ．（请你体会将方程两边都乘以10起到的作用）
可解得 ，即 ．
(1)填空：将直接写成分数形式为 ．
(2)请仿照上述方法把小数化成分数，要求写出利用一元一次方程进行解答的过程．
举一反三2（2022上·山东济宁·七年级统考期末）方程思想，解决问题
【阅读理解】
你知道如何将无限循环小数写成分数形式吗？下面的解答过程会告诉你方法．
例题：利用一元一次方程将化成分数，设，那么，而，所以，化简得，解得．所以，．
【问题探究】
(1)请仿照上述方法把化成分数为______；（直接写出结果）
(2)请类比上述方法，把循环小数化为分数，写出解题过程．
5.3 一元一次方程的解法 题型全面过关
题型1 合并同类项与移项解一元一次方程
例1（2022上·浙江金华·七年级校联考阶段练习）若方程和方程的解相同，则 ．
【答案】
【分析】先求出的解，代入，进行求解即可．
【详解】解：∵
∴，
将代入，得．
故答案为：
【点睛】本题考查同解方程．正确的求出方程的解，是解题的关键．
举一反三1（2023上·浙江台州·七年级校考期中）用等式的性质解下列方程：
(1)；
(2)．
【答案】(1)
(2)
【分析】本题主要考查了等式的基本性质，解题的关键是掌握等式的基本性质．
（1）利用等式的性质，方程两边同时加，即可解得方程；
（2）利用等式的性质，方程两边同时减2，再同时乘以，即可解得方程．
【详解】（1）解：
移项得：，
合并得：；
（2），
移项得：，
合并得：，
系数化为1得：．
举一反三2（2022上·浙江金华·七年级校联考阶段练习）定义：对于任意两个不相等的有理数a，b，计算：，，所得结果的最小值称为a，b的“关联差”．例如：，2．因为，，所以，2的“关联差”为．
(1)3，的“关联差”为______；
(2)，8的“关联差”与8，的“关联差”有何关系，请说明理由；
(3)当2，的“关联差”为时，求x的值．
【答案】(1)
(2)相等，理由见解析
(3)x的值为或9
【分析】（1）由题意知，，，且，进而可确定 3，的“关联差”；
（2）由，，且，可知，8的“关联差”为；由，，且，可知8，的“关联差”为；然后作答即可；
（3）由题意得：，；当为“关联差”时，，解得；当为“关联差”时，，解得，然后作答即可．
【详解】（1）解：由题意知，，，
∵，
∴ 3，的“关联差”为，
故答案为：；
（2）解：相等，理由如下：
∵，，且，
∴，8的“关联差”为；
∵，，且，
∴8，的“关联差”为；
∴，8的“关联差”与8，的“关联差”相等．
（3）解：由题意得：，；
当为“关联差”时，，解得；
当为“关联差”时，，解得，
∴x的值为或9．
【点睛】本题考查了有理数的混合运算，一元一次方程的应用．解题的关键在于理解题意．
题型2 去括号解一元一次方程
例2（2022上·浙江台州·七年级校考期中）若方程的解与关于x的方程的解相同，求k的值．
【答案】的值为
【分析】先根据题意求出方程的解，之后把解代入方程即可求出．
【详解】解：，
去括号，得，
移项，得，
合并，得，
系数化为1，得，
方程的解也是方程的解，
，
解得，
的值为．
【点睛】本题考查解一元一次方程和一元一次方程的解，掌握定义是关键．
举一反三1（2022上·浙江台州·七年级校考期中）解方程：
(1)；
(2)．
【答案】(1)
(2)．
【分析】（1）先去括号，再移项，合并同类项，未知项系数化为1，求解即可；
（2）先去分母，再去括号，再移项，合并同类项，未知项系数化为1，求解即可；
【详解】（1）解：去括号，得
，
移项，得
，
合并同类项， 得
，
∴．
（2）解：去分母，得
，
去括号，得
，
移项，得
，
合并同类项，得
，
∴．
【点睛】本题考查了一元一次方程的解法，解答关键是按照去分母、去括号、移项、合并同类项和未知数化为1的基本步骤解题．
举一反三2（2023上·浙江金华·七年级统考期末）解方程：
(1)；
(2)．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）按照去括号，移项，合并，系数化为1的步骤求解即可；
（2）按照去分母，去括号，移项，合并，系数化为1的步骤求解即可．
【详解】（1），
去括号得：
移项得：，
合并同类项得：，
系数化为1得：；
（2），
去分母得：，
