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数 学
注意事项：
1．答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号等填写在答题卡和试卷指定位置上．
2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上．写在本试卷上无效．
3．考试结束后，将答题卡交回．
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1. 设集合，，则（ ）
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】化简集合，根据交集的定义求解即可.
【详解】因为，
所以，又，
所以
故选：B.
2. 设复数满，则=（ ）
A. 2 B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】运用复数四则运算及复数的模计算可得结果.
【详解】方法1：因为，所以.
方法2：因为，所以.
故选：C.
3. 已知点为抛物线的焦点，点在抛物线上，且，则（ ）
A. 2 B. 4 C. 6 D. 8
【答案】B
【解析】
【分析】由抛物线的焦半径公式求解．
【详解】由题意可得，解得.
故选：B．
4. 中国某些地方举行婚礼时要在吉利方位放一张桌子，桌子上放一个装满粮食的升斗（如图），斗面用红纸糊住，斗内再插一杆秤、一把尺子，寓意为粮食满园、称心如意、十全十美．如图为一种婚庆升斗的规格，把该升斗看作一个正四棱台，下底面边长为25cm，上底面边长为10cm，侧棱长为15cm，忽略其壁厚，则该升斗的容积约为（参考数据：，）（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】计算高，由体积公式得出答案.
【详解】上下底面对角线长度分别为，则高.
上底面的面积，下底面的面积.
则.
故选：C
5. 将5个1和2个0随机排成一行，则2个0不相邻的概率为（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】分别求出将5个1和2个0随机排成一行的种数和2个0不相邻的种数，利用古典概型的概率公式直接求解.
【详解】将5个1和2个0随机排成一行，总的排放方法有种.
要使2个0不相邻，利用插空法,5个1有6个位置可以放0,故排放方法有种.
所以所求概率为.
故选：D.
6. 已知，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】利用两角和与差的正弦公式及诱导公式，结合二倍角的余弦公式即可求解.
【详解】由题意可知，，
所以.
故选：C.
7. 已知圆锥的底面半径为，高为，当其内接正四棱柱的体积最大时，该正四棱柱的外接球的表面积（单位：）为（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】设正四棱柱底面边长为a，高为h，运用相似三角形可得a与h关系，运用导数研究正四棱柱体积的最大值，计算此时正四棱柱的外接球半径，进而可得结果.
【详解】圆锥的轴截面如图所示，为正四棱柱上底面的正中心，为圆锥底面的圆心，正四棱柱外接球的球心O，半径为R，则，
设正四棱柱底面边长为a，高为h，则，，，，
∵，
∴，即：，
∴，
又∵，
∴正四棱柱的体积为，（）
∴，
，，
∴在上单调递增，在上单调递减，
∴当时，取得最大值，此时，
∴，，
∴，
∴正四棱柱的外接球的表面积为.
故选：A.
8. 已知函数及其导函数的定义域均为，记．若为奇函数，为偶函数，且，，则（ ）
A. 670 B. 672 C. 674 D. 676
【答案】D
【解析】
【分析】运用抽象函数的奇偶性表达式及导数运算可得的一个周期为3，再运用赋值及周期性计算可得一个周期内的和，进而可求得结果.
【详解】∵为奇函数，
∴，
∴，即：，
又∵，
∴，①
又∵为偶函数，
∴，②
∴将②中换成得：，③
∴将③中换成得：，④
由①④得：，
∴的一个周期为3，
∴，
将代入③得：，
∴
又∵，
∴.
故选：D.
二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．
9. 已知，则实数满足（ ）
A. B. C. D.
【答案】AD
【解析】
【分析】把指数式改写为对数式，再结合对数运算法则、换底公式变形，利用基本不等式判断各选项．
【详解】因为，所以，，
，，
易知，所以，A正确；
，C错；
显然，，
，B错；
，D正确．
故选：AD．
10. 下列命题中，正确的命题是（ ）
A. 数据1，3，4，5，6，8，10的第60百分位数为5
B. 若随机变量，，则
C. 若随机变量，则取最大值时或4
D. 某小组调查5名男生和5名女生的成绩，其中男生成绩的平均数为9，方差为11；女生成绩的平均数为7，方差为8，则该10人成绩的方差为10.5
【答案】BCD
【解析】
【分析】对于A：直接求出第60百分位数，即可判断；对于B：由正态曲线的对称性直接求解；对于C：表示出，利用二项式系数的性质即可判断；对于D：由分层随机抽样中方差的计算公式直接求解.
