卷子答案网-一个不只有答案的网站泉州科技中学2023-2024学年高一上学期期中考试
数学试卷
一、单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，共计40分．在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的，请把答案添涂在答题卡相应位置上）
1．已知集合，若，则（ ）．
A．1或 B．1 C． D．或0
2．已知，则（ ）
A． B． C． D．
3．下列在定义域内既是奇函数又是减函数的是（ ）
A． B． C． D．
4．命题“”为真命题的一个必要不充分条件是（ ）
A． B． C． D．
5．函数 的大致图像是（ ）
A． B．
C． D．
6．已知函数在上是单调函数，且满足对任意，都有，则的值是（ ）
A． B． C． D．
7．设集合，集合若中恰有一个整数，则实数a的取值范围（ ）
A． B． C． D．
8．若定义在上的函数同时满足：①为奇函数；②对任意的，且，都有，则称函数具有性质．已知函数具有性质，则不等式的解集为（ ）
A． B． C． D．
二、多项选择题（本题共4小题，每小题5分，共20分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得2分）
9．给出下列说法，其中不正确的是（ ）
A．集合用列举法表示为
B．实数集可以表示为为所有实数}或
C．方程组的解组成的集合为
D．集合与是同一个集合
10．已知函数，则（ ）
A． B．若，则
C．函数在上单调递减 D．函数在的值域为
11．下列结论中正确的是（ ）
A．若幂函数的图象经过点，则
B．若函数的定义域为，则函数的定义域为
C．若，则，
D．若幂函数，则对任意，都有
12．已知a>0，b>0，且3a+b=2，则（ ）
A．ab的最大值为 B．的最大值是2
C．的最小值是18 D．的最小值是
三、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在答题卡的相应位置．）
13．命题的否定为 .
14．满足的集合的个数是 ．
15．已知均为正数，，若的最大值为，且，则满足条件的一个实数的值为 .
16．已知函数满足，当时，且，若当时，有解，则的取值范围为 .
解答题（本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）
17．已知集合或，，
(1)求；
(2)若，求实数的取值范围.
18．已知函数.
(1)用函数单调性的定义证明：在上是增函数；
(2)求函数在区间上的值域.
19．已知命题“，方程有实根”是真命题.
(1)求实数m的取值集合A；
(2)关于x的不等式组的解集为B，若“”是“”的充分不必要条件，求a的取值范围.
20．已知函数是定义在上的奇函数.
(1)求实数的值；
(2)若对于任意的，不等式恒成立，求实数的取值范围.
21．某工厂利用辐射对食品进行灭菌消毒，现准备在该厂附近建一职工宿舍，并对宿舍进行防辐射处理，建房防辐射材料的选用与宿舍到工厂距离有关 若建造宿舍的所有费用（万元）和宿舍与工厂的距离的关系为：，若距离为时，测算宿舍建造费用为100万元.为了交通方便，工厂与宿舍之间还要修一条道路，已知购置修路设备需5万元，铺设路面每公里成本为6万元，设为建造宿舍与修路费用之和.
(1)求关于的表达式；
(2)宿舍应建在离工厂多远处，可使总费用最小，并求最小值.
22. 已知函数，．
(1)求函数的单调区间；
(2)当且时，求的取值范围；
(3)是否存在实数，使得函数在上的值域是？若存在，求出的值，若不存在，说明理由．
高一上期中考数学参考答案：
1．C
【分析】根据元素与集合的关系，结合元素的互异性，即可求解.
【详解】由于，若，则，不合题意；
所以，解得，
故选：C
2．D
【分析】取特殊值可判断ABC，利用不等式的性质判断D即可.
【详解】对A，当时，满足，但不成立，故A错误；
对B，当时，满足，但，故B错误；
对C，当时，满足，但，故C错误；
对D，因为，所以，由不等式性质知，即，故D正确.
故选：D
3．B
【分析】根据函数特征逐一判断即可.