去括号得：，
移项得：，
合并同类项得：，
系数化为1得：．
【点睛】本题主要考查了解一元一次方程，解题的关键是熟知解一元一次方程的方法．
题型3 去分母解一元一次方程
例3（2019上·黑龙江哈尔滨·七年级哈尔滨市第四十九中学校校考阶段练习）解方程，去分母正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【分析】根据去分母的方法即可得到结果．
【详解】解：去分母得，
故选：B．
【点睛】本题考查了解一元一次方程，解一元一次方程的关键是去分母时各项都要乘以各分母的最小公倍数，尤其是常数项．
举一反三1（2022上·浙江绍兴·七年级统考期末）解方程时，去分母后正确的是（ ）
A． B．
C．3 D．3
【答案】D
【分析】根据去分母和去括号法则，化简后进行判断即可．
【详解】解：方程去分母，得：，
即：；
故选：D．
【点睛】本题考查一元一次方程去分母，去括号．熟练掌握去分母和去括号法则，是解题的关键．
举一反三2（2023下·浙江杭州·七年级校考阶段练习）已知关于的方程的解与方程的解相同，则的值 ．
【答案】5
【分析】先求出第一个方程的解，再把代入第二个方程得出，再求解即可得到答案．
【详解】解：解方程，
得：，
把代入方程，
得：，
解得：,
故答案为：．
【点睛】本题考查了同解方程和解一元一次方程，能得出关于的一元一次方程是解此题的关键．
题型4 绝对值方程
例4（2022上·浙江绍兴·七年级统考期末）设，，当时，的取值范围是 ．
【答案】
【分析】根据题意，得到，即，由绝对值的代数意义分情况讨论去掉绝对值，解方程即可得到答案．
【详解】解：，，当时，
，即，
当时，，则，即，解得；
当时，，则恒成立，即；
当时，，则，即，解得；
综上所述，当时，的取值范围是，
故答案为：．
【点睛】本题考查含绝对值方程的解法，熟记绝对值的代数意义去绝对值是解决问题的关键．
举一反三1（2023上·广西河池·七年级统考期末）若，，则 ．
【答案】3
【分析】分两种情况：； ．依次解出即可解答．
【详解】当时，
，
，
解得：，
当是时，
，
，
此时方程无解，
综上，．
故答案为：3.
【点睛】本题考查解绝对值方程，注意：要分类讨论．
举一反三2（2023上·江西南昌·七年级统考期中）同学们都知道，表示5与之差的绝对值，实际上也可理解为5与两数在数轴上所对的两点之间的距离．试探索：
(1)求__________．
(2)找出所有符合条件的整数，使得这样的整数是__________．
(3)由以上探索猜想对于任何有理数，是否有最小值？如果有写出取小值，如果没有说明理由．
(4)由以上探索是否存在，使，如果有写出的值，如果没有说明理由．
(5)由以上探索是否存在，使，如果有写出的值，如果没有说明理由．
【答案】(1)7
(2)，，，，，0，1，2
(3)有，9
(4)存在，或
(5)存在，或
【分析】本题考查的是数轴上两点之间的距离，一元一次方程的应用，绝对值方程的应用，理解绝对值的几何意义是解本题的关键．
（1）直接利用数轴上两点之间的距离公式计算即可；
（2）由绝对值的几何意义可得可以理解为数轴上表示x的点到点的距离，与到点2的距离之和，再结合与之间的距离为7可得答案；
（3）由绝对值的几何意义可得可以理解为数轴上表示x的点到点的距离，与到点6的距离之和，，再结合与之间的距离为9可得答案；
（4）由的最小值为，此时，再分两种情况：当时， 当时，再化为一元一次方程求解即可；
（5）由的最小值为，此时，再分两种情况：当时， 当时，再化为一元一次方程求解即可；
【详解】（1）解：，
（2），
可以理解为数轴上表示x的点到点的距离，与到点2的距离之和，
，
因此这样的整数是，
（3）有最小值，最小值为9．理由如下：
可以理解为数轴上表示x的点到点的距离，与到点6的距离之和，
因此当时，有最小值，最小值为；
（4）∵，而的最小值为，此时，
∴当时，则，
解得：，
当时，则，
解得：，
即x的值为或8；
（5）∵，而的最小值为，此时，
∴当时，则，
解得：，
当时，则，
解得：，
即x的值为或1013；
举一反三3（2022·浙江金华·七年级义乌市绣湖中学教育集团校考期中）我们知道，若点A、B在数轴上分别表示数x，y，则A、B两点间距离可表示为．下面给出如下定义：对于实数a，b，n，d，若，则称a和b关于n的“相对关系值”为d，例如： 则2和3关于1的“相对关系值”为3．