【详解】对于A：数据1，3，4，5，6，8，10一共有7个.
因为，所以其第60百分位数为第5个，为6.故A错误；
对于B：因为随机变量，由正态曲线的对称性可得：，
所以，
所以.故B正确；
对于C：因为随机变量，所以.
所以要使最大，只需最大.
由二项式系数的性质可得：当或4时，最大.故C正确；
对于D：由题意可得男生成绩的平均数为9，方差为11，记为.
女生成绩的平均数为7，方差为8，记为.
所以全部10名学生的成绩的平均数为.
由分层随机抽样中方差的计算公式可得：
.故D正确.
故选：BCD
11. 已知点，，且点在圆上，为圆心，则下列结论正确的是（ ）
A. 直线与圆相交所得的弦长为4
B. 的最大值为
C. 的面积的最大值为2
D. 当最大时，的面积为1
【答案】ABD
【解析】
【分析】由圆的方程得圆C是以为圆心，以2为半径的圆，根据圆上点与两定点及直线MN的位置关系，分析选项正误.
【详解】圆C：，即，所以圆C是以为圆心，以2为半径的圆.
对于A，直线MN的方程为，过圆心，所以直线MN与圆C相交所得的弦长为直径4，故A项正确；
对于B，，当点P为MN的延长线与圆的交点时，等号成立，故B项正确；
对于C，设点P到直线MN的距离为d，则，因为直线MN过圆心，所以当时，最大为 ，故C项错误；
对于D，当MP与圆C相切时，最大，不妨设，此时，故D项正确.
故选：ABD.
12. 已知函数，下列关于该函数的结论正确的是（ ）
A. 的图象关于直线对称 B. 的一个周期是
C. 在区间上单调递增 D. 的最大值为
【答案】ABD
【解析】
【分析】利用诱导公式判断与是否相等判断A，判断与是否相等判断B，利用三角函数及复合函数的单调性判断C、D.
【详解】已知，
对于A，，故A正确；
对于B，，故B正确；
对于C，，则，又函数连续，故C错误；
对于D，因为，当时，所以的最大值为，
当时，，，也取得最大值，
所以的最大值为，故D正确；
故选：ABD
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．
13. 的展开式中二项式系数最大的一项是________（用数字作答）．
【答案】70
【解析】
【分析】利用二项式系数的性质直接求得.
【详解】的二项展开式有9项，其每项的二项式系数为.
由二项式系数的性质可得：当时，最大.
故答案为：70.
14. 已知向量满足，对任意的的最小值为，则与的夹角为________．
【答案】
【解析】
【分析】利用模的计算得到恒成立，判断出取等号的条件，即可求出与的夹角.
【详解】因为向量满足，
所以向量满足.
设与的夹角为
所以
因为任意的的最小值为，所以恒成立，
配方后可得：恒成立，
所以当时，取得最小值3，此时，解得：.
又因为，所以.
因为，所以.
故答案为：.
15. 已知函数，则不等式的解集是________．
【答案】
【解析】
【分析】令，判断的奇偶性与单调性，则问题转化为，即，即可得到自变量的不等式，解得即可.
【详解】因为，令，
则，
则函数为偶函数，
又，
当时，，，所以，所以在上单调递增，
又，
由可得，即，即，
所以，解得，即不等式的解集是.
故答案为：
16. 设双曲线的两个焦点为、，点是圆与双曲线的一个公共点，，则该双曲线的离心率为________．
【答案】
【解析】
【分析】运用双曲线的定义、向量加法及数量积、余弦定理计算可得结果.
【详解】由题意知，点P在双曲线E上，不妨取设，
则由双曲线的定义知，，①
因为O为的中点，
所以，
所以，
又因为点P在圆上，所以，
所以，
即：，②
又因为在△中，由余弦定理得：，即：，③
由①②③得，所以.
故答案为：.
四、解答题：本题共6小题，共70分、解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
17. 已知数列是首项为1的等差数列，公差，设数列的前项和为，且，，成等比数列．
（1）求的通项公式；
（2）求数列的前项和．
【答案】（1）；
（2）.
【解析】
【分析】（1）根据给定条件，利用等比中项的意义、等差数列前n项和公式求解作答.
（2）令，判断数列的单调性，确定正数项、负数项，再结合等差数列前n项和公式分段求和作答.
【小问1详解】
因为成等比数列，则有，
即，而，解得，则，
所以的通项公式是．
【小问2详解】
由（1）知，令，则数列为递增数列，其前4项为负值，从第5项开始为正值，
设的前项和为，则，
若，，
若，
，
所以.
