河南省平顶山市部分中学2023-2024高三上学期11月阶段测试数学试题（含解析）

平顶山市部分中学2023-2024学年高三上学期11月阶段测试
数学试题
一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1、已知全集R,设集合,,则( )
A. B.
C. D.或
2、已知复数,则复数z的虚部为( )
A. B. C. D.
3、设函数的定义域为R,且是奇函数,是偶函数,则一定有( )
A. B. C. D.
4、部分图象大致是( )
A. B.
C. D.
5、在中国古代数学著作《九章算术》中记载了一种称为“曲池”的几何体，该几何体的上、下底面平行，且均为扇环形(扇环是指圆环被扇形截得的部分).现有一个如图所示的曲池，它的高为4，，，，均与曲池的底面垂直，底面扇环对应的两个圆的半径分别为2和4，对应的圆心角为，则图中异面直线与所成角的余弦值为( )
A. B. C. D.
6、已知双曲线的左、右焦点分别为、,以为圆心的圆与x轴交于,B两点,与y轴正半轴交于点A,线段与C交于点M.若与C的焦距的比值为,则C的离心率为( )
A. B. C. D.
7、若函数有个零点a和b,则的取值范围是( )
A. B. C. D.
8、函数,已知为图象的一个对称中心,直线为图象的一条对称轴,且在上单调递增.记满足条件的所有的值的和为S,则S的值为( )
A. B.2 C. D.3
二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得2分。
9、若实数x,y满足曲线,则下列结论正确的是( )
A.
B.的最小值为
C.直线与曲线C恰有1个交点,则实数
D.曲线C上有4个点到直线的距离为1.
10、已知直线与相交于点P,直线与x轴交于点,过点作x轴的垂线交直线于点,过点作y轴的垂线交直线于点,过点作x轴的工线交直线于点,…,这样一直作下去,可得到一系列点,,,,…,记点的横坐标构成数列,则( )
A.点
B.数列的前n项和满足:
C.数列单调递减
D.
11、已知函数满足,有,且,当时,,则下列说法正确的是( )
A.是奇函数
B.时,单调递减
C.关于点对称
D.时,方程所有根的和为30
12、某学校随机抽取200名学生数学周测成绩的频率分布直方图如图所示,据此估计该校本次数学周测的总体情况（同一组中的数据用该组区间的中点值为代表）,下列说法正确的是( )
A.众数为60或70 B.25%分位数为65
C.平均数为73 D.中位数为75
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13、_____________.
14、设，，且，则当取最小值时，__________.
15、已知定义在R上的函数满足，且当时，，当时，，则函数在上有_________个零点.
16、已知圆与圆恰有两条公切线，则实数m的取值范围为___________.
四、解答题：本题共6小题，共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17、（10分）记的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,且.
(1)求A的大小；
(2)若,的面积为,求的周长.
18、（12分）(1)已知数列为等差数列，且，，求数列的通项公式；
(2)已知数列满足，，记，求证：数列是等差数列，并求出数列的通项公式.
19、（12分）如图,在四棱锥中,,,,平面平面.
(1)证明:;
(2)求直线与平面所成角的正弦值.
20、（12分）已知椭圆的离心率为，圆与x轴交于两点，P为椭圆E上的动点，，的面积的最大值为.
（1）求圆O与椭圆E的方程.
（2）若圆O的切线交椭圆E于两点，求的取值范围.
21、（12分）“绿色出行,低碳环保”已成为新的时尚.近几年,国家相继出台了一系列的环保政策,在汽车行业提出了重点扶持新能源汽车的政策,为新能源汽车行业的发展开辟了广阔的前景.某公司对A充电桩进行生产投资,所获得的利润有如下统计数据表,并计算得.