(1) 3和5关于1的“相对关系值”为_________：
(2)若a和2关于1的“相对关系值”为4，求a的值．
(3)若2和4关于x的“相对关系值”为10，求x的值．
【答案】(1)8；
(2)或；
(3)或．
【分析】（1）根据a和b关于n的“相对关系值”的定义，呆代入求值即可；
（2）由题意得，进而即可求解；
（3）由题意得，再分类讨论即可求解．
【详解】（1）解：∵，
∴ 3和5关于1的“相对关系值”为：8，
故答案为8；
（2）解：∵a和2关于1的“相对关系值”为4，
∴，即：，
∴或；
（3）解：∵2和4关于x的“相对关系值”为10，
∴，
当时，，解得：；
当时，，解得：，
∴或．
【点睛】本题主要考查绝对值的意义，绝对值化简，解一元一次方程，关键是掌握绝对值的性质，分类讨论．
题型5 整数解问题
例5（2023下·浙江杭州·七年级校考阶段练习）已知整数a使关于x的方程有整数解，则符合条件的所有a值的和为（ ）
A．﹣8 B．﹣4 C．﹣7 D．﹣1
【答案】A
【分析】先求出方程的解是，根据方程有整数解和为整数得出或或或，求出的值，再求出和即可．
【详解】解：，
去分母，得，
去括号，得，
移项，得，
合并同类项，得，
当时，，
整数使关于的方程有整数解，
或或或，
解得：或或或0，
和为，
故选：A．
【点睛】本题考查解一元一次方程，一元一次方程的整数解，熟练掌握解一元一次方程的步骤是解题的关键．
举一反三1（2018上·七年级课时练习）若关于x的方程9x－3＝kx＋14有正整数解，则k的值为 ．
【答案】8或－8
【分析】把k看做已知数表示出方程的解，根据方程解为正整数确定出整数k的值即可．
【详解】方程整理得：x=，
由x为正整数，得到9-k=1或9-k=17，
解得：k=8或-8，
故答案为8或-8
【点睛】此题考查了解二元一次方程，将k看做已知数表示出x是解本题的关键．
举一反三2（2019上·北京石景山·七年级校联考期末）已知关于的一元一次方程，其中为整数
(1)当时，求方程的解
(2)若该方程有整数解，求的值
【答案】(1)
(2)或或或
【分析】（1）将代入关于的一元一次方程，得到，解得；
（2）当时，解关于的一元一次方程得到，根据该方程有整数解，，当取及时才能满足题意，求解即可得到答案．
【详解】（1）解：关于的一元一次方程，
当时，，
即，
解得；
（2）解：关于的一元一次方程有整数解，
当时，，
当取、时才能使该方程有整数解为整数，
或或或．
【点睛】本题考查一元一次方程综合，涉及一元一次方程的解、一元一次方程的定义及解一元一次方程，正确掌握解一元一次方程的方法步骤、掌握由一元一次方程的整数解求参数是解决问题的关键．
题型6 将错就错回代方程的解问题
例6（2015下·四川巴中·九年级阶段练习）小李在解方程（x为末知数）时，误将看做，得出方程的解为，则原方程的解为（ ）．
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】把代入方程，即可得到一个关于a的方程，求得a的值，再求出原方程的解．
【详解】把代入方程，得：,
解得：，
则原方程是：，
解得：
故选：C．
【点睛】本题考查了方程的解的定义，解题的关键是理解方程解的定义．
举一反三1（2020下·浙江·七年级期中）某同学在解关于x的方程时，误将看成了，得到方程的解为，则a的值为（ ）
A．3 B． C．2 D．1
【答案】B
【分析】把x＝2代入看错的方程计算即可求出a的值．
【详解】解：把x＝2代入方程5a＋x＝13得：5a+2＝13，
解得：a＝，
故选：B．
【点睛】此题考查了解一元一次方程，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
举一反三2（2020·浙江·七年级期末）小明在解关于x的一元一次方程 时，误将看成了，得到的解是x＝1，则原方程的解是（ ）
A． B． C． D．x＝1
【答案】C
【分析】误将看成了，得到的解是x＝1，即的解为x＝1，从而可求a的值，将a的值代入，即可求解．
【详解】解：由的解为x=1可得，
，
解得a=，
