卷子答案网-一个不只有答案的网站3.1椭圆 练习
一、单选题
1．如图，内外两个椭圆的离心率相同，从外层椭圆顶点向内层椭圆引切线AC，BD，若直线AC与BD的斜率之积为，则椭圆的离心率为（ ）
A． B． C． D．
2．已知F是椭圆的一个焦点，AB为过椭圆中心的一条弦，则△ABF面积的最大值为（ ）
A．6 B．15 C．20 D．12
3．已知点为椭圆上的一个动点，点分别为椭圆的左、右焦点，当的面积为1时，（ ）
A． B． C． D．
4．已知椭圆的左、右焦点分别为，，A为左顶点，B为短轴的一个端点，若，，构成等比数列，则圆C的离心率为（ ）
A． B．
C． D．
5．“蒙日圆”涉及几何学中的一个著名定理，该定理的内容为：椭圆上任意两条互相垂直的切线的交点，必在一个与椭圆同心的圆上.该圆称为椭圆的“蒙日圆”若椭圆的离心率为，则椭圆的“蒙日圆”方程为（ ）
A．或 B．或
C．或 D．或
6．椭圆 的离心率为 ，其左、右焦点分别为 ，上顶点为 ，直线与椭圆另一交点为 ，则内切圆的半径为（ ）
A． B． C． D．
7．已知是椭圆上的点，、分别是椭圆的左、右焦点，若，则的面积为（ ）
A． B． C． D．9
8．椭圆的左、右焦点分别为，点是椭圆上的一点，若，那么的面积为
A． B． C． D．
二、多选题
9．已知曲线：与曲线：，下列说法正确的是（ ）
A．两条曲线都是焦点在x轴上的椭圆 B．焦距相等
C．有相同的焦点 D．离心率相等
10．法国天文学家乔凡尼·多美尼科·卡西尼在研究土星及其卫星的运动规律时，发现了平面内到两个定点的距离之积为常数的点的轨迹，并称之为卡西尼卵形线．在平面直角坐标系中，两个定点，曲线是到两个定点的距离之积为的点的轨迹，以下结论正确的有（ ）
A．曲线关于轴对称
B．曲线可能过坐标原点
C．为曲线上任意一点，当时，点纵坐标的取值范围为
D．若曲线与椭圆有公共点，则
11．(多选)已知椭圆与椭圆有相同的长轴，椭圆的短轴长与椭圆的短轴长相等，则（ ）
A．a2＝25 B．b2＝25 C．a2＝9 D．b2＝9
12．嫦娥四号月球探测器于2018年12月8日搭载长征三号乙运载火箭在西昌卫星发射中心发射．12日下午4点43分左右，嫦娥四号顺利进入了以月球球心为一个焦点的椭圆形轨道，如图中轨道③所示，其近月点与月球表面距离为100公里，远月点与月球表面距离为400公里，已知月球的直径约为3476公里，对该椭圆下述四个结论正确的是（ ）
A．焦距长约为300公里 B．长轴长约为3976公里
C．两焦点坐标约为 D．离心率约为
三、填空题
13．与椭圆有相等的焦距，且过圆的圆心的椭圆的标准方程为 ．
14．如图把椭圆的长轴分成等分,过每个分点作轴的垂线交椭圆的上半部分于，，…，七个点，是椭圆的左焦点,则 .
15．设直线与椭圆相交于、两点，则线段中点的坐标是 .
16．曲率半径可用来描述曲线上某点处曲线弯曲变化程度，曲率半径越大，则曲线在该点处的弯曲程度越小．已知椭圆上点处的曲率半径公式为．若椭圆C上所有点相应的曲率半径的最大值是最小值的倍，则椭圆C的离心率为 ．
四、解答题
17．，分别为椭圆：的左、右焦点，B为短轴的一个端点，E是椭圆上的一点，满足，且的周长为.
(1)求椭圆C的方程；
(2)三个顶点均在椭圆上的三角形称为椭圆的内接三.角形，是以B为直角顶点的椭圆内接等腰直角三角形，求的面积.