A充电桩投资金额x/百万元 3 4 6 7 9 10
所获利润y/百万元 1.5 2 3 4.5 6 7
(1)已知可用线性回归模型拟合y与x的关系,求其线性回归方程;
(2)若规定所获利润y与投资金额x的比值不低于,则称对应的投入额为“优秀投资额”,记2分,所获利润y与投资金额x的比值低于且大于,则称对应的投入额为“良好投资额”,记1分,所获利润y与投资金额x的比值不超过,则称对应的投入额为“不合格投资额”,记0分,现从表中6个投资金额中任意选2个,用X表示记分之和,求X的分布列及数学期望.
附:对于一组数据,,,其回归直线方程的斜率和截距的最小二乘法估计公式分别为,.
22、（12分）已知.
（1）若在点处的切线平行于x轴,求其单调区间和极值;
（2）若不等式对于任意的恒成立,求整数m的最小值.
参考答案
1、答案：D
解析:因为,所以,
因为,所以,则或,
所以或,
故选:D
2、答案：C
解析:,故虚部为.
故选:C
3、答案：A
解析:因为函数为偶函数,则,
令,则,即,则,
因为函数为奇函数,则,
所以,函数的图象关于直线对称,也关于点对称,
则,可得,
所以,,故函数为周期函数,且周期为4,
对于A选项,,A对;
对于BCD选项,,,但的值无法确定,BCD均错.
故选:A.
4、答案：C
解析：函数的定义域为R,定义域关于原点对称,
又,可化为
所以,
故为偶函数,图形关于y轴对称,排除B,D选项;
令可得,或,
由,解得,,
由,解得,
所以函数最小的正零点为,
当时,,,,排除A,
故选：C.
5、答案：A
解析：如图
设上底面圆心为，下底面圆心为O，连接，OC，OB,
以O为原点，分别以OC，OB，所在直线为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系
则，，，，则，
又异面直线所成角的范围为
故异面直线与所成角的余弦值为.故选：A
6、答案：D
解析：设双曲线的半焦距为c,因为以为圆心的圆过,故该圆的半径为,
故其方程为：,
令,则,结合A在y轴正半轴上,故,
令,则或,故.
故,故直线.
设,
因为A在y轴的正半轴上,在x轴的负半轴上,故,
而,
故,整理得到：,
故,故,
所以,故,
解得或,又因为,则,
则,.
故选：D.

7、答案：D
解析:由对数复合函数的单调性得函数在上单调递增,
因为,
所以函数在上,在上,
不妨设,则,所以,
即,所以,
所以,
当且仅当,即时等号成立,
由于,所以等号不能取到,所以,
所以的取值范围是.
故选:D.
8、答案：C
解析：由题意知：或,,,
化简得或,.
在上单调递增,
,
.
①当时,取知,此 时,
又,
结合题意可知,即,
当时,,此时在上单调递减,不符合题意；
取时,,此时,
同理,
因为结合题意可知,即,
当时,,此时在上单调递增,
.
②当时,取知,此时,
同理,
因为结合题意可知,即,
当时,,此时在上单调递增,
.
综上：或1,.
故选：C.
9、答案：AB
解析:
对于A:曲线即图象是以为圆心,2为半径的半圆,如图,,选项A正确;
对于B:代表曲线半圆上的点与的斜率,由图可知,曲线取点时,斜率最小,,选项B正确;
对于C:直线过定点,由图可知,当直线位于PA,PB之间,或者直线与曲线C相切时恰有1个交点,,
相切时,解得:或,故实数,选项C错误;
对于D:如图,曲线上最多有2个点到直线的距离为1,D错误;
故选:AB.
10、答案：AD
解析:由题可知,,,,故A正确;
设点,则,
故,即有,
,
故是以1为首项,为公比的等比数列,,
,
可得,故选项B错误;
对于数列有:,
故数列单调递增,选项C错误;
由两直线交点和点可得:,故D正确
故选:AD.
11、答案：AD
解析:由题设知:,故在上为奇函数且单调递减,
根据可知函数周期为4,
又,即关于,,对称.