将a=代入得，
，
解得．
故选：C．
【点睛】本题考查一元一次方程的解法，解题的关键是求出字母a的值．
题型7 定义新运算
例7（2022上·湖南长沙·七年级校联考期中）定义新运算，如；
若，则称a与b互为“望一”数；
若，则称a与b互为“望外”数；
(1)计算： ．
(2)下列互为“望一”数的是 ．互为“望外”数的是 ．
①；②；③；④；⑤；
(3)若，则x可以取哪些整数？
(4)若，则x的值为多少？
【答案】(1)4
(2)①④；③⑤
(3)﹣1或0或1
(4)0
【分析】（1）根据新定义的运算代入数值计算即可；
（2）根据新定义的运算代入数值计算，再根据“望一”数和“望外”数的定义进行判断即可；
（3）根据新定义的运算化简后，再根据x的取值范围进行求解即可；
（4）根据新定义的运算化简后，再进行求解即可．
【详解】（1）解：，
故答案为：4；
（2）①∵，
∴是“望一数”，
②∵，
∴既不是“望一数”，也不是“望外数”；
③∵，
∴是“望外数”；
④∵，
∴是“望一数”；
⑤∵，
∴是“望外数”；
故答案为：①④；③⑤；
（3）∵，
∴，
∴，
当时，，
解得，
当时，，
则的任意实数都满足题意，
当时，，
解得，
综上，，
∵x为整数，
∴或0或1；
（4）∵，
∴，
∴，
∴，
∴或，
解得．
【点睛】本题考查了新定义运算，以及一元一次方程的解法，根据新定义将所给等式转化为一元一次方程是解答本题的关键．
举一反三1（2022上·辽宁沈阳·七年级沈阳市沈东初级中学校考阶段练习）定义一种新运算：
(1)填空：___________；
(2)求的值；
(3)若，求的值．
【答案】(1)36
(2)
(3)的值为5或
【分析】（1）根据新定义的运算代入计算即可；
（2）根据新定义的运算代入计算即可；
（3）分两种情况分析：若，若，分别代入求解即可．
【详解】（1）解：∵，
∴，
故答案为：36；
（2），
；
（3）若，则，
（不符合题意舍去），
；
若，则
，
综上所述，的值为5或．
【点睛】题目主要考查新定义的运算及解一元一次方程，理解题中新定义的运算是解题关键．
举一反三2（2023下·江苏淮安·七年级统考开学考试）定义一种新的运算“”： 例如： ．
(1)求的值；
(2)若，求的值．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）根据代值求解即可；
（2）根据新定义得到方程，解方程即可；
【详解】（1）解：．
（2）解：
解得：．
【点睛】本题主要考查一元一次方程的应用、新定义下的有理数运算，正确计算是解题的关键．
题型8 相同解求参数或代数式问题
例8（2022上·全国·七年级专题练习）若关于的方程的解与方程的解相同，则的值为 ．
【答案】4
【分析】解方程得，把代入即可求解．
【详解】解：，解得，
∵方程的解与方程的解相同，
∴是方程的解，
把代入方程，
∴，解得．
故答案为：4．
【点睛】本题主要考查解一元一次方程，掌握移项、合并同类项、系数化为解一元一次方程是解题的关键．
举一反三1（2016上·河北保定·七年级统考期末）若方程3x﹣6=0与关于x的方程2x﹣5k=11的解相同，则k的值为 ．
【答案】﹣．
【详解】试题分析：分别解出两方程的解，两解相等，就得到关于k的方程，从而可以求出k的值．
解：由3x﹣6=0，得x=2，
2x﹣5k=11，得x=．
由3x﹣6=0与关于x的方程2x﹣5k=11的解相同，得
=2．
解得k=﹣，
故答案为﹣．
考点：同解方程．
举一反三2（2022上·浙江金华·七年级校联考期末）已知关于的方程：与有相同的解．
(1)求的值
(2)求以为未知数的方程的解．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）先解方程，再把的值代入方程，即可求解；
（2）把（1）中的值，的值代入即可求解．
【详解】（1）解：
去括号，
移项，合并同类项，
把代入方程得，，
∴．
（2）解：，，
∴原方程变为，
去分母，
去括号，
移项，合并同类项，
系数化为，．
【点睛】本题主要考查解方程，掌握解一元一次方程的方法，去分母，去括号，移项，合并同类项，系数化为，是解题的关键．
题型9 已知一个方程的解求另一个方程的解或参数问题