【详解】对于A，在和单调递减，不是定义域的减函数，故A错误；
对于B，定义域，又因为，所以在定义域内是奇函数，结合一次函数特征可知，为减函数，故B正确；
对于C，定义域，又因为，所以在定义域内是偶函数，故C错误；
对于D，定义域，为非奇非偶函数，故D错误.
故选：B
4．A
【分析】根据全称量词命题为真命题分离参数，求解参数范围的充要条件，然后根据充分条件、必要条件的定义判断即可.
【详解】命题“”为真命题，则对恒成立，
所以，故，
所以命题“”为真命题的充分必要条件为，故选项B不符合题意；
对于A选项，得不到，能得到，
所以是的必要不充分条件，符合题意；
对于C选项，得不到，也得不到，
所以是的既不充分也不必要条件，不符合题意；
对于D选项，能得到，得不到，
所以是的充分不必要条件，不符合题意.
故选：C
5．B
【分析】根据特殊值，奇偶性和函数的单调性即可得出结论.
【详解】因为，所以舍去D；
因为时, ，所以舍去A,C.
，
所以是奇函数，
当时，，
易知在上递减，在上递增，
所以在上递增，在上递减，
综上：只有B符合.
故选：B.
6．C
【分析】令，代入知，由此可求得的值，得到解析式，由此求得结果.
【详解】在上是单调函数，可令，，
，解得：，，
.
故选：C.
【点睛】关键点点睛：本题考查函数值的求解问题，解题关键是能够利用换元法，结合函数为单调函数构造方程求得参数值，从而得到函数的解析式.
7．A
【分析】先求出集合， 再根据中恰有一个整数，列出不等式求解.
【详解】由已知可得集合或,
由解得，，
所以，
因为，所以，则，且小于0，
由中恰有一个整数，所以，
即，也即，解得，
故选：A．
8．C
【分析】构造函数，由题意可以推出函数的奇偶性、单调性，然后对进行分类讨论解不等式即可.
【详解】因为对任意的，且，都有，
即对任意两个不相等的正实数不妨设，都有，
所以有，
所以函数是上的减函数，
又因为为奇函数，即有，有，
所以有，
所以为偶函数，
所以在上单调递增．
当，即时，有,由，得，
所以，解得，此时无解；
当，即时，由，得，
所以，解得或．
综上所述，不等式的解集为．
故选：C.
【点睛】关键点点睛：解决本题的关键是由已知条件去构造函数，并结合已知导出其函数性质，从而分类讨论解不等式即可.
9．BCD
【分析】根据集合的表示法可以依次判断.
【详解】对于A，集合中只含有两个元素0和1，所以用列举法表示为，故A正确；
对于B，R就表示实数集，实数集用为错误表示，另外花括号具有所有的意义，描述内容中不能再出现所有字眼，故B错误；
对于C，解集应为，原表示错误，故C错误；
对于D，集合为y的取值集合，集合表示上点的集合，所以两个集合不是同一个集合，故D错误；
故选：BCD.
10．ABD
【分析】作出函数图象，根据图象逐个分析判断即可
【详解】作出分段函数图象：
对A，，故A正确；
对B，当时，，舍去；
当时，（舍）或，则，故B正确；
对C，当时，，
结合图象可得，在上单调递增，故C错误；
对D，由图象可知当时，，，
故在的值域为，D正确．
故选：ABD．
11．CD
【分析】根据幂函数的定义及性质判断A；由抽象函数的定义域求法判断B；应用换元法求函数解析式判断C；利用分析法证明D.
【详解】A：设，则，即，所以，解得，所以，错误；
B：因为函数的定义域为，对于函数，则，解得，即函数的定义域为，错误；
C：若，令，可得，
所以，，其中，
所以，，，正确；
D：对任意，要证明不等式，
只需证明，即，
故只需证明，此不等式显然成立，正确.
故选：CD.
12．AC
【分析】结合基本不等式的应用，但要只有等号能不能取，B要用乘1法，D减少变量后用基本不等式.