18. 如图，在四棱锥中，底面是正方形，，，二面角的大小为．
（1）证明：平面平面；
（2）求与平面所成角的正弦值．
【答案】（1）证明见解析
（2）
【解析】
【分析】（1）根据已知条件及等腰三角形的三线合一定理，利用线面垂直的判定和性质定理及二面角的平面角的定义，结合余弦定理、勾股定理的逆定理及面面垂直的判定定理即可求解；
（2）根据（1）的结论，建立空间直线坐标系，求出相关点的坐标及直线的方向向量和平面的法向量，利用向量的夹角公式，结合线面角与向量的夹角的关系即可求解.
【小问1详解】
设的中点分别，连接，
因为底面是正方形，，
所以，，
又,平面，
所以平面，
又平面，
所以．
所以是二面角的平面角，
即，又，
所以，解得，
因为，
所以，
又，平面，
所以平面，
因为平面，
所以平面平面PBC．
【小问2详解】
由（1）知平面平面，以为坐标原点，为轴，为轴，建立空间直角坐标系，如图所示
则，，，，
，，．
设平面的一个法向量为，则
,即，
令，则，所以．
设与平面所成角为，则
，
所以与平面所成角的正弦值为.
19. 某校在一次庆祝活动中，设计了一个“套圈游戏”，规则如下：每人3个套圈，向，两个目标投掷，先向目标掷一次，套中得1分，没有套中不得分，再向目标连续掷两次，每套中一次得2分，没套中不得分，根据累计得分发放奖品．已知小明每投掷一次，套中目标的概率为，套中目标的概率为，假设小明每次投掷的结果相互独立，累计得分记为．
（1）求小明恰好套中2次的概率；
（2）求的分布列及数学期望．
【答案】（1）；
（2）分布列见解析；期望为.
【解析】
【分析】（1）分析出小明恰好套中2次包括：套中，各一次和未套中，套中两次.分别求概率即可得到答案；
（2）由题意可得：的可能取值为0，1，2，3，4，5.分别求概率，得到分布列，求出数学期望.
【小问1详解】
小明恰好套中2次包括：套中，各一次和未套中，套中两次.
所以套中，各一次的概率为，
未套中，套中两次的概率未，
所以小明恰好套中2次的概率.
【小问2详解】
由题意可得：的可能取值为0，1，2，3，4，5
，，
，，
，.
所以的分布列为
0 1 2 3 4 5
所以.
20. 设的内角、、的对边分别为、、，已知．
（1）判断的形状，并说明理由；
（2）求的最小值．
【答案】（1）钝角三角形，理由见解析
（2）
【解析】
【分析】（1）利用二倍角公式得到，即可得到，即可得到或，从而得到或，再说明，即可得解；
（2）利用正弦定理将边化角，再根据（1）中的结论可得，再利用基本不等式计算可得.
【小问1详解】
解：为钝角三角形，
证明如下：
由，
则有，所以，
因为，所以，则为锐角．
所以，所以或，
则或，
由题意知，所以，
所以，所以，故为钝角三角形．
小问2详解】
由（1）知，，
由正弦定理，有
当且仅当时等号成立，由为锐角，
则，所以当时取最小值．
21. 已知椭圆的长轴长为4，且离心率为．
（1）求椭圆的标准方程；
（2）若直线与椭圆交于，两点，为坐标原点，直线，的斜率之积等于，求的面积的取值范围．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）由椭圆的性质列出方程，求解得出椭圆的标准方程；
（2）联立直线和椭圆方程，利用韦达定理结合得出，再由距离公式、弦长公式得出的面积，最后由基本不等式得出的面积的取值范围．
【小问1详解】
解：椭圆的离心率为，即，
长轴长为4，，，，故椭圆的方程为．
【小问2详解】
设，，联立，得，
则，
，，
所以
，
，，
原点到的距离，
当时，．
当时，
，当且仅当时等号成立．
综上，所以的面积的取值范围是
【点睛】关键点睛：解决问题（2）时，关键在于由得出，结合基本不等式求出的面积的取值范围.
22. 已知函数．
（1）若，求．
（2）证明：，．
【答案】（1）;
（2）证明见解析.
【解析】
【分析】（1）利用换元法，把题意转化证明.令，，分类讨论：和，利用导数判断单调性，得到，解出；
（2）利用分析法，只需证，.记，利用导数判断出在内单调递减，由，即可证明.
【小问1详解】
令，则可化为.