例9（2020·浙江·七年级期末）若关于x的方程的解是x=2，则关于y的方程的解y＝ ．
【答案】
【分析】由题意易得，然后由方程的解为x=2可得，进而问题可求解．
【详解】解：由，解得，
由方程的解为x=2可得：，
∴，
∴；
故答案为．
【点睛】本题主要考查一元一次方程的解法，熟练掌握一元一次方程的解法是解题的关键．
举一反三1（2022下·贵州安顺·九年级统考阶段练习）若关于x的一元一次方程的解为，则关于y的一元一次方程的解为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】运用整体思想，得到方程中，有，即可答案．
【详解】解：∵关于x的一元一次方程的解为，
∴关于y的一元一次方程中，有，
∴；
即方程的解为；
故选：D
【点睛】本题考查了解一元一次方程和一元一次方程的解，能得出一元一次方程是解此题的关键．
举一反三2（2022上·浙江·七年级专题练习）已知关于x的方程的解是，那么关于y的一元一次方程的解是 ．
【答案】45
【分析】首先把第二个方程变形为，进而得到，再根据，解出方程即可．
【详解】解：∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
故答案为：45．
【点睛】本题考查一元一次方程的解，掌握解一元一次方程的步骤，整体思想的应用是解题关键．
题型10 解一元一次方程分类讨论问题
例10（2014上·七年级课时练习）已知方程的解满足，则 ．
【答案】-6或-12
【详解】由，得
当时，由，得，解得；
当时，由，得，解得.
综上可知，
举一反三1（2020上·浙江杭州·七年级统考期末）对于三个互不相等的有理数a，b，c，我们规定符号表示a，b，c三个数中较大的数，例如.按照这个规定则方程的解为 ．
【答案】
【分析】分时，时和时三种情况讨论，列出方程求解即可．
【详解】解：当时，，
即，解得（不符合题意，舍去）；
当时，，
即，解得，
当时，，
即，解得（不符合题意，舍去），
综上所述，，
故答案为：．
【点睛】本题考查解一元一次方程．能结合的定义分情况讨论是解题关键．
举一反三2（2022下·上海·八年级校考阶段练习）解关于x的方程：．
【答案】当时，原方程无解；当时，
【分析】根据题意，分两种情况：①时，②时，根据解一元一次方程的方法，求出方程的解即可．
【详解】解：∵，
∴，
①当时，，
故方程无解．
②当时，
∴系数化为1得：；
∴关于x的方程的解为：当时，原方程无解；当时，．
【点睛】此题主要考查了解一元一次方程的方法，掌握解一元一次方程是解题的关键．
举一反三3（2022上·浙江湖州·七年级统考期末）定义一种对正整数的“”运算：．以表示对正整数进行次“”运算．例如，表示对2进行2次“”运算，由于2是偶数，因此，第一次运算的结果为，由于第一次运算的结果1是奇数，故第二次运算的结果为，所以的运算结果是6．据此回答：
(1)求的运算结果；
(2)若为偶数，且的运算结果为8，求的值；
(3)求的运算结果．
【答案】(1)
(2)的值是6或32
(3)
【分析】（1）根据新定义的对正整数进行次“”运算求解即可；
（2）根据是偶数，可得，然后分为奇数和为偶数两种情况分别求解即可；
（3）找到的“”运算结果呈现的规律，然后根据该规律求解即可．
【详解】（1）解：依题意可得，．
（2）∵是偶数，
∴，
若为奇数，则，令，解得；
若为偶数，则，令，解得．
故的值是6或32；
（3）的“”运算结果呈现的规律为：8，4，2，1，6，3，8，4，2，1，…，
∴运算结果以8，4，2，1，6，3为一组循环，
∵，
∴．
【点睛】本题主要考查了新定义下的运算、代数式求值、解一元一次方程，数字类规律探索等知识，理解新定义的对正整数进行次“”运算是解题关键．
题型11 新概念问题
例11（2022上·浙江金华·七年级校考阶段练习）我们规定：若关于x的一元一次方程的解为，则称该方程为“和解方程”．例如：方程的解为，而，则方程为“和解方程”．
请根据上述规定解答下列问题：
(1)下列关于x的一元一次方程是“和解方程”的有 ．
①；②；③．
(2)已知关于x的一元一次方程是“和解方程”，求m的值；
(3)若关于x的一元一次方程和都是“和解方程”，求代数式的值．
【答案】(1)②
(2)
(3)32