【详解】因为，且，所以，所以，当且仅当时，等号成立，则正确；
由题意可得，当且仅当=1时，等号成立，则错误；
因为，所以，当且仅当时，等号成立，则C正确；
由，得，
对于，由，得，
，
当且仅当，当时，，矛盾，故等号取不到，故D错误.
故选：AC.
13．
【分析】由存在量词命题的否定是全称量词求解即可.
【详解】命题的否定为.
故答案为：.
14．
【分析】列举出满足条件的集合，即可得解.
【详解】满足的集合有：、、、、
、、、，
所以，满足条件的集合的个数为.
故答案为：.
15．4（答案不唯一）
【分析】利用基本不等式即可求出，解出即可.
【详解】因为（当且仅当时取等号），所以，
所以，所以.又易知，所以.
故答案为：4.
16．
【分析】根据已知条件导出在上单调递增，再将不等式转化为，借助单调性脱去法则分离参数，求出函数最大值即可.
【详解】，，则，由当时，，得，
又，，则，
于是在上单调递增，不等式化为，，
从而，因此，
依题意，当时，有解，即有解，
显然，则，当，即时，，于是，
所以的取值范围是.
故答案为：
17．(1)
(2)
【分析】（1）求出，根据集合的并集运算即得答案；
（2）分类讨论集合C是否为空集，分别列出不等式，即可求得答案.
【详解】（1）由集合或可得,
而，故.
（2）由可得,
当，即时，，符合题意；
当，即时，要使得，
需满足且，即，
结合，则，
故实数的取值范围为.
18．(1)证明见解析
(2)
【分析】（1）任取，且，通过计算的正负来判断单调性；
（2）由函数在区间上单调性求出最值即可.
【详解】（1）任取，且，
则，
因为，，所以，，，
所以，即，
所以在上是增函数.
（2）由（1）知在区间上单调递增，
所以，，
所以函数在区间上的值域为.
19．(1)
(2)或.
【分析】（1）利用判别式大于等于0可求解；
（2）根据题意可得是的真子集，讨论的范围求解即可.
【详解】（1）因为命题“，方程有实根”是真命题，
所以方程有实根，则有，解得，
所以实数m的取值集合.
（2）若“”是“”的充分不必要条件，则是的真子集，
当即时，不等式组无解，所以，满足题意；
当即时，不等式组的解集为，
由题意是的真子集，所以，所以.
综上，满足题意的a的取值范围是或.
20．(1)
(2)
【分析】（1）根据条件，利用奇函数的性质即可求出结果；
（2）由（1）得到，再求的值域，即可求出结果.
【详解】（1）因为函数是定义在上的奇函数，
则，得到，解得，
经检验满足题意，
故实数的值为.
（2）由（1）知，，
当时，，
又的对称轴为，所以当时，，
当时，，
又的对称轴为，所以当时，，
所以，当时，，故不等式恒成立时，，
所以实数的取值范围
21．(1)
(2)宿舍应建在离厂处可使总费用最小为75万元
【分析】（1）先通过距离为时测算宿舍建造费用为100万元计算，从而求出函数表达式；
（2）对函数表达式变形后利用基本不等式求解最值即可.
【详解】（1）根据题意得，所以，
所以
（2）因为
当且仅当即时.
答：宿舍应建在离厂处可使总费用最小为75万元.
22．(1)答案见解析；
(2)；
(3)存在，.
【分析】（1）讨论符号，应用分段函数形式写出，即可判断单调性；
（2）由题设可得且，则，令并结合二次函数性质求范围；
（3）讨论、、分别研究是否存在使题设条件成立即可.
【详解】（1）由，，令，令，
所以，故的递减区间为，递增区间为.
（2）由（1）知：在上，在上，
所以有，即，
故，且，所以，
令，则，
所以，又，则，
所以.
（3）若，则上最小值为0，即，与前提矛盾；
所以，若存在实数使在上值域是，情况如下，
当时，此时递减，则，与前提矛盾；
当时，此时递增，则；
故存在使函数在上的值域是.
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