18．已知椭圆上一点P的横坐标是2，求：
(1)点P到椭圆左焦点的距离；
(2)点P到椭圆右焦点的距离．
19．已知点，，O为坐标原点，D为平面内的动点，若BD的中点E在圆O：上，点H在AD上且，当点D运动时，点H形成的轨迹为曲线C．
(1)求曲线C的方程；
(2)若曲线C与x轴的左、右两个交点分别为M，N，过定点的直线l与曲线C交于R，S两点，设直线MR与NS交于点Q，证明：点Q在定直线上．
20．已知抛物线的焦点F恰为椭圆的一个顶点，且抛物线的通径（过抛物线的焦点F且与其对称轴垂直的弦）的长等于椭圆的两准线间的距离.
（1）求抛物线及椭圆的标准方程；
（2）过点F作两条直线，，且，的斜率之积为.
①设直线交抛物线于A，B两点，交抛物线于C，D两点，求的值；
②设直线，与椭圆的另一个交点分别为M，N.求面积的最大值.
21．已知椭圆的上顶点在圆上，且椭圆的离心率为．
（1）求椭圆的方程；
（2）若过圆的圆心的直线与椭圆交于两点，且，求直线的方程．
22．已知椭圆的中心在原点，对称轴为坐标轴且焦点在轴上，抛物线：，若抛物线的焦点在椭圆上，且椭圆的离心率为.
(1)求椭圆的方程；
(2)已知斜率存在且不为零的直线满足：与椭圆相交于不同两点 ，与直线相交于点.若椭圆上一动点满足：，，且存在点，使得恒为定值，求的值.
参考答案：
1．C
【分析】设出切线AC和BD的方程，与椭圆方程联立消去，根据判别式，求得的表达式，根据AC与BD的斜率之积求得a和b的关系，进而求得a和c的关系，椭圆的离心率可得.
【详解】设内层椭圆的方程为，
由离心率相同可知，外层椭圆的方程为，
如图，
设切线的方程为，
则，
消去得
由，得，
设切线的方程为，
联立，
消去得，
由得，
又直线AC与BD的斜率之积为，
.
故选：C
2．D
【分析】由直线AB不垂直y轴，设出直线AB方程，联立直线AB与椭圆方程，求出弦AB长，即可列式推理作答.
【详解】显然直线AB不垂直y轴，椭圆中心为原点O，设直线AB的方程为：x=my，
由消去y得：，设，
由椭圆对称性，不妨令，焦点，
△ABF的面积，当且仅当时取“=”，
所以△ABF面积的最大值为12.
故选：D
3．D
【分析】结合椭圆的定义根据余弦定理得，代入三角形面积公式并化简得，根据同角三角函数基本关系求解角即可.
【详解】由已知，所以，
由余弦定理可得：，
所以，整理得，即，
又的面积为1，所以，
所以，所以，即，
所以，又，所以，所以.
故选：D.
4．D
【分析】由等比数列性质得出关于的齐次方程，变形后可求得离心率．
【详解】由题可知，因为，，构成等比数列，
所以，即，即，
所以，解得或（舍）．
故选：D．
5．C
【分析】分类讨论和，当时，根据离心率求出，然后在椭圆上取两点，并写出对应的切线方程求出交点，进而求出圆半径即可；对于的情况与的方法步骤一致.
【详解】若，则，即，所以，
由于椭圆上任意两条互相垂直的切线的交点，必在一个与椭圆同心的圆上，
不妨取两点，则两条切线为和，所以两条切线的交点为，且点在蒙日圆上，所以半径为，所以蒙日圆为；
若，则，即，所以，
由于椭圆上任意两条互相垂直的切线的交点，必在一个与椭圆同心的圆上，
不妨取两点，则两条切线为和，所以两条切线的交点为，且点在蒙日圆上，所以半径为，所以蒙日圆为；
综上：椭圆的“蒙日圆”方程为或
故选：C.
6．B
【分析】先根据离心率求出椭圆方程，再求出直线的方程，联立方程求出的坐标，从而可得的面积，再根据等面积法即可求得内切圆半径.
【详解】为椭圆的离心率，
所以有，解得或（舍），
椭圆方程为：.
如图所示：
则有，，，
易得直线的方程为，
联立，解得或，
则点的坐标为，而，
所以，
又根据椭圆定义可知：
，，
设内切圆半径为，
则，
所以有，解得.
故选：B
7．A
【分析】由已知可得，然后利用余弦定理和椭圆定义列方程组可解.
【详解】因为，
所以，
又
记，则，
②2-①整理得：，所以
故选：A
8．D
【详解】如图，设有
本题选择D选项.