【分析】（1）求出方程的解，再根据和解方程的意义得出即可；
（2）先解方程得出方程的解，再根据和解方程的含义建立方程即可求得答案；
（3）根据和解方程得出方程的解与，再整体代入代数式求值即可．
【详解】（1）解：①＝的解是，
∵，
∴①不是“和解方程”；
②的解是，
∵，
∴②是“和解方程”；
③的解是，
∵，
∴③不是“和解方程”；
故答案为：②．
（2）∵，
∴，
∴，
∵即是“和解方程”，
∴，
∴；
（3）∵，
∴，
而是“和解方程”，
∴，
∴，（①式）
∵，
∴，
而是“和解方程”，
∴，
∴，（②式），
由①-②得：，
∴
．
【点睛】本题考查了一元一次方程的解的应用，新定义运算，求解代数式的值，正确理解新定义再建立新的方程求解是解题的关键．
举一反三1（2022上·浙江·七年级专题练习）我们规定：若关于的一元一次方程的解满足，则称该方程为“差解方程”，例如：的解为满足，所以方程是“差解方程”．
请根据上边规定解答下列问题：
(1)判断是否是“差解方程”，说明理由；
(2)若关于的一元一次方程是“差解方程”，求的值．
【答案】(1)是“差解方程”，理由见解析
(2)
【分析】（1）根据“差解方程”定义判断即可得到答案；
（2）求出含参数的方程的解，再由“差解方程”求出方程的解，两个列等式即可得到答案．
【详解】（1）解：的解为，
，
是“差解方程”；
（2）解：是“差解方程”，
，
解得．
【点睛】本题考查一元一次方程的解法及新定义方程解法，理解新定义及掌握一元一次方程解法是解题的关键．
举一反三2（2022上·浙江·七年级专题练习）定义：若整数的值使关于的方程的解为整数，则称为此方程的“友好系数”．
(1)判断，是否为方程的“友好系数”，写出判断过程；
(2)方程 “友好系数”的个数是有限个，还是无穷多？如果是有限个，求出此方程的所有“友好系数“；如果是无穷多，说明理由．
【答案】(1)是，理由见解析
(2)无穷多，理由见解析
【分析】（1）分别将和代入方程，求出方程的解，再判断即可；
（2）解方程得，当是整数时，也是整数，由此可得方程的“友好系数”有无穷多．
【详解】（1）解：当时，，
解得，
为此方程的“友好系数”；
当时，，
解得，
为此方程的“友好系数”；
（2）解：，
解得，
当是整数时，也是整数，
方程的“友好系数”有无穷多．
【点睛】本题考查一元一次方程的解，理解定义，解题的关键是熟练掌握一元一次方程的解法．
举一反三3（2022下·湖南长沙·七年级校考阶段练习）方程的解的定义：使方程两边相等的未知数的值．如果一个方程的解都是整数，那么这个方程叫做“立信方程”．
(1)若“立信方程”的解也是关于x的方程的解，则m=_____；
(2)若关于x的方程的解也是“立信方程”的解，则n=_______；
(3)若关于x的方程的解也是关于x的方程的解，且这两个方程都是“立信方程”，求符合要求的正整数a和正整数k的值．
【答案】(1)1
(2)5
(3)，
【分析】（1）根据“立信方程”的定义解答即可；
（2）根据，可得，再代入，即可求解；
（3）先求出方程的解，可得，再由x的值为整数，可得为整数，从而得到a的值，进而得到x的值，同理求出方程的解，再利用“立信方程”以及a和k为正整数，即可求解．
【详解】（1）解：2x+1=1，解得x=0；
把x=0代入，得：
，即1+2m=3，
解得：m=1．
故答案为：1．
（2）解：∵，
∴，
∴，
∵关于x的方程的解也是“立信方程”的解，
∴，解得：n=5．
故答案为：5．
（3）解：∵a为正整数，则a≠0，
∵，
∴，
∵该方程为“立信方程”，
∴x的值为整数，
∴为整数，
∴a可取1，4，2，，，，
∴x=，16，，，38，7，
同理，
∴，根据题意得：，
∴，
∴可取8，，10，26，
∴此时x=17，1，，，
∴两方程相同的解为，
此时对应的a=2，k=26，
∴符合要求的正整数a的值为2，k的值为26．
【点睛】本题考查了一元一次方程的解的应用，能理解立信方程的意义是解此题的关键．
题型12 小数方程化为整数方程问题
例12方程中小数化为整数，可变形为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】根据分数的基本性质，给分子、分母同乘以10化简即可.