对于A选项,由于关于,对称,即,
的周期为4,得,即,所以为奇函数,故A正确;
对于B选项,等价于,由上易知:上递减,上递增,故不单调,故B错误;
对于C选项,由上知:关于对称且,所以不关于对称,故C错误;
对于D选项,由题意,只需确定与在的交点,判断交点横坐标的对称情况即可求和,如下图示,
共有6个交点且关于对称,则,
所有根的和为30,故D正确.
故选:AD
12、答案：BC
解析：A：由频率分布直方图可知：小矩形最高是这一小组,
所以众数为,因此本选项不正确;
B:这一小组的小矩形面积为这一小组的小矩形
面积为,设分位数为x,
所以有,因此本选项正确;
C:平均数为,因此本选项正确;
D:这一小组的小矩形面积为,
设中位数为y,则结合B选项有,因此本选项不正确.
故选:BC
13、答案：
解析：.
14、答案：12
解析：解：由得，则，当取最小值时，有则.
15、答案：7
解析：由知是奇函数，又当时，，所以在上是周期为1的周期函数.令得，结合当时，，作出函数和的大致图象，如图所示，数形结合可知函数和的图象在上有7个交点，即函数在上有7个零点.
16、答案：
解析：由，即，可知圆的圆心为，半径为5.
因为圆与圆恰有两条公切线，所以圆与圆相交，
则，
又，
所以，
即m的取值范围是.
17、答案：(1)
(2)
解析：（1）因为,由正弦定理得,
所以
可得,
因为,所以,所以,
又因为,所以.
（2）由,则,解得,
又由余弦定理,可得,
所以,可得,
又因为,所以的周长为.
18、答案：(1)
(2)
解析：(1)令，
则，
故该等差数列的公差是，
所以，即，
解得.
(2)由，得，
又，所以数列是首项为、公差为的等差数列.
于是，由，解得.
19、答案：(1)见解析
(2)
解析：(1)因为平面平面,平面平面,
所以平面.
因为平面,所以.
又,所以平面.
因为平面,所以.
(2)如图,取的中点E,连接,
因为,所以,
所以四边形为平行四边形,所以,
故直线与平面所成的角即直线与平面所成的角.
过P作的垂线交于点M,过M作的垂线交于点N,连接,因为平面平面,平面平面,
所以平面,
因为平面,
所以.
又,
所以平面,
所以平面平面.
过M作的垂线交于点H,则平面.
易知,,
所以,
所以.
又,所以点E到平面的距离d为点M到平面的距离的2倍,
所以.
在中,,
设直线与平面所成的角为θ,则,
所以直线与平面所成角的正弦值为.
20、答案：(1)圆O的方程为，椭圆E的方程为
(2)的取值范围是
解析：(1)由题意，得，
解得.
因为圆O与x轴的两个交点关于原点对称，，所以点分别为椭圆的左、右焦点，所以，则.
设，则，所以.
当时，的面积最大，最大值为.
将代入，解得，所以.
所以圆O的方程为，椭圆E的方程为.
(2)当直线的斜率存在时，设直线的方程为，，.
因为直线与圆相切，所以，即.
联立得方程组.消去y并整理可得关于x的一元二次方程，则，
，
所以
.
令，得，
所以，
即，所以.
当直线的斜率不存在时，直线的方程为，
解得两点的坐标为或，，则.
综上所述，的取值范围是.
21、答案：(1)
(2)
解析：(1)根据获得的利润统计数据表,
可得,，
所以，
,
所以y关于x的线性回归方程为.
(2)由题可知,“优秀投资额”有2个,“良好投资额”有1个,“不合格投资额”有3个.
X的可能取值为4,3,2,1,0,
,,
,
所以X的分布列为
X 0 1 2 3 4
P
数学期望.
22、答案：（1）增区间为,减区间为,的极大值为,无极小值;
（2）2.
解析:（1）,则,,
,定义域为,
令,得;令,得
的增区间为,减区间为,且的极大值为,无极小值.
（2）因为,所以不等式对于任意的恒成立,可化为,
设,则,
设,则单调增,且,,
使,即,所以,
所以当时,,,
当时,,,
在单调递增,在单调递减
,
的最小整数值为2.

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