令，，则
若，则，此时在内单调递增，
，所以时，，不符合题意；
若，则由得．
当，单调递增；当，，单调递减．
因为，所以当或者时，，不符合题意；
当时，，符合题意，
故，解得．
【小问2详解】
要证，,只需证，
由（1）可知，．
记，则当时，
因此在内单调递减，又，所以即，
故，.
【点睛】导数的应用主要有：
（1）利用导函数几何意义求切线方程；
（2）利用导数研究原函数的单调性，求极值（最值）；
（3）利用导数求参数的取值范围；
（4）利用导数证明不等式.宣城市2023届高三年级第二次调研测试
数 学
注意事项：
1．答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号等填写在答题卡和试卷指定位置上．
2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上．写在本试卷上无效．
3．考试结束后，将答题卡交回．
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1. 设集合，，则（ ）
A. B.
C. D.
2. 设复数满，则=（ ）
A. 2 B. C. D.
3. 已知点为抛物线的焦点，点在抛物线上，且，则（ ）
A. 2 B. 4 C. 6 D. 8
4. 中国某些地方举行婚礼时要在吉利方位放一张桌子，桌子上放一个装满粮食的升斗（如图），斗面用红纸糊住，斗内再插一杆秤、一把尺子，寓意为粮食满园、称心如意、十全十美．如图为一种婚庆升斗的规格，把该升斗看作一个正四棱台，下底面边长为25cm，上底面边长为10cm，侧棱长为15cm，忽略其壁厚，则该升斗的容积约为（参考数据：，）（ ）
A B. C. D.
5. 将5个1和2个0随机排成一行，则2个0不相邻的概率为（ ）
A. B. C. D.
6. 已知，则（ ）
A. B. C. D.
7. 已知圆锥的底面半径为，高为，当其内接正四棱柱的体积最大时，该正四棱柱的外接球的表面积（单位：）为（ ）
A. B. C. D.
8. 已知函数及其导函数的定义域均为，记．若为奇函数，为偶函数，且，，则（ ）
A. 670 B. 672 C. 674 D. 676
二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．
9. 已知，则实数满足（ ）
A. B. C. D.
10. 下列命题中，正确命题是（ ）
A. 数据1，3，4，5，6，8，10第60百分位数为5
B. 若随机变量，，则
C. 若随机变量，则取最大值时或4
D. 某小组调查5名男生和5名女生的成绩，其中男生成绩的平均数为9，方差为11；女生成绩的平均数为7，方差为8，则该10人成绩的方差为10.5
11. 已知点，，且点在圆上，为圆心，则下列结论正确的是（ ）
A. 直线与圆相交所得的弦长为4
B. 的最大值为
C. 的面积的最大值为2
D. 当最大时，面积为1
12. 已知函数，下列关于该函数的结论正确的是（ ）
A. 的图象关于直线对称 B. 的一个周期是
C. 在区间上单调递增 D. 的最大值为
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．
13. 的展开式中二项式系数最大的一项是________（用数字作答）．
14. 已知向量满足，对任意的的最小值为，则与的夹角为________．
15. 已知函数，则不等式的解集是________．
16. 设双曲线的两个焦点为、，点是圆与双曲线的一个公共点，，则该双曲线的离心率为________．
四、解答题：本题共6小题，共70分、解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
17. 已知数列是首项为1的等差数列，公差，设数列的前项和为，且，，成等比数列．
（1）求的通项公式；
（2）求数列前项和．
18. 如图，在四棱锥中，底面是正方形，，，二面角的大小为．
（1）证明：平面平面；
（2）求与平面所成角的正弦值．
19. 某校在一次庆祝活动中，设计了一个“套圈游戏”，规则如下：每人3个套圈，向，两个目标投掷，先向目标掷一次，套中得1分，没有套中不得分，再向目标连续掷两次，每套中一次得2分，没套中不得分，根据累计得分发放奖品．已知小明每投掷一次，套中目标的概率为，套中目标的概率为，假设小明每次投掷的结果相互独立，累计得分记为．
（1）求小明恰好套中2次的概率；
（2）求的分布列及数学期望．
20. 设的内角、、的对边分别为、、，已知．
（1）判断的形状，并说明理由；
（2）求的最小值．
21. 已知椭圆的长轴长为4，且离心率为．
（1）求椭圆的标准方程；
（2）若直线与椭圆交于，两点，为坐标原点，直线，的斜率之积等于，求的面积的取值范围．
22. 已知函数．
（1）若，求．
（2）证明：，．