点睛：椭圆上一点与两焦点构成的三角形，称为椭圆的焦点三角形，与焦点三角形有关的计算或证明常利用正弦定理、余弦定理、|PF1|＋|PF2|＝2a，得到a，c的关系．
9．ABC
【分析】A.根据分母大小可确定焦点位置；BC.求出两个椭圆中的即可；D. 求出两个椭圆的离心率即可；
【详解】可知两个方程均表示焦点在x轴上的椭圆，故A正确；
曲线的焦距为，曲线的焦距为，故B，C正确；
曲线的离心率，曲线的离心率，故D不正确．
故选：ABC.
10．ABD
【分析】令曲线上任意点为得，将代入验证方程是否恒成立判断A；令，将原点代入验证判断B；令代入方程求得，再比较大小判断C；由代入曲线，整理得，结合椭圆的有界性求参数t的范围判断D.
【详解】令曲线上任意点为，则，
将代入得，
所以曲线关于轴对称，A对；
当，显然在曲线上，B对；
当，若，则，
所以，则，
此时，即，故点纵坐标范围不为，C错；
由，则，故
，所以，
而，即或，所以或（舍），
故曲线与有公共点，则，D对.
故选：ABD
【点睛】关键点点睛：对于A只需代入验证方程恒成立，对于B应用特殊值，令并将原点代入验证；对于C只需验证时的y值情况；对于D注意联立方程，结合椭圆有界性求范围.
11．AD
【分析】由椭圆的标准方程求出两个已知椭圆的长轴长和短轴长，再利用椭圆间的关系进行求解.
【详解】因为椭圆的长轴长为10，
且椭圆的短轴长为6，
所以椭圆中，，，
即，.
故选：AD.
12．ABD
【解析】根据椭圆的几何性质及月球直径，分别求得椭圆的和月球半径，即可确定长轴长、焦距和离心率，因为没有建立坐标系，所以不能得到焦点坐标，即C不正确.
【详解】设该椭圆的半长轴长为，半焦距长为.依题意可得月球半径约为，
，，
，，，
椭圆的离心率约为，可得结论A、B、D项正确，
因为没有给坐标系，焦点坐标不确定，所以C项错误.
故选：ABD.
【点睛】本题考查了椭圆几何性质的实际应用，属于基础题.
13．或，
【分析】先求出椭圆的焦距，再设出椭圆方程，求出的圆心坐标，列方程组可求得答案
【详解】由，得，得，
圆的圆心坐标为，
当所求椭圆的焦点在轴上时，设椭圆方程为，则
解得，
所以椭圆方程为，
当所求椭圆的焦点在轴上时，设椭圆方程为，则
解得，
所以椭圆方程为，
综上，所求椭圆方程为或，
故答案为：或，
14．
【分析】由已知得，再取椭圆的右焦点，根据椭圆的对称性得 ，，，再根据椭圆的定义即可求得答案.
【详解】由已知得，如图，
是椭圆的右焦点，由椭圆的对称性知 ，，，又，
∴
.
故答案为：.
【点睛】本题考查椭圆的对称性，椭圆的定义，是中低档题.
15．
【分析】直接联立直线方程和椭圆方程，化为关于的一元二次方程后利用根与系数关系即可求解.
【详解】设，，
联立 ，得，
所以，则线段中点的横坐标为
代入，得，
所以线段中点的坐标是.
故答案为：
【点睛】本题考查了中点坐标公式，考查了根与系数的关系，属于基础题.
16．/
【分析】根据椭圆中x的范围求出的取值范围，结合曲率半径的最大值是最小值的倍，求出的关系，皆可求得椭圆离心率.
【详解】因为点在椭圆上，故，
即，
则
，
而，所以，则，
故，
因为椭圆C上所有点相应的曲率半径的最大值是最小值的倍，
故，即，
所以椭圆离心率为，
故答案为：
17．(1)
(2)或
【分析】（1）利用题目条件建立的方程组，进而求出椭圆C的方程；
（2）联立直线与椭圆表示出的横坐标,进而表示出，利用等角三角形求出k的值，从而求出的面积.
【详解】（1）设，由，得.
∵点E在椭圆C上，∴，即.①
∵的周长为，∴，即.②
联立①②解得，，∴.
∴椭圆的方程为.