【详解】∵，
∴,
即，
故选D
【点睛】本题考查了解一元一次方程，根据分数的基本性质给分子、分母同乘以10将方程化简是解答本题的关键.
举一反三 把方程中的小数化为整数得 .
【答案】
【分析】分子分母同乘以10即可.
【详解】把中的分子分母同乘以10得，
.
故答案为.
【点睛】利用分数的基本性质对方程进行变形.
题型13 循环小数转化成分数问题
例13（2022上·云南红河·七年级统考期末）我们知道分数写为小数形式即，反过来，无限循环小数写为分数形式即．一般地，任何一个无限循环小数都可以写成分数形式．设，由可知，，所以，解方程，得，于是，可得．想一想，把无限循环小数化为分数得： ．
【答案】
【分析】设，可表示出100x，即可列出方程，求出答案.
【详解】设，根据题意，得
100x-x=41，
解得.
所以.
故答案为：.
【点睛】这是一道关于无限循环小数转化为分数的创新性题目，根据题意列出方程式解题的关键.
举一反三1阅读理解题：
你知道为什么任何无限循环小数都可以写成分数形式吗？下面的解答过程会告诉你原因和方法．
阅读下列材料：
问题：利用一元一次方程将化成分数．
设 ．
由，可知 ，
即 ．（请你体会将方程两边都乘以10起到的作用）
可解得 ，即 ．
(1)填空：将直接写成分数形式为 ．
(2)请仿照上述方法把小数化成分数，要求写出利用一元一次方程进行解答的过程．
【答案】(1)
(2)，求解过程见解析
【分析】（1）根据转化分数的方法，设 =x，仿照例题的解法即可得出结论；
（2）①根据转化分数的方法，设=x，仿照例题的解法（×10换成×100）即可得出结论.
【详解】（1）（1）设 =x．
方程两边都乘以10，可得10×=10x．
由 =0.444…，可知10×=4.444…=4+，
即4+x=10x．
解得：x=，即=．
（2）设 ．方程两边都乘以100，可得100×=100x
由，可知25+=25+x，
即 ．
可解得 ，即 ．
举一反三2（2022上·山东济宁·七年级统考期末）方程思想，解决问题
【阅读理解】
你知道如何将无限循环小数写成分数形式吗？下面的解答过程会告诉你方法．
例题：利用一元一次方程将化成分数，设，那么，而，所以，化简得，解得．所以，．
【问题探究】
(1)请仿照上述方法把化成分数为______；（直接写出结果）
(2)请类比上述方法，把循环小数化为分数，写出解题过程．
【答案】(1)
(2)见解析
【分析】（1）设①，则②，②-①得出9x=7，再求出x即可；
（2）设①，则②，②-①得出99y=16，再求出y即可．
【详解】（1）设①，则②，
②-①，得9x=7，
解得：x=，
即，
故答案为：；
（2）设①，则②，
②-①，得99y=16，
解得：y=，
即．
【点睛】本题考查了一元一次方程的解和解一元一次方程，能选择适当的方法求解是解此题的关键．