（2）不妨设M，N分别在y轴左、右侧，设：，则：.
由消去得.
∴点的横坐标.
以代k得点的横坐标.
∴，.
∵，∴.
即.
解得，，.
的面积.
当时，；
当时，.
18．(1)
(2)
【分析】（1）设，代入椭圆方程求得，再求得左焦点坐标 ，由两点间距离公式计算；
（2）根据椭圆的定义计算．
【详解】（1）设，则，，
，，左焦点为，
．
（2）由得
19．(1)
(2)证明见解析
【分析】（1）结合椭圆的定义求得曲线的方程.
（2）设直线，联立直线的方程和曲线的方程，化简写出根与系数关系，通过直线与直线的方程求得点的横坐标，由此判断在定直线上.
(1)
连接HB，由题意知，
连接OE，则OE为的中位线，且，
则，
所以，
故点H的轨迹，即曲线C是分别以A，B为左、右焦点的椭圆，
设曲线C的方程为，
则，，又，
所以，，所以曲线C的方程为．
(2)
由题意知直线l的斜率存在且不为0，设直线l的方程为，，，
联立方程得，得，
由，得，
，．
由（1）得，，则直线MR的方程为，直线NS的方程为，
联立得，
即，解得，
又，，
故可得，
代入得，
即点Q在定直线上．
20．（1）；(2) ① ②
【解析】(1)由抛物线的焦点为椭圆的右焦点可得p，求出抛物线方程，根据通径与准线间的距离可求a，c，即可求出椭圆方程；
（2）①设出直线方程，联立抛物线方程，由根与系数关系及弦长公式可求出弦长，代入即可计算求解②设出直线方程，联立椭圆方程，由根与系数关系，得出弦长，同理可得另外一条弦长，根据三角形面积公式表示出面积，换元后求最值即可.
【详解】(1) ,
右顶点为，
即抛物线的焦点 ,
，
故抛物线方程为，
因为抛物线的通径的长等于椭圆的两准线间的距离，
所以，
，
，
椭圆的标准方程为：
(2) ①设，代入 消元得：
，
设，
，
，
又，
同理可得
②仍设，
代入椭圆方程消元得：
，
即，
，
，
同理得，
，
（当且仅当 时，等号成立），
令，则 ，
,
对于，在 上是增函数，
当时，即时，，
，
面积的最大值为.
【点睛】关键点点睛：本题求解过程中，需要熟练运用弦长公式，以及类比的思想的运用，在得到三角形面积后，利用换元法，化简式子，求最值是难点，也是关键点，题目较难.
21．（1）；（2）或.
【分析】（1）上顶点为，代入圆的方程，求得，结合离心率，即可求出椭圆的方程；（2）直线经过圆心，①直线的斜率不存在时，不合题意；②直线的斜率存在时，设直线的方程为，设，联立直线的方程和椭圆的方程，有，且.代入，可解得，进而求出直线方程.
【详解】（1）依题意，令时，，解得，
∴点的坐标为，即，
又∵，解得，
∴椭圆的方程为；
（2）∵直线经过圆心，
①直线的斜率不存在时，不合题意；
②直线的斜率存在时，
设直线的方程为，设，
联立，消去并整理，得：．
∵，
解之，得，由韦达定理可得，
又∵，
∴，
∴
，
解之，得，即，此时，
∴直线的方程为或．
22．(1)
(2)
【分析】（1）先求得椭圆的，代入公式即可求得椭圆的方程；
（2）以设而不求的方法得到两根和，再由条件，得到四边形为平行四边形，并以向量方式进行等价转化，再与恒为定值进行联系，即可求得的值.
【详解】（1）由条件可设椭圆：，
因为抛物线：的焦点为，所以，解得
因为椭圆离心率为，所以，则，
故椭圆的方程为
（2）设直线：，，，
把直线的方程代入椭圆的方程，可得，
所以，
因为，，所以四边形为平行四边形，
得，即，得
由在椭圆上可得，，即
因为，又
所以，
所以
将代入得，
所以，即.
【点睛】
数形结合是数学解题中常用的思想方法，数形结合的思想可以使某些抽象的数学问题直观化、生动化，能够变抽象思维为形象思维，有助于把握数学问题的本质；另外，由于使用了数形结合的方法，很多问题便迎刃而解，且解法简捷。
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